一般矩阵的相似对角形
矩阵相似于对角矩阵的条件
矩阵相似于对角矩阵的条件
1、对角矩阵：
对角矩阵是指矩阵的非零元素只存在主对角线上，根据主对角线类型的不同，还可以将对角矩阵分为两大类：单位对角矩阵和非单位对角矩阵。
单位对角矩阵非零元素全为1；而非单位对角矩阵的非零元素有不同的系数。
2、相似于对角矩阵的条件：
一个矩阵相似于对角矩阵，就必须满足三个要素：首先，矩阵中每一行和每一列的非零元素只有一个；其次，每一行和每一列上不同的非零元素的值必须不相等；最后，每一行和每一列的不同的非零元素的位置一定是主对角线上的相邻位置，例如，第一行第一列的非零元素，只能是矩阵的第一行第二列的非零元素的相邻位置，或者是第二行第一列的非零元素的相邻位置。
3、相似于对角矩阵的例子：
一个 3×3 的矩阵：
3 4 0
5 0 8
0 9 7
此时，第一行和第一列上都只有一个非零元素 3，而在主对角线上非零元素有两个 4 和 7，并且都是相邻的位置在第一行第二列和第二行第一列，所以这个矩阵就不相似于对角矩阵。
再比如如下矩阵：
1 6 0
4 0 5
0 3 7
第一行和第一列同样只有一个非零元素 1，且主对角线上非零元素有 6 和 7，这两个非零元素在第一行第二列和第二行第一列互为相邻，这个矩阵就相似于对角矩阵。
矩阵可以相似对角化的条件
矩阵可以相似对角化的条件
两个矩阵可以相似对角化的条件如下：
1. 矩阵A和B必须是n×n维的方阵，其中n是矩阵的阶数。
2. 如果矩阵A可以与另一个矩阵P相似对角化，即A = P^(-1) * D * P，其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵（其逆矩阵存在），则这两个矩阵相似对角化。
3. 矩阵B也必须可以与相同的矩阵P相似对角化，即B = P^(-1) * E * P，其中E是对角矩阵。
4. 对角矩阵D和E必须具有相同的特征值，尽管它们的特征向量可以不同。
这意味着矩阵A和B有相同的特征值分布。
总之，两个矩阵A和B可以相似对角化的条件是它们可以通过相同的可逆矩阵P对角化，并且拥有相同的特征值。
相似对角化是一种重要的矩阵分解方法，它可以使复杂的矩阵运算变得更简单，特别是在线性代数和数学中的应用中。
矩阵的相似性与对角化
矩阵的相似性与对⾓化概要介绍相似矩阵、对⾓化以及⼀⼤堆性质.相似矩阵的定义从⼀节中，我们了解到每⼀个可逆矩阵都是⼀个可变换基的矩阵，每⼀个可变换基的矩阵也都是可逆的. 设 B 是向量空间V的⼀组基，T是V上的⼀个线性变换，A=B[T]B, 则T的所有基表⽰的集合是{B1[I]B⋅B[T]B⋅B[I]B1:B1is a basis of V}={S−1AS:S∈M n(F)is invertible}这恰是所有与A的相似的矩阵的集合，说明了相似矩阵正好就是单个线性变换的不同的基表⽰. 于是研究相似性可以看成是研究线性变换固有的性质或者是它们所有的基表⽰共有的性质。
与任何等价关系类似，相似性将集合M n分划成不相交的等价类。
每个等价类是M n中⼀个给定矩阵（这个类的⼀个代表元）相似的所有矩阵组成之集合。
⼀个等价类中所有的矩阵是相似的，不同等价类中的矩阵是不相似的，关键的结论是处于⼀个相似类中的矩阵共同享有许多重要的性质。
相似矩阵的性质相似矩阵有相同的特征多项式 **证明**：计算 \\begin{align\*} p\_B(t)&=\mathrm{det}(tI-B)=\mathrm{det}(tS^{-1}S-S^{-1}AS)=\mathrm{det}(S^{-1}(tI-A)S) \\\\ &=\mathrm{det}\\,S^{-1} \mathrm{det}(tI-A) \mathrm{det}S=( \mathrm{det}\\,S)^{-1}(\mathrm{det}\\,S) \mathrm{det}(tI-A)=\mathrm{det}(tI-A)=p\_{A}(t) \\end{align\*} 基于此有个简单的推论，对相似性来说，有相同的特征值是⼀个必要但⾮充分的条件，⽐如01 00与0000有相同的特征值但不相似。
### 对⾓矩阵的相似性由于对⾓矩阵特别简单且有很好的性质，我们乐于知道何种矩阵与对⾓矩阵相似. **证明**：假设k<n, 且="" n="" 元向量=""x(1)="",=""⋯="",x(k)="" 是线性⽆关的，⼜对每个="" i="1,"⋯,=""k="" 有="" ax(i)="λi x(i)." 设="" λ="diag(λ1,"λk),=""s1=""x(1)=""⋯=""x(k)="",="" 并选取任意⼀个="" s2=""∈=""m n,="" 使得="" s=""s1s2="" 是⾮奇异的.="" 计算="" \\begin{align\*}="" s^{-1}as="" &="S^{-1}"=""ax(1)⋯ax(k)as_2="S^{-1}" \lambda\_1="" x^{(1)}&\cdots&\lambda\_k="" x^{(k)}&as\_2\end{bmatrix}="" \\\\="" s^{-1}="" &s^{-1}as\_2\end{bmatrix}=""e_1=""⋯λ_k=""e_k=""s−1as_2="" \lambda="" c="" 0="" d="" \end{bmatrix},\quad="" \end{bmatrix}="S^{-1}AS\_2" \\end{align\*}="" 反过来，如果="" s="" 是⾮奇异的，s−1as=""且我们给分划=""s1s2,="" 其中="" m_{n,k},=""那么=""s_1=""的列就是线性⽆关的，且=""=""as1as2="AS=S"s1λ=""s1c+s2=""d.=""于是，as_1="S_1\Lambda,"所以=""的每⼀列都是=""a=""的特征向量。
矩阵的特征值与矩阵的相似对角化
当 λ1 = −1 时， 齐次线性方程组为
(A+ E)x = 0
5 − 5 1 −1 系数矩阵 ( A + E ) = → 2 −2 0 0
x1 = x2
1 得基础解系: 令 x2 = 1 得基础解系 p1 = 1
当
λ2 = 2 时， 齐次线性方程组为 ( A − 2 E ) x = 0
例6：已知 阶矩阵 A 的特征值为 ，2，3， ：已知3阶矩阵 的特征值为1， ， ， 能否与对角阵相似？ 设 B = A2 − 3 A + E , 问矩阵 B 能否与对角阵相似？ 解： 方法 方法1 令 f ( x) = x3 − 3 x + 1
B = f ( A) = A 3 − 3 A + E ,
2n =0 0 0 n n 5 + 1 5 − 1 2 2 n n 5 − 1 5 + 1 2 2 0
B n = PAn P −1
例9
x1 + 2x2 + 3x3 = 1, 取何值时， 设x1 + 3x2 + 6x3 = 2, 问λ取何值时， 2x + 3x + 3x = λ, 2 3 1
∴ B 的特征值为 f (1) = −1
f (2) = 3 f (3) = 19
3阶矩阵 B 有3个不同的特征值，所以 B可以对角化。 阶矩阵 个不同的特征值， 可以对角化。 个不同的特征值
方法2： 个不同的特征值， 方法 ：因为矩阵 A 有3个不同的特征值，所以可以对角化， 个不同的特征值 所以可以对角化， 1 即存在可逆矩阵 P , 使得 P − 1 AP = Λ = 2 3 3 −1 −1 ∴ P BP = P ( A − 3 A + E ) P
线性代数 第5.2节 矩阵相似对角化
2 2 得基础解系 p1 1 , p2 0 . 0 1 当 3 7 时，齐次线性方程组为 A 7 E X 0 1 8 2 2 1 0 2 2 5 4 0 1 1 A 7E 0 0 0 2 4 5
求矩阵 A.
22
解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 A 是3 阶方阵。
因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 P 1 AP
1 1 1 其中 P 1 0 2 , 1 1 1
求得 P 1
1 3 1 2 1 6 1 3 0 1 3
A 可以对角化。
当 1 1 时， 齐次线性方程组为
A Ex 0
5 5 1 1 系数矩阵 A E 2 2 0 0
x1 x2
1 令 x2 1 得基础解系: p1 1
25
当
2 2 时， 齐次线性方程组为 A 2 E x 0 2 5 2 5 系数矩阵 A 2 E 2 5 0 0
x1 2 x2
2 得基础解系 p1 1 , 0
0 0. p2 1
当 3 2 时，齐次线性方程组为 A 2 E X 0
6 A 2 E 3 3 6 3 6 0 1 0 0 3 0 0 1 0 1 1 0
可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 1. 由特征值、特征向量反求矩阵 例3：已知方阵 A 的特征值是
1 0, 2 1, 3 3, 1 1 1 1 , 0 , 2 , 相应的特征向量是 1 2 3 1 1 1
线性代数-矩阵的相似对角化
即 y1 0.9 z1 0.1
0.2 0.8
y0 z0
,
矩 阵
第 k 年末城乡人口为
yk zk
0.9 0.1
0.2 0.8
yk 1 zk 1
,
即
yk zk
0.9 0.1
0.2 0.8
k
y0 z0
,
记 A 0.9 0.1
0.2 , 0.8
则有
yk zk
Ak
y0 z0
,
相
其重数分别为 s1, s2 , , sr ;
似 矩
(2) 对每一个特征值 i , 求矩阵 A 特征向量，
阵
并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为 ti ;
(3) 若 ti si , 则 A 不能相似对角化；
(4) 若 ti si (i 1, 2, , r), 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P， 从而有 P 1 AP Λ;
有
y0 z0
a
X1
b
X
2
,
X2
1 3
1 , 1
(线性无关)
故第 k 年末城乡人口为
yk zk
Ak
y0 z0
a Ak X1 b Ak X2
ak1 X1 bk2 X2 a X1 b(0.7)k X 2 ,
y z
a
X
1
1 2a , 3a
y : z 2 :1.
25
§5.2 矩阵的相似对角化
13
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
例
试将矩阵
A
a
a
1
相似对角化。
章
a
相 解 令 | I A| 0 , 得 A 的特征值为 1 a , (三重根)
第二节 矩阵的相似对角化
解之得基础解系
2 0 1 0 , 2 1 . 1 1
同理, 对 3 7,由 A E x 0,
求得基础解系 3 1,2,2
2 0 1 由于 0 1 2 0, 1 1 2
所以 1 , 2 , 3线性无关.
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 AP，而可逆矩阵 P 称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
定理 设f ( )是矩阵A的特征多项式, 则f ( A) O . 证明 只证明A与对角矩阵相似的情形. 若A与对角矩阵相似, 则有可逆矩阵P , 使 1 P AP diag ( 1 ,, n ),
其中 i 为A的特征值, f ( i ) 0. 由A P P 1 , 有 f ( 1) 1 1 f ( A) Pf ( ) P P P f ( n ) PO P 1 O .
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： (1) A与B相似, 则 det( A) det( B );
( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 1与 B 1相似; ( 3) A与B相似, 则kA与kB相似, k为常数;
(4)若A与B相似, 而f ( x )是一多项式, 则f ( A)与 f ( B )相似.
1 若令P 3 , 1 , 2 1 1 2 0 1 则有 P AP 0 1 0 0
相似对角化
相似对角化相似对角化是线性代数中一个重要的概念，用于研究矩阵的性质和结构。
在相似对角化中，我们尝试将一个给定的矩阵通过相似变换转化成对角矩阵的形式，从而简化矩阵的运算和分析。
在研究相似对角化之前，我们先来回顾一下矩阵的基本知识。
矩阵是由数个行和列组成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
矩阵的大小由行数和列数确定，对于一个n×n的矩阵A，我们可以表示为A=(aij)，其中i表示矩阵的行数，j表示列数，aij表示矩阵A第i行第j列的元素。
在矩阵的运算中，我们经常会遇到矩阵的乘法和幂操作。
矩阵的乘法满足结合律和分配律，而矩阵的幂操作是将一个矩阵连乘多次。
矩阵的乘法和幂操作都可以通过相似对角化来简化。
相似对角化的概念是建立在矩阵相似的基础上的。
如果存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A满足以下等式：A=PDP^{-1}其中，D是一个对角矩阵，即对角线上的元素外其他元素都为0。
那么我们称矩阵A可以被相似对角化。
现在让我们来看一下相似对角化的具体步骤。
假设我们有一个n×n的矩阵A，我们的目标是找到一个可逆矩阵P，使得A可以被相似对角化。
第一步，我们需要求得A的特征值和特征向量。
特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，它们满足下列方程：Av=λv其中，v是非零向量，λ是标量。
第二步，我们将特征向量构成一个矩阵P，P的每一列都是一个特征向量。
如果特征值是重复的，那么对应的特征向量可以取多个。
第三步，我们求得P的逆矩阵P^{-1}。
第四步，我们构造对角矩阵D，D的对角线上的元素是A 的特征值，其他元素为0。
第五步，我们可以根据等式A=PDP^{-1}来验证A是否满足相似对角化的条件。
如果等式成立，那么矩阵A可以被相似对角化。
相似对角化在线性代数的很多应用中都起着重要作用。
通过相似对角化，我们可以简化矩阵的运算和分析，并且可以更加深入地了解矩阵的特性和结构。
对于矩阵的乘法、幂操作和求逆等运算，相似对角化都有很大的帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 1 0
P
(1,2
,3 )
1
0
1 ,
2 1 0
1 0 0
P1
AP
0
2
0 .
0 0 3
矩阵相似对角化的步骤：
(i)求出A的所有特征值1,2,, n， 若1,2,, n互异，则A与对角阵相似； 若1,2,, n中互异的为1,2,, m, 每个i的重数 为ri，当r( A iE) n ri时(i 1,2,, m),
设为k重特征值，只要r( A E) n k, 则 ( A E) X O就有k个线性无关的解向量，即A有k个线
性无关的特征向量。
定 理 2：设A的相异特征值为1，2，，m, 其重数分别为
m
r1, r2 ,, rm , ri n, 则 A ~ r( A iE) n ri.
i 1
2
APi iPi, i 1,2,, n.
n
（Pi是否为特征向量？）
(1P1,2P2,, nPn)
P 0 P1, P2,, Pn为非零向量。（且线性无关。）
1, 2,, n是特征值 P1, P2,, Pn是特征向量。
反之设1,2,, n是A的特征值, 对应的特征向量为
P1, P2,, Pn.
练习
2 0 0
A 1 3 1能否与对角阵相似?
1 0 1
1 1,2 2, 3 3 A ~
1 1 1
B
2
4
2
能否与对角阵相似？
1
2
2, 3
6.
3 3 5
当 1 2 2 时
1 1 1 1 1 1
B
2E
2
3
2 3
2
0
3 0
0 0
00 .
二、矩阵相似对角化的方法：
相似对角形
特征值与特征向量 一般矩阵的相似对角化 实对称矩阵的相似对角化
一般矩阵的相似对角化
一、矩阵与对角阵相似的条件：
设A与对角阵相似，存在一个n阶可逆阵P，使 P1AP
1
设P
(P1,
P2
,,
Pn
)，
2
n
P1AP AP P
1
AP ( AP1, AP2,, APn ) = (P1, P2 ,, Pn )
A一定与对角阵相似；否则A不与对角阵相似。
(ii)当A与对角阵相似时，求出A的n个线性无关的特征向 量
1,2 ,,n，并1令P (1,2 ,,n )，则有
P1
AP
2
.
n
练习
1 1 1
B
2
4
2
能否与对角阵相似？并在相似时求可逆
3 3 5
阵P，使P1BP 为对角阵。
思考
仅用矩阵的特征值就可以判定矩阵能否与对角阵 相似，为什么？怎么做？
2 0 0
例：判断A 11
3 0
11能否与对角阵相似，并在相似时求
可逆阵P，使P1AP 为对角阵。
解：
2 0 0
A E 1 3 1 (1 )(2 )(3 )
1 0 1
1 1,2 2, 3 3 A ~
对1 1，求得特征向量为1 (0,1,2)T , 对2 2，求得特征向量为2 (1,0,1)T 对3 3，求得特征向量为3 (0,1,0)T .
推论：若A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似；但反之不对。
思考：矩阵能否与对角阵相似，取决于矩阵能否有n个线性无
关的特征向量。 若矩阵A的特征值互异，则矩阵能与对角阵相似，问题已经解
决；若矩阵A有重特征值，则不能马上断言。这时要看特征向量了。
实际上，只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量就行了。
1
设P
(P1,
P2 ,,
Pn
)，
2
, 则有
n
AP ( AP1, AP2,, APn) (1P1,2P2,, nPn)
1
(P1, P2,, Pn )
2
P
n
由此可得什么结论？
A ~ P可逆 P1, P2,, Pn线性无关。
定理1：n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性 无关的特征向量。