线性代数第21讲 相似矩阵

定理 4 设 f ( ) 是矩阵 A 的特征多项式, f ( ) 0.
证 一般的结论证明较困难,在此只证明 A ~ 的
情形. 由 A 与 相似, 则有可逆矩阵P 使得
P 1 AP diag(1,2 , ,n ), 其中 i 为A的特征值, f (i ) 0. 由 A P 1 AP , 有
1 0
,
容易验证 p1 , p2 , p3 线性无关.
P3
0 0. 1
若取
1 2 0
P
(
p1 ,
p2 ,
p3 )
1
1 0
1 0 1
则
P 1
1 1
2 1
0 0
1 2 1
P 1 AP
2 0
0 1
0 0.
0 0 1
注: 本例说明了A 的特征值不全互异时, A 也可能
化为对角矩阵.
注: 1.矩阵的相似关系是一种等价关系,满足:
(1) 反身性 对任意 n 阶矩阵A, A与A相似;
(2) 对称性 若A与B相似, 则B与A相似; (3) 传递性 若A与B相似,B与C相似,则A与C相似.
2.两个常用的运算表达式:
(1) P 1 ABP (P 1 AP )(P 1BP ); (2) P 1(kA lB)P kP 1 AP lP 1BP, 其中 k , l
E A 0.9 0.01 2 1.89 0.890 0
0.1 0.99
1 1, 2 0.89. 1 2 , 故 A 可对角化.
1 1 代入 E Ax 0,
得其对应特征向量为
P
1
1 10
.
2 0.89代入E Ax 0, 得其对应特征向量为P 2 11 .
令 P
A B , 故A与
B 具有相同的可逆性;
若 A 与 B 相似且都可逆,则 非奇异矩阵 P , 使
P 1 AP B, 于是
B 1 ( P 1 AP )1 P 1 A1( P 1 )1 P 1 A1P ,
即 A1 与 B1 相似.
证毕.
例2
A
1 0
10,
B
1 0
11.
容易算出 A与 B 的特征多项式均为( E )2 . 但可
证明 由已知 ,Ax 0 x, B P1 AP, 因此 A PBP 1 ,
于是 PBP 1 x 0 x , 两边左乘 P 1 得
P 1( PBP 1 x) P 1(0 x)
即
B( P 1 x) 0 ( P 1 x)
也就是说 P 1 x 是 B 的 关于 0 的特征向量.
三、矩阵的相似对角化
f
(
A)
Pf
()P
1
P
f
(1 )
P 1
f (n )
POP 1 O .
证毕.
2.利用矩阵对角化求解线性方程组
在某城市有15万具有本科以上学历的人,其中有 1.5万人是教师,据调查,平均每年有10%的人从教师 职业转为其他职业, 又有1%的人从其他职业转为教
师职业,试预测10年以后这15万人中有多少人在从事
因此,当 a 1 时, 矩阵 A 能对角化.
四、矩阵对角化的应用
1. 利用矩阵对角化计算矩阵多项式
设有n 阶矩阵 A 与 B , 若 A 与 B 相似，则 可逆
矩阵 P 使得 A PBP 1
Ak PBk P 1,
A 的多项式
( A) a0An an1 A an E
a0PBn P 1 an1PBP 1 an PEP 1
p1 p2
110
11 ,
有
P 1 AP
1 0
0 0.89
,
A PP 1, A10 P10 P 1,
而
P 1
1 11
1 10
11
1 11
1 10
11
x(10) P10 P 1 x(0)
1 11
110
11
1 0
0 1 0.8910 10
11 113..55
1 11
1 10
11
1 0
0 0.311817
,
P
(
p2 ,
p1 )
1 5
11,
则亦有 P 1 AP 2 , 即 A与 2 相似.
例4
试对矩阵
A
4 3
6 5
0 0
验证定理2的结论.
3 6 1
解 由上节课堂练习2知, 题设矩阵 A 有两个互不相
同的特征值 1 2, 2 3 1.
其对应特征向量分别为:
1
P1
1 1
,
2
P2
教师职业.
解 用x(i)表示 i 年后做教师职业和其他职业的人数,
则
x(0)
113..55, 用矩阵
A
0.90 0.10
00..9091 表示教师职业
和其他职业间的转移, a11 0.90 表示每年有90%的
人原来是教师; a21 0.10 表示每年有10%的人从教
师职业转为Βιβλιοθήκη Baidu他职业.
显然,
例6
设
A
0 1
0 1
1 a ,
问
a
1 0 0
为何值时矩,阵 A能对角化?
0 1
解 | E A | 1 1 a ( 1)2( 1)
1 0
1 1, 2 3 1.
对应单根 1 1, 可求得线性无关的特征向量恰有 1个, 而对应重根2 3 1, 欲使矩阵 A 能对角角
P(a0Bn an1B an E )P 1
P (B)P 1,
特别, 若有可逆矩阵 P 使得 P 1 AP 为对角矩阵, 则 Ak Pk P 1, ( A) P ()P 1,
1k
这里,
k
k2
,
kn
(1 )
()
(2 )
,
(n )
由此可方便地计算矩阵 A 的多项式 ( A) .
相似矩阵
一、相似矩阵的概念 二、相似矩阵的性质 三、矩阵的相似对角化
一、相似矩阵的概念
定义1 设A, B 都是n 阶矩阵,若存在可逆矩阵P, 使 P 1 AP B,
则称 B 是 A 的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似. 对 A 进行 P 1 AP 运算称为对 A 进行相似变换, 可 逆矩阵P 称为把 A变成 B 的相似变换矩阵.
以证明 A与 B 不相似.
事实上, A 是一个单位阵, 对任意的可逆阵 P, 有
P 1 AP P 1EP P 1P E.
因此若 B 与 A 相似, B 也必须是单位阵, 而现在 B
不是单位阵.
所以 A与 B 不相似.
相似矩阵的特征值与特征向量
命题 若 B P 1 AP, 0 是 A 与 B 的某个特征值, 若 x 是 A的关于 0 的特征向量, 则 P 1 x 是 B 的 关于 0 的特征向量.
1
( p1 ,
p2 ,
,
pn
)
2
P
,
n
用 P 1 左乘上式两端得 P 1 AP , 即A 与 相似.
证毕.
推论 若 n 阶矩阵 A有 n 个相异的特征值1, 2 , n ,
1
则 A与对角矩阵 2
相似.
n
注: 定理的推理过程实际上已给出了把方阵对角化
的方法.
例3
试对矩阵
x(1)
Ax ( 0 )
0.90 0.10
00..9091113..55 113..458155
即一年后, 从事教师职业和其他职业的人数分别为
1.485万及13.515万.又
x(2) Ax(1) A2 x(0) , , x(n) Ax(n1) An x(0)
所以 x(10) A10 x(0) , 为计算 A10 先需要把 A 对角化.
向量, 它们对应的特征值为 1,2 , n , 则有 Api i pi (i 1, 2, , n)
令 P ( p1, p2 , , pn ), 易知 P 可逆,且
AP A( p1, p2 , , pn ) ( Ap1, Ap2 , , Apn )
(1 p1, 2 p2 , , n pn )
多项式相同, 从而 A 与 B 特征值亦相同. 证： A 与 B 相似，故 可逆矩阵 P 使得
P 1 AP B,
B E P 1 AP P 1(E )P P 1( A E )P P 1 A E P
A E ,
即 A 与 B 有相同的特征多项式, 从而有相同的特征
值.
如对例1中的矩阵, 由
为任意常数.
例1
设有矩阵
A
3 5
11,
B
4 0
02, 试验证存
在可逆矩阵
P
1 1
15, 使得 A与 B 相似.
证
易见 P 可逆, 且
P 1
5/ 1/
6 6
1/ 1
/66,
由
P 1 AP
5/ 1/
6 6
1/ 1
/66
3 5
11
1 1
1 5
4 0
02 B
故 A 与 B 相似.
二、相似矩阵的性质
定理 1 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征
2.矩阵可对角化的条件
对 n 阶方阵A, 若存在可逆矩阵 P,使 P 1 AP
为对角矩阵，则称方阵 A 可对角化.
定理 3 n 阶矩阵 A可对角化的充要条件是A的每个
特征值中, 线性无关的特征向量的个数恰好等于该
特征值的重数,
或
设
是矩阵
i
A的
ni
重特征值, 则
A 与 相似 r( A i E) n ni (i 1,2, , n)
3 A E
1
4 2 ,
5 1
4 B E
0
4 2 ,
0 2
易见它们有相同的特征值 1 4, 2 2,
相似矩阵的其它性质:
1.相似矩阵的秩相等; 2.相似矩阵的行列式相等; 3.相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时, 则
它们的逆矩阵也相似.
证 设 n阶矩阵 A 与 B 相似
, ini
为
对应的线性无关的特征向量;
i
(3) 上面求出的特征向量
11 , 12 , , 1n1 , 21 , 22 , , 2n2 , s1 , s2 , , sns , 恰好为矩阵 A的 n 个线性无关的特征向量;
(4) 令P (11 ,12 , ,1n1 ,21 ,22 , ,2n2 ,s1 ,s2 , ,sns , )
例如,
A
1 0
0
1 0 0
1 0 0
特征值为1, 0, 0, 对 0, ni 2,
有 r( A 0E) r( A) 1 n ni,
故 A 能对角化.
B
1 0
0
1 0 0
0 1 0
特征值为 1, 0, 0, 对 0, ni
有 r(B 0E) r(B) 2 n
2, ni ,
化, 应有 2 个线性无关的特征向量,即方程组
(E A)x 0
有 2 个线性无关的解,亦即系数矩阵 E A 的秩 r(E A) 1,
E
A
1 1
0 0
1 a
1 0 1
1 0 1 0 0 a 1, 0 0 0
要 r(E A) 1, 得 a 1 0, 即 a 1.
A
3 5
11 验证前述定理2的结论.
解 由本章第二节例1知, 题设矩阵 A有两个互不
相同的特征值 1 4, 2 2,
其对应特征向量分别为: p1 11, p2 15.
如果取
1
4 0
02,
P ( p1, p2 ) 11
15,
则有 P 1 AP 1 , 即 A ~ 1.
如果取
2
2 0
0 4
1.矩阵与对角矩阵相似的条件
定理 2 n 阶矩阵 A与对角矩阵
相似的充分必要条件为矩阵 A
有 n个线性无关的特征向量. 证 必要性 若 A 与 相似,则
1
2
n
可逆矩阵 P 使得 P 1 AP , 设 P p1 , p2 , , pn ,
则由 AP P 得
1
A p1 , p2 , , pn
1
1
2
则
P 1 AP
2
.
s
s
例5
判断矩阵
A
1 2
2 2
2 4
能否化为对角矩阵.
2 4 2
1 2 2
解 |AE| 2 2 4 ( 2)2( 7) 0
2 4 2
1 2 2, 3 7.
将 1 2 2 代入 ( A 1E)x 0, 得方程组
2xx1124xx2224xx33
p1 , p2 , , pn
2
,
n
即 Api i pi (i 1, 2, , n)
P 可逆
P 0,
pi (i 1, 2, , n) 都是非零向量, 故 p1, p2 , , pn都是 A 的特征向量,且它们线性无关. 充分性 设 p1, p2 , , pn 为A 的 n 个线性无关的特征
0 0
2 x1 4 x2 4 x3 0
2
0
基础解系
p1
0, 1
p2
1. 1
同理, 对 3 7, 由 ( A 3E)x 0
基础解系 P3 (1,2,2)T
20 1
由于 0 1 2 0, 所以 p1 , p2 , p3 线性无关.
1 1 2
即 A 有3个线性无关的特征向量因, 而 A 可对角化.
故 B不能对角化.
3.矩阵对角化的步骤
若矩阵可对角化,则可按下列步骤来实现:
(1) 求出A的全部特征值 1,2 , s;
(2) 对每一个特征值 i , 设其重数为 ni 则对应齐次
方程组
(i E A)x 0
的基础解系由 ni 个向量 i1 , i2 , , ini 构成, 即
i1, i2,