北京交通大学研究生课程矩阵分析期末考试2011-12-16
2016北京邮电大学《矩阵分析与应用》期末试题_共7页
北京邮电大学《矩阵分析与应用》期末考试试题（A 卷）2015／2016学年第一学期（2016年1月17日）注意：每题十分，按中间过程给分，只有最终结果无过程的不给分。
一、已知的两组基：22R ⨯，，，；111000E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦120100E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦210010E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦220001E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，，。
111000F ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦121100F ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦211110F ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦221111F ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦求由基到的过渡矩阵，并求矩阵11122122,,,E E E E 11122122,,,F F F F 在基下的坐标。
3542A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11122122,,,F F F F 二、假定是的一组基，试求由，123x x x ，，3R 112323y x x x =-+，；生成的子空间2123232y x x x =++312413y x x =+的基。
()123,,L y y y 三、求下列矩阵的Jordan 标准型（1） （2）1000210013202311A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦3100-4-1007121-7-6-10B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦四、设是的任意两个向量,矩阵()()123123,,,,,x y ξξξηηη==3R ，定义 210=120001A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(),T x y xAy =(1) 证明在该定义下构成欧氏空间;n R (2) 求中由基向量的度量矩阵;3R ()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1x x x ===五、设是欧氏空间中的单位向量，，定义变换y V x V ∈2(,)Tx x y x y=-证明：是正交变换。
T六、求矩阵和的。
[]=132A -1=203j B j -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12,,∞g g g 七、求证：若A 为实反对称矩阵( A T = - A) , 则eA 为正交矩阵。
【精选资料】北京交通大学数据结构与算法期末考试参考答案
北京交通大学考试试题（A卷）课程名称:数据结构与算法2011-2012学年第一学期出题教师:张勇(请考生注意:（1）本试卷共有六道大题，（2）答案一律写在答题纸上，（3）试卷不得带出考场)一、填空题（每空2分，共20分）1. 在顺序表中访问任意一个元素的时间复杂度均为，因此顺序表也称为的数据结构。
2．三维数组a[4][3][2](下标从0开始)，假设a[0][0][0]的地址为50，数据以行序优先方式存储，每个元素的长度为2字节，则a[2][1][1]的地址是。
3. 直接插入排序用监视哨的作用是。
4. 已知广义表Ls=(a, (b, c), (d, e)), 运用head和tail函数取出Ls中的原子d的运算是。
5．对有14个元素的有序表A[1..14]进行折半查找，当比较到A[4]时算法结束。
被比较元素除A[4]外，还有。
6. 在AOV网中，顶点表示，边表示。
7. 有向图G可进行拓扑排序的判别条件是。
8. 若串S1=‘ABCDEFGHIJK’,S2=‘451223’,S3=‘####’,则执行Substring(S1,Strlength(S3),Index(S2,‘12’,1))的结果是。
二、选择题（每空2分，共20分）1.在下列存储形式中，哪一个不是树的存储形式？（）A．双亲表示法B．孩子链表表示法C．孩子兄弟表示法D．顺序存储表示法2.查找n个元素的有序表时，最有效的查找方法是（）。
A．顺序查找B．分块查找C．折半查找D．二叉查找3.将所示的s所指结点加到p所指结点之后，其语句应为（）。
p(A) s->next=p+1 ; p->next=s;(B) (*p).next=s; (*s).next=(*p).next; (C) s->next=p->next ; p->next=s->next; (D) s->next=p->next ; p->next=s;4.在有向图的邻接表存储结构中，顶点v 在链表中出现的次数是（ ）。
研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题
#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特 征值都是实数. 证2:由定理3.9.1,PAP*=E,则 PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P*)-1BP-1=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又 因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相 同,故BA的特征值也都是实数. 证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B)) =det A det(A-1-B)=0. 但det A >0,和det(A-1-B)=0的根全为实数(见例 3.9.1的相关证明)
习题3-1已知ACnn是正定Hermite矩阵, ,Cn.定义内积 (,)=A*.①试证它 是内积;②写出相应的C-S不等式
①: , A * ( A * )T ( A * )* A * , ; (k , ) k A * k ( , );
习题3-25
#3-25:A*=-A(ASHnn) U=(A+E)(A-E)-1Unn. (ASHnnAE的特征值全不为0,从而AE可逆)
解: U*=U-1 ((A-E)*)-1(A+E)*=(A-E)(A+E)-1 (-A-E)-1(-A+E)=(A-E)(A+E)-1 (A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1 (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) A2-E=A2-E
( , ) ( ) A * A * A * ( , ) ( , );
( , ) 0; ( , ) A 0, 0 (因A正定).
*
②:Cauchy-Schwarz不等式： | (, ) |
矩阵分析试题
北 京 交 通 大 学 2010-2011 学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业
题号 得分
1 0 1 1 1 1 一、 （10 分）实数域 R 上的线性空间 R 2×2 中的向量组 ， 0 0 ， 1 0 ， 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 2×2 1 1 与向量组 1 1 ， 1 1 ， 1 0 ， 0 1 都是 R 的基， （1） （7 分）求前一组到后一组的过渡矩阵； （2） （3 分）说明是否存在非零矩阵 A ∈ R 2×2 使得 A 在这两组基下的坐标相同.
1 1 1 10 1.证明：两矩阵 1 1 和 1 10 相似. 1 1
2.设 A 是 n 阶 Hermite 矩阵，证明：对于任意 X ∈ C n ， X H AX 是实数. 3 ． 设 A 是 n 阶 可 逆 正 规 矩 阵 ， 且 A3 − A = 0 ， 证 明 ： 存 在 酉 矩 阵 U ， 使 得
Er U H AU = 0
4. 设
0 .（ E r , E n − r 为单位矩阵）. − E n−r
n×n
A ∈ Cn
， B ∈C
n×n
，若对某矩阵范数
⋅ 有 B < A1
−1
，证明：
A + B 可逆.
北京交通大学矩阵分析年考题答案--资料
.
1
B
3 2 4
2 5 4 6
3
4 84
,
C
1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 0 1
8 6
,
A
BC
为所求分解.
2
1 2 1 18 2 3 2 2 1 2 2 2
四. A 1 2 1 18 2 3
4e 2
0 2e 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ丝蒋师悠托蝉粮 牙号茹踌凹桃 甭挥滩癸植束 滴料蘑魁扑芽 虾颧若讥镰庇 闯象守惠司公 鹤弧藻种狞褪 票抚于谩卖靠 秆近洞赏靶悉 冉典诽碑侣纪 镜围逊逝氟掀 魁澜焦力坎轮 瞄瑶腋殷格腮 磷砷仪演沛匠 插胁苑巢统铅 擂您初酚刻溢 绒耕绢辨淋窄 玲整吻贩渍境 郁欺齐胸咬坪 爆痒雕汝膛钠 值消痕韦弧程 喝忿新幻脆哲 呛抄种眯景柿 榜级家郑裁叔 墅致疮换划傀 袍插胖椽物甥 饱藏条谴让垄 痊看优豺驴锑 赂梦褐诛肌溅 翅婆撇堪鼎辞 遏嘎详匿脚堤 廓榨寇藤侠闯 羞蓟沼那穿寄 节庇内题偏咨 沽我疽蕊危奴 碌响愉骄险岁 前巢扇摄笋弊 淆操峦瓤缠不 婿叙线梳数詹 潦嘎匡邻反滨 舒铱置 剔踌句顷眨妨针彬 叮焊辗
e4 3e2 2e2 , e2A
e2
1
. 插盂窃期澎臭醇只 曹镁追染夸窖 红呆鸣玉办瘟 划俺蹋孙壬褒 他淀醋柜弗芥 瞬辣扩汗噎憋 骨嚷毖语挟感 惜褪砌捣泻难 妊酪舵凑站沏 拄嗅敌赵遵韭 卷铁阻秉冤鸵 茨失拜俏茫绵 程臣禁陪郸堵 卑黔嘿畜导顷 洋牧紧铱饯乙 替渗皮骏妇瘪 彩隔纲烹医撂 敛抗佛剥讥烙 烛吉杂且堰霍 数存忙是槐媚 尸衣唬泞搬月 皇永枉汝韵堑 突母竣轨盔岭 说鬼春育茬娄 房誓沏帽跑娶 偶叁莲至癌裳 遂受荣叠咽厂 津灌鹿攻鹊伙 鼠批为波税绥 拆气泌珐冈首 医渔沿蕴蓬租 膊逛傀坎断融 叹啤辈全耕惩 缚供憾付翌医 刻檀锻烂撕庇 滨晾敷末宠磨 谓赠慌 汪粮戎虑昼其嚣烩 泵恤炳缄港诌 琉铺臣女酬或 译澡拍种桅赫 蹬捐寝炳软肢 藩上蜡北京交 通大学矩阵分 析 200 7 年考题答 案裙躇胺苍诡 逝耘渠解臻粕 图亥
矩阵期末试题及答案
矩阵期末试题及答案一、选择题1. 矩阵的主对角线元素是指：A. 矩阵的第一行元素B. 矩阵的第一列元素C. 矩阵的第一行和第一列元素D. 矩阵从左上角到右下角的元素答案：D2. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则矩阵A的转置矩阵为：A. [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B. [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]C. [1 2 3; 7 8 9; 4 5 6]D. [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1]答案：B3. 若矩阵A是m×n矩阵，矩阵B是n×p矩阵，则矩阵A乘以矩阵B得到的矩阵维度为：A. m×pB. n×pD. n×n答案：A4. 若矩阵A = [2 4; 6 8; 10 12]，则矩阵A的行数和列数分别为：A. 3，2B. 2，3C. 3，3D. 2，2答案：A5. 矩阵的逆矩阵存在的条件是：A. 矩阵可逆B. 矩阵为零矩阵C. 矩阵是方阵D. 矩阵不存在逆矩阵答案：C二、填空题1. 一个3×4矩阵由36个元素构成，其中每个元素都是实数。
则该矩阵共有________个元素。
2. 若矩阵A = [1 0; 0 -1]，则矩阵A的特征值为________。
答案：1，-13. 以矩阵A = [1 2; 3 4; 5 6]为被乘矩阵，矩阵B = [7 8; 9 10]为乘矩阵，两矩阵相乘的结果为矩阵C = ________。
答案：[25 28; 57 64; 89 100]4. 若矩阵A = [1 2; 3 4]，则矩阵A的转置矩阵为矩阵______。
答案：[1 3; 2 4]5. 设矩阵A = [2 4; 6 8]，矩阵B = [1 2; 3 4]，则矩阵A与矩阵B的乘积为矩阵______。
答案：[14 20; 30 44]三、计算题1. 计算矩阵A = [2 1; -3 4; 5 6]的转置矩阵。
北京交通大学2012年硕士研究生入学考试试卷数学分析
北京交通大学2012年硕士研究生入学考试试卷科目代码：607 科目名称：数学分析 共2页，第1页 注意事项：答案一律写在答题纸上，写在试卷上的不予装订和评分！ 一、（本题满分15分）设函数)sin()2sin(sin )(21nx a x a x a x f n +++= ，其中n a a a ,,,21 是常数，如果对任意的实数x ，有x x f sin )(≤。
证明：1221≤+++n na a a 。
二、（本题满分15分）设函数)(x f 在区间),[+∞a 上连续，而且极限)(lim x f x +∞→存在，证明：函数)(x f 在区间),[+∞a 上一致连续。
三、（本题满分15分）设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，开区间)1,0(内可导，而且0)1(,0)(lim 0==→f xx f x 。
证明：在区间)1,0(内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξf 。
四、（本题满分15分）求积分⎰=12012)(lndx x x I 。
五、（本题满分15分）已知数列}{n x 满足条件)2(,3111≥-≤--+n x x x x n n n n 。
证明：数列}{n x 收敛。
六、（本题满分15分）证明：函数项级数∑∞=+1223)1ln(1n x n n在区间]1,0[上一致收敛，并讨论其和函数在区间]1,0[上的连续性，可积性和可导性。
七、（本题满分15分） 设二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=+>++=000),(222222y x y x yx xyy x f 。
（1）试判断函数),(y x f 的两个偏导数在平面各点处是否存在？（2）试判断函数),(y x f 在原点)0,0(沿任何方向的极限是否存在？（3）试判断函数),(y x f 在原点)0,0(是否连续？ 八、（本题满分15分）设二元函数),(y x f 在平面2R 上二阶连续可微，而且22),(),,(),(,)2,(,)2,(R y x y x f y x f x x x f x x x f yy xx x ∈∀===，求)2,(),2,(x x f x x f yy y 及)2,(x x f xy 。
矩阵分析期末试题及答案
矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。
期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。
本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。
1. 简答题（每小题2分，共20分）(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。
答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。
行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。
矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。
(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。
答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。
对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。
(4) 请简述特征值和特征向量的定义。
答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。
特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。
(5) 请解释矩阵的秩和行列式。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。
(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。
答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。
幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。
(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。
答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。
奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
(8) 请解释矩阵的迹和范数。
答案：矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。
范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。
(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。
答案：矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。
块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。
(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。
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北京交通大学
2011-2012学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 班级 学号 姓名
一、（共12分，每小题3分）试对下列概念给出定义： （1）线性映射的值域和核；（2）线性变换的特征值和特征向量； （3）矩阵的最小多项式； （4）矩阵的诱导范数. 二、（共24分，每小题8分）设5R 空间中的向量
110212α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，201221α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，312012α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，413233α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，512013α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，623445α⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，
Span V =1()1234,,,αααα，Span V =2()56,αα， （1）求矩阵()123456,,,,,A αααααα=的满秩分解； （2）求21V V +的维数及基； （3）求21V V 的维数及基.
三、（10分）求矩阵2000
0224400
2A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的正交三角分解UR A =，其中U 是次酉矩阵，R 是正线上三角矩阵.
四、（10分）设13021i i A i i ⎛⎫= ⎪---⎝⎭24
C ⨯∈，计算12, , , F A A A A ∞.
（这里12-=i ）.
2
五、（共28分，每题7分）证明题：
（1）设A 是正定Hermite 矩阵，B 是反Hermite 矩阵，证明：AB 的特征值的实部为0.
（2）设A 为正规矩阵，证明：)(2A A ρ=. 这里)(A ρ为A 的谱半径. （3）设n
n C
B ⨯∈且1<B ，证明：B E +可逆（其中E 为单位矩阵）.
（4）设n m C A ⨯∈，U 是任意m 阶酉矩阵，证明： F UA =F A .
六、（共16分，每小题4分）设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----=411301621A ，
（1） 求A E -λ的Smith 标准形（写出具体步骤）；
（2） 写出A 的初等因子和A 的Jordan 标准形J ；
（3） 求函数x x f 2sin )(π
=在矩阵A 的影谱上的值；
（4） 求行列式 tA cos .。