6-2相似矩阵与矩阵的相似对角化资料
矩阵的相似对角化-文档资料
结束
3 1 例如，矩阵A= 有两个不同的特征值l1=4,l2=-2, 5 -1 1 1 其对应特征向量分别为x1= ，x2= . -5 1
1 1 取P=(x1, x2)= ，则 1 -5 P-1AP =-5 -1 1 — 6 -1 1 3 1 5 -1 1 1 4 0 = ， 1 -5 0 -2
所以A与对角矩阵相似.
《线性代数》 返回 下页 结束
2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B. 定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值. 证明：因为P-1AP=B， |lE-B| =|lE-P-1AP| =|P-1(lE)P -P-1AP | =|P-1(lE-A)P| =|P-1||lE-A||P| =|lE-A|， A与B有相同的特征多项式， 所以它们有相同的特征值.
《线性代数》 返回 下页 结束
l1 0 0 0 l2 0
0 0 ln
因为x1, x2, , xn线性无关,所以P可逆.用P-1左乘上式两端得
定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
-2 0 问题：若取P=(x2, x1)，问L=？ L＝ . 0 4
《线性代数》 返回 下页 结束
推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则 A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似.
注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件, 而不是必要条件. 例如，A=
可得 Axi =lixi (i=1, 2, , n) . 因为P可逆，所以x1, x2, , xn 都是非零向量，因而都是
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中的重要概念之一，而相似性与对角化是矩阵理论中的两个关键概念。
本文将从相似性与对角化的概念入手，探讨它们的定义、性质以及在线性代数中的应用。
1. 相似矩阵的定义与性质相似矩阵是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵具有相同的特征值，但其特征向量的基和矩阵元素可能不同。
具体来说，如果存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A和矩阵B满足A = PBP^(-1)，则可以称矩阵A和矩阵B是相似的。
相似矩阵的性质包括：1) 相似矩阵具有相同的特征值，即它们的特征多项式相同。
2) 相似矩阵的特征向量对应相同的特征值，但基可能不同。
3) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。
4) 相似矩阵具有相同的幂，即A^k与B^k相似。
2. 对角化的定义与性质对角化是线性代数中与相似性概念紧密相关的一个概念。
简而言之，对角化就是将一个矩阵通过相似变换变成对角矩阵的过程。
具体来说，如果一个n阶矩阵A相似于一个对角矩阵D，即存在一个可逆矩阵P，使得A = PDP^(-1)，则称矩阵A是可对角化的。
对角化的性质包括：1) 可对角化矩阵与其特征值和特征向量有关，特征向量构成的基是将矩阵对角化的基。
2) 可对角化矩阵具有简洁的形式，对角线上的元素是矩阵的特征值，其他元素都为0。
3) 可对角化矩阵的幂可以通过对特征值的幂进行对角化得到。
3. 相似与对角化的关系和应用相似的关系为矩阵的对角化提供了有力的理论基础。
具体而言，如果一个矩阵是可对角化的，那么它就必然与一个对角矩阵相似。
换句话说，对角化是相似的一种特殊情况。
相似与对角化的关系在线性代数中有广泛的应用，例如：1) 矩阵的相似性可以简化矩阵的计算，例如求解线性方程组、计算矩阵的幂等等。
2) 对角化可以简化矩阵的求幂运算，从而方便计算高阶矩阵的幂。
3) 对角化可以帮助我们理解矩阵的性质，例如特征向量的重要性、矩阵的谱分解等。
总结：本文从相似性与对角化的定义和性质出发，对相似矩阵与对角化的关系与应用进行了讨论。
矩阵相似和对角化
矩阵相似和对角化矩阵的相似和对角化是线性代数中重要的概念和技术。
它们在矩阵理论、线性变换和特征值理论等领域具有广泛的应用。
下面将对矩阵相似和对角化进行详细介绍和相关参考内容的分享。
1. 矩阵的相似性（Matrix Similarity）：矩阵相似性是指两个矩阵具有相同的特征值与特征向量。
具体来说，对于n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似。
矩阵相似性的特性包括：(1) 相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；(2) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩；(3) 相似矩阵表示相同的线性变换，只是在不同的坐标系下表示。
矩阵的相似性在计算机图形学、信号处理和网络分析等领域有广泛的应用。
下面是几篇相关的参考文献：- "Matrix Similarity and Its Applications"（作者：Yu Zhang）是一篇介绍矩阵相似性及其应用的综述文章。
它详细讨论了相似矩阵的定义、性质和计算方法，并列举了相似矩阵在网络分析和信号处理中的应用案例。
- "On Similarity of Matrices"（作者：Pe tar Rajković et al.）是一篇关于相似矩阵的形式定义和性质研究的论文。
它推导了相似矩阵的充要条件和相似变换的表达式，并给出了相似矩阵的几何解释和应用示例。
- "Graph Similarity and Matching"（作者：Michaël Defferrard et al.）是一本关于图相似性和匹配算法的专著。
它介绍了基于矩阵相似性的图匹配方法，包括谱聚类、图嵌入和子图匹配等技术，对于矩阵相似性的理解和应用具有参考价值。
2. 矩阵的对角化（Matrix Diagonalization）：矩阵的对角化是指将一个可对角化矩阵相似转化成对角矩阵的过程。
矩阵的相似性与对角化
矩阵的相似性与对角化矩阵是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
在矩阵的研究中，相似矩阵和对角化是两个关键概念。
本文将探讨矩阵的相似性和对角化，并分析它们在实际问题中的应用。
一、相似矩阵相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
具体而言，设A和B为两个n阶矩阵，若存在一个可逆矩阵P，使得PAP^{-1}=B成立，则称A和B相似，P为相似变换矩阵。
矩阵的相似性可以理解为同一线性变换在不同基下的表示。
相似矩阵保持了线性变换的关键属性，例如特征值和特征向量。
对于相似矩阵，它们之间存在一系列重要性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值。
设A和B为相似矩阵，如果λ是A 的特征值，则B的特征值也是λ。
2. 相似矩阵具有相同的行列式、迹和秩。
3. 相似矩阵具有相同的特征多项式和最小多项式。
相似矩阵的概念对于矩阵的性质分析和计算求解具有重要意义。
我们可以通过相似矩阵的性质来简化矩阵的计算和求解过程。
二、对角化对角化是将一个矩阵变换为对角矩阵的过程。
一个可对角化的矩阵可以表示为D=P^{-1}AP，其中D为对角矩阵，P为相似变换矩阵。
要判断一个矩阵是否可对角化，需要满足两个条件：1. 矩阵A必须有n个线性无关的特征向量，其中n为矩阵的阶数。
换句话说，A的特征向量必须能够张成整个n维空间。
2. 矩阵A的每一个特征向量都对应一个不同的特征值。
符合上述条件的矩阵A称为可对角化矩阵，对角化的好处在于简化矩阵的计算。
对角矩阵具有简单的形式，只有对角线上有非零元素，其余元素都为零。
对角矩阵的求幂、求逆和乘法等运算都非常容易，因此对角化可以极大地简化矩阵的计算过程。
三、相似矩阵和对角化的应用相似矩阵和对角化在数学和工程中有广泛的应用，下面重点介绍其中几个典型的应用领域：1. 工程中的状态空间表示：在控制系统的分析和设计中，矩阵的相似性和对角化被广泛运用。
通过相似变换将系统的状态空间表示转化为对角形式，可以方便地进行系统的特征分析和控制器设计。
相似矩阵与对角化
相似矩阵与对角化矩阵是线性代数中最为重要的概念之一，相似矩阵与对角化是矩阵理论中常被提及的概念。
本文将介绍相似矩阵的定义及性质，以及对角化的概念和相关定理。
1. 相似矩阵相似矩阵是指两个矩阵具有相同特征多项式（即它们的特征值相同），这样的矩阵可以通过线性变换相互转化而得到。
具体来说，设A 和 B 是 n 阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP = B，则我们称矩阵 A 与 B 相似，记作 A ∼ B。
相似矩阵有以下特性：（1）相似关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性都成立。
（2）相似矩阵具有相同的特征多项式和特征值。
（3）如果 A 与 B 相似，则它们的多项式函数也相似。
2. 对角化对角化是一种将矩阵转化为对角矩阵的操作。
对于 n 阶方阵 A，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP = D，其中 D 是一个对角矩阵，则我们称 A 可对角化。
对角化有以下几个重要的定理：（1）一个矩阵可对角化的充分必要条件是它有 n 个线性无关的特征向量。
（2）如果一个矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则 A 是可对角化的。
（3）如果 A 是可对角化的，则 A 的幂Aⁿ 也可以对角化，其中 n是正整数。
（4）如果 A 可对角化，则存在一个对角矩阵 D，使得 A 和 D 相似。
3. 相似矩阵与对角化的联系相似矩阵和对角化之间存在着密切的联系。
具体来说，如果矩阵 A 和 B 相似，则它们可以通过线性变换相互转化，即存在一个可逆矩阵P，使得 P⁻¹AP = B。
而对角化是相似矩阵的一种特殊情况，即当 P 的选择为 A 的 n 个线性无关的特征向量时，A 可以对角化为对角矩阵 D，即 P⁻¹AP = D。
对角化的好处在于简化了矩阵的计算，对于对角矩阵，其乘法和幂运算均非常简单。
此外，对角矩阵还具有很多重要的性质，如行列式等于特征值的乘积，矩阵的迹等于特征值的和，这些性质在实际应用中有着广泛的应用。
矩阵相似对角化
例如，对于矩阵$A = begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}$，其特征值为 $lambda_1 = 1, lambda_2 = 2, lambda_3 = 3$，对 应的特征向量分别为$x_1 = begin{bmatrix} -2 -4 -6 end{bmatrix}, x_2 = begin{bmatrix} -1 -2 -3 end{bmatrix}, x_3 = begin{bmatrix} 1 2 3 end{bmatrix}$。选取可逆矩阵$P = begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 -4 & -2 & 2 -6 & -3 & 3 end{bmatrix}$， 则有$P^{-1}AP = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end{bmatrix}$。
性质
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 特征多项式和特征值。
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 特征子空间和特征向 量。
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 行列式值。
相似矩阵的判定
如果一个矩阵具有n个线性无关 的特征向量，则该矩阵可相似 对角化。
如果一个矩阵的所有特征值都 是单重的，则该矩阵可相似对
矩阵分解
矩阵相似对角化是矩阵分解的一 种形式，可以将一个复杂的矩阵 分解为易于处理的几个部分，如 三角矩阵、对角矩阵等。
线性变换
矩阵相似对角化可以用于研究线 性变换的性质。通过对矩阵进行 相似对角化，可以了解线性变换 在各个方向上的拉伸、压缩、旋 转等效应。
相似矩阵与矩阵的对角化
相似矩阵与矩阵的对角化
用A左乘式（6-11），得 x1Ap1+x2Ap2+…+xk－1Apk－1+xkApk=0 x1λ1p1+x2λ2p2+…+xk－1λk－1pk－1+xkλkpk=0（6-12） 式（6-12）减去式（6-11）的λk倍，得 x1(λ1－λk)p1+x2(λ2－λk)p2+…+xk－1(λk－1－λk)pk－1=0 按归纳法假设p1,p2,…,pk－1线性无关，故xi(λi－ λk)=0(i=1,2,…,k－1).而λi－λk≠0(i=1,2,…,k－1)，于是得 xi=0(i=1,2,…,k－1)，代入式（6-11）得xkpk=0，而pk≠0，得 xk=0.因此，向量组p1,p2,…,pm线性无关. 因此有以下定理：
相似矩阵与矩阵的对角化
解 若用3维向量xi表示第i年后从事这三种职业的人 员总数（单位：万人），则已知
相似矩阵与矩阵的对 角化
相似矩阵与矩阵的对角化
一、 相似矩阵的概念
定义6-5
对n阶方阵A，B，若存在一个n阶可逆矩阵P，使 P－1AP=B
成立，则称矩阵A与B相似或矩阵A相似于B，记作A~B. 矩阵的相似是一种等价关系c，满足以下三个性质： （1）反身性：A与自身相似. （2）对称性：若A与B相似，则B与A相似. （3）传递性：若A与B相似，B与C相似，则A与C相似.
在实际问题中，有时会将问题归结为计算一个 矩阵A的高次幂Ak，一般用矩阵乘积的行乘列法则来 计算矩阵幂是很麻烦的，特别在幂次很大时尤甚.我 们知道，从对角阵的特点可知有如下简单的结论：
相似矩阵与矩阵的对角化
自然想到，当A可对角化时，能否找到一个计算矩 阵的高次幂Ak的简单方法呢？回答是肯定的.事实上，若 A可对角化，则可建立起分解式A=PΛP－1，有
6-2 相似矩阵
B
相似， 或说矩阵 A 与 B 相似， 相似矩阵， 则称 B 是 A 的相似矩阵， 【性质】 若n阶方阵 与 B相似，则A与B的特征多项式相同 性质】 的特征多项式相同. 与 的特征多项式相同 (1)若 阶方阵 阶方阵A与 相似 相似， 相同的行列式,相同的秩 ，相同的特征值,相同的行列式 相同的秩 相同的特征值 相同的行列式
5 + a = 4 + b ∴ − (5a + 3) = −( 4 + 4b ) 6a − 6 = 4b
解得a = 5, b = 6
小结
1、相似矩阵的概念； 、相似矩阵的概念； 2、相似矩阵的性质及推论； 、相似矩阵的性质及推论；
作业 ： 173页习题 页习题6-2 页习题 2
第一节 特征值与特征向量
( x1 , x 2 , L , n )
那么
A ( x1 , x 2 ,L , x n ) =
或
( Ax1, Ax2 ,L, Axn ) = (λ1 x1, λ2 x2 ,L, λn xn )
第二节 相似矩阵
相似矩阵的概念及性质 方阵可对角化的条件及方法 问题与思考
6.2.2节 二（6.2.2节）、 方阵相似对角化问题
【定义6.3 】 若方阵 定义6.3 相似， A 能与一个对角阵 Λ相似，
则称 A 可以相似对角化. 【定理6.3 】 定理6.3 n 阶方阵 可以相似对角化的充要条件是 阶方阵A可以相似对角化的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量 有 个线性无关的特征向量
3 4 A= , 5 2
1 − 1 4 1 P = , Q = − 5 1 − 1 2
−1
1 − 1 3 4 1 − 1 1 9 −1 P AP = 5 2 − 1 2 = 2 4 − 1 2 4 1 3 4 4 1 − 2 −1 Q AQ = 5 2 − 5 1 = 0 − 5 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
r(I
A)
r
k
0 k 1
k 0. 4 2 2
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
当k=0时，
3 2 2
A 0 1
0
4 2 3
对于特征值-1，可求得线性无关的特征向量 1 (1, 2,0) , 2 (1,0, 2) ,
对于特征值1，可求得特征向量
3 (1,0,1) , 1 1 1
令P
注：逆命题不成立。
例如,A
1 0
1 1 与E
1 0
0 1
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
1
D
2
的全部特征值
:
1
,
2
,
,
n
.
n
推论 若n阶方阵A与对角阵D相似，则A的全部特征
值为 1 , 2 , , n .
问题：(1)方阵可对角化的条件 ;
(2)如果方阵 A会对角化 ,即存在可逆矩阵 P 及对角矩阵 D,使得 P 1 AP D, 那么 , 如何求矩阵 P和 D呢 ?
5 3 7
r( A2 ) 2.
故对应与特征值0的线性无关的特征向量只有一个， 所以A2不可对角化。
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例2 k取何值时，矩阵
3 2 2
A k
1
k
4 2 3
相似于对角阵？并在A可对角化时，求可逆阵P，使其
化为对角阵。
解 先求特征值。
3 2 2
I A k 1 k ( 1)2 ( -1） 0
4 2 3 特征值为-1, -1, 1,
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
A可对角化 特征值-1的几何重数为2 对应于特征值-1，有2个线性无关的
特征向量； ( I A)x 0有2个线性无关的解，
即基础解系含2个向量；
3 r( I A) 2;
r( I A) 1;
4 2 2
[1
2
3
]
西安交通大学
二、矩阵可对角化的条件
线性代数与空间解析几何
定理6.2.2 (矩阵可对角化的充要条件)
n阶方阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量.
证 "",设A可对角化 ,即存在可逆矩阵 P使得
1
P 1 AP
2
记为 D
(#)
n
设P按列分块为 P p1 p2 pn
由 P可逆知向量组 p1 , p2 , , pn线性无关 ,
特征值λi 对应ti 个线性无关的特征向量． (2)Ｐ中的列向量 p1, p2 ,, pn的排列顺序要与
1,2 ,,n 的顺序一致．
(3) 因 pi是 (i I A) x 0的基础解系中的解向量， 故 pi的取法不是唯一的，因此P 也是不唯一的．
(4) 又 i I A 0 的根只有n个(重根按重数计算) 所以若不计λi 的排列顺序,对角阵是唯一的.
由(# )式 , 有 AP PD
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
即
1
A p1
p2
pn p1
p2
pn
2
n
或 Ap1 Ap2 Apn 1 p1 2 p2 n pn
即 Api i pi (i 1,2,,n)
因为 pi 0. 1 ,, n为A的特征值 .且p1 , p2 ,, pn
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
第二节 相似矩阵与矩阵的相似对角化
作业 习题6.2（A）P228
5(1),(2),7,14(2),(3),15
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
一、相似矩阵
定义6.2.1(相似矩阵) 设A、B都是n阶方阵， 若有可逆矩阵P,使得
P 1 AP B 则称A相似于B ，或A与B相似，记作A～ B， 对A进行运算 P 1 AP 称为对A进行相似变换， 如果A与一个对角阵相似，则称A可相似对角化， 简称为A可对角化。 注：矩阵的相似关系具有自反、对称及传递性。
A可对角化 k1 k2 km n
k1 k2 km n1 n2 nm ,
由性质6.1.5知 ki ni (i 1, 2,, m), 所以，A可对角化 ki ni (i 1, 2,, m).
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
注 (1) 推论6.2.2也可描述为 n阶矩阵A可相似对角化当且仅当A的每个ti 重
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例1 判别下列矩阵能否对角化？若能，求可逆阵P.
1 1 1 (1) A1 1 1 1
1 1 1
解 A1是上节例2 中的矩阵,求得其特征值为0, 0, 3,
对应特征向量为 1 (1,1,0) , 2 (1,0,1) , 3 (1,1,1) ,
线性无关，所以A1可对角化，
设对应于特征值1,2,,m ,的线性无关特征向量分别为
11 ,12 ,,1k1 , 21 , 22 ,, 2k2
，…，
m1
,m2
,,mkm
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
由性质6.1.4知它们是线性无关的,且是A的特征向量组 的极大无关组. 即A的线性无关的特征向量有且只有 k1 k2 km个。 根据定理6.2.2知
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
定理 6.2.1 设n阶方阵A、B相似，则 P 1 AP B
(1) |A | = | B |; (2) r(A)=r(B);
(3)A与B有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值。 (4)若A与B都可逆，则 A1 B1.
证(3)： | I B | | I P 1AP | | P 1( I A)P | | P 1 | | I A | | P | | I A |
1 1 1
0
令
P 1,
2 ,
3
1
01 ,有来自P1A1P0
.
0 1 1
3
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
4 2 5 (2) A2 6 4 9
5 3 7
4 2 5 I A2 6 4 9
5 3 7
1 2 0, 3 1
( 1) 2 0
1 2 0,
4 2 5 0I A2 A2 6 4 9 ,
依次为对应的特征向量 . 必要性得证
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
推论6.2.1 如果n阶矩阵A有n个不同的特征值， 则矩阵A可相似对角化.
推论6.2.2 n阶矩阵A可相似对角化 A的每个特
征值的几何重数等于它的代数重数.
证明 设矩阵Ａ的不相同的全部特征值为 1, 2 ,, m ,
代数重数分别为 n1 , n2 ,, nm , (n1 n2 nm n); 几何重数分别为 k1 , k2 ,, km .