高一年级数学试卷含答案三角函数程序框图平明几何证明选讲综合卷必修三必修四

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(常考题)人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试题(含答案解析)(3)

一、选择题1．函数()[sin()cos()]f x A x x ωθωθ=+++部分图象如图所示，当[,2]x ππ∈-时()f x 最小值为（）A ．1-B ．2-C ．2-D ．3-2．已知函数()()2sin 3cos ,0,2f x x x x π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（）A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭4．如果角α的终边过点2sin 30,2cos3()0P -，则sin α的值等于（） A ．12B ．12-C ．3D ．35．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（）.A．3-B．12-C．32D．126．函数1 ()11f xx=+-的图象与函数()2sin1(24)g x x xπ=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8 B．6 C．4 D．27．已知函数()()ππ36sin0f x A x A⎛⎫=>⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，则A等于（）．A．1 B．2 C．2.5D．48．若2cos23sin2cos()4θθπθ=-，则sin2θ=（）A．13B．23C．23-D．13-9．已知将向量13,2a⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭绕起点逆时针旋转4π得到向量b，则b=（）A．6262,⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭B．6262,⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭C．2662,⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭D．2626,⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭10．已知sin()cos(2)()cos()tanx xf xx xπππ--=--，则313fπ⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（）A．12B．13C．12-D．13-11．函数()()cosf x A xωϕ=+(其中0A>，0>ω，2πϕ<)的图象如图所示.为了得到()cosg x A xω=-的图象，只需把()y f x=的图象上所有的点（）A．向右平移12π个单位长度B．向右平移512π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度 12．已知tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-，()tan 3αβ+=-，则πtan 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．若1sin 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=____________ 14．若tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= ________．15．已知α是第一象限角，且4tan 3α=，则sin 2α=_______ 16．若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数ϕ=_____；17．若函数()|2cos |f x a x =+的最小正周期为π，则实数a 的值为____. 18．先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移3π个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ=________.19．设α、β都是锐角，且()3cos 5ααβ=+=，则cos β=____________.20．在①a ，②S =2ccos B ，③C =3π这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.问题:在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，b cos A =a cos C +c cos A ，b =1，____________，求c 的值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.三、解答题21．已知()()1sin 2cos 3παπα+--=(2παπ<<)，求：（1）sin cos αα⋅；（2）sin cos αα-.22．已知向量2(cos ,sin )m x a x =，(3,cos )n x =-，函数3()f x m n =⋅-. （1）若1a =，当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若()f x 为偶函数，求方程3()4f x =-在区间[,]-ππ上的解.23．已知函数()2cos cos f x x x x =．（1）求()f x 的最小正周期；（2）函数()f x 的单调递减区间． 24．在①函数()f x 的图象关于点,6b π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ②函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12；③函数()f x 的图象关于直线12x π=对称.这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，再解答这个问题.已知函数()()n 22si f x x b ϕϕπ=⎛⎫ ⎪⎝+<⎭+，若满足条件与.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()y f x =的图象上点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调递减区间. 25．已知函数()()1cos sin cos 2f x x x x =+-．（Ⅰ）若0,2πα<<且1sin 3α=.求()f α；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. 26．已知函数()33sin 22f x x x =.（1）若62A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0A π<<，求A 的值．（2）先将函数()y f x =的图像上所有点向左平移3π个单位，再把所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y g x 的图像，求函数y g x 的单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先结合图像求得()f x 的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间[],2ππ-上的最小值.【详解】由已知()()sin 04f x x πωθω⎛⎫=⋅++> ⎪⎝⎭，由图象可知取A =，52433T πππ=-=，故最小正周期4T π=，所以212T πω==，所以()12sin 24f x x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由55152sin 2sin 0332464f πππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，及图象单调性知，取564ππθπ++=，则46ππθ+=所以()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[],2x ππ∈-，17,2636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ()f x 最小值为()2sin 3f ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：D2．A解析：A 【分析】根据三角恒等变换公式化简()f x ，结合x 的范围，可得选项. 【详解】因为()()2sin ,0,2f x x xx π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以 ()()222sin sin cos +3cos f x x xx x x x +==222cos +12cos 2+22sin 2+26x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72+,666x πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以由2+662x πππ≤≤，解得06x π≤≤，所以()f x 的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A.3．A解析：A 【分析】利用图象可得出()max A f x =，求出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，进而可得出函数()f x 的解析式.【详解】由图象可得()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为2236T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 22Tπω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+，又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22ππϕ-<<，5636πππϕ∴-<+<，32ππϕ∴+=，解得6π=ϕ，因此，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.4．C解析：C 【分析】先计算三角函数值得(1,P ，再根据三角函数的定义sin ,yr rα==可. 【详解】解：由题意得(1,P ，它与原点的距离2r ==，所以sin y r α===. 故选：C.5．C解析：C 【分析】直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒3=. 故选：C.6．A解析：A 【分析】根据函数图象的对称性，可知交点关于对称中心对称，即可求解. 【详解】由函数图象的平移可知，函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称），所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=. 故选：A 【点睛】关键点点睛：由基本初等函数及图象的平移可知1()11f x x=+-与()2sin 1g x x π=+都是关于(1,1)中心对称，因此图象交点也关于(1,1)对称，每组对称点的横坐标之和为2，由图象可知共8个交点，4组对称点.7．B解析：B 【分析】根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是55=，从而解得A 的值. 【详解】解：函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期2263T πππω=== 函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，5=，解得2A =.故选：B. 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ωπ=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．8．B解析：B 【分析】由二倍角公式和差的余弦公式化简得出()2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】)22cos sin 2cos()coscos sinsin 444θθθπππθθθ-=-+()cos sin cos sin 2cos sin 2θθθθθθ+-==-，()2cos sin 2θθθ∴-=，两边平方得()241sin 23sin 2θθ-=，解得sin 22θ=-（舍去）或2sin 23θ=. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin 2θθθ-=，再平方求解.9．C解析：C 【分析】先求出a 与x 轴正方向的夹角为3πθ=，即可得b 与x 轴正方向的夹角为73412πππα=+=，再利用向量坐标的定义即可求解. 【详解】设a 的起点是坐标原点，a 与x 轴正方向的夹角为θ，1a =由13,22a ⎛= ⎝⎭可得2tan 12θ==3πθ=，设b 与x 轴正方向的夹角为α，则73412πππα=+=且1b =因为7sinsin sin cos cos sin 12434343y πππππππ⎛⎫==+=⨯+⨯=⎪⎝⎭7coscos cos cos sin sin 12434343x πππππππ⎛⎫==+=⨯-⨯=⎪⎝⎭故2,44b ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：C.10．C解析：C 【分析】利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可. 【详解】由sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，利用诱导公式得：sin cos ()cos cos tan x xf x x x x==--，所以31311cos cos 103332f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；故选：C.11．B解析：B 【分析】先根据图象求出,,A ωϕ的值即可得()f x 和()g x 的解析式，再利用函数图象的平移变换即可得正确选项. 【详解】由图知：1A =，74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，()()cos 2f x x φ=+，当712x π=时，()()cos 2f x x φ=+有最小值，所以()72212k k Z πϕππ⨯+=+∈，所以()26k k Z πϕπ=-+∈，又因为2πϕ<，所以0,6k πϕ==-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，所以只需要把()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移512π个单位长度得()()5cos 2cos 2cos 2126x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由函数的部分图象求出,,A ωϕ的值，进而求出()f x 和()g x 的解析式，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，由平移变换的规律求解，注意左右平移指一个x 变化多少，此点容易出错，属于中档题.12．A解析：A 【分析】根据两角差的正切公式，由题中条件，直接得出结果. 【详解】因为tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-，()tan 3αβ+=-，则()()()πta tan πtan t n 6an 661tan πtan 6αβααβπβαβαα⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝+--+⎭-123321==-⨯--.故选：A.二、填空题13．【分析】由题意结合诱导公式二倍角余弦公式直接运算即可得解【详解】若则故答案为：解析：12-【分析】由题意结合诱导公式、二倍角余弦公式直接运算即可得解. 【详解】若π1sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2ππ11cos 2sin212sin 122442θθθ⎛⎫⎛⎫+=-=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1sin22θ=-.故答案为：12-. 14．1【分析】把求值式转化为关于的二次齐次分式然后转化为代入求值【详解】∵∴故答案为：1【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数关系在已知求值时对关于的齐次式一般转化为关于的式子再代入值解析：1 【分析】把求值式转化为关于sin ,cos αα的二次齐次分式．然后转化为tan α，代入求值．【详解】 ∵tan 4α=，∴222222cos 4sin cos 14tan 144cos 2sin 21sin cos tan 141ααααααααα+++⨯+====+++．故答案为：1．【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数关系．在已知tan α求值时，对关于sin ,cos αα的齐次式，一般转化为关于tan α的式子．再代入tan α值计算．如一次齐次式：sin cos sin cos a b c d αααα++，二次齐次式：2222sin sin cos cos sin sin cos cos a b c d e f αααααααα++++，另外二次式22sin sin cos cos m n p αααα++也可化为二次齐次式．15．【分析】根据同角三角函数的关系解出根据二倍角公式即可求出【详解】是第一象限角且则解得故答案为：解析：2425【分析】根据同角三角函数的关系解出43sin ,cos 55αα==，根据二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】α是第一象限角，且4tan 3α=，则22sin 4cos 3sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得43sin ,cos 55αα==，∴24sin 22sin cos 25ααα==. 故答案为：2425. 16．【分析】根据函数奇偶性表示出进而可得结果【详解】因为函数为奇函数所以只需又即所以时取最小值故答案为：解析：2π 【分析】根据函数奇偶性，表示出ϕ，进而可得结果. 【详解】因为函数cos()y x ϕ=+为奇函数，所以只需,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕ>，即0,2k k Z ππ+>∈，所以0k =时，ϕ取最小值2π. 故答案为：2π. 17．【分析】利用来求解【详解】因为函数的最小正周期为所以都有成立故则故答案为：解析：0【分析】利用()()f x f x π=+来求解. 【详解】因为函数()f x 的最小正周期为π，所以x R ∀∈，都有()()f x f x π=+成立，故()2cos 2cos 2cos a x a x a x π+=++=-，则0a =. 故答案为：0.18．【分析】由题意利用函数的图象变换规律三角函数的图象的对称性求得的值【详解】先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)可得的图象；再向左平移个单位长度可得函数的图象根据所得函数图象关解析：56π 【分析】由题意利用函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ϕ的值. 【详解】先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得1cos 2y x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位长度，可得函数1cos 26y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象，根据所得函数图象关于y 轴对称，可得6k πϕπ+=，k Z ∈，因为()0,ϕπ∈，所以1k =，56πϕ=. 故答案为：56π. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性是解题关键..19．【分析】由α是锐角求出的值再由β是锐角得出的值将角转化成利用两角和差的余弦公式化简计算并验证即可【详解】因为α是锐角所以因为β是锐角所以又所以所以当时此时即与矛盾舍去当时符合要求故答案为：【点睛】本解析：25【分析】由α是锐角，cos 5α=求出sin α的值，再由β是锐角，()3sin 5αβ+=得出()cos αβ+的值，将β角转化成()αβα+-，利用两角和差的余弦公式化简计算，并验证即可. 【详解】因为α是锐角，cos 5α=，所以sin 5α==，因为β是锐角，所以0αβ<+<π，又()3sin 5αβ+=，所以()4cos 5αβ+==±，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++当()4cos 5αβ+=时， 43cos +55555β=⨯⨯=，此时cos sin βα=，即2παβ+=，与()3sin 5αβ+=矛盾，舍去，当()4cos 5αβ+=-时， 43cos 55β=-=.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正余弦公式以及同角三角函数基本关系，属于中档题，熟练掌无公式并应用是解题的关键.20．答案见解析【分析】利用正弦定理进行边化角得到然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①②或③进行求解即可【详解】在中因为所以根据正弦定理得所以因为所以选择①由余弦定理得解得选择②所以所以解析：答案见解析. 【分析】利用正弦定理进行边化角，得到cos A =，然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①，②或③，进行求解即可【详解】在ABC cos cos cos A a C c A =+，cos sin cos sin cos B A A C C A =+cos sin B A B =，因为sin 0B ≠，所以cos 3A =选择①，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2103c --=，解得c =选择②，1cos sin 22c S B bc A ==，所以cos sin cos()2B A A π==-所以2B A π=-，即2C π=，解得c =选择③，3C π=，因为sin sin()sin cos cos sin 333B A A A πππ=+=+所以由sin sin c b C B=得sin 4sin b Cc B == 【点睛】关键点睛：解题关键在于由正弦定理进行边化角，得到cos 3A =，然后利用三角函数的相关公式进行求解，难度属于中档题三、解答题21．（1）49-；（2. 【分析】（1）用诱导公式化简已知式为1sin cos 3αα+=，已知式平方后可求得sin cos αα；（2）已知式平方后减去4sin cos αα，再考虑到sin cos αα>就可求得sin cos αα-. 【详解】（1）由()()1sin 2cos 3παπα+--=可得1sin cos 3αα+=，所以()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 9αααααααα+=++=+=，所以4sin cos 9αα=-；（2）()()221417sin cos sin cos 4sin cos 4999αααααα⎛⎫-=+-=-⨯-= ⎪⎝⎭，又因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以sin 0cos αα>>，sin cos 0αα->，所以sin cos αα-=. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是熟记诱导公式，以及sin cos αα+，sin cos αα，sin cos αα-之间的联系即()2sin cos 12sin cos αααα+=+，()2sin cos 12sin cos αααα-=-.22．（1）[-；（2）75,1212x ππ=±±. 【分析】（1）将()f x 化为()cos(2)6f x x π=+，然后可得答案；（2）由()f x 为偶函数可求出0a =，然后可得答案.【详解】（1）2()sin cos 2sin 22a f x x a x x x x =-=-当1a =，1()2sin 2cos(2)26f x x x x π=-=+由7[0,],2[,],cos(2)[1,266662x x x πππππ∈∴+∈∴+∈-所以()f x 的值域为[-（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=恒成立2sin 22sin 222a a x x x x +=-成立，整理得sin 20,0a x a =∴=所以由3()24f x x ==-得cos 2x =又752[2,2],,1212x x ππππ∈-∴=±± 23．（1）π；（2）2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式将函数化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由周期公式即可求解.（2）由正弦函数的单调递减区间32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，整体代入即可求解. 【详解】（1）()21cos 21cos cos sin 2262x f x x x x x π+⎛⎫===++ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期222T πππω===，（2）3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解不等式可得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦24．（1）答案见解析；（2）5,,26212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）分别选①②，②③，①③三种情况，根据三角函数的性质，即可求出函数解析式；（2）由（1）的结果根据三角函数的伸缩变换与平移原则，求出()g x ，再根据正弦函数的单调性，即可求出单调递减区间. 【详解】解：（1）选①②因为,6b π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，所以2,,63k k k ππϕπϕπ⎛⎫⨯-+==+∈ ⎪⎝⎭Z 又2πϕ<，所以3πϕ=；因为44x ππ-≤≤，所以52636x πππ-≤+≤，所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 所以()min 1122f x b =-+=，所以1b =；所以()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭选②③因为12x π=为()f x 的一条对称轴，所以2122k ππϕπ⨯+=+，所以,3k k πϕπ=+∈Z ，又2πϕ<，所以3πϕ=，因为44x ππ-≤≤，所以52636x πππ-≤+≤；所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()min 1122f x b =-+=，所以1b =，所以()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；选①③，由前面两种情况，可得，根据对称性只能求得3πϕ=，所以()sin 23f x x b π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）当()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭时，将函数()y f x =的图象上点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得sin 413y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，再将所得图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，所以()sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；当()sin 23f x x b π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭时，同理可得()sin 46g x x b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令3242,262k x k k πππππ+≤-≤+∈Z 解得：5,26212k k x k ππππ+≤≤+∈Z 所以函数()g x 的减区间为5,,26212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】思路点睛：求解三角函数解析式，以及三角函数性质的题目，一般需要根据三角函数的单调性、对称性等，结合题中条件，求出参数，即可得出解析式；求解三角函数性质问题时，一般根据整体代入的方法，结合正余弦函数的性质求解.25．（Ⅰ；（Ⅱ）最小正周期为π．3ππππ88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈.【分析】（Ⅰ）根据1sin 3α=以及α的范围，得到cos α，代入到()f α中，得到答案；（Ⅱ）对()f x 进行整理化简，得到()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间. 【详解】（Ⅰ）解：因为π02α<<.且1sin 3α=.所以cos 3α==．故()()17cos sin cos 218f αααα=+-=．（Ⅱ）解：因为 ()21sin cos cos 2f x x x x =+-11cos 21sin 2222x x +=+-11πsin 2cos 22224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 的最小正周期为π．设π24t x =+.由y t =的单调递增区间是ππ2π 2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈. 令πππ2π22π242k x k -++≤≤.解得3ππππ88k x k -+≤≤.k Z ∈．故函数()f x 的单调递增区间为3ππππ88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈．【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于基础题. 26．（1）512A π=或1112A π=；（2）,,422k k k πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）化简得())6f x x π=-6A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）先求出函数()g x 的解析式，再求函数的单调递增区间. 【详解】（1）())6f x x π=-）所以26A f A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 6A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又0A π<<，所以5666A πππ-<-<，所以64A ππ-=或34π，所以512A π=或1112A π=（2）()2,6f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭将函数()y f x =的图像上所有点向左平移3π个单位得到)])362y x x πππ=+-=+，再把所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()442g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭的图像，令242k x k πππ-+≤≤，k Z ∈, 所以422k k x πππ-+≤≤，所以递增区间为,,422k k k πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】方法点睛：求函数sin()y A wx h φ=++的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.。

2022-2023学年高一数学必修第一册第五章《三角函数》测试卷及答案解析

＝sin（2x ）
∴g（x）＝sin（2x ）
对于 A：令
2x
，解得
b
t
，∴在区间[ ， ]上单调递增；则 A 正
确．对于 B：当 x b 时，可得函数值 f（x）＝1，所以图象关于直线 x b 对称；则 B 正确．
对于 C：令
2x
，解得
t ，∴在区间[ ， ]上不是单调递减；
则 C 不正确．
对于 D：令 x ，可得函数值 f（x）＝0，∴图象关于点（，0）对称；则 D 正确；
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22．已知函数 Sth ሻ 已mS t hSሻ＞，＞，图图＜ h的部分图象如图所示．（1）求 A，ω，φ的值；（2）先将函数 y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数 y＝g（x）的图象，若函数 h（x）＝f（x）+g（x）在[0，m]上单调递增，求 m 的取值范围．
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2022-2023 学年高一数学必修第一册第五章《三角函数》测试卷
参考答案与试题解析
一．单项选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．若 imS th ，则 sin2x＝（）
A．
B．
C．
D．
解：∵ imS th ，
imt ∴
imt
，整理可得 tanx＝3，
对 B，由 2x
可得， t
，故 f（x）在区间[ ， ]上单调递减，B 正确；
对 C，因为 f（）＝0，得到函数图象的一个对称中心为S ， h，C 正确．
对 D，因为已mS t h
t
由 t由
S由 h，D 正确．
故选：BCD．
10．将函数 f（x）＝sin（2x ）的图象向右平移个单位长度得到 g（x）图象，则下列判

人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试(有答案解析)(2)

一、选择题1．已知0>ω，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（） A ．15,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．17,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,1上是增函数的是（） A ．32()f x x = B ．13()f x x -= C ．()sin 2f x x =D ．()22x x f x -=-3．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则错误的是（）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 24．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．19-C D ．195．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（）． A ．34-B ．43-C ．53-D ．45-6．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（）A．362k-，k∈N B．362k+，k∈NC．32D．37．已知角θ终边经过点)P a，若6πθ=-，则a=（）AB．3C．3-D．8．化简求值1tan12tan72 tan12tan72+-（）A．B．CD9．若22cos()4θθπθ=-，则sin2θ=（）A．13B．23C．23-D．13-10．若4cos5θ=-，θ是第三象限的角，则1tan21tan2θθ-=+（）A．12B．12-C．35D．-211．已知1cos2α=，322παπ<<，则sin(2)πα-=（）A．B．12C．12-D12．已知tan2α=，则sin sin44ππαα⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A．310-B．310C．35D．35二、填空题13．若1sin42πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin2θ=____________14．方程2sin2cos20x x++=的解集为________.15．已知锐角α满足1cos()35πα+=，则sinα=______．16．已知函数()22sin cosf x x x xωωω=-，且()f x图象的相邻对称轴之间的距离为π4，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为______． 17．已知α是第一象限角，且4tan 3α=，则sin 2α=_______ 18．函数f （x ）=sin 2x +sin x cos x +1的最大值是________.19．已知7sin cos 17αα+=，()0,απ∈，则tan α= ________. 20．已知函数()cos 2f x x =，若12,x x 满足12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的一个取值为________．三、解答题21．已知函数2()2sin cos 1f x x x x =++．求：（1）()f x 的最小正周期；（2）()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．22．已知函数2()2cos )f x x x =--. （1）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值和()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 23．已知函数()cos f x x =.（1）已知α，β为锐角，()f αβ+=，4tan 3α=，求cos2α及()tan βα-的值；（2）函数()()321g x f x =+，若关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，求实数a 的最大值.24．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能同时．．．．满足下列三个条件中的两个：①图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭；②函数()f x 的图象可由4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象平移得到；③若对任意x ∈R ，()()()12f x f x f x ≤≤恒成立，且12x x -的最小值为2π. （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式；（2）求方程()10f x -=在区间[],ππ-上所有解的和.25．已知函数2()sin(2)2cos 1(0)6f x x x πωωω=-+->的最小正周期为π，（1）求ω的值（2）求()f x 在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 26．已知函数3()sin(2)4f x x π=- （1）求()8f π的值；（2）求该函数的单调递增区间；（3）用“五点法”作出该函数一个周期的图像.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由322232k x k ππππωπ+++求得22766k k x ππππωωωω++，k z ∈．可得函数()f x 的一个减区间为[6πω，7]6πω．再由6276ππωππω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得ω的范围．【详解】函数()sin()3f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，设函数的周期22T T πππω⇒=-，2ω∴．再由函数()sin()3f x x πω=+满足322232k x k ππππωπ+++，k z ∈，求得22766k k x ππππωωωω++，k z ∈．取0k =，可得766x ππωω，故函数()f x 的一个减区间为[6πω，7]6πω．再由6276ππωππω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得1736ω，故选：B ．【点睛】函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间2．D解析：D 【分析】 A.根据32()f x x ==[0,)+∞判断；B. 由幂函数的性质判断；C.由函数sin y x =的性质判断；D.由指数函数2x y =的性质判断. 【详解】 A. 32()f x x ==[0,)+∞，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶，故错误；B. 由幂函数知()1133()()f x x xf x ---=-=-=-是奇函数，在()0,1是减函数，故错误；C. 因为()()sin 2sin 2()f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 是奇函数，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，在,14π⎛⎫⎪⎝⎭上减函数，故错误； D. 因为()()2222()xx x x f x f x ---=-=--=-，所以()f x 是奇函数，因为2,2x x y y -==-是增函数，()22x x f x -=-在区间()0,1上是增函数，故正确；故选：D3．D解析：D 【分析】利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π个单位长度，得到2sin 2+=2sin 2+63y x x ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π个单位长度，得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26333y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=+⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确； C. 1C 向左平移3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，正确； D. 1C 向左平移6π个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误. 故选：D4．D解析：D 【分析】先用诱导公式化为5cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用二倍角公式计算．【详解】225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 5．A解析：A 【分析】由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-．故选：A ．6．C【分析】由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，可求得362k ω=+，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项. 【详解】由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，k Z ∈.得362k ω=+，k ∈N .因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-，解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C.7．C解析：C 【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，角θ终边经过点)P a ，可得OP =，又由6πθ=-，根据三角函数的定义，可得cos()6π-=且0a <，解得a =. 故选：C.8．A解析：A 【分析】逆用两角差的正切公式先求出tan12tan 721tan12tan 72-+，即可求解.【详解】因为()tan 1272-tan12tan 721tan12tan 72-=+()tan 60=-=-所以()1tan12tan 721tan12tan 72tan 60+===--.9．B解析：B 【分析】由二倍角公式和差的余弦公式化简得出()2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】)22cos sin 2cos()coscos sinsin 444θθθπππθθθ-=-+()cos sin cos sin 2cos sin θθθθθθ+-==-，()2cos sin 2θθθ∴-=，两边平方得()241sin 23sin 2θθ-=，解得sin 22θ=-（舍去）或2sin 23θ=. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin 2θθθ-=，再平方求解.10．D解析：D 【分析】根据4cos 5θ=-，θ是第三象限的角，先利用半角公式求得tan 2θ，然后代入1tan21tan 2θθ-+求解. 【详解】因为θ为第三象限角，所以2θ可能为二､四象限角，所以tan 32θ===-，所以1tan1322131tan2θθ-+==--+. 故选：D.11．D解析：D 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α的值，进而根据诱导公式即可求解．【详解】解：因为1cos 2α=，322παπ<<，所以sin α==，所以sin(2)sin παα-=-=．故选：D ．12．B解析：B 【分析】利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222211sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 221tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B二、填空题13．【分析】由题意结合诱导公式二倍角余弦公式直接运算即可得解【详解】若则故答案为：解析：12- 【分析】由题意结合诱导公式、二倍角余弦公式直接运算即可得解.【详解】若π1sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2ππ11cos 2sin212sin 122442θθθ⎛⎫⎛⎫+=-=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1sin22θ=-.故答案为：12-. 14．【分析】原方程化为关于的一元二次方程求得即可求解【详解】由得即解得或（舍去）所以故答案为：解析：{}2,x x k k Z ππ=+∈【分析】原方程化为关于cos x 的一元二次方程，求得cos 1x =-，即可求解. 【详解】由2sin 2cos 20x x ++= 得21cos 2cos 20x x -++=，即2cos 2cos 30x x --=，解得cos 1x =-或cos 3x =（舍去），所以2,x k k Z ππ=+∈故答案为：{}2,x x k k Z ππ=+∈15．【分析】利用余弦的两角和公式展开结合代入计算即可【详解】解得根据代入计算解得故答案为：【分析】利用余弦的两角和公式展开，结合22sin cos 1αα+=，代入计算即可．【详解】1cos cos 2513πααα⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭，解得2cos 5αα=+，根据22sin cos 1αα+=，代入计算，解得sin α=. 16．【分析】先将函数化简整理根据相邻对称轴之间距离求出周期确定再根据正弦函数的性质结合给定区间即可求出最值【详解】因为由题意知的最小正周期为所以即所以当时所以因此所以函数的最小值为故答案为：解析：-【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=-πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=，所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭，所以函数()f x的最小值为-．故答案为：-17．【分析】根据同角三角函数的关系解出根据二倍角公式即可求出【详解】是第一象限角且则解得故答案为：解析：2425【分析】根据同角三角函数的关系解出43sin ,cos 55αα==，根据二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】α是第一象限角，且4tan 3α=，则22sin 4cos 3sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得43sin ,cos 55αα==，∴24sin 22sin cos 25ααα==.故答案为：2425. 18．【分析】先根据二倍角公式辅助角公式将函数化为基本三角函数再根据三角函数有界性求最值【详解】因为函数f （x ）=sin2x+sinxcosx+1所以因为所以即函数的最大值为故答案为：【分析】先根据二倍角公式、辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据三角函数有界性求最值. 【详解】因为函数f （x ）=sin 2x +sin x cos x +1，所以113()(1cos 2)sin 21)22242f x x x x π=-++=-+，因为sin(2)14x π-≤，所以3()2f x +≤，即函数的最大值为32+，故答案为：32+ 19．【分析】根据已知条件求得的值由此求得的值【详解】依题意两边平方得而所以所以由解得所以故答案为：【点睛】知道其中一个可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两个在求解过程中要注意角的范围解析：158-【分析】根据已知条件求得sin ,cos αα的值，由此求得tan α的值. 【详解】依题意7sin cos 17αα+=，两边平方得 4924012sin cos ,2sin cos 0289289αααα+==-<，而()0,απ∈，所以sin 0,cos 0αα><，所以23sin cos 17αα-====.由7sin cos 1723sin cos 17αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得158sin ,cos 1717αα==-，所以sin 15tan cos 8ααα==-. 故答案为：158-【点睛】sin cos ,sin cos αααα±知道其中一个，可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两个，在求解过程中要注意角的范围.20．（答案不唯一）【分析】根据的值域为可知若满足则必有的值分别为再根据三角函数的性质分析即可【详解】因为的值域为故若满足则必有的值分别为故的最小值当且仅当为相邻的两个最值点取得此时为的半个周期即故答案为解析：π2（答案不唯一）【分析】根据()cos2f x x =的值域为[]1,1-可知若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,再根据三角函数的性质分析即可.【详解】因为()cos2f x x =的值域为[]1,1-,故若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,故12x x -的最小值当且仅当12,x x 为()cos2f x x =相邻的两个最值点取得.此时12x x -为()cos2f x x =的半个周期,即12222ππ⨯=. 故答案为：2π【点睛】关键点点睛：相邻的两个最值点的横坐标的距离为半个周期是解题的突破点.三、解答题21．（1）π；（2）最小值为1，最大值为4．【分析】（1）由二倍角降幂，由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质可求得最小正周期；（2）求出26x π-的范围，然后由正弦函数性质得最值．【详解】（1）因为2()2sin cos 1f x x x x =++1cos2cos 1x x x =-++2cos 22x x =-+2sin 226x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==．（2）因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤．所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭．所以()2sin 22[1,4]6f x x π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭．即()f x 的最小值为1，最大值为4．【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解．22．（1π；（2）最小值1-；最大值2. 【分析】（1）由二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质求得周期；（2）求得26x π+的范围后，由正弦函数性质得最值．【详解】（1）因为2()2cos )f x x x =--()2223sin cos cos x x x x =-+-()22212sin212sin 2x x x x =-+=-cos 222sin 26x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以22sin 22sin 4463f ππππ⎛⎫⎛⎫=⋅+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()f x 的周期为22||2T πππω===. （2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，252,,2,33666x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以当6x π=-时，函数取得最小值16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，函数取得最大值26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的周期，最值．解题方法是利用二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦（或余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解． 23．（1）7cos 225α=-，()2tan 11βα-=；（2）a 的最大值为3. 【分析】（1）利用二倍角公式，求出cos2α，然后分别求出()cos αβ+，sin()αβ+，进而求出()tan αβ+，最后，利用()()tan tan 2βααβα-=+-求解即可（2）由()()[]3213cos212,4g x f x x =+=+∈-，得关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，化简得，即()()()213g x a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，然后，利用对勾函数的性质求解即可【详解】解：（1）∵4tan 3α=，∴222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+ 2222411tan 73251tan 413αα⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵α，β为锐角，即α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴()20,απ∈，()0,αβπ+∈.22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵()cos f x x =，∴()()cos f αβαβ+=+= ∴()sin 5αβ+==，∴()()()sin tan 2cos αβαβαβ++==-+， ∴()()()()242tan tan 227tan tan 2241tan tan 211127αβαβααβααβα-++--=+-===+++⨯. 综上，7cos 225α=-，()2tan 11βα-=.（2）()()[]3213cos212,4g x f x x =+=+∈-，关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，即()()()213gx a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，则[]1,7t ∈，()()231t a t -≥+有解，即916a t t+≤+-有解， max97a t t ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，设()9h t t t =+，则()h x 在[)1,3上单调递减，在(]3,7上单调递增，则()(){}max9max 1,710t h h t ⎛⎫+== ⎪⎝⎭， ∴3a ≤，故实数a 的最大值为3. 【点睛】关键点睛：（1）利用二倍角公式，以及正切函数的两角和差公式求解；（2）通过化简，把问题转化为()()()213gx a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，然后，利用对勾函数的性质求解；主要考查学生的转化化归思想以及运算能力，属于中档题 24．（1）①③，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）3π-. 【分析】（1）由题意分析出①②矛盾，可知③满足题意，由③可得出函数()f x 的最小正周期为π，可求得2ω=，可说明②不符合条件，进而可知符号题意的条件序号为①③，可得出2A =，由此可得出函数()f x 的解析式；（2）由()10f x -=可得1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得()x k k Z π=∈或()3x k k Z ππ=+∈，再由[],x ππ∈-可求得结果.【详解】（1）函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③；理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件之一，由③可知，函数()f x 的最小正周期为T π=，所以2ω=，故②不合题意，所以函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③；由①可知2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）因为()10f x -=，所以1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()2266x k k Z πππ+=+∈或()52266x k k Z πππ+=+∈，所以()x k k Z π=∈或()3x k k Z ππ=+∈又因为[],x ππ∈-，所以x 的取值为π-、23π-、0、3π、π，所以方程()10f x -=在区间[],ππ-上所有的解的和为3π-. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的基本性质求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.25．（1）1ω=；（2）最大值为1；最小值为. 【分析】（1）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可．（2）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可．【详解】解：（1）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2cos cos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+12cos222x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==，0>ω，解得1ω=.（2）由（1）得π()sin(2)6f x x =+. 因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤.所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1；当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为. 26．（1）()18f π=-；（2）5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）作图见解析. 【分析】（1）直接代入求值；（2）解不等式3222242k x k πππππ-≤-≤+得单调增区间；（3）先列表描点再画图即可【详解】解：（1）()sin()182f ππ=-=-（2）当3222242k x k πππππ-≤-≤+时，()f x 单调递增解得：5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故()f x 的单调递增区间为：5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）先列表。

第五章三角函数综合测评卷(B卷)—高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第五章三角函数综合测评B 卷一、单选题1．使函数()sin(2))f x x x q q =++为奇函数，且在区间0,4éùêëûp 上是减函数的q 的一个值是（）A ．3p-B ．6p-C ．23p D ．56p 2．若函数sin()0,||2y A x A p w j j æö=+><ç÷èø图象的一个最高点为(2,2)，由这个点到相邻最低点的一段图象与x 轴相交于点(6,0)，则这个函数的解析式是（）A ．2sin 44y x pp æö=+ç÷èøB ．32sin 84y x pp æö=-ç÷èøC ．2sin 84y x pp æö=+ç÷èøD ．32sin 84y x pp æö=+ç÷èø3．为了得到sin()3y x p=-的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点（）A ．向右平行移动3p个单位长度B ．向左平行移动3p个单位长度C ．向右平行移动6p个单位长度D ．向左平行移动6p个单位长度4．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S，当扇形的圆心角的弧度数为(3p 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时12S S 的值为（）ABCD．35）ABCD6．已知点(P 是角a 终边上一点，则cos 6p a æö-ç÷èø等于（）ABC．D7．已知221304a c +-=，则2c a +的最大值是( )A ．B ．C ．D ．8．已知函数()()sin ,04f x x x R p w w æö=+Î>ç÷èø的最小正周期为p ，将()y f x =的图象向左平移()0j j >个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则j 的一个值是（）A ．2pB ．38p C ．4pD ．8p二、多选题9．设函数()sin 26f x x p æö=+ç÷èø的图象为C ，则下列结论错误的是（）A ．函数()f x 的最小正周期是pB ．图象C 关于直线6x p=对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移3p个单位长度得到D ．函数()f x 在区间(12p-，2p上是增函数10．已知函数()sin()0,||2f x x p w j w j æö=+><ç÷èø的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移(0)a a >个单位长度，得到函数()g x ，若()g x 满足(2)()g x g x p -=，则下列结论正确的是（）A ．2w =B ．6π=j C ．sin 213a p æö-=±ç÷èøD ．a 的最小值为512p 11．如图，摩天轮的半径为40m ，其中心O 点距离地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20min 转一圈，若摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（）A ．转动10min 后点P 距离地面10mB ．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的12C ．第17min 和第43min 点P 距离地面的高度相同D ．摩天轮转动一圈，点P 距离地面的高度不低于70m 的时间为5min12．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t w =，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()|cos |sin |f x x x =，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小正周期为2pC ．()f x 在区间0,2p éùêúëû上单调递增D ．()f x 的最小值为1三、填空题13．若02pa <<，02pb -<<，1cos()43p a +=，sin()24b p +cos(2)a b +=__．14．下列关于函数51()2sin 62f x x p æö=-ç÷èø的说法中，错误的是______________.①函数()f x 的图象关于直线43x p=-对称；②函数()f x 的图象关于点,06pæöç÷èø对称；③函数()f x 在区间28,33p p éùêúëû上单调递增；④函数()()g x f x q =+是一个偶函数，则223k pq p =+，k Z Î.15．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为q ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos q q -的值是______．16．已知函数()()211(sin )sin 20,22f x x x R w w w w =+->Î，若()f x 在区间(),2p p 内没有零点，则w 的取值范围是_____．四、解答题17．我们知道如果点(),P x y 是角a 终边OP 上任意一点（0OP r =>），则根据三角比的定义：sin y ra =，cos xra =，因此点P 的坐标也可以表示为()cos ,sin P r r a a ．（1）将OP 绕坐标原点O 逆时针旋转3p至'OP ，求点P'的坐标()','x y ．（即分别把'x 、'y 用x 、y 表示出来）（2）将OP 绕坐标原点O 逆时针旋转j 角度至'OP ，求点P'的坐标()','x y ．（即分别把'x 、'y 用x 、y 、j 表示出来）（3）把函数()10y x x =>的图像绕坐标原点逆时针旋转4p 后，可以得到函数___________的图像．（写出解析式和定义域）18．已知函数()2sin sin cos a x b x y f x x =+=，且满足3262f f p p æöæö==ç÷ç÷èøèø.（1）求实数a 、b 的值；（2）记()y f x t =+，若函数()f x t +是偶函数，求实数t 的值.19．如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮作匀速转动，每2 min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点．（1）试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m.20．如图，已知O PQ 是半径为1，圆心角为3p的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记COP a Ð=，矩形ABCD 的面积为S .（1）求S 与a 之间的函数关系式；（2）当a 取何值时，S 最大？并求出S 的最大值.21．已知函数221()sin cos 22f x x x x =++．（1）求()f x 的周期；（2）求()f x 的严格减区间；（3）解方程()1f x =；（4）当0,4x p éùÎêúëû时，求函数()f x 的值域．22．已知函数2()2tan 1,[,22f x x x x p p q q æö=+×-Î-Î-ç÷èø．（1）当6pq =-时，求函数()f x 的最大值与最小值；（2）求q 的取值范围，使()y f x =在区间[-上是单调函数．参考答案1．C【解析】由()sin(2))2sin(23f x x x x pq q q =++=++为奇函数，所以,,33k k k Z ppq p q p +==-Î，故A ，C 符合范围，当3pq =-时，()2sin 2f x x =，不符题意，当23p q =时，()2sin 2f x x =-，在0,4éùêúëûp 上为减函数，符合题意，故选：C 2．C【解析】根据题意可得2A =，由函数的解析式函数sin()y A x w j =+，易知最高点和相邻最低点的中点在x 轴上，也为函数sin()y A x w j =+的零点，故该最低点坐标为(10,2)-，所以10282T=-=，所以16T =，所以22168T p p p w ===，所以2sin()8y x pj =+，再由最高点为(2,2)，所以sin()14pj +=，由||2j p <，所以4p j =，所以这个函数的解析式是2sin 84y x pp æö=+ç÷èø，故选：C 3．A【解析】解：由已知中平移前函数解析式为sin y x =，平移后函数解析式为：sin()3y x p=-，可得平移量为向右平行移动3p个单位长度，故选：A ．4．A【解析】由扇形的圆心角的弧度数为(3p ，()231p p p -=，故12S S ==故选：A.5．A【解析】设底角为θ，则θ∈(0,)2p，顶角为180°－2θ.∵sin θ∴cos θ23，∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝23=故选：A 6．A【解析】解析：由题意可得sin α，cos αcos 6p a æö-ç÷èø=cos 6p cos α+sin 6p sin α12=.故选：A 7．B【解析】解：221304a c +-=，可得22111312a c +=，令aa ，c a =．a ÎR ，可得2)4c a pa a a +=+=+…则2c a +的最大值是：故选：B ．8．D【解析】()f x Q 最小正周期为p ，2pp w \=，解得：2w =，()sin 24f x x p æö\=+ç÷èø；()y f x =图象向左平移j 个单位长度得：()sin 224f x x p j j æö+=++ç÷èø，()f x j +Q 图象关于y 轴对称，()242k k Z ppj p \+=+Î，解得：()82k k Z ppj =+Î，则当0k =时，8p j =.故选：D.9．CD【解析】解：A .由()sin 26f x x p æö=+ç÷èø知，()f x 的最小正周期为22p p =，故A 正确；B .当6x p=时，()1f x =取得最大值，故图象C 关于直线6x p=，故B 正确；C .将()g x 向左平移3p个单位得2sin 2sin 2()33y x x f x éùæöæö=+=+¹ç÷ç÷êúèøèøëûp p ，故C 不正确；D .函数()f x 的单调递增区间是,()36k k k Z p p p p éù-++Îêúëû，单调递减区间是2,()63k k k Z p p p p éù++Îêúëû，取0k =，得函数()f x 的一个单调递增区间是,36p p éù-êúëû，一个单调递减区间是2,63p p éùêúëû，故在区间,122p p æö-ç÷èø上()f x 不是单调递增的，而是先递增后递减，故D 不正确.故选：CD .10．ACD【解析】由图象可得，函数()f x 的图象过点,112p æöç÷èø，,03p æöç÷èø，所以4312T p p=-，可得T p =，因为2||T p w =，0>w ，可得2w =，由图象过点,03p æöç÷èø，且在单调递减区间内，可得sin 203p j æö´+=ç÷èø，解得22()3k k Z pj p p ´+=+Î，即2()3k k Z pj p =+Î，因为||2j p <，所以3pj =，可得()sin 23f x x p æö=+ç÷èø，所以()sin 2()sin 2233g x x a x a p p éùæö=-+=-+ç÷êúëûèø，故A 正确，B 错误；由(2)()g x g x p -=，可得()g x 的图象关于直线x p =对称，所以()sin 22sin 2133g a a p p p p æöæö=-+=--=±ç÷ç÷èøèø，C 正确；由2()32a k k Z ppp -=+Î，解得5()122k a k Z p p=+Î，又由0a >，所以min 512a p=，故D 正确．故选ACD ．11．AC【解析】解：Q 摩天轮20min 转一圈，\在(min)t 内转过的角度为22010t t p p=，建立平面直角坐标系，如图，设(02)j j p ……是以x 轴正半轴为始边，00(OP P 表示点P 的起始位置)为终边的角，以x 轴正半轴为始边，OP 为终边的角为()10t pj +，即点P 的纵坐标为40sin()10t pj +，又由题知，P 点起始位置在最高点处，\2j p =P \点距地面高度h 关于旋转时间t 的函数关系式为：5040sin()102h t pp=++即5040cos10h tp=+当10min t =时，10h =，故A 正确；若摩天轮转速减半，40T =，则其周期变为原来的2倍，故B 错误；第17min P 点距安地面的高度为173(17)40cos5040cos 501010h p p=+=+第20min P 点距离地面的高度为433(43)40cos5040cos 501010h p p=+=+第17min 和第43min 时P 点距离地面的高度相同，故C 正确；摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m ，即40cos 507010t p+…，即1cos 102tp ，020t Q ……，得0210tp p ……，\0103tp p……或52310t p p p ……，解得1003t ……或50203t ……，共20min 3，故D 错误．故选：AC ．12．AD【解析】因为R x Î,()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，A 正确；()f x 显然是周期函数，因为()|cos()||sin()||cos ||sin |()f x x x x x f x p p p +=++==，所以B 错误；因为当0,2x p éùÎêúëû时，()|cos ||sin |cos 2sin 6f x x x x x x p æö===+ç÷èø，所以()f x 在区间0,3p éùêúëû上单调递增，在,32p p æùçúèû上单调递减，C 错误；因为2sin ,0,,62()2sin ,,,62x x f x x x p p p p p ìæöéù+Îç÷ïêúïèøëû=íæöæùï-Îç÷çúïèøèûî当0,2x p éùÎêúëû时，设6t x p =+，则2,63t p p éùÎêúëû，∴1sin ,12t éùÎêúëû，∴min ()1f x =，同理：当,2x p æùÎp çúèû时，min ()1f x =，由B 中解答知，p 是()f x 的周期，所以()f x 的最小值为1，D 正确.故选：AD.13．2327【解析】解：1cos()sin )43pa a a +-=Q，可得：cos sin a a -=①\两边平方可得，21sin 29a -=，解得：7sin 29a =，02p a <<Q，可得：4cos sin 3a a +==，②\由①②解得：cos 2(cos sin )(cos sin )a a a a a =-+=又sin(24b p +Qcos 22b b +，两边平方，可得：1sin 3b =-，cos b =，7123cos(2)cos 2cos sin 2sin (9327a b a b a b \+=--´-=．故答案为：2327．14．②③【解析】对于①，451432sin 2sin 236232f p p p p éùæöæö-=-´-==-ç÷ç÷êúèøèøëû，故①正确；对于②，5132sin 2sin 066264f p p p p æöæö=-´==¹ç÷ç÷èøèø，故②错误；对于③，5115()2sin 2sin 6226f x x x p p æöæö=-=--ç÷ç÷èøèø，当28,33x p p éùÎêúëû时，15,2622x p p p éù-Î-êúëû，函数()f x 单调递减，故③错误；对于④，()()5151()2sin 2sin 62622g x f x x x p p q q q éùæö=+=-´+=--ç÷êúëûèø，函数()g x 是偶函数，所以5622k p q p p -=-+，k Z Î，即223k p q p =+，k Z Î，故④正确.故答案为：②③.15．725-【解析】Q 大正方形的面积是1，即大正方形的边长为1，则由题可得每个直角三角形的长直角边为cos q ，短直角边为sin q ，所以小正方形的边长为cos sin q q -，Q 小正方形的面积是125，()21cos sin 25q q \-=，1cos sin 5q q \-=，()21cos sin 12sin cos 25q q q q -=-=Q ，则12sin cos 25q q =，()249cos sin 12sin cos 25q q q q \+=+=，则7cos sin 5q q +=，()()22177sin cos sin cos sin cos 5525q q q q q q \-=-+=-´=-.故答案为：725-.16．115(0,][,16816U 【解析】()2111cos 211(sin )sin 2sin 222222x f x x x x w w w w -=+-=+-4x p w =-．由()0f x =，可得24k x pw p -=，解得82k x p p w w=+，k Z Î．因为()f x 在区间(),2p p 内没有零点，所以()2,28k x p p w w p p =+Ï，且2T ³p ，即()2,28k x p p w w p p =+Ï且102w <≤，因为0>w ，分别取0k =，1,2,3¼，11599115(,)(,)(,)(,)(,)168168168168165w \ÏÈÈÈ¼=È+¥，115(0,][,]16816w \ÎU ∴w 的取值范围是115(0,][,16816U ，故答案为：115(0,[,]16816U ．17．（1）1'2x x y =；1'2y x y =+；（2）co in 's s x x y j j =-；'cossin y y x j j =+；（3）)y x R =Î．【解析】'OP OP r ==，（1）'cos 3x r pa æö=+ç÷èø11cos sin '22r x xy a a =Þ=；同理，1'sin 32y r y p a æö=+=+ç÷èø；（2）'cos()cos cos sin sin x r r r a j a j a j =+=-，故co in 's s x x y j j =-；同理，'sin()cos sin y r y x a j j j =+=+；（3）在（2）中令4p j =得'cos sin44x x y pp =-，可得1')x x y x xö=-=-÷ø，同理，1'y x x ö=+÷ø，因此，22''1y x -=，所以，函数为)y x R =Î．18．（1）2a =，b =（2）3πt ，k ÎZ .【解析】（1）由题意264322a f f a p p ìæö==ïç÷ïèøíæöï==ç÷ïèøî，所以2,a b ==.（2）由（1）()22sin cos 1cos 222sin(2)16πx x x x x f x x =+=-=-+所以()2sin(2216f x t x t p +=+-+，因为()f x t +是偶函数，所以2()62t k k Z ppp -=+Î，所以()32k t k Z pp =+Î19．（1）5040cos t p +；（2）有2min 3P 点距离地面超过70 m.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，（1）设()02j j p ££是以Ox 为始边，0OP 为终边的角，OP 在t min 内转过的角为22t p ，即t p ，∴以Ox 为始边，OP 为终边的角为t p j +，即P 点纵坐标为()40sin t p j +，∴P 点距地面的高度为()()5040sin 02z t p j j p =++££，由题可知，2j p =，∴5040cos z t p =+.（2）当5040cos 70t p +³时，解之得，1122,33k t k k Z -££+Î，持续时间为2min 3即在摩天轮转动一圈内，有2min 3点距离地面超过70 m.20．（1）2063S p p a a æöæö=+<<ç÷ç÷èøèø；（2）6p a =时，S 最大【解析】（1）在Rt OBC △中，cos OB a =，sin BC a =，在Rt OAD △中，tan 60DA OA =°=∴OA BC a ===，∴cos AB OB OA a a =-=，∴2cos sin sin cos AB BC S a a a a a a æö×==ç÷ç÷èø=1sin 2cos 2)2a a =-1sin 222a a =12cos 22a a ö=+÷÷ø2063p p a a æöæö=+<<ç÷ç÷èøèø.（2）由03pa <<得52666ppp a <+<，所以当262p p a +=，即6p a =时，S ==最大21．（1）T p =；（2）2,,63k k k p p p p éù++ÎêúëûZ ；（3）,,3x k k k p p p =+ÎZ ；（4）51,4éùêúëû.【解析】221()sin cos 22f x x x x =+11cos 21cos 22222x x x -+=+3cos 2244x x =+13sin(2)264x p =++，（1）周期为：22p p =；（2）令3222,262k x k k Z ppp p p +<+<+Î，解得2,63k x k k p p p p +<<+ÎZ ，所以()f x 的严格减区间为2,,63k k k p p p p éù++ÎêúëûZ ；（3）由()1f x =，得1sin(262x p +=，所以2266x k ppp +=+，或52266x k pp p +=+，解得x k p =或,3k k pp +ÎZ ；（4）当0,4x p éùÎêúëû，则22,663x p p p éù+Îêúëû，此时1sin(2),162x p éù+Îêúëû，所以函数()f x 的值域为51,4éùêúëû22．（1）max min 4()()3f x f x ==-；（2）,,2342p p p p q æùéöÎ--ç÷êèûëøU ．【解析】（1）当6p q =-时，2224()2tan()11(63f x x x x x x p =+×--=-=-，[x Î-Q ，当x =时，()f x 取最小值为43- ，当1x =- 时，()f x ；（2）222()2tan 1=(+tan )1tan f x x x x q q q =+×---的图像的对称轴为tan x q =- ，要使()y f x =在区间[-上单调，那么tan 1q -£-，或tan q -³tan 1q ³或tan θ£，又,22p p q æöÎ-ç÷èø，所以,,2342p p p p q æùéöÎ--ç÷úêèûëøU .。

高一数学三角函数试题答案及解析

高一数学三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，则点位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为角为第二象限角，所以，，即点位于第四象限，故选D.2.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A. B. C. D. A=B=C【答案】B【解析】锐角必小于 ,故选B.3.已知角的终边过点，且，则的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以角的终边在第二，三象限，，从而，即，解得，故选C。

4.若，，则角的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质。

由知角可能在第一、四象限；由知角可能在第三、四象限；综上得角的终边在箱四象限故正确答案为5.已知函数相邻两对称轴间的距离为，若将的图像先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数为奇函数.（1）求的解析式，并求的对称中心；（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.【答案】（1），对称中心为：，（2）或.【解析】（1）相邻两对称轴间的距离为半周期,由,可得，按三角函数的平移变换,得表达式,函数为奇函数,得值,且过点得值,求出表达式后由性质可得对称中心；（2）由得的范围,将利用换元法换元,将问题转化为一个一元二次方程根的分布问题,利用判别式得不等式解得取值范围.试题解析：（1）由条件得：，即,则，又为奇函数，令，，，，由，得对称中心为：（2）,又有（1）知：，则，的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令则由原命题得：在上仅有一个实根.令，则需或，解得：或.【考点】1. 性质；2.一元二次方程；3.换元法．6.设函数的最小正周期为，且，则（）A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增【答案】A【解析】由得，，又，则，即．当时，，递减，故选A．【考点】函数的解析式，函数的奇偶性，单调性．7.若，且，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】根据且，可得角为第三象限角，故选择C．【考点】三角函数定义．8.已知函数 .（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值及最小值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）取得最大值，取得最小值.【解析】（Ⅰ）先根据两角和余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求单调区间：由解得，最后写出区间形式（Ⅱ）先根据自变量范围确定基本三角函数定义区间：，再根据正弦函数在此区间图像确定最值：当时，取得最小值；当时，取得最大值1.试题解析：（Ⅰ）. ……………………………………3分由，，得，.即的单调递减区间为，.……………………6分（Ⅱ）由得，………………………………8分所以. …………………………………………10分所以当时，取得最小值；当时，取得最大值1. ………………………………13分【考点】三角函数性质【思路点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”。

最新人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x 等于（） A ．512π B ．4π C ．3π D ．6π2．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（）A ．14B ．2π C ．4π D ．123．已知3sin 5α=-，则cos2=α（） A ．15-B ．15C ．725-D ．7254．已知()3sin 5πα+=，则sin()cos()sin 2απαπα--=⎛⎫- ⎪⎝⎭（） A ．45-B ．45 C ．35D ．355．函数πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（） A ．2π B ．πC ．2πD ．4π6．将函数()f x 的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()sin 2g x x =的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π7．已知函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=>⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于（）． A ．1B ．2C ．2.5D ．48．若2cos 23sin 2cos()4θθπθ=-，则sin 2θ=（）A ．13 B ．23C ．23-D ．13-9．若4cos 5θ=-，θ是第三象限的角，则1tan21tan 2θθ-=+（） A ．12B ．12-C ．35D ．-210．若函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能为（） A ．1- B ．2- C ．1 D ．211．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan απ+=（）A ．22-B ．22C ．24-D ．2 12．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（）．A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()32sin 34f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且10cos 10x θ=，则x =___________. 14．已知()tan 3πα+=，则2tan 2sin αα-的值为_______. 15．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）． 16．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =______.17．已知α是第一象限角，且4tan 3α=，则sin 2α=_______ 18．先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移3π个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ=________. 19．将函数()y f x =图象右移6π个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫=⎪⎝⎭______． 20．某学生对函数()2cos f x x x =进行研究后，得出如下四个结论：（1）函数()f x 在[]π,0-上单调递增，在[]0,π上单调递减；（2）存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立；（3）点π,02⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图像的一个对称中心；（4）函数()y f x =图像关于直线πx =对称；其中正确的是______（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案三、解答题21．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能同时．．．．满足下列三个条件中的两个：①图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭；②函数()f x 的图象可由4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象平移得到；③若对任意x ∈R ，()()()12f x f x f x ≤≤恒成立，且12x x -的最小值为2π. （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式；（2）求方程()10f x -=在区间[],ππ-上所有解的和. 22．已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，求m 的最大值.23．已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--．（1）求()f x 的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函数的单调区间；24．已知函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值及()6g f ϕπ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域；（2）若3πϕ=，sin 2cos 0αα-=. 求()fα的值.25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P .（1）若点P 的横坐标为35，求cos2sin cos θθθ-⋅的值. （2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)，若1tan 2α=，求tan θ的值.26．已知π0π2αβ<<<<，且5sin()13αβ+=，1tan 22α=. （1）求cos α的值；（2）求sin β.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得()026x k k Z ππ+=∈，结合00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得0x 的值. 【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足22T π=，T π∴=，22T πω∴==，()sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026x k k Z ππ+=∈，解得()0212k x k Z ππ=-∈，由于00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0512x π=. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行：（1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02x k k Z πωϕπ⇔+=+∈；（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.2．B解析：B 【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象，可得2114T=-=，所以4T =，又由24w π=，解得2w π=. 故选：B.3．D解析：D 【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】因为3sin 5α=-，所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.4．C解析：C 【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. 【详解】 ∵3sin()sin 5παα+==-，∴3sin 5α=-，则sin()cos()sin (cos )3sin cos 5sin 2απααααπαα---⋅-===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：C5．B解析：B 【分析】按照三角函数的周期公式求最小正周期即可. 【详解】解：函数πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==. 故选：B.6．D解析：D 【分析】利用三角函数的最值，取自变量1x 、2x 的特值，然后判断选项即可. 【详解】因为函数()sin 2g x x =的周期为π，由题意可得：()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦，若()()122f x g x -=，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有12min3x x π-=，所以不妨取24x π=，则1712x π=，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在1712x π=取得最小值，所以77121s 12in 2f ϕππ⎛⎫=-=- ⎪⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎝⎥⎭⎣⎦⎭⎝，此时5+,6k k Z πϕπ=∈，又02πϕ<<，所以此时不符合题意，取24x π=，则112x π=-，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在112x π=-取得最小值，所以12sin 21ϕπ⎡⎤⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-，此时,6k k Z πϕπ=-∈，当0k =时，6π=ϕ满足题意，故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，三角函数性质之最值，关键在于取出2x ，得出1x ，再利用正弦函数取得最小值的点，求得ϕ的值，属于中档题．7．B解析：B 【分析】根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是55=，从而解得A 的值. 【详解】解：函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期2263T πππω=== 函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，5=，解得2A =.故选：B. 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ωπ=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．8．B解析：B 【分析】由二倍角公式和差的余弦公式化简得出()2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】)22cos sin 2cos()coscos sinsin 444θθθπππθθθ-=-+()cos sin cos sin 2cos sin 2θθθθθθ+-==-，()2cos sin 2θθθ∴-=，两边平方得()241sin 23sin 2θθ-=，解得sin 22θ=-（舍去）或2sin 23θ=. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin 2θθθ-=，再平方求解.9．D解析：D 【分析】根据4cos 5θ=-，θ是第三象限的角，先利用半角公式求得tan 2θ，然后代入1tan21tan 2θθ-+求解. 【详解】因为θ为第三象限角，所以2θ可能为二､四象限角，所以tan 32θ===-，所以1tan1322131tan2θθ-+==--+. 故选：D.10．A解析：A 【分析】先求解出sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭右移6π个单位后的函数解析式，然后根据诱导公式求解出ω的可取值. 【详解】因为sin 3y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭右移6π个单位后得到sin 63y x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又因为sin 63y x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭与cos sin 2y x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象重合，所以令2,632k k Z ωππππ-+=+∈，所以121,k k Z ω=--∈，所以ω可取1-，此时0k =，故选：A. 【点睛】思路点睛：根据三角函数的图象重合求解参数ω或ϕ的思路：（1）先根据诱导公式将函数名统一；（2）然后分析三角函数初相之间的关系；（3）对k 进行取值（有时注意结合所给范围），确定出满足条件的ω或ϕ的值.11．A解析：A 【分析】由条件可得1cos 3α=-，然后可得sin 3α=，然后()sin tan tan cos ααπαα+==，即可算出答案. 【详解】因为1sin cos 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α=所以()sin tan tan cos ααπαα+===-故选：A12．B解析：B 【分析】根据函数图象得到3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T Tππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求解. 【详解】由函数图象知：3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以2,2T Tππω===，又函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以 522,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得 2,3k k Z πϕπ=-∈，又因为 0πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：B本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．【分析】由余弦函数的定义可得解出即可【详解】由余弦函数的定义可得解得（舍去）或（舍去）或故答案为：解析：1-【分析】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==，解出即可. 【详解】由余弦函数的定义可得cos x θ==，解得0x =（舍去），或1x =（舍去），或1x =-，1x ∴=-.故答案为：1-.14．【分析】利用诱导公式求出再利用二倍角公式求出以及同角三角函数的基本关系求出即可得解；【详解】解：由题意所以所以所以故答案为：解析：3320-【分析】利用诱导公式求出tan α，再利用二倍角公式求出tan2α，以及同角三角函数的基本关系求出2sin α，即可得解；【详解】解：由题意()tan 3πα+=，所以tan 3α=，所以22tan 3tan 21tan 4ααα==--，222222sin tan 9sin sin cos tan 110αααααα===++，所以23933tan 2sin 41020αα-=--=-. 故答案为：3320-15．①④【分析】作出函数的图象根据在有且仅有5个零点再逐项判断【详解】如图所示：由图象可知在上有且仅有3个极大值点故①正确;在上可能有3个极小值点故②错误；因为函数在有且仅有5个零点所以解得故④正确；因解析：①④ 【分析】作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④正确；因为()0,2x π∈，所以,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则252πππω+<，解得320ω<，不符合1229510ω≤<，故③错误；故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围.16．【分析】由图可得利用周期求出又函数过点解得进而得出函数的解析式【详解】由图可得：解得又函数过点则解得故答案为：解析：sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【分析】由图可得A ，利用周期求出ω，又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，解得3πϕ=，进而得出函数的解析式．【详解】由图可得：1A =，37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得,2T πω==，()()sin 2f x x ϕ=+又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，则732122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为：sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 17．【分析】根据同角三角函数的关系解出根据二倍角公式即可求出【详解】是第一象限角且则解得故答案为：解析：2425【分析】根据同角三角函数的关系解出43sin ,cos 55αα==，根据二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】α是第一象限角，且4tan 3α=，则22sin 4cos 3sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得43sin ,cos 55αα==，∴24sin 22sin cos 25ααα==. 故答案为：2425. 18．【分析】由题意利用函数的图象变换规律三角函数的图象的对称性求得的值【详解】先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)可得的图象；再向左平移个单位长度可得函数的图象根据所得函数图象关解析：56π 【分析】由题意利用函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ϕ的值. 【详解】先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位长度，可得函数1cos 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，根据所得函数图象关于y 轴对称，可得6k πϕπ+=，k Z ∈，因为()0,ϕπ∈，所以1k =，56πϕ=. 故答案为：56π. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性是解题关键..19．【分析】把的图象反过来变换可得的图象得然后再计算函数值【详解】把的图象上点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变得的图象再向左平移个单位得∴故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查三角函数的图象变换三角函数的图解析：2 【分析】把sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象反过来变换可得()f x 的图象，得()f x ，然后再计算函数值．【详解】把sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再向左平移6π个单位得sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()sin 2f x x =．sin 63f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭【点睛】结论点睛：本题考查三角函数的图象变换，三角函数的图象中注意周期变换与相位变换的顺序不同时，平移单位的变化．()y f x =向右平移ϕ个单位，再把横坐标变为原来的1ω倍得图象的解析式为()y f x ωϕ=+，而()y f x =的图象的横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，所得图象再向右平移ϕ个单位得图象的解析式为[]()y fx ωϕ=+．20．（2）【分析】根据奇偶性奇函数在关于原点对称区间单调性相同确定（1）错误；取M=2可判定（2）正确；可判断（3）不正确；取特殊值判定（3）错误【详解】定义域为R 所以是奇函数在关于原点对称的区间上单调解析：（2）【分析】根据奇偶性，奇函数在关于原点对称区间单调性相同，确定（1）错误；取M=2，可判定（2）正确；202f x f x ππ++-⎛⎫⎛⎫≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判断（3）不正确；取2233f ππ⎛⎫⎪=- ⎝⎭，4433f ππ⎛⎫⎪=- ⎝⎭特殊值判定（3）错误. 【详解】()2cos f x x x =定义域为R ，()()2cos f x x x f x -=-=-，所以()2cos f x x x =是奇函数，在关于原点对称的区间上单调性相同，所以（1）错误；cos 1x ≤，令2M =，()f x M x ≤成立，所以（2）正确；()()2sin 2sin 4sin 022x x x x x x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+++-+-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点π,02⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()y f x =图像的一个对称中心，所以（3）不正确； 2422cos 3333f ππππ⎛⎫= =-⎪⎝⎭，4844cos 3333f ππππ⎛⎫= =-⎪⎝⎭，函数()y f x =图像不关于直线πx =对称，所以（4）不正确. 故答案为：（2）【点睛】此题考查与三角函数性质相关命题的判定，需要熟练掌握奇偶性、单调性、对称性在解题中的处理方法.三、解答题21．（1）①③，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）3π-. 【分析】（1）由题意分析出①②矛盾，可知③满足题意，由③可得出函数()f x 的最小正周期为π，可求得2ω=，可说明②不符合条件，进而可知符号题意的条件序号为①③，可得出2A =，由此可得出函数()f x 的解析式；（2）由()10f x -=可得1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得()x k k Z π=∈或()3x k k Z ππ=+∈，再由[],x ππ∈-可求得结果.【详解】（1）函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③；理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件之一，由③可知，函数()f x 的最小正周期为T π=，所以2ω=，故②不合题意，所以函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足的条件为①③；由①可知2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）因为()10f x -=，所以1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()2266x k k Z πππ+=+∈或()52266x k k Z πππ+=+∈，所以()x k k Z π=∈或()3x k k Z ππ=+∈又因为[],x ππ∈-，所以x 的取值为π-、23π-、0、3π、π，所以方程()10f x -=在区间[],ππ-上所有的解的和为3π-. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的基本性质求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值. 22．（1）42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）56π. 【分析】（1）令322262πππk πx k π+≤+≤+，()k Z ∈，解不等式即可求解；（2）先求出并化简()2sin 23g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 的值域可得出sin 232π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ，结合正弦函数的图象可知42233m πππ≤-≤，即可求出m 的最大值.【详解】（1）令322262πππk πx k π+≤+≤+，k Z ∈. 所以42233ππk πx k π+≤≤+，()k Z ∈. 所以函数()f x 的单调递减区间42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14cos sin 2x x x ⎫=+⎪⎝⎭22cos sin x x x =+cos2)sin 2x x =-+2sin 23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0x m ≤≤，所以22333x m πππ-≤-≤-.因为()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以42233m πππ≤-≤. 解得：55126m ππ≤≤. 所以m 的最大值为56π.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要熟记正弦函数的图象，灵活运用三角恒等变换将()g x 化为一名一角，能结合正弦函数的图象得出42233m πππ≤-≤. 23．（1）T π=，最大值1，最小值-1；（2）在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增；()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减；【分析】（1）利用两角差余弦公式、两角和正弦公式化简函数式，进而求()f x 的最小正周期、最大值、最小值；（2）利用()sin()f x A x ωϕ=+的性质求函数的单调区间即可. 【详解】（1）())2sin cos sin(2)33f x x x x x ππ=--=+， ∴2||T ππω==，且最大值、最小值分别为1，-1；（2）由题意，当222232k x k πππππ-≤+≤+时，()f x 单调递增，∴51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，()f x 单调递增；当3222232k x k πππππ+≤+≤+时，()f x 单调递减， ∴71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，()f x 单调递减；综上，当()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递增； ()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递减；【点睛】关键点点睛：应用两角和差公式化简三角函数式并求最小正周期、最值；根据()sin()f x A x ωϕ=+性质确定三角函数的单调区间.24．（1）2ω=，()g ϕ的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()f α= 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期可求得ω的值，求得()sin 3g πϕϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围可求得()g ϕ的值域；（2）求得tan 2α=，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得()f α的值.【详解】（1）由于函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤⎪⎝⎭的最小正周期为π，则22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=-，()sin 63g f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππϕ-≤≤，5636πππϕ∴-≤-≤，所以，()1sin ,132g πϕϕ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，3πϕ=，所以，())21sin 2sin 22sin cos 2cos 132f πααααααα⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭22222sin cos tan sin cos 2sin cos 2tan 12αααααααααα=-+=+=+++245210-+=+=. 【点睛】求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式．第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+）的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 25．（1）15（2）13-【分析】（1）由三角函数的定义知，3cos 5θ=-，4sin 5θ=，又2cos22cos 1θθ=-，代入即可得到答案；（2）利用公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⋅计算即可.【详解】（1）P 在单位圆上，且点P 的横坐标为35，则3cos 5θ=-，4sin 5θ=，2cos2sin cos 2cos 1sin cos θθθθθθ∴-⋅=--⋅93412125555⎛⎫=⨯---⨯= ⎪⎝⎭. （2）由题知4παθ=+，则4πθα=-则1tan tan1142tan tan 1431tan tan 142παπθαπα--⎛⎫=-===- ⎪⎝⎭+⋅+.【点睛】本题考查二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.26．（1）3cos 5α=；（2）6365. 【分析】（1）根据二倍角的正切公式以及同角三角函数的关系，可求得结果；（2）由3cos 5α=求出4sin 5α，由5sin()13αβ+=求出12cos()13αβ+=-，再根据[]sin sin ()βαβα=+-以及两角差的正弦公式可得结果.【详解】（1）因为1tan22α=，所以22tan42tan 31tan 2ααα==-，所以22sin 4cos 3sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得3cos 5α=.（2）由已知得322ππαβ<+<，又5sin()13αβ+=，所以12cos()13αβ+==-，又24sin 1cos 5αα， sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+531246313515565⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，二倍角的公式，两角差的正弦公式，关键在于观察，用已知角表示待求的角，属于中档题.。

高中数学必修一三角函数综合测试(含答案)

绝密★启用前高中数学必修一三角函数综合测试（含答案）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题5 分）1. 已知一扇形的弧所对圆心角为54∘，半径为20cm，则扇形的周长为（）A.6πcmB.60cmC.(40+6π)cmD.1080cm2. 一个扇形的弧长和面积的数值都是4，则这个扇形的中心角的度数为()A.2B.2∘C.2πD.13. 已知0<x<π3，cos(x+π6)=√63，则sin x=（）A.3−√66B.2+√66C.√6+√36D.√6−√364. 已知角α的终边与单位圆交于P(−12，√32)，则cosα的值为（）A.√32B.−√32C.12D.−125. 已知cos(π4−α)=45，则sin2α=（）A.−725B.725C.−15D.156. 已知α∈[0,2π)，且角α与角−π6终边相同，则α=（）A.11π6B.7π6C.5π6D.π67. 已知1−cos x+sin x1+cos x+sin x=−2，则tan x的值为（）A.43B.−43C.34D.−348. 已知sin α=2√55，sin (β−α)=−√1010，α，β均为锐角，则角β等于（） A.5π12B.π3C.π4D.π6二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分）9. 下列三角式中，值为1的是（） A.4sin 15∘cos 15∘ B.2(cos 2π6−sin 2π6)C.2tan 22.5∘1−tan 222.5∘D.√12+12cos π610. 若复数z 满足z (1−2i )=10，则( ) A.z ¯=2−4i B.z −2是纯虚数C.复数z 在复平面内对应的点在第三象限D.若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α=√5511. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，如图，若图中直角三角形两锐角分别为α,β，且小正方形与大正方形面积之比为4:9，设大正方形的边长为1，则( )A.cos α−sin α=23 B.sin β−cos β=23 C.cos (α−β)=49 D.cos (α−β)=5912. 下列结论中正确的是( )A.终边经过点的角的集合是；B.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；C.若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角；D.，，则．卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分）13. 已知sin(π2+α)=13，则cos(π−α)=________．14. 已知函数f(x)=A sin(3x+φ)(A>0, 0<φ<π)在x=π12时取得最大值为4．若x∈[−π4，0]，则f(x)的值域为________．15. 已知函数y=f(x)同时满足下列条件：①周期为π；②定义域为R，值域为[12, 32 ]；③在[0, π2]上是减函数；④f(x)−f(−x)=0，则满足上述要求的函数f(x)可以是________（写出一个即可）．16. 函数y=4cos2(ωx−π4)−2sin(ωx−π4)cos(ωx+π4)(ω>0)的图象与直线y=3在y轴右侧的交点横坐标从小到大依次为p1，p2，⋯，且|p2−p1|=π4，则函数的递减区间为________．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分，）17. 求函数y=√log3sin x的定义域．18. 已知函数f(x)=2sin x4cos x4−2√3sin2x4+√3．（1）求函数f(x)的最小正周期及最值；（2）令g(x)＝f(x−a)，其中a>0，若g(x)为偶函数，求a的最小值．19. 已知函数f(x)=2tan(12x−π4).(1)求f(x)的定义域、值域；(2)求f(x)的最小正周期和函数f(x)图象的对称中心.20. 已知函数f(x)=(cos x2+sin x2)(cos x2−sin x2)+2√3sin x2cos x2.(1)求函数f(x)的最大值并指出f(x)取最大值时x的取值集合；(2)若a，β为锐角，cos(α+β)=1213，f(β)=65，求f(α+π6)的值.21. 求函数y=tan(π3−12x)的定义域、周期及单调区间．22. 已知函数f(x)=tan(x+π4)．(Ⅰ)求f(x)的定义域；(Ⅱ)设β∈(0, π)，且f(β)=2cos(β−π4)，求β的值．参考答案与试题解析一、选择题1.【答案】 C【考点】弧长公式【解析】由条件利用扇形的弧长公式，求得扇形的弧长l 的值，可得扇形的周长为l +2r 的值．【解答】解：由题意，扇形的弧所对的圆心角为54∘，半径r =20cm ，则扇形的弧长l =α⋅r =54180π⋅20=6π(cm)，则扇形的周长为l +2r =6π+2×20=(6π+40)cm ，故选：C ． 2. 【答案】 A【考点】弧长公式扇形面积公式【解析】利用弧长公式直接求解．【解答】解：设扇形的弧长为l ，半径为R ，圆心角为α， ∵ 一个扇形的弧长与面积的数值都是4， ∴ {l =αR =4，S =12αR 2=4，解得R =2， ∴ 这个扇形的中心角的弧度数α=l R=42=2.故选A ． 3. 【答案】 A【考点】同角三角函数基本关系的运用两角和与差的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由0<x <π3⇒π6<x +π6<π2，又因为cos (x +π6)=√63，则sin (x +π6)=√33，所以sin x =sin (x +π6−π6)=sin (x +π6)cos π6−cos (x +π6)sin π6=12−√66=3−√66．故选A ． 4. 【答案】 D【考点】三角函数【解析】根据已知角α的终边与单位圆交与点P(−12，√32)．结合三角函数的定义即可得到cos α的值；【解答】解：已知角α的终边与单位圆交与点P(−12，√32) ∴ x =−12，y =√32，r =1，∴ cos α=−12；故选D ． 5.【答案】 B【考点】两角差的余弦公式的推导【解析】此题暂无解析【解答】解：因为cos(π4−α)=45，所以由两角差的余弦公式可得√22cosα+√22sinα=45，即cosα+sinα=4√25，将式子两边平方得1+2sinαcosα=3225，所以sin2α=725．故选B ． 6. 【答案】 A【考点】单位圆与周期性三角函数线【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】A【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】已知等式去分母变形后，得到关系式，两边平方并利用完全平方公式化简，整理求出sin x的值，进而求出cos x的值，即可确定出tan x的值．【解答】解：已知等式变形得：1−cos x+sin x=−2−2cos x−2sin x，即3sin x+3=−cos x，两边平方得：(3sin x+3)2=cos2x，即9sin2x+18sin x+9=1−sin2x，整理得：5sin2x+9sin x+4=0，即(5sin x+4)(sin x+1)=0，解得：sin x=−45或sin x=−1（原式分母为0，舍去），将sin x=−45代入得：−125+3=−cos x，即cos x=−35，则tan x=sin xcos x =43．故选：A．8.【答案】C【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用两角和差的正弦公式将β=α+(β−α)进行转化求解即可．【解答】β=α+β−α，∵α，β均为锐角，∴0<α<π2，0<β<π2，−π2<−α<0，则−π2<β−α<π2，∵sin(β−α)=−√1010<0，∴−π2<β−α<0，则cos(β−α)=√1−sin2(β−α)=√1−(−√1010)2=√90100=3√1010，∵sinα=2√55，∴ cos α=√1−sin 2α=(2√55)=√525=√55，则sin β=sin (α+β−α)=sin αcos (β−α)+cos αsin (β−α)=2√55×3√1010+√55×(−√1010)=30√2−5√250=25√250=√22，则β=π4，二、多选题 9.【答案】 A,B,C【考点】三角函数的化简求值三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：A ，4sin 15∘cos 15∘=2sin 30∘=1； B ，2(cos 2π6−sin 2π6)=2cos π3=1；C ，2tan 22.5∘1−tan 222.5∘=tan 45∘=1； D ，√12+12cos π6=√12+√34. 故选ABC . 10.【答案】 A,B【考点】复数的基本概念共轭复数复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算任意角的概念【解析】无【解答】解：A ．由题意，复数z 满足z (1−2i )=10，可得复数z =101−2i =10(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2+4i ，所以z ¯=2−4i ，故选项A 正确；B ．z −2=4i 是纯虚数，故选项B 正确；C ．复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限，故选项C 错误；D．因为z=2+4i在复平面内对应的(2,4)在角α的终边上，所以sinα=2√5=2√55，故选项D错误；故选AB．11.【答案】A,B,D【考点】诱导公式两角和与差的余弦公式【解析】【解答】解：设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为4:9，可得小正方形的边长为23，可得：cosα−sinα=23，①sinβ−cosβ=23，②由图可得：cosα=sinβ，sinα=cosβ，①×②可得：49=cosαsinβ+sinαcosβ−cosαcosβ−sinαsinβ=sin2β+cos2β−cos(α−β)=1−cos(α−β)，解得：cos(α−β)=59．故选ABD.12.【答案】A,B,D【考点】任意角的概念【解析】直接以角的表示方法，象限角的概念，集合间的关系求出结果．【解答】A．终边经过点(a,a)(a≠0)的角的终边在第一和第三象限的角平分线上，故角的集合是{α|a=π4+kπ,k∈Z}，正确；B．将表的分针拨慢10分钟，按逆时针旋转，则分针转过的角的弧度数是π3，正确；C．因为α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+3π2,k∈Z，所以kπ+π2<α2<kπ+3π4,k∈Z，当k为奇数时，α2是第四象限角，当k为偶数时，α2是第二象限角；4kπ+2π<2α<4k+3π,k∈Z，所以2a的终边位置在第一或第二象限或Ⅳ轴非负半轴，所以错误；D．M={x|x=45∘+k⋅90∘,k∈Z}={x|x=(2k+1)⋅45∘,k∈ZN={y|y=90∘+k,45∘,k∈Z}={y|y=(2+k)⋅45∘,k∈Z}，易知M⊆N，所以正确；故选：ABD．三、填空题13.【答案】−1 3【考点】运用诱导公式化简求值【解析】由条件利用诱导公式求得cosα的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵已知sin(π2+α)=13=cosα，则cos(π−α)=−cosα=−13，故答案为：−13．14.【答案】[−4, 2√2]【考点】正弦函数的图象【解析】根据y=A sin(ωx+φ)的最小正周期的求法求得此函数的最小正周期．由函数的最大值求A，根据函数在x=π12时取得最大值为4，求得φ，从而得到函数的解析式．根据x∈[−π4，0]，结合正弦函数的定义域和值域，求得函数f(x)的值域．【解答】解：(1)∵函数f(x)=A sin(3x+φ)，故函数的最小正周期为T=2π3，由函数的最大值为4可得A=4，由函数在x=π12时取得最大值4可得4sin(3×π12+φ)=4，故π4+φ=2kπ+π2，k∈z．结合0<φ<π，可得φ=π4．综上，函数f(x)=4sin(3x+π4)，∵x∈[−π4，0]，∴−π2≤3x+π4≤π4，∴−1≤sin(3x+π4)≤√22，试卷第11页，总17页∴ −4≤4sin (3x +π4)≤2√2，∴ x ∈[−π4，0]，则f(x)的值域为[−4, 2√2]，故答案为：[−4, 2√2]． 15. 【答案】f(x)=12cos 2x +1【考点】余弦函数的周期性函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换余弦函数的单调性【解析】根据余弦函数典型的性质，结合函数图象的变换规律求解．【解答】解：∵ y =cos x 的周期为2π，在[0, π2]上单调递减，值域为[−1, 1]，定义域为R . ∴ 通过图象的变换规律得到f(x)=12cos 2x +1能够符合题意．故答案为：f(x)=12cos 2x +1.16.【答案】【考点】两角和与差的正弦公式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题17.【答案】解：由题意可得log 3sin x ≥0，∴ sin x ≥1，又−1≤sin x ≤1， ∴ sin x =1，∴ x =2kπ+π2，k ∈Z ∴ 原函数的定义域为{x|x =2kπ+π2, k ∈Z} 【考点】正弦函数的单调性【解析】试卷第12页，总17页由题意可得log3sin x≥0，可得sin x≥1，结合正弦的值域可得sin x=1，可得答案．【解答】解：由题意可得log3sin x≥0，∴sin x≥1，又−1≤sin x≤1，∴sin x=1，∴x=2kπ+π2，k∈Z∴原函数的定义域为{x|x=2kπ+π2, k∈Z} 18.【答案】函数f(x)=2sin x4cos x4−2√3sin2x4+√3=sin x2+√3cos x2=2sin(x2+π3)．所以函数的最小正周期为T=2π12=4π，当x2+π3=2kπ−π2(k∈Z)时，即x=4kπ−5π3(k∈Z)，函数的最小值为−2，当x=4kπ+π3(k∈Z)时，函数的最大值为2；令g(x)＝f(x−a)，＝sin[(x−a)2+π3]，由于函数g(x)为偶函数，故π3−a2=kπ+π2(k∈Z)，整理得当k＝−1时，a的最小值为53π．【考点】三角函数的最值正弦函数的奇偶性和对称性【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和最值．（2）利用（1）的结论，进一步利用函数的奇偶性求出a的最小值．【解答】函数f(x)=2sin x4cos x4−2√3sin2x4+√3=sin x2+√3cos x2=2sin(x2+π3)．所以函数的最小正周期为T=2π12=4π，当x2+π3=2kπ−π2(k∈Z)时，即x=4kπ−5π3(k∈Z)，函数的最小值为−2，当x=4kπ+π3(k∈Z)时，函数的最大值为2；令g(x)＝f(x−a)，＝sin[(x−a)2+π3]，由于函数g(x)为偶函数，故π3−a2=kπ+π2(k∈Z)，整理得当k＝−1时，a的最小值为53π．19.【答案】试卷第13页，总17页解：(1)由12x −π4≠π2+kπ(k ∈Z )，解得x ≠3π2+2kπ(k ∈Z )，所以f(x)的定义域为{x|x ≠3π2+2kπ,k ∈Z }，值域为R .(2)T =π12=2π,由12x −π4=kπ2(k ∈Z )，解得x =(2k+1)π2(k ∈Z ).函数f(x)图象的对称中心为((2k+1)π2,0)(k ∈Z ).【考点】正切函数的定义域正切函数的周期性正切函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由12x −π4≠π2+kπ(k ∈Z )，解得x ≠3π2+2kπ(k ∈Z )，所以f(x)的定义域为{x|x ≠3π2+2kπ,k ∈Z }，值域为R .(2)T =π12=2π,由12x −π4=kπ2(k ∈Z )，解得x =(2k+1)π2(k ∈Z ).函数f(x)图象的对称中心为((2k+1)π2,0)(k ∈Z ).20. 【答案】解：(1) f(x)=cos 2x 2−sin 2x 2+2√3sin x 2cos x2 =cos x +√3sin x =2sin (x +π6) ，试卷第14页，总17页令x+π6=π2+2kπ得x=π3+2kπ,k∈Z，所以f(x)的最大值为2，此时x的取值集合为{x|x=π3+2kπ,k∈Z}.(2)由α，β为锐角，cos(α+β)=1213得sin(α+β)=513，0<β<π2⇒π6<β+π6<2π3，又f(β)=2sin(β+π6)=65⇒sin(β+π6)=35∈(12,√22)，∴π6<β+π6<π4，∴cos(β+π6)=45，∴cos(α−π6)=cos[(α+β)−(β+π6)]=cos(α+β)cos(β+π6)+sin(α+β)sin(β+π6)=6365，∴f(α+π6)=2sin(α+π3)=2sin(π2+α−π6)=2cos(α−π6)=12665.【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式诱导公式三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f(x)=cos2x2−sin2x2+2√3sin x2cos x2=cos x+√3sin x=2sin(x+π6)，令x+π6=π2+2kπ得x=π3+2kπ,k∈Z，所以f(x)的最大值为2，此时x的取值集合为{x|x=π3+2kπ,k∈Z}.(2)由α，β为锐角，cos(α+β)=1213得sin(α+β)=513，0<β<π2⇒π6<β+π6<2π3，又f(β)=2sin(β+π6)=65⇒sin(β+π6)=35∈(12,√22)，试卷第15页，总17页∴ π6<β+π6<π4，∴ cos (β+π6)=45，∴ cos (α−π6)=cos [(α+β)−(β+π6)] =cos (α+β)cos (β+π6)+sin (α+β)sin (β+π6)=6365，∴ f(α+π6)=2sin (α+π3)=2sin (π2+α−π6)=2cos (α−π6)=12665.21. 【答案】解：函数y =tan (π3−12x)=−tan (x2−π3 )，定义域：12x −π3≠π2+kπ,k ∈Z . 即x ≠5π3+2kπ,k ∈Z .故函数的定义域为{x|x ≠5π3+2kπ,k ∈Z }．由kπ−π2<x2−π3<kπ+π2可得2kπ−π3<x <2kπ+5π3，故函数的单调区间为 (2kπ−π3, 2kπ+5π3)，k ∈Z ．周期为 T =πω=π12=2π．【考点】正切函数的周期性正切函数的单调性【解析】函数即 y =−tan (x2−π3 )，由kπ−π2<x2−π3<kπ+π2 可解得x 的范围，即得它的定义域，周期由 T =πω 求得，根据定义域由无数个单调区间构成，求得其定义域．【解答】解：函数y =tan (π3−12x)=−tan (x2−π3 )，定义域：12x −π3≠π2+kπ,k ∈Z .即x ≠5π3+2kπ,k ∈Z .故函数的定义域为{x|x ≠5π3+2kπ,k ∈Z }．由kπ−π2<x2−π3<kπ+π2 可得 2kπ−π3<x <2kπ+5π3，故函数的单调区间为 (2kπ−π3, 2kπ+5π3)，k ∈Z ．试卷第16页，总17页周期为 T =πω=π12=2π．22. 【答案】（1）由x +π4≠kπ+π2，得x ≠kπ+π4，k ∈Z ．[]所以函数f(x)的定义域是{x|x ≠kπ+π4,k ∈Z}．[] （2）依题意，得tan (β+π4)=2cos (β−π4)．[] 所以sin (β+π4)cos (β+π4)=2sin (β+π4)，[]整理得sin (β+π4)⋅[2cos (β+π4)−1]=0，[] 所以sin (β+π4)=0，或cos (β+π4)=12．[] 因为 β∈(0, π)，所以β+π4∈(π4,5π4)，[]由sin (β+π4)=0，得β+π4=π，β=3π4；[]由cos (β+π4)=12，得β+π4=π3，β=π12．所以β=π12，或β=3π4．[]【考点】两角和与差的三角函数正切函数的定义域【解析】(Ⅰ)由x +π4≠kπ+π2，得x ≠kπ+π4，k ∈Z ，可得f(x)的定义域；(Ⅱ)设β∈(0, π)，且f(β)=2cos (β−π4)，整理得sin (β+π4)⋅[2cos (β+π4)−1]=0，即可求β的值．【解答】（1）由x +π4≠kπ+π2，得x ≠kπ+π4，k ∈Z ．[] 所以函数f(x)的定义域是{x|x ≠kπ+π4,k ∈Z}．[]（2）依题意，得tan (β+π4)=2cos (β−π4)．[] 所以sin (β+π4)cos (β+π4)=2sin (β+π4)，[]整理得sin (β+π4)⋅[2cos (β+π4)−1]=0，[] 所以sin (β+π4)=0，或cos (β+π4)=12．[]试卷第17页，总17页因为 β∈(0, π)，所以β+π4∈(π4,5π4)，[]由sin (β+π4)=0，得β+π4=π，β=3π4；[]由cos (β+π4)=12，得β+π4=π3，β=π12．所以β=π12，或β=3π4．[]。

三角函数综合测试题(含答案)

三角函数综合测试题（本试卷满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题共40分）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、若点P 在32π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（）A ．)3,1(B ．)1,3(-C ．)3,1(--D ．)3,1(-2、已知=-=-ααααcos sin ,45cos sin 则（） A ．47 B ．169- C ．329-D ．329 3、下列函数中，最小正周期为2π的是（） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)64tan(π+=x y4、等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（）A ．924-B ．924 C ．97-D ．975、将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，则ϕ等于() A ．12π-B ．3π-C ．3π D ．12π 6、50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( )A ．3B ．33C ．33-D ．3-7．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8.ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（） A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBC ．33sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上）9.已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为；10.在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________11.已知,1)cos(,31sin -=+=βαα则=+)2sin(βα _______． 12.函数x x y 2cos )23cos(--=π的最小正周期为 __________．13.关于三角函数的图像，有下列命题： ①x y sin =与x y sin =的图像关于y 轴对称； ②)cos(x y -=与x y cos =的图像相同；③x y sin = 与)sin(x y -=的图像关于y 轴对称；④ x y cos =与)cos(x y -=的图像关于y 轴对称；其中正确命题的序号是 ___________．三．解答题（本大题共6小题，共80分。

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高一年级数学试卷第Ⅰ卷(客观题共６０分)一、选择墨：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. cos300︒=(A)2-12 (C)12 (D)2考查目标：本题考查学生诱导公式的掌握，考查学生的计算能力2.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位考查目标：本题考查三角函数图象变换，考查学生识图能力 3.下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（A ）sin(2)2y x π=+ （B ）cos(2)2y x π=+ （C ）sin()2y x π=+（D ）cos()2y x π=+考查目标：本题考查三角函数的周期性单调性，考查学生的综合应用能力4.若α＝－3，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.集合M ＝{α︱α=k o90⋅，k ∈Z}中，各角的终边都在（） A ．轴正半轴上， B ．轴正半轴上，C ．轴或轴上， D ．轴正半轴或轴正半轴上考查目标：本题考查角的概念的推广，考查学生的抽象概括能力6．已知的正弦线与余弦线相等，且符号相同，那么A ．B ．C ．D ．考查目标：本题考查三角函数的定义，考查学生的推理能力 7{}{}=<≤<=<≤<=F E F o E 则集合πθθθθπθθθθ20,sin tan ,2,sin cos ( )A ⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2. B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ43,4. C. .⎪⎭⎫⎝⎛ππ23, D.⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ45,43 考查目标：本题考查三角函数的定义，考查学生的推理能力 8．若81cos sin =θθ，且24πθπ<<，则=-θθsin cos （） .A 43-.B 43.C 23-.D 23 考查目标：本题考查同角三角函数的基本关系式，考查学生的推理能力和运算能力9．设)(x f 是定义域为R ，最小正周期为23π的函数，若⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=)0(sin )02( cos )(ππx x x x x f 则)415(π-f 的值等于（）.A 1.B 22.C 0.D 22-考查目标：本题考查三角函数的周期性，考查学生的推理能力（学生自编题）10、函数2)62sin(3++-=πx y 的单调递减区间是（）（A ）Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,23,26ππππ；（B ）Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππ；（C ）Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3,6ππππ；（D ）Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,6ππππ。

考查目标：本题考查三角函数的单调性，考查学生的推理及运算能力 11.角α的终边上有一点)0(),2,(<-a a a 则αsin = （）（A ）552-；（B ）55-；（C ）55；（D ）552。

考查目标：本题考查三角函数的定义，考查学生的运算能力 1２、如右图所示的是一个算法的程序框图，它的算法功能是（）A ．求出a ，b ，c 三数中的最大数B ．求出a ，b ，c 三数中的最小数C ．将a ，b ，c 按从小到大排列D ．将a ，b ，c 按从大到小排列１６题１２题考查目标：本题考查程序框图，考查学生的逻辑思维能力第Ⅱ卷(主观题共９０分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、函数)2π25sin(x y +=的图象的一条对称轴的方程是。

考查目标：本题考查三角函数的性质，考查学生的推理能力 1４、函数B x A y +-=)32sin(π（0>A ）的最大值是27，最小值是25-，则=A _．考查目标：本题考查三角函数的性质，考查学生的推理能力及运算能力 15、如果｜x ｜≤4π,那么函数y =cos 2x +sin x 的最小值为＿＿＿＿＿＿＿考查目标：本题考查三角函数的性质，考查学生的推理能力及运算能力16、给出30个数：1，2，4，7，…… ，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推．要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如右下图所示）：图中 ① 处和 ② 处应填上什么语句，使之能完成该题算法功能；考查目标：本题考查程序框图，考查学生的逻辑思维能力三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分１２分）已知3sin 4cos 0αα+=，求222sin 3cos (1);(2)sin 2sin cos 3cos sin 2cos αααααααα++-+的值。

考查目标：本题考查同角三角函数的基本关系式，考查学生的运算及推理能力 18、（本小题满分１２分）已知α是第二象限的角，且cos(α－2π)=51, 求)23cos()2tan()23tan()cos()sin(απαπαπαπαπ+⋅+--⋅-⋅+的值.考查目标：本题考查诱导公式，考查学生的运算能力②①NY19、（本小题满分１２分）右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω，20πϕ<<）图象的一部分，求这个函数的解析式．考查目标：本题考查三角函数的图像和性质，考查学生的识图能力20、（本小题满分１２分）已知x a x x x f sin 2sin cos 2)(22++=（R a ∈，a 为常数）．（1）若R x ∈，求)(x f 的最大值（用a 表示）；（2）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为4，求a 的值．考查目标：本题考查复合函数的最值，考查学生的综合能力21、（本小题满分１２分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时使进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：（１）请在下面三个函数中选择一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系．Ａx y 6sin 5.25π+= Ｂx y 6cos 5.25π+= Ｃ5.15-+=x y（２）一条货船的吃水深度（船底与水的距离）为４米，安全条例规定至少要有２．２５米的安全间隙（船底与海洋的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？考查目标：本题考查三角函数的图像和性质，考查学生的实际应用的能力22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E（I ）证明：ABE ∆ADC ∆ （II ）若ABC ∆的面积AE AD S ⋅=21，求BAC ∠的大小。

(参考公式：C ab S ABC sin 21=∆)考查目标：本题考查几何证明，考查学生推理论证能力高一年级数学试卷答案及评分标准一、本题共12小题，每小题5分，共60分．13．2π=x 14．3 15．221- 16．i p p i +=≤,30 三．计算题 17．（12分）1743cos sin cos 3cos sin 2sin )2(212tan 3tan 212222-=+-+==++=αααααααα原式）原式解：（18．（12分）解：562sin cot cot cos sin 562cos 51sin 512cos -=∙∙∙=-=∴=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααααααπα原式是第二象限角 19.（12分）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴=⎪⎭⎫⎝⎛+=∴==∴=∴=-32sin 232,122sin 22243126;ππϕπϕπππx y x y A w T T 代入得：将点解：由图()[]()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<-+-≤-=∴=++-=∴-∈=++-=1,1211,21,21221,1sin 2sin 2sin )1.(202max22u a a a u a y a u au u y x u x a x x f ，对称轴设解：()[]()()()23,2234122421,1210,20,21,0,2,0222=±===+±==+⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<+≤=∴∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a a a a a u a u a u y u x 综上所述：时，，时，π()()小时每次可以在港口停留出港进港：出港，进入答：船解：400:17001300:500:121.21A() 901sin 21sin 2121)2(1.22=∠∴=∠∴∙=∠∙∙=∙=∙=∙∴=∴∆∝∆∆≈∆∴∠=∠∠=∠∴∠∆BAC BAC ACAB BAC AC AB AE AD S AC AB AE AD AEAC AB AD ADC ABE ADCABE C E CAE BAE BAC AE ABC 证明：又的角平分线是证明：。