华南理工大学研究生矩阵分析复习资料1

(9) 两个正规矩阵的特征多项式相同，则他们正交相似。 （
1 (10) 设方阵 A 0 1 2 ，则有 A 2 A F 。( 1
)
二、 （30 分）填空
0 a (3) 线性子空间 W { A | A , a, b R} 的基底为___________. a b
(11)若矩阵 A 的初级因子为 ( 1),( 1)3 ,则 A 的约当标准形为________
(12) 设 V1 V2 是直和， dim(V1 V2 ) ___________
2 3 1 (13) 设 N 2 1 2 ,则 N 1 _________ 3 2 1
1 (8) 设 A 0 0 0 1 2 0 0 3 ，则 lim Am ______________ m 1 2
1 et te t (9) 已知 A(t ) ,则 0 A(t )dt _____________ sin t t cos t
三、 （15 分）求 R 的子空间：
4
V { (a a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ) | 1
a 2
a 3
a 4 , 0}
W { (a a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ) | 1
2 a 2
a 3
2a 4
0}
的交 V W 一个基，并求相应的标准正交基。
1 2 (15) 设 A 0 0
1 1 1 1 ,则 det பைடு நூலகம்2 At _________. 0 1 2 0 2 1 2 1
三、 （15 分）求 R5 的子空间：
V { (a 2 a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ) | 1 W { (a a 3 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ) | 1
在 R3 中 , 线 性 变 换 T
对 任 意 的 实 数 x, y , z , 满 足
__________. T (x y , z T, ) yz z ( x x , y z T, ,则 T 对应的矩阵为 )
3 0.6 1 (6) 若矩阵 A 2 1 0.8 ，则矩阵 A 的盖尔圆为_______________ 0.8 0.5 0
m
）
(10) 对于任一正规方阵 A 而言， A 2 A F 。( ) 二、 填空（30 分）
a b 0 (1) 线性子空间 W { A | A b a 0 , a, b, c R} 的维数为___________. 0 0 c
(2) 向 量 ( 1 , 2 ,在 基 1 ( 1 , 1 ,1 1) , 2 ) ___________
(3) 正交变换的乘积仍是正交变换。( ) (4) 设 V L(1, 2 ,, m ) ，则 dim V m 。 （ (5) 任一线性变换对应的矩阵恒满秩。( ) (6) 方程组 AT Ax AT b 一定有解。( ) (7) 任何厄米特矩阵均可正交相似于对角矩阵。( ) (8) 矩阵 A 为厄米特矩阵，则为 e A 酉矩阵。 （ ） ） ）
(2) 向 量 ( 3 , 7 在 , 1基 ) 1 ( 1 , 3 , 2 5) , ___________
( 6 , 3 , 2下 ) , 的 坐( 标 3 ,为 1, 0 ) 3
1 1 (3) 若矩阵 A 0 0
1
0 0 1 1 , 则 Im( A) 的维数为___________ 1 3 1 1 3 1 2
《矩阵分析》复习
1 矩阵的基本概念： 秩，迹，特征根，特征向量，逆，广义逆，转置，谱半径 2 矩阵的标准形 相似（对角形，Jordan 标准形） ，正交相似，酉相似（正规矩阵，上三角阵） ， 合同相似（对称矩阵） ，奇异值分解 3 矩阵运算 加，减，乘，除，矩阵的幂，矩阵多项式 3 矩阵的特征多项式，最小多项式 4 向量与矩阵的各种范数及其计算 5 特征根上界的估计，盖氏圆盘定理 5 线性空间的概念，基底，维数，子空间，维数定理，直和 6 线性变换，核，象，维数公式 7 欧氏空间，正交，正交变换，正交基 8 二次型，正定性 9 求对角形，Jordan 标准形 10 向量序列，矩阵序列，求导，积分, 矩阵函数 G—S 过程
1 1 (14) 设 A( ) ,则 A( ) 的史密斯标准型为_____________ 1 1
1 2 (15) 设 A 0 0
0 1 0 0 ,则 det e At _________. 0 1 2 0 2 1 2 0
3 1 1 1 (7) 若 A 0 2 1 ,则 det( A ) _______________. 0 0 2
1 3 (8) 设 A 0 0 0 1 3 0 0 1 ，则 lim Am ______________ m 1 3
a 2 2 a 2
a 3 2 a 3
a 4 a 4
, 3 a 5
0} 2 a 5 0}
的交 V W 一个基，并求相应的标准正交基。
4 6 0 四、 （15 分）已知矩阵 A 3 5 0 ，求： 3 6 1
(1)所用的矩阵 P 及 P1 ，将 A 化为约当标准形 J； (2)矩阵 A 的最小多项式。
下的 ( 1 , 31 , 1 ), ( 1坐 , 标 1 , 为1 )
4 6 0 (3) 若矩阵 A 3 5 0 , 则 R( A) 的维数为___________ 3 6 1
(4) 若矩阵 A 为正交矩阵,其 A (5)
F
_____________.
(4) 若矩阵 A 为 n 阶反厄米特矩阵,其 e A
F
_____________.
(5) 在 R3 中,有两组基：(i) 1 (1,0, 1),2 (2,1,1),3 (1,1,1) (ii) 1 (0,1,1), 2 (1,1,0), 3 (1,2,1) 则第一组基到第二组基的矩阵为__________.
1 0 0 五、 （20 分）设 A 0 0 1 ,求： 8 12 6
(1) A 的约当标准形 J； (2) (3)
e Jt ；
det[cos( At )] 。
自测题三
一、 (20 分)判断正误（对正确的打“√” ，对错误的打“×” ） (1) 设 V 为 n 维线性空间，则任一组 n 1 个向量必线性相关。 （ (2) 方阵 A 与 AT 相似。 （ ） ）
t d 0 ,则 A(t ) _____________ dt 0
et te t (9) 已知 A(t ) sin t t cos t 1 1 t
1 0 (10) 若 A 0 0
1 0 0 1 0 0 ,则矩阵 A 的迹等于_______________. 0 1 1 0 0 1
1 t 1 (12) 矩阵 A t 3 2 正定，则 t 的取值范围为___________ 1 2 5 0 0 0 (13) 设 N 1 0 0 ,则 N 0 1 0
_________
2
1 1 (14) 设 A( ) ,则 A( ) 的史密斯标准型为_____________ 2 1 ( 1)
1 0.5 0.6 1 1.1 0 0.6 0.8 (10) 若 A ,则矩阵 A 盖尔圆为_______________. 0.2 0 2 1 0.3 0.3 2.0 3
(11)若矩阵 A 的初级因子为 ( 1),( 1),( 1)2 ,则 A 的约当标准形为________
1 1 0 五、 （20 分）设 A 0 1 0 ,求： 0 0 2
(1) A 的特征值和特征向量； (2) det(sinAt)； (3)
e At 。
自测题二
一、 判断正误（对正确的打“√” ，对错误的打“×” ）(20 分) (1) 设 V1 V2 为直和，则 V1 V2 一定含有非零元素。 （ ）
自测题一
一、 判断正误（对正确的打“√” ，对错误的打“×” ）(20 分) (1) 不同基底之间的过渡矩阵一定是满秩的。 （ ） (2) 按通常矩阵加法及数与矩阵乘法,全体 n 阶上三角矩阵的集合构成线性空间。 （ ） (3) 正交变换是线性变换，反之亦然。( ) (4) 在初等变换下，多项式矩阵的各阶行列式因子保持不变。 （ ） (5) 矩阵 A 与 B 相似，则它们必有相同的特征多项式和最小多项式。( ) (6) 方阵 A 的的任意两个范数不一定等价。( ) (7) 任何方阵均可酉相似于对角形。( ) (8) 矩阵 A 的每个盖尔圆必含有特征根。 （ ） (9) 若 lim Am 0 （零矩阵） ，则有 ( A) 0 。 （
(2) 对于有限维线性空间而言，其基底不同，所含线性无关元素个数一定相同。 （ ） (3) 正交矩阵的特征根为零或纯虚数。( ) (4) 任意的厄米特矩阵均可酉相似于对角形。 （ ） (5) 矩阵 A 与 B 相似，则它们必有相同的初级因子。( ) (6) 方阵 A 的特征多项式一定等于最小多项式。( ) (7) 任何方阵均可酉相似于对角形。( ) (8) 矩阵 A 的象空间的维数不超过 A 的秩。 （ ） (9) 若 lim Am 0 （零矩阵） ，则有 ( A) 1 。 （
1 1 0 2 0 0 四、 （15 分）已知矩阵 A 4 3 0 的约当标准型为 J 0 1 0 ，求： 1 0 2 0 1 1
(1)所用的矩阵 P 及 P1 ，使得 P 1 AP J ； (2)矩阵 A 的极小多项式。
1 0 2 (6) 若矩阵 A 0 1 1 ，则矩阵 B A3 2 A 2E _______________ 0 1 0
1 1 0 1 (7) 若 A 1 2 0 ,则 det( A ) _______________. 0 0 3
m
）
1 1 (10) 设方阵 A ，则有 A 2 A F 。( ) 0 1
二、 填空（30 分）
a b 0 (2) 线性子空间 W { A | A b a b , a, b, c R} 的维数为___________. 0 b c
(2) 向 量 ( 1 , 2 , 在 的 标 3 )基 1 ( 1 , 0 , 12 ) , ( 1,3 1 ,0 ) , 下 ( 2坐 , 2 ,为 1) ___________
1 0 0 (3) 若矩阵 A 1 0 1 , 则 Ker( A) 的维数为___________ 0 1 0