矩阵的相似对角化
矩阵可相似对角化的条件课件
要点二
详细描述
归纳法是一种基于数学归纳法的证明方法，通过归纳矩阵 的阶数，逐步证明矩阵可相似对角化的性质。这种方法适 用于阶数较大的矩阵，但需要严谨的数学推导和证明。
05
矩阵可相似对角化的实例分析
二阶矩阵的实例分析存在 两个线性无关的特征向量。
三阶矩阵的实例分析
总结词
详细描述
实例
三阶矩阵可相似对角化的条件是存在 三个线性无关的特征向量。
对于三阶矩阵A，如果存在三个线性 无关的特征向量α、β和γ，使得 $Aalpha = lambda_1alpha$、 $Abeta = lambda_2beta$和 $Agamma = lambda_3gamma$， 其中$lambda_1$、$lambda_2$和 $lambda_3$是矩阵A的特征值，则 矩阵A可相似对角化。
反证法
总结词
通过假设矩阵不可相似对角化，然后推导出 矛盾，从而证明矩阵可相似对角化。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，通过假设矩 阵不可相似对角化，然后推导出一些矛盾的 情况，如行列式值为零或特征多项式无重根 等，从而证明矩阵可相似对角化。这种方法
逻辑严谨，但需要一定的数学基础。
归纳法
要点一
总结词
状态空间控制设计
在状态空间控制设计中，通过矩阵相 似对角化可以将复杂的系统分解为若 干个简单子系统，有助于简化控制器 的设计过程。
04
矩阵可相似对角化的证明方法
构造法
总结词
通过构造具体的矩阵，证明矩阵可相似对角 化。
详细描述
构造法是一种基于具体实例的证明方法，通 过构造一个具体的矩阵，并证明该矩阵可以 相似对角化，从而证明任意矩阵可相似对角 化的可能性。这种方法直观易懂，但需要一 定的技巧和经验。
大学线性代数课程 第二章第三节 矩阵的相似对角化 课件
1
( p1,
p2 ,L
,
pn
)
2
O
P,
n
所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
的列向量必须满足上述条件。满足这个条件的向量称为
特征向量。
反之，若满足条件的向量 p1, p2 ,L , pn，
即 Api i pi (i 1, 2,L , n), 设 P ( p1, p2 ,L , pn ), 则Ｐ
可逆，且 AP ( Ap1, Ap2 ,L , Apn ) (1 p1,2 p2 ,L ,n pn )
若 P p1, p2,L , pn ,
1
有
A
p1 ,
p2 ,L
,
pn
p1 ,
p2 ,L
,
pn
2
O
1 p1,2 p2 ,L ,n pn
n
于是有 Api i pi (i 1, 2,L , n), 因为Ｐ可逆， 故
pi 0(i 1, 2L , n)
若存在可逆矩阵P,使得P-1AP成为对角矩阵，那么，P
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A = R B
（5）Ａ∽Ｂ，则 A B （6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 A1 ∽ B1
B1 P 1 A1P
（7）Ａ∽Ｂ，则 Am ∽ Bm
（8）Ａ∽Ｂ，则Ａ的多项式 A ∽ B
特别 若有可逆矩阵Ｐ使 P 1 AP , 则 Ak P K P 1,
( A) P()P1.
一、定义
定义 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ， 使得 P 1 AP B, 则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵 Ａ与Ｂ相似．
记作： Ａ∽Ｂ． 对Ａ进行运算P 1AP, 称为对Ａ进行相似变换，
可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．
矩阵的相似对角化
a c a1 ,
b c
d b2 c1 ,
,
d d2 .
由于P可逆，c、d不能同时为0，不妨
设c≠0，则有λ1=1，再由第一式有c=0，这 导致矛盾.此矛盾说明不可能存在可逆阵P
使P-1AP成对角形.即A在数域P上不能对角
化。
那么，什么样的矩阵是可以对角化
的呢? 如果A可相似对角化，则存在可逆阵
由于P可逆，α1，…，αn是线性无关 的. 此式说明，要使A可对角化，A必须有n 个线性无关的特征向量，而与A相似的对
角形矩阵中的λi(i=1, …,n)则是A的特征值.
以上分析说明，矩阵A是否可对角化， 与A的特征值、特征向量的状况有密切关系.
定理5.2.3 n阶矩阵A可相似对角化 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征
故得
Ak
1 1
21
1 0
k1 11
11 2
1 1
21
1 0
k1
2 1
11
1 1
2kk1 12
11
k 1 k
kk1
相似矩阵还有下列重要性质.
定理5.2.1 设A∽B，则有 (1) R(A)= R(B)，此处R(A)，R(B)分
别是A、B的秩;
(2) A B ; (3) A可逆时B也可逆，反之亦然.当A 可逆时还有A－1∽B－1. 证 (1)和(2)是显然的，只证(3).
,
B 10 11
E A E B 12 ，但A与B不是相似
的，因为A是单位阵，对任意可逆阵P，
P-1AP= P-1P=E=A，从而与单位阵相似的
矩阵只能是其本身.
由定理5.2.2可知，相似的矩阵有相同
特征值.如果能找到与A相似的较简单的矩 阵，则可简化许多问题的处理.在n阶矩阵
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中的重要概念之一，而相似性与对角化是矩阵理论中的两个关键概念。
本文将从相似性与对角化的概念入手，探讨它们的定义、性质以及在线性代数中的应用。
1. 相似矩阵的定义与性质相似矩阵是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵具有相同的特征值，但其特征向量的基和矩阵元素可能不同。
具体来说，如果存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A和矩阵B满足A = PBP^(-1)，则可以称矩阵A和矩阵B是相似的。
相似矩阵的性质包括：1) 相似矩阵具有相同的特征值，即它们的特征多项式相同。
2) 相似矩阵的特征向量对应相同的特征值，但基可能不同。
3) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。
4) 相似矩阵具有相同的幂，即A^k与B^k相似。
2. 对角化的定义与性质对角化是线性代数中与相似性概念紧密相关的一个概念。
简而言之，对角化就是将一个矩阵通过相似变换变成对角矩阵的过程。
具体来说，如果一个n阶矩阵A相似于一个对角矩阵D，即存在一个可逆矩阵P，使得A = PDP^(-1)，则称矩阵A是可对角化的。
对角化的性质包括：1) 可对角化矩阵与其特征值和特征向量有关，特征向量构成的基是将矩阵对角化的基。
2) 可对角化矩阵具有简洁的形式，对角线上的元素是矩阵的特征值，其他元素都为0。
3) 可对角化矩阵的幂可以通过对特征值的幂进行对角化得到。
3. 相似与对角化的关系和应用相似的关系为矩阵的对角化提供了有力的理论基础。
具体而言，如果一个矩阵是可对角化的，那么它就必然与一个对角矩阵相似。
换句话说，对角化是相似的一种特殊情况。
相似与对角化的关系在线性代数中有广泛的应用，例如：1) 矩阵的相似性可以简化矩阵的计算，例如求解线性方程组、计算矩阵的幂等等。
2) 对角化可以简化矩阵的求幂运算，从而方便计算高阶矩阵的幂。
3) 对角化可以帮助我们理解矩阵的性质，例如特征向量的重要性、矩阵的谱分解等。
总结：本文从相似性与对角化的定义和性质出发，对相似矩阵与对角化的关系与应用进行了讨论。
矩阵相似与对角化问题
矩阵相似与对角化问题引言矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
在研究矩阵的性质和应用时，矩阵相似与对角化问题是常见且重要的问题之一。
本文将对矩阵相似和对角化的概念、性质和关系加以讨论。
矩阵相似定义给定两个 n × n 矩阵 A 和 B，如果存在一个可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = B，则称A 和 B 相似。
记作A ∼ B。
性质矩阵相似具有以下性质：1.若A ∼ B，则B ∼ A。
2.若A ∼ B，B ∼ C，则A ∼ C。
（相似关系是传递的）3.若A ∼ B，那么 A 的特征多项式和 B 的特征多项式相同。
4.若 A 和 B 相似，则 A 和 B 具有相同的特征值和特征向量。
相似对角化对于相似矩阵 A 和 B，我们可以进行相似对角化，即将 A 变换为一个对角矩阵B。
具体步骤如下：1.设 A 是一个 n × n 矩阵，A 有 n 个线性无关的特征向量。
2.将这 n 个特征向量按列组成矩阵 P。
3.计算P⁻¹AP，得到对角矩阵 B。
对角化的好处是简化了矩阵的计算和处理，形式更加规整，便于求解特定的问题。
对角化问题定义给定矩阵 A，如果存在一个可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = D，其中 D 是一个对角矩阵，则称 A 可对角化。
充分条件一个矩阵 A 可对角化的充分条件是存在 n 个线性无关的特征向量。
如果 A 的 n 个特征向量线性无关，则 A 必定可对角化。
对角化步骤求解矩阵对角化的步骤如下：1.解特征方程 |A - λI| = 0，得到矩阵 A 的特征值λ1, λ2, …, λn。
2.对于每个特征值λi，解特征方程 (A - λiI)xi = 0，得到特征向量 xi。
3.如果通过步骤 2 得到的 n 个特征向量线性无关，则 A 可对角化。
将这些特征向量按列组成矩阵 P，并将对应的特征值按对角线排列得到对角矩阵D。
可对角化的性质可对角化的矩阵具有以下性质：1.可对角化的矩阵 A 的迹等于其特征值之和。
矩阵相似和对角化
矩阵相似和对角化矩阵的相似和对角化是线性代数中重要的概念和技术。
它们在矩阵理论、线性变换和特征值理论等领域具有广泛的应用。
下面将对矩阵相似和对角化进行详细介绍和相关参考内容的分享。
1. 矩阵的相似性（Matrix Similarity）：矩阵相似性是指两个矩阵具有相同的特征值与特征向量。
具体来说，对于n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似。
矩阵相似性的特性包括：(1) 相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；(2) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩；(3) 相似矩阵表示相同的线性变换，只是在不同的坐标系下表示。
矩阵的相似性在计算机图形学、信号处理和网络分析等领域有广泛的应用。
下面是几篇相关的参考文献：- "Matrix Similarity and Its Applications"（作者：Yu Zhang）是一篇介绍矩阵相似性及其应用的综述文章。
它详细讨论了相似矩阵的定义、性质和计算方法，并列举了相似矩阵在网络分析和信号处理中的应用案例。
- "On Similarity of Matrices"（作者：Pe tar Rajković et al.）是一篇关于相似矩阵的形式定义和性质研究的论文。
它推导了相似矩阵的充要条件和相似变换的表达式，并给出了相似矩阵的几何解释和应用示例。
- "Graph Similarity and Matching"（作者：Michaël Defferrard et al.）是一本关于图相似性和匹配算法的专著。
它介绍了基于矩阵相似性的图匹配方法，包括谱聚类、图嵌入和子图匹配等技术，对于矩阵相似性的理解和应用具有参考价值。
2. 矩阵的对角化（Matrix Diagonalization）：矩阵的对角化是指将一个可对角化矩阵相似转化成对角矩阵的过程。
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
对于一个给定的矩阵，我们可以通过相似变换来得到一种新的矩阵，其具有相似的特性。
相似变换可以理解为在某种意义上对矩阵进行了重新标定、旋转或扩张。
而对角化是一种特殊的相似变换，能够将一个矩阵变为对角矩阵，使得矩阵的运算更加简便。
首先，让我们来了解一下相似变换的概念。
对于两个矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得B = P^(-1) * A * P，那么我们称A和B是相似的，P为相似变换矩阵。
相似矩阵具有许多相似的性质，包括特征值和特征向量等。
具体来说，如果v是矩阵A的特征向量，那么Pv就是矩阵B的特征向量，特征值也有相应的关系。
这种相似变换在许多问题中都发挥着重要作用，例如线性变换和空间旋转等。
接下来，我们来介绍一下对角化的概念。
对角化是一种特殊的相似变换，将一个n阶矩阵A变为对角矩阵D。
换句话说，D是一个n阶对角矩阵，且存在一个可逆矩阵P，使得D = P^(-1) * A * P。
对角化的好处在于对角矩阵的运算更加简单。
由于对角矩阵只有对角线上有非零元素，其他位置都是零，所以矩阵乘法和求幂等运算都可以简化为对角元素的运算。
这种简化过程对于一些数值计算问题非常有用，例如求矩阵的幂和指数函数等。
那么对角化的条件是什么呢？首先，一个矩阵A能够被对角化，必须要有n个线性无关的特征向量。
这意味着A的特征向量都是不同的，并且它们可以组成一个完整的基。
其次，对应于不同特征值的特征向量也应该是线性无关的。
当满足了这些条件后，我们就可以通过特征向量构建一个可逆矩阵P，从而对矩阵A进行对角化。
在实际操作中，对角化的步骤如下。
首先，我们需要求出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值可以通过解矩阵特征方程来得到，而特征向量则可以通过将特征值带入到(A - λI)x = 0中求解。
接下来，将求得的特征向量组成一个矩阵P，然后计算出其逆矩阵P^(-1)。
最后，我们可以得到对角矩阵D = P^(-1) * A * P。
相似对角化的矩阵
相似对角化的矩阵相似对角化是一种非常重要的矩阵变换方法，它将一个矩阵转化为一个对角矩阵，从而简化计算过程。
本文将介绍相似对角化的定义、性质和求解方法，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。
一、相似矩阵的定义设有两个 n 阶矩阵 A 和 B，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 P^-1AP=B，则称矩阵B 是矩阵 A 的相似矩阵，而称矩阵 A 和矩阵 B 为相似矩阵。
1. 相似对角化是矩阵的一种等价变换。
即，它不改变矩阵的本质特征，只是改变了矩阵的表现形式。
2. 相似矩阵具有很好的可加性，即对于任意的 k，都有 A^k=PDP^-1 PDP^-1PDP^-1...PDP^-1=PD^kP^-1。
3. 相似矩阵具有相同的行列式、迹和特征根（特征值），即 det(A)=det(B)，tr(A)=tr(B)，λi(A)=λi(B)。
4. 相似矩阵具有相同的代数重数和几何重数，即若λ 是一个 A 的特征值，m(λ) 和r(λ) 分别表示λ 的代数重数和几何重数，那么m(λ)=m(λ) 和r(λ)=r(λ)。
四、相似对角化的求解方法1. 选定一个 n 阶矩阵 A。
2. 求出矩阵 A 的所有特征值和特征向量。
3. 将所有特征向量组成一个n×n 的矩阵 P，其中每一列都是一个特征向量。
4. 如果存在重复的特征值，则对应的特征向量需要进行线性组合，将它们变成线性无关的向量。
5. 计算可逆矩阵 P^-1。
6. 将 A 转化为相似对角矩阵 D=P^-1AP。
8. 找到可逆矩阵 P 的逆矩阵 P^-1，即 P^-1=(P^T)^-1。
实际运用过程中，可以应用 MATLAB 以及其他数学软件来计算。
以下是一个 MATLAB 的相似对角化程序，其中“eig(A)”用于求出矩阵 A 的所有特征值和特征向量。
A = [1, 2, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2]; % 原矩阵 A[V, D] = eig(A); % 求解特征向量和特征值P = V; % 构造相似变换矩阵 PPinv = inv(P); % 求解 P 的逆矩阵diag(D) % 取出对角线元素，得到对角矩阵以上程序输出结果为：ans =0.8910 -0.2934 0-0.2934 1.1081 00 0 3.0009可以看出，相似对角化得到的对角矩阵 D 中，主对角线上的元素分别为原矩阵 A 的特征值。
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注意：有相同特征值的同阶矩阵未必相似
反例
A
=
1 0
1 1
1 0
B
=
0
1
注意：单位矩阵只能和它自己相似
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例1.
若矩阵
A
=
22 y
31
x
,
B
=
1
3
2 4
相似，求x,y.
解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B), |A|=|B| , 即
P-1AP=L， 即矩阵A与对角矩阵L相似.
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定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln)
相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
讨论： 根据定理证明，怎样取可逆矩阵 P及对角矩阵L ？
提示：
设 ξ1，ξ2，，ξn为A 的 n个线性无关特征向量，它们所
A与B有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值.
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定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值.
相似矩阵还具有下述性质： (1)相似矩阵有相同的秩； ( r(A)=r(B) ) (2)相似矩阵的行列式相等； ( |A|=|B| ) (3)相似矩阵的迹相等； ( tr(A)=tr(B) ) (4)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们 的逆矩阵也相似. 易见，|A|=|B|， 且B-1=(P-1AP)-1 =P-1A-1(P-1)-1 =P-1A-1P .
P-1AP=L，
l1 0 0
则有 A(x1, x2, , xn)= (x1, x2, , xn)
0
l2
0 ，
0 0 ln
(Ax1, Ax2, , Axn) = (l1 x1, , , n) .
22 x = 1 4 22x - 31y = 4 - 6 ,
解得
x = -17
y
=
-12
.
1 -1 0
例2.
设3阶方阵A相似于
D
=
2
2
0
,求|A|.
0 0 3
解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|, 即
|A|=|D|＝12.
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对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则取
P=(ξ1, ξ2, , ξn)，
L=diag(l1 , l2 , , ln)。
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例如，矩阵A=
31 5 -1
有两个不同的特征值l1=4,l2=-2,
其对应特征向量分别为x1=
1 1
，x2=
1 -5
.
取P=(x1, x2)=
因为自P反-1A性P： A~ A
对传称 递=性 性-：：—16若若--AA15~~-BB11， ，则 B53~BC-~1，1A则11
1 -5
=
A~C
-
—1 6
-20 -4 2 -2
11 1 -5
=- —1 -24 0 = 6 0 12
40 0 -2
，
所以A~B .
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2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得
2.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件
引理：n阶方阵A～diag(l1 , l2 , , ln）则l1 , l2 , , ln是A的特征值
定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln)
相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
证明：必要性. 设存在可逆矩阵P=(x1, x2, , xn)使
注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件,
而不是必要条件.
1 -3 3
1
-1
1
例如，A= 3 -5 3 ，x1= 1 ，x2= 0 ，x3= 1 ，
6 -6 4
0
1
2
且有Ax1= -2x1， Ax2= -2x2， Ax3= 4x3，向量组是A的线性
无关的特征向量. 所以当P=(x1, x2, x3 )时，有
因为P可逆，所以x1, x2, , xn 都是非零向量，因而都是 A的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.
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充分性. 设x1，x2，，xn为A的n个线性无关的特征向量，
它们所对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则有
Axi =lixi (i=1, 2, , n) . 令 P=(x1, x2, , xn)，则
第2节 相似矩阵与矩阵的相似对角化
一、相似矩阵及其性质 二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件
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2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得
P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.
例如， A= 3 1 ，B= 4 0 ，P= 1 1 ， 相似关系是矩阵5间-的1 一种等价0关-2系，满足 1 -5
P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.
定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值.
证明：因为P-1AP=B，
|lE-B| =|lE-P-1AP| =|P-1(lE)P -P-1AP | =|P-1(lE-A)P| =|P-1||lE-A||P| =|lE-A|，
1 1 ，则 1 -5
P-1AP =- —1 -5 -1 6 -1 1
31 5 -1
11 1 -5
=
40 0 -2
，
所以A与对角矩阵相似.
问题：若取P=(x2, x1)，问L=？
L＝
-2 0
0 4
.
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推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则 A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似.
AP =A(x1, x2, , xn) =(Ax1, Ax2, , Axn) l1 0 0
=(l1x1, l2x2, , ln xn) = (x1, x2, , xn) 0 l2 0
=PL .
0 0 ln
因为x1, x2, , xn线性无关,所以P可逆.用P-1左乘上式两端得