线性代数 相似矩阵与二次型
二次型理论发展
数的平方和 丢番图(246-330)
n x2 y2
特殊的二元二次式 费马(1601-1665) 欧拉(1707-1783)
x 2 xy y 2 n
x 2 ay 2 n
一般的二元二次式
拉格朗日(1736-1813) 高斯(1777-1855)
列向量与自身的内积为1，与其他内积为0
[ i , i ] 1, [ i , j ] 0
矩阵A的 特征值
矩阵A的 特征向量
x1 x2 x n
线性变换：向量 = 数× 向量
一个特征向量对应一个特征值； 一个特征值对应一族特征向量
Ax x 0 ( A E ) x 0
4 x1 x2 x3 0
1 4 解得基础解系 p2 1 , 0
1 4 p3 0 1
（k 2 , k3不能同时为零）就是2 3 2对应的特征向量
b2
a2
a , b a , b a , b br ar r 1 b1 r 2 b2 r r 1 br 1 b1 , b1 b2 , b2 br 1 , br 1
施密特正交化
单位化
A为方阵; |A|=1或-1; A-1=AT 且AAT=E
同一个特征值对应一族相差k倍的特征向量
结论1： 特征值不同，特征向量线性无关
证明：（1）因 是 A的特征值，故有 p 0, 使 Ap p.
于是 A ( Ap ) A ( p ) ( Ap) 2 p , 所以 2 是 A 2的特征值
（2）当 A 可逆时，由 Ap p , 有 A 1 Ap A 1 p p A 1 p ,
ax 2 bxy cy 2 n
ax 2 2dxy cy 2 n
a ( x, y ) d d x c y
(n元二次齐次式)
二次型
x 2 2 (ax dy, dx cy ) ax dxy dxy cy y
定理：n阶矩阵A与对角阵相似（即A能对角化）的 充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量
推论:如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等， 则A与对角阵相似
注：若A的特征方程有重根， 当有n个线性无关的特征向量时， 矩阵A仍能对角化
回顾
4 4 p2 1 , p3 0 0 1
因 p 0 , 知 0 , 故 A 1 p 1
p , 所以
1
是 A 1的特征值。
结论2：若是A的特征值，则 k 是Ak 特征值
特征值性质
a11 A E a21
a12 0 a22
a11 a 21
a12 a22 2 (a11 a22 ) (a11a22 a12 a21 ) 0
x1 , x2 , x3一般三元二次型
2 2 a11 x12 a22 x2 a33 x3 b12 x1 x2 b13 x1 x3 b23 x2 x3
故f a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3
2 a21 x2 x1 a22 x2 a23 x2 x3 2 a31 x3 x1 a23 x3 x2 a33 x3
A p
A
A
p.
p , 3 Ap 3 p , 2 Ep 2 p A
( A 3 A 2 E ) p (
3 2 ) p
当 1 1时，特征值为 - 1； 当 2 -1时，特征值为 - 3； 当 3 2时，特征值为 3
线性变换
矩阵A
相似
( 1 )( 2 ) 0
2 (1 2 ) 12 0
1 2 A
1 2 a11 a 22
结论3：特征方程的根与系数关系
例 设3阶方阵A的特征值是1,-1,2，求A 3 A 2 E的特征值
解： 因 Ap p ， A Ap A p A p 故，A p
称f 为对称阵A对应的二次型
f xT Ax
称A为二次型f 对应的矩阵
2 2 例：f x12 2 x2 3 x3 x1 x2 3 x1 x3 4 x2 x3
x12
Байду номын сангаас
1 3 x1 x2 x1 x3 2 2
1 2 x2 x1 2 x2 2 x2 x3 2 3 2 x3 x1 2 x3 x2 3 x3 2
第五章 相似矩阵与二次型
本章内容：
1.向量内积；正交矩阵 2.特征值与特征向量 3.相似矩阵 4.二次型
向量空间（线性空间）
向量组
1 , 2 , , n
（加法和数乘） 向量空间
1 0 0 e1 0 , e2 1 , e3 0 0 0 1
矩阵B
B P 1 AP
定义：设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P满足 P-1AP=B,则称矩阵A与B相似，记为A~B。
相似矩阵定义：P 1 AP B
矩阵相似的性质
A~ B A B
A ~ B R ( A) R ( B )
相似不变量
A ~ B 矩阵A, B的特征值相等
分类
基→正交基→规范正交基
正交化：
b3
a3
b3
b2 a2
a2 , b1 b ; b1 , b1 1 a3 , b1 a3 , b2 b3 a3 b1 b2 b1 , b1 b2 , b2
b1 a1 ;
c32
c31
b2
c3 c 2
a1 b1
对称阵
特征向量不仅线性无关，而且还必存 在一组特征向量相互正交向量长度为1
对称阵相似的充要条件是特征值“完全”相同
东方算术 解决生产生活中的问题 两种思想
线性方程组
没有交集， 直到阿拉伯人 带动东西方
东西方的 文化差异 西方算术
思想交流
探寻数与数之间的规律
二次型（西方算术发展的典范）
二次项 : x 2 , y 2，xy
0
2 1 (2 ) 0 4 3
1 x1 2 1 1 2 1 0 x2 0 0 4 1 3 1 x3
x1 x3 x2 0
1 1 x1 2 2 0 2 2 0 x2 0 4 1 3 2 x3
1.为什么能保证线性无关？ 2.为什么只能保证线性无关
非对称阵
特征值不相同 时相似对角阵 必相似对 角阵
1 A( p1 , p2 , , pn ) ( p1 , p2 , , pn )
矩阵相似对角阵充要条 件是特征向量线性无关
2
n
2 2 1 a1 2 , a2 1, a3 2 1 2 2
三维空间
类比
向量空间
长度与夹角
推广
内积
长度与夹角
将内积推广到n维向量
令
向量的长度
向量之间夹角
两个向量线性关系与几何意义 向量正交：垂直 线性相关：共线 线性无关：不共线
p2与p3线性无关，故矩阵A可以对角化
-1 2 2
P 1 AP
1 4 4 P 0 1 0 1 0 1
例
0 0 1 设A 1 1 x ,问x为何值时，矩阵A能对角化？ 1 0 0
0 解： A E 1 1 1 0 故1 -1, 2 3 1
1 1 2 3 2
1 2 2 2
3 2 2 3
2 2 f ky12 k 2 y2 k 3 y3
k1 0 0
0 k2 0
0 0 k3
二次型 f=xTAx
惟一确定
对称阵A
正交化 相似
？
标准型 f=yTΛy
惟一确定
a11 a21 即 a n1 a12 a1n a11 a22 a2 n a12 an 2 ann a1n a21 an1 1 a22 an 2 0 a2 n ann 0 0 0 1 0 0 1
A ~ B，B ~ C A ~ C
1 1 1 0 判断 与 相似 0 1 0 1
相似标准型：对角阵
1 推论：若 n 阶矩阵 A 与对角阵 则 1 , 2 , , n即是 A 的 n 个特征值。
2
相似， n
i , j 1
a x x
ij i
3
a11 f ( x1 , x2 , x3 ) a21 a 31
a12 a22 a32
对称阵
a13 x1 a23 x2 a33 x3
j
记作f xT Ax
二次型f
惟一确定 惟一确定
对称阵A
关注对称矩阵的对角化
定理：设1 , 2是对称矩阵A的两个特征值，p1 , p2是对应的特征向量， 若1 2，则p1与p2正交
关注对称矩阵的对角化
定理：设A为n阶对称阵，则必有正交阵P， 使P 1 AP P T AP ，其中是以A的n个特征值为对角元的对角阵。
1.对称阵必相似对角阵 2.P为正交阵（不仅正交且长度为1） 3.必有（一定存在，但存在的不一定是）
大学线性代数课件相似矩阵及二次型5.2
由P 1 AP , 得AP P,
1
即 A p1, p2,, pn p1, p2,, pn
2
n
1 p1, 2 p2 ,, n pn .
A p1, p2 ,, pn Ap1, Ap2 ,, Apn
于是有
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2
4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0, 得方程组
2xx1124xx2224xx33
这与至少有一个ai0 j0 0(i0 j0)矛盾, 故A不可 对 角 化.
思考题
判断下列两矩阵A, B是否相似.
1
A
1
1 1
1 1 ,
n
B
1
0 0
0 0 .
1 1 1
1 0 0
思考题解答
解 因 det( A E) (n )( )n1, A的特征值为
1 n, 2 n 0.又A是实对称矩阵, 存在可逆 矩阵P1,使得
2
1 1 ,
0
0
2 0.
1
将3 2代 入A E x 0, 得 方 程 组 的
基 础 解 系 3 1,1,1T .
由 于1 ,2 ,3 线 性 无 关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
考研线性代数第四讲相似矩阵及二次型
a为何值时，A可对角化？
有一个2重特征值，
⑴求a；⑵讨论A可否对角化？ .
第四讲 相似矩阵及二次型
相似与对角化
3. 实对称矩阵的相似对角化 实对称矩阵的性质 ① 实对称矩阵的特征值均为实数，每个 特征值l的重数=n-r(lE-A); ② 属于不同特征值的特征向量正交. 结论 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正 交矩阵Q, 使得 Q –1AQ = = diag(l1, l2, …, ln), 其中l1, l2, …, ln为A的全部特征值, Q = (q1, q2, …, qn)的列向量组是A 的对应于l1, l2, …, ln的标准正交特 征向量.
相似与对角化
三、相似与对角化 1. 相似的定义与性质
设A与B 均为n阶方阵，若存在可逆矩阵P, 使得 P 1AP =B 成立，则称A与B相似，P为把A变成B的相 似变换矩阵.
第四讲 相似矩阵及二次型
相似与对角化
性质 若A与B相似，则 ①对于多项式f(x)， f(A)与f(B)相似. ②方阵A与B的特征值相同. ③|A|=|B|. ④tr(A)= tr(B). ⑤r(A)= r(B). ⑥当P 1AP =B时，是A的特征向量，则P -1 是B的特征向量. ⑦若P 1AP = ，则 =diag[l1, l2, …, ln]，其 中l1, l2, …, ln为A的特征值.
第四讲 相似矩阵及二次型
特征值与特征向量
例10.设 =(1,-1,1)T是3阶矩阵A的特征向量，对应的特 征值为1， A5 4 A3 E ，验证是B的特征向量. B 例11.设1, 2是A的特征向量，特征值l1≠l2,则1, A(1+ 2)线性无关的充要条件是什么.
第四讲 相似矩阵及二次型
线性代数 第五章 相似矩阵与二次型 第1节
就正交。
显然，零向量与任何向量正交。
定义 一组两两正交的非零向量，称为正交向量组。
定理 如果 n 维向量 1, 2 ,..., m 为正交向量组， 则1, 2 ,..., m 线性无关。
证明 设有1，2，m 使11 2 2 ... m m 0
以
T 1
左乘上式两端，得
1
T 1
1
0
因1 0， 故1T1 1 2 0，从而1 0。
1 3 1
4 6
1 2 1
5 3
1 1 ; 1
3
3
[ 3, 1] [1, 1]
1
[ 3, 2] [2, 2 ]
2
4 1 0
1
3
1 2 1
5
3
1 1 1
2 0
2
再把它们单位化，取
e1
1
1
1 6
1 2 , 1
e3
3
3
r1,n , 把1，r ,r1,n 正交规范化
就得到 Rn 的一个正交规范基。
五、正交矩阵与正交变换
定义 若 n 阶方阵A 满足 AT A E (即A1 AT )
则称 A 是正交矩阵。
若记 A 1 2 n ，则 AT A可表示为：
12TT
1
2
n E
T n
即
iT j
1 0
当i 当i
四、施密特正交化方法
把基 1, 2 ,..., n 化成标准正交基的具体步骤：
先正交化：
令
1
，
1
2
2
[ 2 , [1,
1] 1]
1
3
3
2 i 1
[ 3 [i
线代相似矩阵与二次型
1 9 8
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 9
4 9
4 9
9 7 9
9 4
9
9 4
9
9 7
0
0
1
9
所以它是正交矩阵．
例６ 验证矩阵
1
2 1
1 2
1
1
2 1
1 2 1
P
2 1
2
0
2 1 2
0
2 0 1
2 是正交矩阵. 0
1
2 2
解 P的每个列向量都是单位向量,且两两正交,
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x ;
3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
x, y xT y.
内积的运算性质
其中x, y, z为n维向量,为实数: (1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z;
(4)[ x, x] 0,且当x 0时有[x, x] 0.
二、向量的长度及性质
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 , 称 x 为n维向量x的长度 或范数 .
a1 b1
由于b1 b2 ,故c3等于a3分别在b1,b2上的投影
向量c31及 c32之和,即
c3
c31
c32
[a3 ,b1] b1 2
b1
大学线性代数课件相似矩阵及二次型第五章 相似矩阵及二次型
|[, ] | [, ][ , ]
长为 1 的向量称为单位向量.
例1
01，
1
0
2
，
0
1
2
若向量
1
3
x ≠0 ,
则
1 x
x
1 都是3 维单位向量.
3
1
是 单 位 向 量.
3
例 已知
1
2
2
,
3
,
1
1
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
解：
12 22 (1)2 02
1 0 2
所以A的特征值为 1 2,2 3 1
当 1 2解齐次线性方程组 (2E A)x 0 即
3x1 x2 0 4x1 x2 0 x1 0
3 1 0 1 0 0
由
2E
A
4 1
1 0
00
0 0
1 0
0 0
0
得基础解系
p1
10
故对应于 1 2的全体特征向量为 k1 p1(k1 0)
y yT y xT PT Px xT x x
说明经正交变换向量长度保持不变，这是正交变换的优 良特性．
2 方阵的特征值 特征向量
内容分布 一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的性质
基本要求 会求特征值与特征向量
2.1 特征值与特征向量
定义8 设A是n阶方阵，如果数 和n维非零向量x使
量为
k11 k22 kss （k1, ···,ks不同时为0）
例1 求矩阵
A
2 1
解： A的特征方程为
1 2
的特征值和特征向量
2 1
| E A |
第五讲相似矩阵与二次型0823
再如，“|A|=0 ”⑵求法 数字矩阵计算特征多项式f a ) =|A -注I ［行列式］；求特征方程I A —几E | = 0的根几就是A 的特征值［代数方程］;第五讲相似矩阵与二次型矩阵特征值与特征向量问题是线性代数的主要研究对象之一,它综合了矩阵、方程组和向量组的众 多知识点，也是数学一必考大题出处。
本章分三部分：①特征值与特征向量；②相似矩阵与方阵对角化；③二次型正交相似化为标准形。
一、主要内容：［教材：P.139-161］ 1、特征值与特征向量及其求法 (1)概铝，为A 的特征值 /x(x H 0)U ［x 对应于特征值甘勺特征向量(i) 特征向量是非零列向量； (ii) n 阶方阵必有n 个特征值［计重数］; (iii) 对应于某一个特征值扎的特征向量有无穷多个， 但线性无关的特征向量只有 n — r(A —AE)个，且 1 <n — r(A —A E)<k ，其中 k 为特征值Z 的重数; (iv)灵活变换定义式：例如, Ax =)x(x H 0) T A(kx)=几(kx)(x H 0, k H 0), T A 2X = Fx(X H 0) T A -^1X (^0)［当 A 可逆时］， A 1 丄— 1 — —T (P’AP )(P x) = A (P x)(xH0) ［相似矩阵有相同特征值，但未必有相同的特征向量 ］。
又如，“方阵 A 的各行元素之和为常数 k ”可以转换为彳、1=k h■■ 丿 1丿A即“A 有特征值k , 相应的特征向量为□1 1 j ”。
表明“ 0是A 的特征值”。
等等。
对每个特征值入，求线性齐次方程组(A - A E)X = 0的基础解系就是对应与特征值A的线性无关特征向量，其非零线性组合就是对应与特征值A的全部特征向量［线性齐次方程组］。
抽象矩阵利用特征值、特征向量的定义和性质及相似矩阵性质。
2、相似矩阵与方阵对角化(1)概念方阵A与B相似［记为A三B ］ U 存在可逆阵P，使有B = P」AP，其中P称为化A为B的相似变换阵。
线性代数及其应用 第4章 相似矩阵及二次型
2 0 0
2
例1
已知A
0 0
0 1
13
x
1
,
求 x 和R( A) .
解 由于A ，有 A ，可得2 2x ，
即 x 1.
因为 R( A) R()，故R( A) 3 .
二、特征值与特征向量
例子：
设
A
3 1
2
0
,a
1
1
,b
2 1
ห้องสมุดไป่ตู้
则
Aa
3
令 Q P 1
A PBP 1 Q1BQ
所以 B A；
性质1 (3) 传递性：如果 A B, B C ，则 A C.
证明 (3) 若A B, B C，则存在可逆矩阵P、Q
使得 P 1AP B， Q1BQ C.
有
Q1 P1AP Q C，
即
(PQ)1 A(PQ) C
令R PQ , 从而 R1AR C ，故 A C .
求齐次线性方程组( A E)x 0的非零解
1 1 2
例2
求矩阵
A
0 1
2 1
2 0
的特征值和特征
向量.
解 矩阵 A 的特征多项式为
AE 0
1 1 2 A E 0 2 2 ( 1)( 2)
1 1 故 A 的特征值为 1 0,2 1,3 2.
当 1 0 时，求解方程组 Ax 0.由
(4) 若A和 B都是可逆矩阵且 A B ，则 A1 B1 .
性质1 (1) 自反性：A A ; (2) 对称性：如果 A B，则B A；
(3) 传递性：如果 A B, B C ，则 A C.
证明 (1) 由于 E 1AE A ，故 A A; (2) 若A B，那么存在可逆矩阵 P ，使得 P 1AP B，则A PBP 1 ，
第五章 相似矩阵及二次型 线性代数 含答案
第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。
相似矩阵及二次型应用案例
相似矩阵及二次型应用案例相似矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多实际问题中有着广泛的应用。
而二次型又是相似矩阵的一个重要应用之一。
下面将分别介绍相似矩阵和二次型，并举例说明它们的应用。
相似矩阵是指矩阵A和矩阵B满足存在一个可逆矩阵P，使得B=P^{-1}AP。
相似矩阵是一个等价关系，它保持了矩阵的某些重要性质，如特征值和秩。
相似矩阵的应用非常广泛，下面将介绍其中的两个应用案例。
一、图像压缩与相似矩阵在计算机图形学中，图像压缩是一个重要的问题。
通过相似矩阵的应用，可以实现对图像的压缩。
在图像压缩中，可以将图像看作是一个由像素组成的矩阵。
通过找到一个相似矩阵P，可以将原始图像矩阵A变换为一个更简洁的矩阵B，从而实现图像的压缩。
具体来说，可以使用奇异值分解（SVD）来找到相似矩阵P。
奇异值分解将矩阵A分解为A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
通过保留较大的奇异值，可以将矩阵A近似地表示为A_k=U_kΣ_kV_k^T，其中k是一个较小的正整数。
矩阵Ak是对矩阵A的近似，它的秩较低，因此可以更加紧凑地表示原始图像。
通过相似矩阵的应用，可以实现图像的压缩，减少存储空间的占用，并且在一定程度上保持图像的质量。
二、二次型与优化问题二次型是指形如Q(x)=x^TAx的二次函数，其中A是一个实对称矩阵。
二次型在优化问题中有着广泛的应用。
通过相似矩阵的应用，可以将二次型进行标准化，从而更方便地进行优化计算。
具体来说，假设A是一个n阶实对称矩阵，通过相似矩阵的应用，可以将A对角化为一个对角矩阵D=diag(λ1,λ2,...,λn)，其中λi是A的特征值。
假设P是一个可逆矩阵，满足A=PDP^{-1}，则对于任意的非零向量x，有Q(x)=x^TPDP^{-1}x=(Px)^TD(Px)=y^TDy=λ1y_1^2+λ2y_2^2+...+λny_n^2。
其中y=Px。
通过将二次型进行标准化，即通过相似矩阵的变换使得二次型的系数矩阵变为对角矩阵D，可以更方便地进行优化计算。
线性代数课件5-2相似矩阵与二次型
解得x2 2 x1 ,
所以,对应的特征向量可取为p2
1 2 .
2
3对应的全部特征向量为k2
p2
k2
1
2
,
(k2
0).
9
2 1 1
例2
求矩阵A
0
2 0 的特征值和特征向量。
4 1 3
解 特征多项式为 f ( ) A E
2 1 1
2 1
0
2
0
(2 )
4
3
4 1 3
20
于是，得到关于 x1, x2 , , xm 的m个方程 从而，满足下面的方程组：
x1 p1 x2 p2 xm pm 0
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0
1m1
x1
p1
m1 2
x2
p2
m1 m
xm
pm
0
下求该齐次方程组的解
1 1
1
2
1 x1 p1 0
2xx21
x3 x3
,
令x3 1,
基础解系为p1
1 2
1
.
故对应于1 1的全体特征向量为 1
k1 p1
(k1 0).
当2 3 2时, 齐次方程为
1
2
1 2
2 2
1
A
2
2
1 2 2
1 2 2
r3
r1 (1) r2 , r2
2r1
1 0 0
1 x1 0
则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
5.对应特征向量 i的特征值即是 齐次方程( A i E)x 0的解pi .