数值分析学期期末考试试题与答案(A)

合集下载

2019-2020数值分析A 答案

-*+ 密封线2019-2020学年第 1学期数值分析（A ）答案一、填空题（每空2分，共10分）1. 模型误差、测量误差、截断误差、舍入误差2. ()010()[,,,],!n n n f f x x x x x n ξξ=K 其中介于、之间。

3. 2n+14. 213123k k k k k x x x x x +++=−+5. 8二简答题（10分）1. 有效数字各有 6位、3位、5位；误差限为0.00005、0.00005、0.5. ……….4分2.112222ππ解：令f(x)=2x-sinx-2,则f(x)在[,]连续,且f()<0,f()>0,且 f'(x)=2-cosx>0,所以有唯一根。

…….3分1*1sin 1.211()sin 12221()|'()|<1,22122|'()|01k x x x x x x x πϕπϕϕπϕ+=+=+≤≤≠建立迭代格式：由于在区间[,]满足，所以，迭代格式对任意初值属于[,]都收敛。

因为，所以阶收敛。

……….6分三、计算题（共20分）1.（10分）注：本题中误差限可以适当放松。

30011223332()()()()()(0)(1)(2)(1)(1)(2)0(1)(10)(11)(12)(01)(01)(02)(1)(0)(2)(1)(0)(1)215(11)(10)(12)(21)(20)(21)21L x l x y l x y l x y l x y x x x x x x x x x x x x x x =+++---+--=??------+--+--+--+??+--+--=+-………………………….5分001001201012301232()()[,]()[,,]()()[,,,]()()()0(1)(1)2(1)(0)(1)(0)(1)1N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+--+---=+--+--+---=+-…………………………10分 2. （10分）令所要求的多项式为1()p x a bx =+，取()()011,x x x ϕϕ==，计算()1000,11dx ϕϕ==⎰，()10101,2xdx ϕϕ==⎰，()121101,3x dx ϕϕ==⎰，()100,x f e dx e ϕ==⎰，()110,e 1x f x dx ϕ==⎰……………………………………………………………….…….5’得法方程组1e 211123a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………….7’解之，得： 4.87, 4.31a b ==−，于是得一次最佳平方逼近多项式为1() 4.87 4.31.p x x =−.………………………………………………………………………….10’四、计算题（共30分）1. （10分）()a(()4()())62bb a a bf x dx f a f f b −+++⎰的辛普森公式：验证代数精度：取f (x ) = 1, 有：左边＝()baf x dx b a =−⎰=右边；取f (x ) = x , 有：左边＝()221()2baf x dx b a =−⎰=右边；……………（4分）取2()f x x = ，有：左边＝()331()3baf x dx b a =−⎰=右边；取3()f x x = ，有：左边＝()441()4baf x dx b a =−⎰= 右边；当4()f x x = ，左边＝()441()4baf x dx b a =−≠⎰右边；…………（8分）故公式对4()f x x =不精确成立，其代数精度为4；…………………………………………（10分）2.（10分）解：{}1max 83,78A ==，（2分）{}max 54,99A ∞==，（4分）111213212223212133100212100=013,100612u u u A LU l u u l l u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………………………（6分）121201,013.3212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦所以，L=U=………………………（10分）3. （10分）由题意可知，()()2014,1,1,,1i m n x x x ϕϕω=====()4000,15i ϕϕ===∑，，()()4201100,,5327i x ϕϕϕϕ====∑，()44110,7277699i x ϕϕ===∑，()()400,271.4i i f f x ϕ===∑，()()4210,369321.5i i f f x x ϕ===∑…………（4分）可得55327271.453277277699369321.5a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得0.050.97a b =⎧⎨=⎩故此多项式为20.050.97y x =+…………………………………………………………（10分） ’五、计算题（10分）方程组的Gauss-Seidel 迭代格式为(1)()()123(1)(1)21(1)(1)31522(1)/3(22)/7k k k k k k k x x x x x x x +++++⎧=++⎪=−+⎨⎪=−⎩(5分) 其迭代矩阵为10221022221300033207044077G B −⎡⎤−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−⎢⎥⎣⎦（8分）其特征方程为32223021260207λλλλλλλ−−=−= 解之得123260,21λλλ===谱半径26()121G B ρ=>，故迭代发散。

数值分析2007第二学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120 分钟学号姓名年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。

（）2. 为了减少误差,进行计算。

（）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

（）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

（）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

（）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有次的代数精度。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+= 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。

数值分析期末试卷A卷

数值分析期末试卷A卷第 1 页共 6 页西北农林科技⼤学本科课程考试试题（卷）2015—2016学年第⼆学期《数值分析》课程A 卷专业班级：命题教师：审题教师：学⽣姓名：学号：考试成绩：⼀、填空题（每空2分，共20分）得分：分1. 设x 1=1.216， x 2=3.654均具有3位有效数字，则x 1+ x 2的误差限为 .2. 近似值x *=0.231关于真值x =0.229有位有效数字.3. 误差有多种来源，数值分析主要研究误差和误差.4. 已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则2次Newton 插值多项式中x 2项前⾯的系数为 .5. 计算积分?15.0d x x , 计算结果取4位有效数字. ⽤梯形公式计算的近似值为，⽤Simpson 公式计算的近似值为 . 其中，梯形公式的代数精度为，Simpson 公式的代数精度为. ( 1.7321≈≈) 6. 假设n n H R ?∈是Householder 矩阵，n v R ∈是⼀个n 维向量，则Hv = .⼆、选择题（每⼩题 2分，共20分）得分：分1. ⽤13x+所产⽣的误差是误差.A. 舍⼊B. 观测C. 模型D. 截断2.1.732≈，计算)41x =，下列⽅法中最好的是 .A.28-B. (24-C. ()2164+D. ()4161 3. 在Newton-Cotes 求积公式中，当Cotes 系数为负值时，求积公式的稳定性不能保证. 因此在实际应⽤中，当时的Newton-Cotes 求积公式不使⽤.第 2 页共 6 页A. 8n ≥B. 7n ≥C. 5n ≥D. 6n ≥4. 解⽅程组Ax =b 的简单迭代格式(1)()k k x Bx g +=+收敛的充要条件是 .A. ()1A ρ<B. ()1B ρ<C. ()1A ρ>D. ()1B ρ>5. 已知⽅程3250x x --=在x =2附近有根，下列迭代格式中在02x =附近不收敛的是 .A. 1k x +=B.1k x +=C.315k kk x x x +=-- D.3122532k k k x x x ++=- 6. 设--=700150322A ，则)(A ρ为． A ． 2 B ． 5 C ． 7 D ． 37. 三点的⾼斯求积公式的代数精度为 .A ． 2B ．5C ． 3D ． 48. ⽤列主元消去法解线性⽅程组??-=+--=-+-=+-134092143321321321x x x x x x x x x ，第1次消元时，选择的主元为 .A.－4B. 3C.4D.－99. 假设cond (A )表⽰⾮奇异矩阵A 的条件数，则下列结论中错误的是 .A.()()1cond A cond A -=B.()(),cond A cond A R λλλ=∈C. ()1cond A ≥D.()1cond A A A -=?10. 设)(x f 可微, 求⽅程)(x f x =的⽜顿迭代格式是 .A. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-B. 1()1()k k k k k x f x x x f x ++=+'+C. 1()()k k k k f x x x f x +=-'D. 1()()k k k k f x x x f x +=+'三、简答题（每⼩题5分，共20分）得分：分1. 什么是数值算法的稳定性？如何判断算法是否稳定？为什么不稳定的算法不能使⽤？2. 埃尔⽶特插值与⼀般函数插值有什么不同？3. 简述⼆分法的优缺点.4. 什么是矩阵的条件数？如何判断线性⽅法组是病态的？第 3 页共 6 页第 4 页共 6 页四、计算题（每⼩题8分，共32分）得分：分1. 已知下列函数表(1) 写出相应的3次(2) 作均差表，写出相应的3次Newton 插值多项式，并计算f (1.5)的近似值。

齐鲁工业大学《数值分析》2018-2019学年期末考试卷A

齐鲁工业大学2018/2019学年第1学期期末考试试卷A（答案一律写在答题纸上，答在试题上无效，试卷附在答卷内交回）课程名称：数值分析年级：共3页一、简答题（本题满分10分）正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm 2解：设正方形的边长为x ，则其面积为2y x =。

由题设知x 的近似值*100x cm =。

记y*为y 的近似值，则()2*(*)*()*2*(*)200(*)x x e y y y x x x x x x x x ='=-=-=-=-又由题意知()()*200*1y x εε≈≤故()1*0.005()200x cm ε<=二、计算题（本题满分10分）用高斯（Gauss ）消去法求解三元线性方程组1231231232464328321x x x x x x x x x ++=-⎧⎪--=⎨⎪-+=-⎩解：由题得增广矩阵为()2312130.7(2)(1.5)21462146432805102032110 3.55821460510200026r r r r r r ⨯-+⨯-+⨯-+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→→计算得方程组的解为()2,2,3Tx =-三、计算题（本题满分10分）用高斯（Gauss ）完全主元素消去法求解方程组123123123521241822106x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩解：由题得增广矩阵为211313312323123321110110321312521121022614118141182210612512102261022621687241100555551124630555r r r r c c r r r c c x x x b x x x b x x x b x x x b -↔↔-↔↔⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦→→→323121463562187055510226241163055595285002020r x x x b +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→计算得方程组的解为()4,3,2Tx =-四、计算题（本题满分15分）用雅可比（Jacobi ）迭代法求解方程组123123123521242022103x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩要求写出其迭代格式，并进行4次迭代计算。

《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。

数值分析期末试题及答案

数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。

2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。

b) 二分法是一种______法则。

c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。

3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。

b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。

c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。

试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。

b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。

2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。

b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。

c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。

3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。

b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。

c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。

答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。

它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。

b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。

迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。

北师大网络教育数值分析期末试卷含答案

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：并估计误差。

（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。

（10分）五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

（10分）六．试用Doolittle 分解法求解方程组：注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦（10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。

数值分析学期期末考试题与答案(A)

期末考试试卷(A 卷)2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120分钟学号姓名年级专业、判断题(每小题分，共分)100011.用计算机求z —100■时，应按照n 从小到大的顺序相加。

n 3n3 .用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

()4 .采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

()5 .用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

()二、填空题(每空 2分，共36分)1 .已知数a 的有效数为0.01 ,则它的绝对误差限为 ,相对误差限为 .10 -11 一0]2 .设 A= 0-2 1 ,x= -5，则| A 1 =, ||^|2 =Ax L =.-1 3 0J3 .已知 f (x) =2x 5 +4x 3—5x,则 f[—1,1,0] =, f[-3,-2,-1,1,2,3] =.13 34 .为使求积公式 f f (x)dx 定A f (———)+ A 2 f (0) + A 3 f (」一)的代数精度尽量局，应使t 3 3A =, A =, A =,此时公式具有次的代数精度。

5 . n 阶方阵A 的谱半径P (A)与它的任意一种范数| A 的关系是.6 .用迭代法解线性方程组以=8时，使迭代公式 X(k41)=MX (k) + N (k=0,1,2,|||)产生的向量序列｛X(k)｝收敛的充分必要条件是 .7 .使用消元法解线性方程组 AX =8时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵 L 和上三角矩2. 为了减少误差，应将表达式 J2001 - J1999改写为22001 ,1999进行计算。

4 -2阵U的乘积，即A = LU .若米用图斯消兀法解AX = B，其中A= 1 ，则一1 2 3 4 1 L = , U = ；若使用克劳特消元法解AX = B ,则u11 =;若使用平方根方法解AX = B，则111与u11的大小关系为 (选填：>, <,=,不一'定)。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

（）2. 为了减少误差,进行计算。

（）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

（）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

（）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

（）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()()(0)33f x dx A f A f A f -≈-++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有次的代数精度。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。

8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题(0)1y x yy '=+⎧⎨=⎩的数值解，其迭代公式为___________________________.三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）1. 以02x =为初值用牛顿迭代法求方程3()310f x x x =--=在区间(1,2)内的根，要求（1）证明用牛顿法解此方程是收敛的；（2）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算12,,x x 计算结果取到小数点后4位）。

2. 给定线性方程组1231231230.40.410.40.820.40.83x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（1）分别写出用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。

3. 已知函数()y f x =在如下节点处的函数值（1）（2）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式2()P x ，并计算(1.1)y 的近似值；（3）采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。

4.5. 已知函数()y f x =在以下节点处的函数值，利用差商表求(3)f '和(3)f ''的近似值。

6. 写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列常微分方程的数值解。

22(01,0.2)(0)0y x y x h y '⎧=+≤≤=⎨=⎩四、（8分）已知n+1个数据点(,)(0,1,2,,)i i x y i n ，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。

期末考试答案及评分标准（A 卷）2007学年第二学期考试科目：数值分析一、判断题：（每小题2分，共10分）1. ×2. √3. ×4. ×5. ×二、填空题：（每空2分，共36分） 1. 0.005或20.510-⨯ ，0.5 2.3. 0,24. 1,0,1,35.()A A ρ≤6. ()1M ρ<7. 1042,,1,10212⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦8. 11()(1)2n n n n n n y y x y x y +=+++++或1 1.5 2.50.5,0,1,2,n n n y x y n +=++=三、解答题（第1～4小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分） 1. （1）证明：3()31f x x x =--，由于a) (1)30,(2)10,f f =-<=> b) 2()330((1,2)),f x x x '=-≠∈c)()60((1,2)),f x x x ''=>∈ 即()f x ''在(1,2)上不变号，d) 对于初值02x =，满足(2)(2)0,f f ''> 所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。

………………………………………4分（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为312()31()33n n n n n n n n f x x x x x x f x x +--=-=-'- ………………………………………2分取初值02x =进行迭代，得1 1.8889,x =………………………………………1分2 1.8795.x =………………………………………1分2. 解：（1）Jacobi 迭代公式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3120.40.410.40.820.40.83k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=--+⎪=--+⎨⎪=--+⎩ ……………………………2分 Gauss-Seidel 迭代公式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3120.40.410.40.820.40.83k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--+⎪=--+⎨⎪=--+⎩……………………………2分（2）Jacobi 迭代矩阵的特征方程为0.40.40.40.800.40.8λλλ=，展开得30.960.2560λλ-+=，即(0.8)(0.40.40λλλ-+++-=，从而得 123-1.0928,0.8000,0.2928λλλ===，（或由单调性易判断必有一个大于1的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以Jacobi 迭代法发散。

……………………………2分Gauss-Seidel 迭代矩阵的特征方程为0.40.40.40.800.40.8λλλλλλ=，展开得2(0.8320.128)0λλλ-+=，解得1230,0.628,0.204,λλλ=≈≈迭代矩阵的谱半径小于1，所以Gauss-Seidel 迭代法收敛。

……………………………2分3. 解：（1）建立差分表………………………………………2分（2）建立牛顿后插公式为2232022********()()()()!!()()()P x x x x x x x x =-----=-----=-+ 则所求近似值为211279(.).P =………………………………………3分（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为1221431112312124()()()()!!()()P x x x x x x x x x =----=----=-++ 则 1211268()(.).P =根据事后误差估计法1222209091()()(.)(.)x R x P P x -⎡⎤≈-⎣⎦+ 故截断误差209112792680047121.(.)(..)..R -≈⨯-≈- ………………………………………3分4. 解：设所求二次最小平方逼近多项式为22012().P x a a x a x =++ 根据已知数据，得01211111002,,11151240a M A a Y a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……………………………2分则4268268,468186M M M Y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥''==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦……………………………1分建立法方程组为0124268268468186a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ……………………………2分解得0123.5, 1.5, 1.5.a a a ===-……………………………1分从而得所求一次最小平方逼近多项式为21() 3.5 1.5 1.5.P x x x =+-……………………………1分5. 解：设2()P x 为已知节点数据的插值二次多项式。

构造如下差商表：……………………………2分因为二次多项式的二阶差商为常数，又2()P x 是()f x 的插值函数，故有225[4,3,3][3,3,3]2P P ==……………………………2分而22[3,3]75[4,3,3]342P P -==-，因此得29[3,3]2P =， ……………………………1分由于1()()![,,,,]k n k f x k P x x x x +≈，从而得293332()[,],f P '==2323335()![,,].f P ''==……………………………2分6. 解：前进欧拉公式：221(,)0.20.2n n n n n n n y y h f x y y x y +=+⋅=++…………1分后退欧拉公式：2211111(,)0.20.2n n n n n n n y y h f x y y x y +++++=+⋅=++ ……1分预估时采用欧拉公式*2210.20.2n n n n y y x y +=++……………………………1分校正时采用后退欧拉公式()22*1110.20.2n n n n y y xy+++=++……………………………1分由初值000002,,.x y h ===知，节点分别为0.2,(1,2,3,4,5)i x i i ==当10.2,x =*2210000.20.20,y y x y =++=()22101102020008*...y y x y=++=，……………………………1分当20.4,x =*2221110.20.20.0160,y y x y =++≈()222122020200401*...y y x y =++≈.……………………………1分当30.6,x =*2232220.20.20.0724,y y x y =++≈()223233020201131*...y y x y =++≈.……………………………1分当40.8,x =*2243330.20.20.1877,y y x y =++≈()224344020202481*...y y x y=++≈.……………………………1分当51.0,x =*2254440.20.20.3884,y y x y =++≈()225455020204783*...y y x y=++≈.四、（8分）答：1、可以建立插值函数：（1）Newton 基本差商公式00100121001110()()()[,]()()[,,]()()()[,,,]n n n P x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x -=+-+--++---……………………………1分（2）Lagrange 插值多项式0011()()()()()n i i n n L x a f x a f x a f x a f x =+++++其中01101101()()()(),(,,,)()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x a i n x x x x x x x x -+-+----==----.……………………………1分这两类插值函数的适用条件是：n 不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。