线性代数 矩阵的相似对角化

§5.2 矩阵的相似对角化 第 三、矩阵相似对角化的方法步骤 五 几点说明 章 (1) P 中的列向量(即特征向量) p1 , p2 , , pn 的排列顺序要与 相 特征值的顺序一致。 似 矩 阵 (2) 因 pi 是 ( A I ) X 0 的基础解系中的解向量，故 pi 的 取法不是唯一的。因此 P 也不是唯一的。
A1
1 25 9 1 1 1 PΛ P 9 33 9 . 24 2 2 6
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§5.2 矩阵的相似对角化 第 例 设任意非零 n 维向量都是 n 阶方阵 A 的特征向量， 五 证明 A 为数量阵。 章 证 (1) 由题意可知： 相 n 维基本向量 e1 , e2 , , en 是 A 的特征向量， 似 矩 令 P (e1 , e2 , , en ) I , 则存在 1 , 2 , , n 使得 阵
P146 推论2
推论 如果 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则矩阵 A 可以
P145 推论1
相似对角化。
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§5.2 矩阵的相似对角化 第 三、矩阵相似对角化的方法步骤 五 章 步骤 (1) 求 n 阶方阵 A 的特征值 1 , 2 , , r , 其重数分别为 s1 , s2 , , sr ; 相 似 (2) 对每一个特征值 i , 求矩阵 A 特征向量， 矩 并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为 t i ; 阵 (3) 若 t i si , 则 A 不能相似对角化； (4) 若 t i si ( i 1, 2, , r ) , 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，
Λ a I,

A P (a I ) P 1 a I , 矛盾！
故矩阵 A 不能相似对角化。 7
§5.2 矩阵的相似对角化 第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 五 1. 问题分析 章 (1) L 如何构成？ 相 所考虑的问题是寻找可逆的 n 阶方阵 P ，使得 似 矩 a1 0 0 0 a 0 记为 阵 2 P 1 A P Λ. 0 0 a n
从而有 P 1 A P Λ;
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§5.2 矩阵的相似对角化 第 三、矩阵相似对角化的方法步骤 五 t si ( i 1, 2, , r ) , 章 步骤 (4) 若 i 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P， 相 从而有 P 1 A P Λ; 似 矩 阵 s1 个 s2 个 其中 Λ sr 个 12
P145 定义 5.3
记为
Λ.
则称 A 可相似对角化 ；
▲
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§5.2 矩阵的相似对角化 第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 五 好处 若存在可逆矩阵 P 使 P 1 A P B , 则 A PBP 1 , 章 (之一) A k P B P 1 P B P 1 P B P 1 P B k P 1 . 相 k 似 矩 a1 阵 a2 , 特别地，若 B Λ a n
由于 a1 , a 2 , , a n 是 L 的 n 个特征值， 而 A 与 L 相似，
因此 a1 , a 2 , , a n 就是 A 的 n 个特征值 . 即
L 的主对角线上的元素由 A 的全部特征值构成。
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§5.2 矩阵的相似对角化 第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 五 1. 问题分析 章 (2) P 如何构成？ 相 1 P ( p , p , , p ) , 设 P AP Λ 有 AP PΛ , 即 则由 1 2 n 似 矩 A ( p1 , p2 , , pn ) ( p1 , p2 , , pn ) Λ , 阵 ( A p1 , A p2 , , A pn ) (a1 p1 , a 2 p2 , , a n pn ) ,
1 1 则 P 可逆，且 P AP 3 Λ, 4
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§5.2 矩阵的相似对角化 第 五 章 相 似 矩 阵 (2) 因此有
A P Λ P 1
1 1 11 1 3 1 1 1 0 1 3 2 2 0 2 0 1 2 4 1 1 1 9 7 3 1 3 1 3; 2 2 2 8
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 . 2100 1 101 2 2 1
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§5.2 矩阵的相似对角化 第 例 设三阶方阵 A 的三个特征值为 1 1, 2 3, 3 4 , 且 五 1 1 1 章 对应的特征向量分别是 X 1 1 , X 2 0 , X 3 1 , 2 1 0 相 1 求矩阵 A 和 A . 似 矩 1 1 1 阵 解 (1) 令 P ( X 1 , X 2 , X 3 ) 1 0 1 , 0 1 2
P144 定理 5.5
(4) 若 A ~ B , 则 r ( A) r ( B) . (5) 若 A ~ B , 则 | A| | B | .
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§5.2 矩阵的相似对角化 第 一、相似矩阵的基本概念与性质 五 1. 相似矩阵的概念 章 2. 相似矩阵的性质 相 似 定理 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征多项式, P144 定理5.5 (3) 矩 从而 A 与 B 有相同的特征值。 阵 证明 因 A 与 B 相似，即存在可逆的矩阵 P 使得 P 1 AP B , 故 | B I | | P 1 A P I | | P 1 A P P 1 I P |
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§5.2 矩阵的相似对角化 第 五 例 将矩阵 章 相似对角化，并求 A100 .
相 解 (1)由 | I A| 0 , 得 A 的特征值为 1 2 , 2 1 , 似 (单根) (重根) 矩 阵 对 1 2 , 取特征向量 X 1 ( 1, 1, 1)T , 对 2 1 , 取特征向量 X 2 ( 2, 1, 0)T , X 3 (0, 0, 1)T ,
2 1 2 0 1 1 . 1 0 , 则 P AP Λ 令P 1 1 1 0 1
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§5.2 矩阵的相似对角化 第 五 例 将矩阵 章 相似对角化，并求 A100 .
相 解 (2)由 P 1 A P Λ , 有 A P ΛP 1 , 似 矩 A100 P Λ100 P 1 阵 100 1 1 2 0 2 2 0 100 1 1 0 1 1 1 0 100 1 0 1 1 1 2 1
k a1 k a2 P 1 . 则 Ak P Λk P 1 P k a n
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§5.2 矩阵的相似对角化
a 1 第 例 A a 1 证明矩阵 五 不能相似对角化。 a 章
相 证 (反证法) 假设存在可逆矩阵 P ，使得 似 a1 Λ, 矩 1 P 1 A P a2 A P Λ P , 阵 a3 由矩阵 A 与 L 相似，故它们有相同的特征值，即得 a1 a2 a3 a ,
§5.2 矩阵的相似对角化 第 五 章 相 似 矩 阵
§5.2 矩阵的相似对角化
一、相似矩阵的基本概念与性质 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 三、矩阵相似对角化的方法步骤
四、矩阵相似对角化的应用
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§5.2 矩阵的相似对角化 第 一、相似矩阵的基本概念与性质 五 1. 相似矩阵的概念 章 定义 对于 n 阶矩阵 A 和 B ， 若存在可逆的 n 阶方阵 P 使得 相 P144 1 P AP B, 似 定义 矩 5.2 则称 A 与 B 相似，或者称 A 相似于 B，记为 A~ B . 阵 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。
| P 1 ( A I ) P | | P 1 | | A I | | P |
| A I | .
即 A 与 B 有相同的特征多项式。 4
§5.2 矩阵的相似对角化 第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 五 章 定义 对于 n 阶矩阵 A，若存在可逆的 n 阶方阵 P， 使得 相 似 矩 阵
1 1 2 2 , , 即 A P 1 AP n n
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§5.2 矩阵的相似对角化 第 例 设任意非零 n 维向量都是 n 阶方阵 A 的特征向量， 五 证明 A 为数量阵。 章 证 (2) 又 n 维向量 (1, 1, , 1)T 也是 A 的特征向量， 相 ~ ~ 似 A , 即 故存在 , 使得 矩 阵 1 1 1 1 1 ~ 2 1 1 n
所以 (3) 由于 | A I | 0 的根只有 n 个(重根按重数计算)， 如果不计特征值的排列顺序，则 Λ 是唯一的。
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§5.2 矩阵的相似对角化
a 第 a 1 例 A 试将矩阵 五 相似对角化。 a 章
相 解 令 | I A| 0 , 得 A 的特征值为 1 a , (三重根) 似 由 ( 1 I A) X 0 , 得 A 的特征向量为 矩 阵 1 0 2 2 X k1 0 k 2 1 , ( k1 k2 0) , 0 0 显然，最多能找到两个线性无关的特征向量， 因此矩阵 A 不能相似对角化。
1 称对 A 所进行的运算 P A P 为对 A 进行相似变换。
注 矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。