中考数学一轮复习(几何篇)13.三角函数的综合运用
2024年中考重点之三角函数的计算与应用
2024年中考重点之三角函数的计算与应用一、引言三角函数是数学中的重要分支，被广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在2024年中考中，三角函数的计算与应用是重点考察的内容。
本文将针对这一重点进行详细讲解，并给出相关的计算和应用案例。
二、基本概念及计算方法1. 正弦、余弦、正切函数在直角三角形中，我们定义了三种重要的三角函数：正弦、余弦和正切。
它们分别表示了一个角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边之间的比值。
它们的计算公式如下：正弦函数sinθ = 对边 / 斜边余弦函数cosθ = 邻边 / 斜边正切函数tanθ = 对边 / 邻边通过这些计算公式，我们可以方便地求解角度的三角函数值。
2. 三角函数的基本性质三角函数具有一些重要的基本性质，如周期性、奇偶性等。
其中，正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
此外，三角函数还具有诱导公式和倍角公式等重要的计算性质，这些性质在计算过程中经常被应用。
三、三角函数的应用案例1. 三角函数在几何中的应用三角函数在几何中有着广泛的应用。
例如，在求解不规则图形的面积时，我们可以利用三角函数求解其中某些特殊角的正弦、余弦值，将其代入相关公式进行计算。
另外，对于高中数学中常见的一些几何题目，如求解直角三角形的边长、角度，利用三角函数可以快速解决。
2. 三角函数在物理中的应用三角函数在物理学中有着广泛的应用。
例如，在力学中，当物体作简谐振动时，其位移关于时间的变化可以用正弦函数或余弦函数来表示。
在光学中，光的波动性质也可以通过正弦函数来进行数学表示和分析。
此外，声音、电磁波等在传播过程中也会涉及到三角函数的运算和应用。
3. 三角函数在工程中的应用在工程领域，三角函数也有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，利用三角函数可以计算出某个角度下的水平距离和垂直距离，从而方便地进行测量和布局。
在电力工程中，通过三角函数可以计算出电流和电压的相位差，从而实现电路的稳定运行。
数学三角函数综合应用
数学三角函数综合应用数学是一门抽象而又具有广泛应用的学科，而三角函数则是数学中的重要分支之一。
三角函数的概念和性质在数学中有着广泛的应用，涉及到物理、工程、计算机科学等领域。
本文将探讨数学三角函数的综合应用，并且通过实际例子来说明其在现实生活中的应用。
一、三角函数的基本概念在介绍三角函数的综合应用之前，我们首先需要了解三角函数的基本概念。
三角函数是描述角度和边长之间关系的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
其中，正弦函数表示一个角的对边与斜边之间的比值，余弦函数表示一个角的邻边与斜边之间的比值，正切函数表示一个角的对边与邻边之间的比值。
二、三角函数在几何中的应用1. 三角函数在三角形中的应用三角函数在几何中有着广泛的应用，特别是在三角形的计算中。
通过利用三角函数，我们可以计算出三角形的边长、角度等信息。
例如，在已知一个角和两边的情况下，可以利用正弦定理或余弦定理来计算出三角形的其他边长。
这在实际生活中的测量和建模中非常有用，比如在建筑工程中测量建筑物的高度、角度等。
2. 三角函数在航海中的应用三角函数在航海中也有着重要的应用。
在航海中，船只需要确定自己的位置和航向，而这些信息可以通过测量角度和距离来获得。
通过利用三角函数，可以计算出船只和目标点之间的距离和方向。
这在航海导航和定位中非常重要，可以帮助船只准确地找到目标位置。
三、三角函数在物理中的应用1. 三角函数在力学中的应用三角函数在物理学中的应用非常广泛，特别是在力学中。
在力学中，我们经常需要计算物体的运动轨迹、速度和加速度等信息。
而这些信息可以通过利用三角函数来计算得到。
例如，在斜面上滚动的物体，可以通过分解力的分量，利用三角函数来计算物体在斜面上的加速度和速度。
2. 三角函数在波动中的应用三角函数在波动中也有着重要的应用。
在波动中，我们经常需要计算波的振幅、频率和波长等信息。
而这些信息可以通过利用三角函数来计算得到。
例如，在声波中，可以利用正弦函数来描述声波的振动情况，从而计算出声波的频率和波长。
三角函数的综合应用+课件-2025届高三数学一轮复习
(2)由题意，得 f(A)＝2sin 2A－π3－ 3＝0，即 sin 2A－π3＝ 23，
∵A∈0，π2， 则 2A－π3∈－π3，23π， ∴2A－π3＝π3，∴A＝π3.
在△ABC 中， 由 a2＝b2＋c2－2bc cos A＝42＋32－2×4×3×12＝13， 可得 a＝ 13， 又∵12bc sin A＝12AD×a，即12×4×3× 23＝21AD× 13， ∴AD＝61339，故 BC 边上的高 AD 的长为61339.
(2)根据正弦定理得sina A＝sinc C＝sinb
B＝
4 ＝8 3
3
3，
2
所以
a＝8
3
3 sin
A，c＝8
3
3 sin
C.
所以
a＋c＝8
3
3 (sin
A＋sin
C).
因为 A＋B＋C＝π，B＝π3，所以 A＋C＝23π，
所以 a＋c＝8
3
3 sin
A＋sin
23π－A＝8
3
33 2sin
A＋
23cos
A
＝8sin A＋π6.
因为 0＜A＜23π，
所以 A＋π6∈π6，56π，所以 sin A＋π6∈12，1，则 a＋c∈(4，8].
所以 a＋c 的取值范围是(4，8].
【反思感悟】已知三角形一边及其对角，求取值范围的问题 的解法
(1)(不妨设已知 a 与 sin A 的值)根据 2R＝sina A求出三角形外接
∴a2＋c2 b2＝sin2Asi＋n2Csin2B＝cos22sCin＋2Ccos2C ＝(1－2sin2Cs)in2＋2C(1－sin2C)＝2＋4sins4iCn2－C 5sin2C
初中数学知识归纳三角函数的应用
初中数学知识归纳三角函数的应用三角函数是初中数学中重要的概念之一，它不仅在几何形状的计算中有广泛的应用，还在实际问题的解决中发挥着重要作用。
本文将对初中数学中三角函数的应用进行归纳总结，并给出一些具体的例子说明。
一、角度与弧度的转换在应用三角函数中，角度和弧度是两种常见的度量方式。
角度是指以角的两边为基准，通过度数表示的量；而弧度是指以角所对应的圆的半径为基准，通过弧长表示的量。
它们之间有一个重要的转换关系，即：弧度 = 角度× π/180角度 = 弧度× 180/π二、三角函数的基本关系在初中数学中，根据一个直角三角形的定义，我们可以得出以下三角函数的基本关系：1. 正弦函数（sin）：对于一个直角三角形，正弦函数定义为对边与斜边的比值，即 sinA = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：对于一个直角三角形，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，即 cosA = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tan）：对于一个直角三角形，正切函数定义为对边与邻边的比值，即 tanA = 对边/邻边。
三、三角函数在几何形状计算中的应用1. 应用一：三角函数在直角三角形中的应用直角三角形是应用三角函数的最基本形式之一。
通过计算三角函数的值，我们可以求解直角三角形的各边长和角度。
例如，已知一个角的正弦函数值为0.5，我们可以通过反三角函数求解出该角度近似等于30度。
2. 应用二：三角函数在平行四边形中的应用平行四边形是另一个常见的几何形状，而三角函数在求解平行四边形的面积时有重要应用。
假设平行四边形的对角线长度为a，夹角为θ，则平行四边形的面积为S = a^2sinθ。
四、三角函数在实际问题中的应用除了在几何形状的计算中应用外，三角函数还在实际问题的解决中发挥着重要作用。
1. 应用一：测量不可直接测量的长度在实际测量中，某些长度无法直接进行测量，但通过应用三角函数可以间接求解。
例如，通过测量某一斜边的长度和与地平线的夹角，利用三角函数可以计算出相对高度。
中考重点三角函数及其应用
中考重点三角函数及其应用中考重点：三角函数及其应用一、三角函数的基本概念和关系三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在中考中，对于三角函数的认识和运用是重点考查的内容。
1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，它们的定义如下：对于任意角θ（θ为弧度制），其正弦值为sinθ，余弦值为cosθ。
在直角三角形中，以角θ为锐角，邻边和斜边的比值称为正弦，邻边和斜边的比值称为余弦。
在解决三角函数相关问题时，需要掌握基本的正弦函数和余弦函数的性质，以便进行计算和推导。
2. 正切函数和余切函数正切函数和余切函数是另外两个常用的三角函数，它们的定义如下：对于任意角θ（θ为弧度制），其正切值为tanθ，余切值为cotθ。
在直角三角形中，以角θ为锐角，邻边和对边的比值称为正切，对边和邻边的比值称为余切。
与正弦函数和余弦函数类似，正切函数和余切函数也具有特定的性质，需要在解题过程中正确运用。
二、三角函数的应用三角函数在数学中的应用非常广泛，涉及代数、几何、物理等多个领域。
在中考中，三角函数的应用是一个重点考察的内容，下面我们来介绍几个常见的应用场景。
1. 三角形的计算三角函数在解决三角形相关问题时起到了重要的作用。
在计算三角形的边长、角度等问题时，可以通过运用正弦定理、余弦定理等方法来求解。
以计算三角形的面积为例，假设已知三角形的两边长分别为a和b，夹角为θ，则三角形的面积可以通过公式S=1/2ab*sinθ来计算得出。
这个公式利用了正弦函数的性质，很好地体现了三角函数在几何中的应用。
2. 直角三角形的求解直角三角形是最简单的三角形形式之一，它的特点是其中一个角为90度。
在解决直角三角形相关问题时，可以运用三角函数来求解未知变量。
例如，已知一个直角三角形的斜边长为c，一个锐角为θ，则可以通过运用正弦函数和余弦函数的关系来计算出其他两条边的长度。
三、解决问题的思路和方法在中考中，对于三角函数的应用题目，解题的思路和方法往往是非常重要的。
初中数学知识归纳三角函数的应用的应用
初中数学知识归纳三角函数的应用的应用三角函数是数学中的一个重要分支，它与几何图形和角度密切相关，广泛应用于各个领域。
在初中数学学习中，我们学习了三角函数的定义、性质和常见的应用。
那么，在这篇文章中，我们将进一步归纳总结三角函数的应用。
1. 角度的度与弧度制在学习三角函数之前，我们需要了解角度的度与弧度制的转换。
角度的度通常用°表示，而弧度制则用弧长与半径的比值表示。
它们之间可以通过如下的转换公式相互转换：角度（°）= 弧度（rad）× (180/π)弧度（rad）= 角度（°） ×(π/180)2. 三角函数的定义与性质在初中数学中，我们学习了三角函数的定义与性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义如下：正弦函数（sin）：对于一个任意角A，它的正弦值定义为其对边与斜边的比值，即sin(A) = 对边/斜边。
余弦函数（cos）：对于一个任意角A，它的余弦值定义为其邻边与斜边的比值，即cos(A) = 邻边/斜边。
正切函数（tan）：对于一个任意角A，它的正切值定义为其对边与邻边的比值，即tan(A) = 对边/邻边。
除了定义之外，三角函数还具有一些重要的性质，如周期性、奇偶性等。
这些性质在解题时会有所应用。
3. 直角三角形中的应用在初中数学中，我们学习了直角三角形中三角函数的应用。
利用正弦、余弦、正切函数可以求解直角三角形中的边长和角度。
例如，已知一个角的正弦值，我们可以通过反正弦函数求解出该角的度数。
同理，利用余弦和正切函数也可以进行相应的求解。
除了求解直角三角形中的边长和角度外，三角函数还可以用于解决实际问题。
例如，通过测量建筑物与地平线之间的角度，我们可以利用正切函数计算出建筑物的高度。
4. 三角恒等式的应用三角恒等式是指对于任意角A，恒等式都成立的性质。
初中数学中，我们学习了一些常见的三角恒等式，如正弦定理、余弦定理等。
这些恒等式在解决各类三角形相关的问题时非常重要。
初中数学知识归纳三角函数的计算及应用
初中数学知识归纳三角函数的计算及应用初中数学知识归纳：三角函数的计算及应用在数学的学习过程中，三角函数是一个重要的概念。
它不仅具有计算上的应用，还在实际问题中起着重要的作用。
本文将对初中阶段的三角函数的计算及应用进行归纳总结。
一、三角函数的基本概念在开始学习三角函数之前，我们首先需要了解三角函数的基本概念。
在一般直角坐标系中，以一个角的顶点为原点，角的边所在射线为x轴正半轴，另一条射线在x轴上方，逆时针方向为y轴正半轴，这样就形成了一个角度。
三角函数就是通过这个角度来定义的。
常见的三角函数有正弦函数sin、余弦函数cos、正切函数tan等。
它们分别表示角度中的两条边与一个已知边的比值。
例如，正弦函数sinA表示角A的对边与斜边的比值。
二、三角函数的计算方法1. 计算三角函数的值要计算三角函数的值，我们需要根据角度的大小以及已知边的长度来确定，以下是常见的计算方法：（1）已知角度和两边的长度，可以通过定义计算三角函数的值；（2）已知边长比值和一个已知边，可以通过反函数来计算角度。
2. 特殊角的计算特殊角是指0°、30°、45°、60°、90°等特定的角度，它们的三角函数值是固定的。
为了方便计算，在学习三角函数时，我们需要记住这些特殊角的计算结果。
三、三角函数的应用三角函数在实际生活中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 几何问题三角函数在几何学中有着广泛的应用。
例如，通过已知的角度和边长，我们可以计算实际问题中的距离、高度、面积等。
同时，三角函数还可以用于解决平面和立体图形的定位和测量问题，为我们提供了解决实际几何问题的工具。
2. 物理问题在物理学中，三角函数的应用也非常广泛。
例如，通过应用正弦函数可以计算质点在斜面上滚动时的加速度；余弦函数可以计算一个物体在对地斜抛运动时的水平位移等。
三角函数在解决物理问题中起着重要的作用，帮助我们理解和解决实际情况下的运动问题。
专题13三角函数的综合应用
专题13三角函数的综合应用三角函数是高中数学中重要的内容之一，它不仅具有丰富的数学性质，还有着广泛的实际应用。
在教学中，我们可以通过一些实例来展示三角函数的综合应用，让学生更好地理解和掌握它的概念和性质。
本篇文章将从三角函数的几何意义、周期性、坐标变换、解三角形等几个方面介绍三角函数的综合应用。
一、三角函数的几何意义三角函数的几何意义是指角度与三角函数值之间的关系。
例如，sinθ代表一个角度为θ的直角三角形中，对边与斜边的比值，cosθ代表一个角度为θ的直角三角形中，邻边与斜边的比值。
利用三角函数的几何意义，我们可以解决一些与三角函数有关的实际问题。
例如，一棵树的高度无法直接测量，但我们可以通过测量一个人与树的距离和该人的仰角，利用tanθ=对边/邻边的关系，计算出树的高度。
同样，我们可以利用sinθ=对边/斜边和cosθ=邻边/斜边的关系，计算出其他无法直接测量的长度。
二、三角函数的周期性三角函数的周期性是指三角函数在一定范围内的值重复出现的性质。
例如，sinθ的周期为2π，即sin(θ+2π)=sinθ。
利用三角函数的周期性，我们可以对一些周期性现象进行模拟和预测。
例如，在绘制正弦曲线时，我们可以利用sinθ的周期性，用一段周期内的数值来绘制整个曲线。
同样，在模拟周期性变化的物理现象时，我们也可以利用三角函数的周期性进行建模和计算。
三、坐标变换坐标变换是指将直角坐标系下的坐标转换为极坐标系下的坐标，或者将极坐标系下的坐标转换为直角坐标系下的坐标。
利用坐标变换，我们可以简化一些复杂的三角函数计算。
例如，给定一个极坐标（r，θ），我们可以将其转换为直角坐标系下的坐标（x，y），其中x=r*cosθ，y=r*sinθ。
同样，给定一个直角坐标（x，y），我们也可以将其转换为极坐标系下的坐标（r，θ），其中r=sqrt(x^2+y^2)，θ=arctan(y/x)。
利用坐标变化，我们可以在直角坐标系和极坐标系之间自由切换，并通过不同的坐标系来解决不同的问题。
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13. 三角函数的综合运用知识考点：本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。
要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。
熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。
精典例题：【例1】如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。
（参考数据：2＝1.41421…，3＝1.73205…）分析：此题可先通过解Rt △ABD 求出塔高AB ，再利用CE ＝BD ＝80米，解Rt △AEC 求出AE ，最后求出CD ＝BE ＝AB －AE 。
解：在Rt △ABD 中，BD ＝80米，∠BAD ＝600∴AB ＝56.13838060tan 0≈=⋅BD （米） 在Rt △AEC 中，EC ＝BD ＝80米，∠ACE ＝450∴AE ＝CE ＝80米∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝56.5880380≈-（米）答：塔AB 的高约为138. 56米，楼CD 的高约为58. 56米。
【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO ＝450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为030=α，045=β，求大桥AB 的长（精确到1米，选用数据：2＝1.41，3＝1.73）分析：要求AB ，只须求出OA 即可。
可通过解Rt △POA 达到目的。
解：在Rt △PAO 中，∠PAO ＝030=α∴OA ＝345030cot 450cot 0==∠⋅PAO PO （米） 在Rt △PBO 中，∠PBO ＝045=β ∴OB ＝OP ＝450（米）∴AB ＝OA －OB ＝3294503450≈-（米）答：这座大桥的长度约为329米。
评注：例1和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。
【例3】一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛C 与航向（直线AB ）的距离，再与10海里进行比较得出结论。
045060例1图FED CBA 例2图 βαABOP解：过C 作AB 的垂线CD 交AB 的延长线于点D ∵CD AD =30cot ，CDBC =060cot ∴030cot ⋅=CD AD ，060cot ⋅=CD BD ∴20)60cot 30(cot 00=-=-CD BD AD ∴31033320=-=CD∵310＞10∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。
评注：此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题。
30060例3图南北北南西东CDBA 例4图FE D CBA【例4】某水库大坝横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝3米，斜坡AD ＝16米，坝高8米，斜坡BC 的坡度i ＝1∶3，求斜坡AB 的坡角和坝底宽AB 。
分析：此题可通过作梯形的高，构造直角三角形使问题得以解决。
解：作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，在Rt △ADE 和Rt △BCF 中∵21168sin ===AD DE A ∴∠A ＝300又∵388162222=-=-=DE AD AE ，31==BF CF i ∴BF ＝3CF ＝3×8＝24∴AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝24338++＝3827+（米） 答：斜坡AB 的坡角∠A ＝300，坝底宽AB 为)3827(+米。
评注：此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值αtan =i ），其次是作适当的辅助线构造直角三角形。
探索与创新：【问题一】如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB ＝3米，BC ＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度060=θ，问此时车厢的最高点A 离地面多少米？（精确到1米）分析：此题只需求出点A 到CE 的距离，于是过A 、D 分别作AG ⊥CE ，DF ⊥CE ，构造直角三角形，解Rt △AHD 和Rt △CDF 即可求解。
解：过点A 、D 分别作CE 的垂线AG 、DF ，垂足分别为G 、F ，过D 作DH ⊥AG 于H ，则有：23323360sin 0=⨯=⋅=CD DF 41215.060cos 0=⨯=⋅=AD AH 于是A 点离地面的高度为42.141233≈++（米）答：车厢的最高点A 离地面约为4米。
【问题二】如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）。
问题二图1问题二图2略解：设计方案草图如图所示。
说明：如说理图所示，作直线AB ，延长DC 交AB 于E ，由题意可知，△ACE 是等腰直角三角形，所以CE ＝0.5，DE ＝DC ＋CE ＝2，作DH ⊥AB 于H ，则245sin 2sin 0==∠⋅=HED DE DH∵5.12<∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。
设计方案图设计方案说理图跟踪训练：一、选择题：1、河堤的横断面如图所示，堤高BC 是5米，迎水斜坡AB 的长是13米，那么斜坡AB 的坡度i 是（ ）A 、1∶3B 、1∶2.6C 、1∶2.4D 、1∶2问题一图HG FDCB A2、如图，某渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里／小时的速度向正东航行半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ）A 、27海里B 、214海里C 、7海里D 、14海里第1题图CBA15060第2题图北东北MBA4530第3题图C D BA3、如图，从山顶A 望地面C 、D 两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD ＝100米，点C 在BD 上，则山高AB ＝（ ）A 、100米B 、350米C 、250米D 、)13(50+米 4、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。
已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A 、a 450元 B 、a 225元 C 、a 150元 D 、a 300元120选择第4题图 30m20m=i 填空第1题图 填空第2题图 CDBA二、填空题：1、如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基下底AB ＝ 米。
2、小明想测量电线杆AB 的高度（如图），发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD ＝4米，BC ＝10米，CD 与地面成300角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 米（结果保留两位有效数字，2＝1.41，3＝1.73） 三、解答题：1、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A 处观测到河对岸水边处有一点C ，并测得∠CAD ＝450，在距离A 点30米的B 处测得∠CBD ＝300，求河宽CD （结果可带根号）。
第1题图第2题图A第3题图C B A2、如图：在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达C 处，这时气球上的人发现，在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后，在D 处测得着火点B 的府角是150，求热气球升空点A 与着火点B 的距离。
（结果保留根号，参考数据：42615sin 0-=，42615cos 0+=，3215tan 0-=，3215cot 0+=）3、如图：某海域直径为30海里的圆形暗礁区中心有一哨所A ，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B 处向哨所驶来。
哨所及时向轮船发出危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进15海里到达C 点，才收到此时哨所第二次发出的紧急危险信号。
①若轮船收到第一次危险信号后为避免触礁，应立即改变航向，航向改变的角度应最大为北偏东α，求αsin 的值；②当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船立即改变航向。
这时轮船航向改变的角度应最大为南偏东多少度？4、如图，客轮沿折线A →B →C ，从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。
两船同时起航，并同时到达折线A →B→C 上的某一点E 处。
已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝900，客轮速度是货轮速度的2倍。
（1）两船相遇之处E 点（ ） A 、在线段AB 上 B 、在线段BC 上C 、在线段AB 上，也可以在线段BC 上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）∙第4题图D C BA跟踪训练参考答案一、选择题：CADC 二、填空题：1、34米；2、8.7米； 三、解答题：1、)15315(+米；2、)31(980+米；3、①31sin =α；②300；6100( 海里。
2004、（1）B；（2）)3。