北京交通大学研究生课程矩阵分析期末考试2011-12-16

北京交通大学

2011-2012学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 班级 学号 姓名

一、（共12分，每小题3分）试对下列概念给出定义： （1）线性映射的值域和核；（2）线性变换的特征值和特征向量； （3）矩阵的最小多项式； （4）矩阵的诱导范数. 二、（共24分，每小题8分）设5R 空间中的向量

110212α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，201221α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，312012α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，413233α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，512013α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，623445α⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，

Span V =1()1234,,,αααα，Span V =2()56,αα， （1）求矩阵()123456,,,,,A αααααα=的满秩分解； （2）求21V V +的维数及基； （3）求21V V 的维数及基.

三、（10分）求矩阵2000

0224400

2A ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

的正交三角分解UR A =，其中U 是次酉矩阵，R 是正线上三角矩阵.

四、（10分）设13021i i A i i ⎛⎫= ⎪---⎝⎭24

C ⨯∈，计算12, , , F A A A A ∞.

（这里12-=i ）.

2

五、（共28分，每题7分）证明题：

（1）设A 是正定Hermite 矩阵，B 是反Hermite 矩阵，证明：AB 的特征值的实部为0.

（2）设A 为正规矩阵，证明：)(2A A ρ=. 这里)(A ρ为A 的谱半径. （3）设n

n C

B ⨯∈且1

（4）设n m C A ⨯∈，U 是任意m 阶酉矩阵，证明： F UA =F A .

六、（共16分，每小题4分）设⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-----=411301621A ，

（1） 求A E -λ的Smith 标准形（写出具体步骤）；

（2） 写出A 的初等因子和A 的Jordan 标准形J ；

（3） 求函数x x f 2sin )(π

=在矩阵A 的影谱上的值；

（4） 求行列式 tA cos .