相似矩阵及二次型
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[l x, y] (l x)T y l xT y l( xT y) l[ x, y]
[ x y, z] ( x y)T z ( xT yT ) z ( xT z) ( yT z) [ x, z] [ y, z]
7
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||．
三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||．
x+y y
y
x
12
向量的正交性
施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y] = || x || ·|| y ||
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
6
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
当 x≠0（零向量） 时， || x || > 0．
齐次性： || l x || = | l | ·|| x || ．
[l x, l x] l[x, l x] l[l x, x] l 2[x, x]
|| l x || [l x,l x] l 2[x, x] | l | [x, x] | l | || x ||
13
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．
定理：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
11
向量的长度
定义：令 || x || [ x, x] x12 x22 L xn2
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）．
当 || x || = 1时，称 x 为单位向量．
向量的长度具有下列性质：
非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， || x || > 0．
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
8
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
4
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]． [ x, y] x1 y1 x2 y2 L xn yn y1 x1 y2 x2 L yn xn [ y, x]
[x, y] 1 || x || || y ||
定义：当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，把
arccos [ x, y]
|| x || || y ||
称为 n 维向量 x 和 y 的夹角．
当 [x, y] = 0，称向量 x 和 y 正交．
y
结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交． x
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． 施瓦兹（Schwarz）不等式
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
9
回顾：线段的长度 [x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
= k1 [a1, a1] + k2 [a1, a2] + … + kr [a1, ar] = k1 [a1, a1] + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2 从而 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关．
14
1
P(x1, x2)
x2
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP | x12 x22 [x, x]
O
x1
P x1
x3
x2 O
若令 x = (x1, x2, x3)T，则 | OP | x12 x22 x32 [ x, x]
10
向量的长度
定义：令 || x || [ x, x] x12 x22 L xn2 0 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0；
1
例：已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
分析：显然a1⊥a2 ．
解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
2
向量的内积
x1
y1
定义：设有
n
维向量
x
x2
,
y
y2
,
M M
xn
yn
令
[ x, y] x1 y1 x2 y2 L xn yn
y1
x1, x2 ,L
,
xn
y2
MБайду номын сангаас
xT
y
yn
则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0．
[ x y, z] ( x y)T z ( xT yT ) z ( xT z) ( yT z) [ x, z] [ y, z]
7
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||．
三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||．
x+y y
y
x
12
向量的正交性
施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y] = || x || ·|| y ||
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
6
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
当 x≠0（零向量） 时， || x || > 0．
齐次性： || l x || = | l | ·|| x || ．
[l x, l x] l[x, l x] l[l x, x] l 2[x, x]
|| l x || [l x,l x] l 2[x, x] | l | [x, x] | l | || x ||
13
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．
定理：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
11
向量的长度
定义：令 || x || [ x, x] x12 x22 L xn2
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）．
当 || x || = 1时，称 x 为单位向量．
向量的长度具有下列性质：
非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， || x || > 0．
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
8
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
4
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]． [ x, y] x1 y1 x2 y2 L xn yn y1 x1 y2 x2 L yn xn [ y, x]
[x, y] 1 || x || || y ||
定义：当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，把
arccos [ x, y]
|| x || || y ||
称为 n 维向量 x 和 y 的夹角．
当 [x, y] = 0，称向量 x 和 y 正交．
y
结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交． x
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． 施瓦兹（Schwarz）不等式
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
9
回顾：线段的长度 [x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
= k1 [a1, a1] + k2 [a1, a2] + … + kr [a1, ar] = k1 [a1, a1] + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2 从而 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关．
14
1
P(x1, x2)
x2
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP | x12 x22 [x, x]
O
x1
P x1
x3
x2 O
若令 x = (x1, x2, x3)T，则 | OP | x12 x22 x32 [ x, x]
10
向量的长度
定义：令 || x || [ x, x] x12 x22 L xn2 0 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0；
1
例：已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
分析：显然a1⊥a2 ．
解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
2
向量的内积
x1
y1
定义：设有
n
维向量
x
x2
,
y
y2
,
M M
xn
yn
令
[ x, y] x1 y1 x2 y2 L xn yn
y1
x1, x2 ,L
,
xn
y2
MБайду номын сангаас
xT
y
yn
则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0．