(完整版)高三一轮复习三角函数专题及答案解析.doc
专题24 三角函数的图象与性质-2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题)(新高考专用)解析版
专题24三角函数的图象与性质（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (10)【考点1】三角函数的定义域和值域 (10)【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性 (15)【考点3】三角函数的单调性 (22)【分层检测】 (27)【基础篇】 (27)【能力篇】 (34)【培优篇】 (38)考试要求：1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)(π，0)(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，(π，－1)，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式.3.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，π－π2，k πk ∈Z )内为增函数.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2023·全国·高考真题）已知函数()()()sin ,0f x x ωϕω=+>在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．12D ．23．（2022·全国·高考真题）设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2022·全国·高考真题）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．32C ．52D ．3二、多选题6．（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线2y x =-是曲线()y f x =的切线三、填空题7．（2023·全国·高考真题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．8．（2023·全国·高考真题）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf =．9．（2022·全国·高考真题）记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为．10．（2021·全国·高考真题）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为．参考答案：1．C【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.2．D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x =-即可得到答案.【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2T ω==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5πsin 123f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.3．C【分析】由x 的取值范围得到3x ω+【详解】解：依题意可得0ω>，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故选：C ．4．A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.5．A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<，又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A6．AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ，即4ππ,3k k ϕ=-+∈Z ，又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对A ，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；对B ，当π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点；对C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π(06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭得：2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+∈Z ,从而得：πx k =或ππ,3x k k =+∈Z ,所以函数()y f x =在点0,2⎛ ⎝⎭处的切线斜率为02π2cos 13x k y =='==-，切线方程为：(0)y x -=--即2y x =-．故选：AD ．7．[2,3)【分析】令()0f x =，得cos 1x ω=有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为02x π≤≤，所以02x πωω≤≤，令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，故答案为：[2,3).8．【分析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题可得，21π6x x -=，结合1sin 2x =的解可得，()212π3x x ω-=，从而得到ω的值，再根据2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及()00f <，即可得2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而求得()πf ．【详解】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x -=，由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，Z k ∈，由图可知，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()212π3x x ω-=，4ω∴=．因为28ππsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8ππ3k ϕ+=，即8ππ3k ϕ=-+，Z k ∈．所以82()sin 4ππsin 4ππ33f x x k x k ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又因为()00f <，所以2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2πsin 4ππ32f ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭．故答案为：【点睛】本题主要考查根据图象求出ω以及函数()f x 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．9．3【分析】首先表示出T ，根据()2f T =求出ϕ，再根据π9x =为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解；【详解】解：因为()()cos f x x ωϕ=+，（0ω>，0πϕ<<）所以最小正周期2πT ω=，因为()()2πcos cos 2πcos 2f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭，又0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又π9x =为()f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k ω+=+∈，解得39,Z k k ω=+∈，因为0ω>，所以当0k =时min 3ω=；故答案为：310．2【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7((43f f π4π-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=；由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，(2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解ω，根据特殊点求解ϕ.【考点1】三角函数的定义域和值域一、单选题1．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数()f x =）A ．()ππ2π,2π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()5ππ2π,2π66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()π2π2π,2π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()π7π2π,2π66k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 2．（23-24高一上·北京朝阳·期末）函数()|sin |cos f x x x =+是（）A ．奇函数，且最小值为BC ．偶函数，且最小值为D二、多选题3．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知函数()cos 22sin f x x x =+，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 关于直线π2x =对称C ．()f x 关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()f x 的最小值为3-4．（2024·贵州贵阳·二模）函数()tan()(0,0π)f x A x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（）A ．2π3ωϕ⋅=B ．()f x在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为(,)∞∞-⋃+C ．函数|()|y f x =的图象关于直线5π3x =对称D ．若函数|()|()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则实数λ的取值范围是[1,1]-三、填空题5．（2024·辽宁·二模）如图，在矩形ABCD 中，4,2AB BC ==，点,E F 分别在线段,BC CD 上，且π4EAF ∠=，则AE AF ⋅的最小值为．6．（2021·河南郑州·二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是．参考答案：1．A【分析】首先求出定义域，再根据复合函数单调性即可得到单调增区间.【详解】令sin 03x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得22,3k x k k ππππ≤+≤+∈Z ．当22,232k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 时，函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增．所以当22,32k x k k ππππ≤+≤+∈Z 时，()f x 单调递增．故()f x 在()2,236k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增．故选：A.2．D【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A 、B 不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数()f x 的最大值和最小值，即可求解.【详解】由函数()|sin |cos f x x x =+，可得其定义域x ∈R ，关于原点对称，且()|sin()|cos()|sin |cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，因为()()()()2πsin 2πcos 2πsin cos f x x x x x f x +=+++=+=，所以2π为()y f x =的一个周期，不妨设[0,2π]x ∈，若[0,π]x ∈时，可得π()sin cos )4f x x x x =++，因为[0,π]x ∈，可得ππ5π[,444x +∈，当ππ42x +=时，即π4x =时，可得max ()f x =当π5π44x +=时，即πx =时，可得min ()1f x =-；若[]π,2πx ∈，可得π()sin cos )4f x x x x =-+=+，因为[π,2π]x ∈，可得π5π9π[,]444x +∈，当π2π4x +=时，即7π4x =时，可得max ()f x =当π5π44x +=时，即πx =时，可得()min 1f x =-，综上可得，函数()f x ，最小值为1-.故选：D.3．ABD【分析】将函数()cos 22sin f x x x =+可变形为213()2sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，结合函数性质逐项分析计算即可得.【详解】2213()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，由sin y x =的最小正周期为2π，故()f x 的最小正周期为2π，故A 正确；()()221313(π)2sin π2sin 2222f x x x f x ⎡⎤⎛⎫-=---+=--+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，且()(π)f x f x -≠-，故()f x 关于直线π2x =，不关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确，C 错误；由213()2sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，且[]sin 1,1x ∈-，故2min13()21322f x ⎛⎫=-⨯--+=- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.4．CD【分析】根据正切型三角函数的图象性质确定其最小正周期，从而得ω的值，再根据函数特殊点求得,A ϕ的值，从而可得解析式，再由正切型三角函数的性质逐项判断即可.【详解】函数的最小正周期为T ，则有ππ5π166T ωω⎛⎫==--⇒= ⎪⎝⎭，即()tan()f x A x ϕ=+，由函数的图象可知：πππ623ϕϕ+=⇒=，即π()tan 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：π(0)tan23f A A ===，所以π3ωϕ⋅=，因此A 不正确；关于πB,()2tan 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π6x =时，ππ32x +=，故()f x 在π6x =处无定义，故B 错误.因为55ππ5π5ππ2tan 2tan ,2tan 2tan 333333f x x x f x x x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以5533f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数|()|y f x =的图象关于直线5π3x =对称，C 正确；ππ()()2tan 2tan 33y f x f x x x λλ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，|()|()y f x f x λ=+=ππππ2tan 2tan 2tan 2tan (22)tan 33333x x x x x πλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当5,63x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()()2tan 2tan 2tan 333y f x f x x x x πππλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ2tan (22)tan 33x x λλ⎛⎫⎛⎫++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当函数|()|()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调时，则有(22)(22)011λλλ+-+≤⇒-≤≤，故D 正确.故选：CD ．5．)161【分析】根据锐角三角函数可得,πcos cos 4ABAD AE AF θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可由数量积的定义求解，结合和差角公式以及三角函数的性质即可求解最值.【详解】设π02BAE θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则π4DAF θ∠=-，故,πcos cos 4ABAD AE AF θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故π42cos π42cos cos 4AE AF AE AF θθ=⎛⎫- ⎪⋅⋅⎝⎭ππcos cos 44θθθθ=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎝⎭当π2π,Z 4k k θ-=∈时，πcos 214θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π8θ=时，此时AE AF ⋅)1612=-.故答案为：)161．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将所求转化为关于θ的表达式，从而得解，6．2⎛ ⎝【分析】由正弦定理可得sinB sin b cC=b c λ+sin()B θ=+且tan θ=0,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知b c λ+存在最大值即2B πθ+=，进而可求λ的范围.【详解】∵1a =，34A π=，由正弦定理得：sinB sin 2b c C =∴)sin sin sin sin cos sin 422b c B C B B B B B πλλ⎫⎛⎫+=+=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭1)sin cos sin()B B B θ=-+⋅+，其中tan θ=0,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴b c λ+存在最大值，即2B πθ+=有解，即,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10->，解得2λ>1>，解得λ<，故λ的范围是2⎛ ⎝．故答案为：2⎛ ⎝．【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角关系、辅助角公式，结合三角形内角和、三角函数的性质列不等式组求参数范围.反思提升：1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性一、单选题1．（2024·重庆·模拟预测）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则ϕ的值可以为（）A ．2π3B ．π3C ．π6D ．π42．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数()()ππ3cos 022f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<-<< ⎪⎝⎭，的最小正周期为π，在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，且在区间π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点，则ϕ的取值范围是（）A ．ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3π,2π⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π0,3⎛⎤⎥⎝⎦3．（2024·北京西城·二模）将函数()tan f x x =的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A ．1tan -xB ．1tan --xC ．tan (1)--x D ．tan (1)-+x 二、多选题4．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数3ππsin ,2π2π44()()π5πcos ,2π2π44x k x k f x k x k x k ⎧-≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪+<<+⎪⎩Z ，则（）A ．()f x 的对称轴为()ππ,Z 4x k k =+∈B ．()f x 的最小正周期为4πC ．()f x 的最大值为1，最小值为2-D ．()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增5．（2024·辽宁·二模）已知函数π()cos()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足πππ(),263f x f x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0，且在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则（）A ．函数()y f x =的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．ϕ可以等于π4-C ．ω可以等于5D ．ω可以等于36．（23-24高三上·山西运城·期末）已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的一个周期为2B ．()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在区间[]1,2上单调递增三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=->，若()f x 的图象在[]0,π上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是．8．（2024·四川雅安·三模）已知函数()e cos2e x x a f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数，则实数=a .9．（2023·四川达州·一模）函数()2lntan 32x f x m x x -=+++，且()6f t =，则()f t -的值为.参考答案：1．B【分析】由三角函数的平移变化结合奇函数的性质可得π2π3k k ϕ+=∈Z ，，解方程即可得出答案.【详解】因为()f x 向右平移ϕ个单位后解析式为π=sin 223y x ϕ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又图象关于原点对称，πππ2π,01362k k k k k ϕϕϕ∴+=∈∴=-+∈>∴=Z Z ，，，，时，π3ϕ=，故选：B.2．B【分析】根据给定周期求得2ω=-，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式组，然后结合已知求出范围.【详解】由函数()f x 的最小正周期为π，得2ππ||ω=，而0ω<，解得2ω=-，则()3cos(2)3cos(2)f x x x ϕϕ=-+=-，由2π22ππ,Z k x k k ϕ≤-≤+∈，得2π+22ππ,Z k x k k ϕϕ≤≤++∈，又()f x 在ππ(,)66-上单调递减，因此π2π+3k ϕ≤-，且π2ππ,Z 3k k ϕ≤++∈，解得2ππ2π2π,Z 33k k k ϕ--≤≤--∈①，由余弦函数的零点，得π2π,Z 2x n n ϕ-=+∈，即π2π,Z 2x n n ϕ=++∈，而()f x 在(0,)6π上存在零点，则ππ0π,Z 23n n ϕ<++<∈，于是ππππ,Z 26n n n ϕ--<<--∈②，又ππ22ϕ-<<，联立①②解得ππ23ϕ-<≤-，所以ϕ的取值范围是ππ(,]23--.故选：B 3．D【分析】根据正切函数图象的平移变换、对称变换即可得变换后的函数()g x 的解析式.【详解】将函数()tan f x x =的图象向右平移1个单位长度，所得函数为()(1)tan 1f x x -=-，则函数()(1)tan 1f x x -=-的图象再关于y 轴对称得函数()()()()1tan 1tan 1g x f x x x =--=--=-+.故选：D.4．AD【分析】作出函数()f x 的图象，对于A ，验算()π2π2f k x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭是否成立即可；对于B ，由(),(2π)x f x f x ∈+=R 即可判断；对于CD ，借助函数单调性，只需求出函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值验算即可判断CD.【详解】作出函数()f x 的图象如图中实线所示．对于A ，由图可知，函数()f x 的图象关于直线3ππ5π,,444x x x =-==对称，对任意的k ∈Z ，π1ππ1ππ2πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π2222222f k x k x k x k x k x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-++--+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111(cos sin )cos sin |(sin cos )|sin cos |()2222x x x x x x x x f x =+--=+--=，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 4x k k =+∈，A 正确；对于B ，对任意的11,(2π)[sin(2π)cos(2π)]sin(2π)cos(2π)22x f x x x x x ∈+=+++-+-+R 11(sin cos )|sin cos |()22x x x x f x =+--=，结合图象可知，函数()f x 为周期函数，且最小正周期为2π，故B 错误；对于C ，由A 选项可知，函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 4x k k =+∈，且该函数的最小正周期为2π，要求函数()f x 的最大值和最小值，只需求出函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，因为函数()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，min ()(π)cos πf x f ==1=-，因为ππ5π5ππsin sin sin 4424442f f ⎛⎫⎛⎫====-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以max π()42f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因此()f x ，最小值为-1，故C 错误；对于D ，由C 选项可知，函数()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 正确，故选：AD ．【点睛】关键点点睛：判断C 选项的关键是求出函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值即可，由此即可顺利得解.5．ABD【分析】根据题意，可得函数()y f x =的图象关于π4x =-对称，关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，由三角函数的对称性性质可得π4ϕ=±，从而判断选项A 、B ；再根据函数的单调性，可求出ω的值，从而判定选项C 、D.【详解】由π()2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则ππππ(4424f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于π4x =-对称，又πππ5π126312<<<，且ππ063f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1πππ02634f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即函数()y f x =的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 正确；根据函数()y f x =的图象关于π4x =-对称，得11ππ,Z 4k k ωϕ-+=∈，根据函数()y f x =的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，22πππ,Z 42k k ωϕ+=+∈，可得，()()2121ππ,1242k k k k ϕω-=+=+-，由于π||2ϕ<，所以π4ϕ=±，故B 正确；当π4ϕ=时，由π5π1212x <<，得πππ5ππ1244124x ωωω+<+<+，根据函数()y f x =在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，可得ππ2π1245πππ2π124k k ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，即92424355k ω-≤≤+，又0ω>，所以90,05k ω=<<，又()2112k k ω=+-，所以1ω=，当π4ϕ=-时，由π5π1212x <<，得πππ5ππ1244124x ωωω-<-<-，根据函数()y f x =在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，可得ππ2π1245πππ2π124k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，即2424335k k ω+≤≤+，又0ω>，所以0,3k ω==，故C 错误，D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据函数()y f x =的图象关于π4x =-对称，得11ππ,Z 4k k ωϕ-+=∈，根据函数()y f x =的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，22πππ,Z 42k k ωϕ+=+∈，从而()()2121ππ,1242k k k k ϕω-=+=+-.6．ACD 【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】对于A ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知其最小正周期π2π2T ==，故A 正确；对于B ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知πππ1π2,Z 2422x k x k k +≠+⇒≠+∈，故B 错误；对于C ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知1πππ2242x x =⇒+=，此时()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知[]ππ3π5π1,2,2444x x ⎡⎤∈⇒+⎢⎥⎣⎦，又tan y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，显然3π5π,44⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD 7．54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】运用正余弦二倍角公式及辅助角公式化简()f x ，由已知条件结合正弦函数性质可得结果.【详解】因为()211πcos cos sin2cos2sin 22226f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象在[]0,π上有且仅有两条对称轴，所以3ππ5π2π262ω≤-<，解得5463ω≤<，所以ω的取值范围是54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为：54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭.8．1-【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解.【详解】()f x 定义域为R ，()()()1e cos 2e cos2e cos2e e e x xx xx xa af x x a x f x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()1111e e e e 1e 0e e e e e xxx xx x x x xx a a a a ⎛⎫⎛⎫-+=-⇒-=-⇒+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1a =-，故答案为：1-9．0【分析】构造()()3g x f x =-，得到()g x 为奇函数，从而根据()6f t =得到()3g t =，由()3g t -=-求出()f t -.【详解】令()()23lntan 2x g x f x m x x -=-=++，定义域为{|2x x <-或2x >且ππ,Z}2x k k ≠+∈，关于原点对称，则()()()222lntan ln tan ln tan 222x x x g x m x m x m x g x x x x --+--=+-=-=--=--+-+，故()g x 为奇函数，又()()3633g t t f =-=-=，故()()33t g t f -=--=-，解得()0f t -=.故答案为：0反思提升：(1)三角函数周期的一般求法①公式法；②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.(2)对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )(或令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ))，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ωx ＋φ＝π2＋k π（k ∈Z x 即可.(3)对于可化为f (x )＝A tan(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )，求x 即可.(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y ＝A sin(ωx ＋φ)中代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数.若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z ).【考点3】三角函数的单调性一、单选题1．（2024·云南·模拟预测）已知函数()f x 为R 上的偶函数，且当()1212,,0,x x x x ∞∈-≠时，()()12120f x f x x x ->-，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()0.20.5,sin1b f c f ==，则下列选项正确的是（）A ．c b a <<B ．b<c<aC ．a b c<<D ．c<a<b2．（2024·陕西榆林·三模）已知()0,2πα∈，若当[]0,1x ∈时，关于x 的不等式()()2sin cos 12sin 1sin 0x x αααα++-++>恒成立，则α的取值范围为（）A ．π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭B ．π5π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π5π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题3．（2022·湖北武汉·三模）已知函数()2cos f x x x =-的零点为0x ，则（）A ．012x <B ．013>xC ．0tan 2x >D ．001<sin 4x x -4．（2024·湖南长沙·一模）已知函数()()tan (0,0π)f x A x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（）A ．π6A ωϕ⋅⋅=B ．()f x 的图象过点11π6⎛ ⎝⎭C ．函数()y f x =的图象关于直线5π3x =对称D ．若函数()()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则实数λ的取值范围是[]1,1-三、填空题5．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数()()cos f x A x b ωϕ=++，（0A >，0ω>，π2ϕ<）的大致图象如图所示，将函数()f x 的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为.6．（2022·上海闵行·模拟预测）已知[0,π]∈，若sin cos 0αα->，则α的取值范围是.参考答案：1．C【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.【详解】当()12,,0x x ∞∈-时，()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在(),0∞-上单调递增；又有()f x 为R 上的偶函数，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.由于我们有()11100.2555522πlog 3log 210.50.50.50.4984210.870.87sin sin 1023>==>=>==>=>>，即0.22sin10log 30.5>>>，故()()()0.22log 30.5sin1f f f <<.而()()1222log 3log 3log 3a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()0.20.5b f =，()sin1c f =，故a b c <<.故选：C.2．A【分析】令()()()2sin cos 12sin 1sin f x x x αααα=++-++，易得()f x 的对称轴为()1sin 20,1sin cos 1x ααα+=∈++，则()()00101sin 20sin cos 1f f f ααα⎧⎪⎪⎪>⎪⎪>⎨⎪⎛⎫⎪+ ⎪⎪> ⎪⎪++ ⎪⎪⎝⎭⎩，进而可得出答案.【详解】令()()()2sin cos 12sin 1sin f x x x αααα=++-++，由题意可得()()0010f f ⎧>⎪⎨>⎪⎩，则sin 0cos 0αα>⎧⎨>⎩，又因为()0,2πα∈，所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 的对称轴为()1sin 20,1sin cos 1x ααα+=++，则()()2sin 0cos 011sin sin 22sin cos 12sin 1sin 0sin cos 1sin cos 1αααααααααααα⎧⎪⎪⎪>⎪⎪>⎨⎪⎛⎫⎪++ ⎪⎪++-+⋅+> ⎪⎪++++ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()2sin 0cos 0(2sin 1)4sin sin cos 10αααααα⎧>⎪>⎨⎪+-++<⎩，即sin 0cos 01sin22ααα⎧⎪>⎪>⎨⎪⎪>⎩，结合π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得π5π1212α<<.故选：A.3．ABD【分析】对AB ，求导分析可得()f x 为增函数，再根据零点存在性定理可判断；对C ，根据AB 得出的01132x <<结合正切函数的单调性可判断；对D ，构造函数()111sin ,432g x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，再根据零点存在性定理，放缩判断()g x 的正负判断即可【详解】对AB ，由题()2sin 0f x x '=+>，故()f x 为增函数.又111cos 022f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，12122cos cos 03333632f π⎛⎫=-<-=-< ⎪⎝⎭，故01132x <<，故AB 正确；对C ，因为01132x <<，所以01tan tan 2t n 14a x π<=<1>，故C 错误；对D ，构造函数()111sin ,432g x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0g x x '=->，故()g x 为增函数.故()111111sin sin sin2424124344g x g πππ⎛⎫⎛⎫<=-<-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为(2130-=<，故1<，故104<，即()0g x <，故111sin 0,,432x x x ⎛⎫--<∈ ⎪⎝⎭，故001<sin 4x x -，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数零点的问题，一般需要用零点存在性定理判断零点所在的区间，同时在判断区间端点正负时，需要适当放缩，根据能够确定取值大小的三角函数值进行判断，属于难题4．BCD【分析】根据函数图象所经过的点，结合正切型函数的对称性、单调性逐一判断即可.【详解】对于A ：设该函数的最小正周期为T ，则有ππ5π166T ωω⎛⎫==--⇒= ⎪⎝⎭，即()()tan f x A x ϕ=+，由函数的图象可知：πππππ623k k ϕϕ+=+⇒=++，又0πϕ<<，所以π3ϕ=，即()πtan 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：()π0tan 23f A A ===，所以2π3A ωϕ⋅⋅=，因此A 不正确；对于B ：11π11ππ13ππ2tan 2tan 2tan 26636633f ⎛⎫⎛⎫=+===⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 正确；对于C ：因为5π5ππ2tan 2tan 333f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5π5ππ2tan 2tan 333f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π5π33f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于直线5π3x =对称，因此C 正确；对于D ：()()ππ2tan 2tan 33y f x f x x x λλ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()ππππ2tan 2tan 2tan 2tan 3333y f x f x x x x x λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()π22tan 3x λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当5ππ,63x ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，()()ππππ2tan 2tan 2tan 2tan 3333y f x f x x x x x λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()π22tan 3x λ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当函数()()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调时，则有()()2222011λλλ+-+≤⇒-≤≤，D 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：运用函数对称性、函数单调性的性质是解题的关键.5．7ππ,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）【分析】先根据()f x 的部分图象得到函数的周期、振幅、初相，进而求出()f x 的解析式，再根据函数图象的伸缩变换和平移变换得到()g x 的解析式，后可求()g x 的单调递增区间.【详解】由图可知πππ==43124T -，得=πT ，所以2π==2Tω，()112A =--=，1b =-，所以()()2cos 21f x x ϕ=+-，由图ππ2cos 2111212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2π6k ϕ=-+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故()π2cos 216f x x ⎛⎫ -⎪⎝⎭=-，由题意()1ππ2π2cos 212cos 132636g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令2ππ2π2π36k x k -+≤+≤，Z k ∈，得7ππ3π3π44k x k -+≤≤-+，Z k ∈故函数()g x 的单调递增区间为7ππ3π,3π44k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间为7ππ,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故答案为：7ππ,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）6．π3π(,)44【分析】根据角的范围分区间讨论，去掉绝对值号，转化为不含绝对值的三角不等式，求解即可.【详解】由题，当π[0,]2α∈时，原不等式可化为sin cos αα>，解得ππ42α<≤，当ππ2α<≤时，由原不等式可得tan 1α<-，解得π3π24α<<，综上π3π(,44α∈.故答案为：π3π(,)44反思提升：1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.【基础篇】一、单选题1．（2024·福建·模拟预测）若函数()sin23f x A x =-在3π5π,812⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，则整数A 的值是（）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2024·贵州黔南·二模）若函数()πcos 3f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数，则ϕ的值可以是（）A ．5π6B ．4π3C ．πD ．π23．（2024·安徽·三模）“ππ,4k k ϕ=-+∈Z ”是“函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（22-23高一下·湖北武汉·期中）若函数()sin 0y x x ωωω=->在区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（）A ．17,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．17,36⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．17,22⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多选题5．（2024·云南·模拟预测）已知函数()()()sin ,0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，如图，图象经过点π,112A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A ．2ω=B ．π6ϕ=C ．11π12x =是函数()f x 的一条对称轴D ．函数()f x 在区间7π13π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增6．（2023·辽宁·模拟预测）已知定义域为I 的偶函数0(),f x x I ∃∈，使()00f x <，则下列函数中符合上述条件的是（）A ．2()3f x x =-B ．()22x xf x -=+C ．2()log||f x x =D ．()cos 1f x x =+7．（23-24高一上·广东肇庆·期末）关于函数πtan 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法中正确的有（）A ．是奇函数B ．在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．5π,06⎛⎫⎪⎝⎭为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π三、填空题8．（2022·江西·模拟预测）将函数()tan2f x x =的图像向左平移t （0t >）个单位长度，得到函数g (x )的图像，若12g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则t 的最小值是．9．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数cos y x ω=在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则实数ω的取值范围是．10．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知函数()3cos 2n f x x x p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，且当()0,x π∈时，()0f x >，则n 的值可能为.四、解答题11．（2022·北京门头沟·一模）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，6x π=是函数()f x 的对称轴，且()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调．(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得()f x 的解析式存在，并求出其解析式；条件①：函数()f x 的图象经过点10,2A ⎛⎫⎪⎝⎭；条件②：,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心；条件③：5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心.(2)根据（1）中确定的()f x ，求函数()0,2y f x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域．12．（2021·浙江·模拟预测）已知函数()22sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间．（2）若对任意的()2,2m ∈-，方程()f x m =（其中[)0,x a ∈）始终有两个不同的根1x ，2x ．①求实数a 的值；②求12x x +的值．参考答案：1．C【分析】将函数的零点问题转化为sin2y x =与3y A =在3π5π,812⎛⎫⎪⎝⎭上的交点问题，求出sin2y x =的值域即可.【详解】由于函数()sin23f x A x =-在3π5π,812⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，所以方程sin230A x -=在3π5π812⎛⎫⎪⎝⎭，上有实数根，即sin2y x =与3y A =在3π5π,812⎛⎫⎪⎝⎭上有交点，令2t x =，则3π5π46t <<，当3π5π46t <<，sin y t =单调递减，故在区间上最多只有1个零点，又1sin 2t ⎛∈ ⎝⎭，即312A ⎛∈ ⎝⎭，解得()6A ∈，由于A 是整数，所以5A =.故选：C.2．B【分析】由题意可知：0x =为函数()f x 的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.【详解】由题意可知：0x =为函数()f x 的对称轴，则ππ,3k k ϕ-+=∈Z ，则ππ,3k k ϕ=+∈Z ，对于选项A ：令π5ππ36k ϕ=+=，解得12k =∉Z ，不合题意；对于选项B ：令π4ππ33k ϕ=+=，解得1k =∈Z ，符合题意；对于选项C ：令πππ3k ϕ=+=，解得23k =∉Z ，不合题意；对于选项D ：令πππ32k ϕ=+=，解得16k =∉Z ，不合题意；故选：B.3．A【分析】若函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据正切函数的对称性可得ππ,42k k ϕ=-+∈Z ，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.【详解】若函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ππ,42k k ϕ+=∈Z ，解得ππ,42k k ϕ=-+∈Z ，因为π|π,4k k ϕϕ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 是ππ|,42k k ϕϕ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 的真子集，所以“ππ,4k k ϕ=-+∈Z ”是“函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称”的充分不必要条件.故选：A.4．D【分析】利用辅助角公式化简得到π2cos 6y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求出ππππ,6366x ωω⎛⎫ ⎪⎝+∈-⎭+，结合对称轴条数得到不等式，求出答案.【详解】πsin 2cos 6y x x x ωωω⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)附解析
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)附解析一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立．现将函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数066g x g x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．函数()g x 相邻的对称轴距离为πC ．函数23g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】ABCD 【分析】先利用已知条件求出()f x 的周期T π=，即可得2ω=，再利三角函数图象的平移伸缩变换得()g x 的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】因为对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立 所以()12f x f x π=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()12f x f x ππ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭， 所以()()()11f x f x f x ππ=-=+-+对于R x ∀∈都成立， 可得()f x 的周期T π=，所以22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得 2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于选项A:()2sin 2sin 2sin 2sin 0666666g x g x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--++-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项A 正确；对于选项B ：函数()g x 周期为221T ππ==，所以相邻的对称轴距离为2Tπ=，故选项B正确；对于选项C ：222sin 2sin 2cos 3362g x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是偶函数，故选项C 正确； 对于选项D ：当63x ππ≤≤，066x ππ≤-≤，所以函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 正确， 故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭恒成立得出 ()()f x f x π=+可得ω的值，求出()f x 的解析式.2．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的一个周期为56B ．函数()f x 的图像关于点4,03成中心对称C ．函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π【答案】BD 【分析】根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】由图知：1(,0)3C ，M ，2(3N ， ∴()f x 中111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径6r ==，则圆的面积为3136π； 综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.3．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ） A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确； 对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-， 解得3cos 5A ≥，故C 错误； 对于D，2222213cos 44c c BAD c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠， 所以(0,)2BAD π∠∈，又cos BAD ∠≥BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.4．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.5．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，下列叙述正确的是（ ） A ．若sin sin a bB A=，则ABC 为等腰三角形B ．若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形 C ．若tan A tan tan 0B C ++<，则ABC 为钝角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则4C π∠=【答案】ACD 【分析】多项选择题，一个一个选项验证：对于A ：利用正弦定理判断sin sin A B =，在三角形中只能A=B ,即可判断； 对于B ：∵由正弦定理得 sin 2sin 2A B =，可以判断∴ABC 为等腰三角形或直角三角形；对于C ：利用三角函数化简得tan A tan tan B C ++sin sin sin =cos cos cos A B CA B C，利用sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>>判断cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，即可判断； 对于D ：利用正弦定理判断得cos sin C C =求出角C . 【详解】对于A ：∵由正弦定理得：sin sin a bA B=，而sin sin a b B A =，∴sin sin A B =， ∵A+B+C=π，∴只能A=B ,即ABC 为等腰三角形，故A 正确；对于B ：∵由正弦定理得：sin sin a bA B=， ∴若cos cos a bB A=可化为sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22A B π+=∴ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误； 对于C ：∵A+B+C=π，∴()()()()sin sin sin cos cos cos A B C C A B C C ππ+=-=+=-=，， ∴tan A tan tan B C ++sin sin sin =cos cos cos A B CA B C++ sin cos sin cos sin =cos cos cos A B B A CA B C ++sin sin =cos cos cos C CA B C+11=sin cos cos cos C A B C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos cos cos =sin cos cos cos C A B C A B C +⎛⎫ ⎪⎝⎭sin sin sin =cos cos cos A B CA B C.∵tan A tan tan 0B C ++<而sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>> ∴cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，∴ABC 为钝角三角形. 故C 正确；对于D ：∵sin cos a b C c B =+，∴由正弦定理得：sin sin sin sin cos A B A C B =+, 即sin cos sin cos sin sin sin cos B C C B B C C B +=+ ∴cos sin C C = ∵()0,C π∈∴4C π.故D 正确. 故选：ACD 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．6．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（ ）A ．2A =B ．点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心 C ．6π=ϕ D ．直线3x π=是()f x 图像的一条对称轴【答案】ABD 【分析】由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可.【详解】因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2ϕ=.又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故C 错误；()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，k ∈Z ，解得62πk πx =-+，k ∈Z ， 所以()f x 图像的对称轴方程为62πk πx =-+， 令1k =，则3x π=，D 正确；令232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得122k x ππ=+，k ∈Z ， 令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系数法求解.7．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．8．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.9．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图像关于直线6x π=对称C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点【答案】ABD 【分析】借助于()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证： 对于A ：利用2T πω=求周期；对于B ：利用图像观察，也可以根据()26f π=判断；对于C ：利用图像观察，也可以根据()13f π=否定结论；对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】对于A ：函数()y f x =的周期222T πππω===故A 正确； 对于B ：∵ ()2sin 22666f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的图像关于直线6x π=对称，故B 正确； 对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13366f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间(0,)π上有两个零点，故D 正确.故选：ABD【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：（1）画出图像，利用图像分析性质；（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.10．已知函数)2()lg 11( 2.7)x x f x x x e e e -=++-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（ ） A ．1B 2C ．3D ．4【答案】CD【分析】令)()lg x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可.【详解】令)()lg x x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+， ()g x 的定义域为R ，))()()lg lg x x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=， 所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lg y x =单调递增， x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lg x x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lgx x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lg x x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-， 所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，所以m =()max 211h m ==，所以1t >可得实数t 的可能取值为3或4，故选：CD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f转化为函数恒成立问题.。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为．【答案】【解析】由正余弦定理得：，化简得因此即最大值为.【考点】正余弦定理,基本不等式2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则的值是( )A．1B．－1C．3D．4【答案】B【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A＞90°－B，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B＞0，同理cos A－sin C＜0，所以点P在第四象限，＝－1＋1－1＝－1，故选B.4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．6.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.7.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力.第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出，再求最值，通过解方程求出，确定了解析式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式.试题解析：（1），由题意知：的周期为，由，知 2分由最大值为2，故，又， 4分∴ 5分令，解得的对称轴为 7分（2）由知，即， 8分∴ 10分12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的三角函数；3.函数的周期；4.函数的对称轴.8.是偶函数，，则 .【答案】【解析】，，所以，因为为偶函数，所以对任意的，都有即成立，又，所以.【考点】三角函数的恒等变换，偶函数.9.已知方程在上有两个不同的解、，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于方程在上有两个不同的解、，即方程在上有两个不同的解、，也就是说，直线与函数在轴右侧的图象有且仅有两个交点，由图象可知，当时，直线与曲线相切，且切点的横坐标为，当时，，则，故，在切点处有，即，，两边同时乘以得，，故选C.【考点】1.函数的零点；2.函数的图象；3.利用导数求切线的斜率10.将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图像按题中要求变换后得到函数的图像，令，则，当时，.【考点】1.三角函数的变换；2.三角函数图象的对称轴.11.函数f(x)=sin+ACos(＞0)的图像关于M(,0)对称,且在处函数有最小值,则的一个可能取值是( )A．0B．3C．6D．9【答案】D【解析】根据题意：相邻对称点与最小值之间可以相差也可以是不妨设为：＝，可以为９，故选D.【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性．12.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.13.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当，即时，单调递增；当，即，单调递减.【解析】（1）由题意，所以由（1）知若，则当，即时，单调递增；当，即，单调递减.第（1）题根据三角函数的和差化简，二倍角公式以及辅助角公式，最后化成的形式，利用确定的值；第（2）题用整体法的思想确定的单调性，再反求出在指定范围内的单调性.本题属简单题.【考点】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.14.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为 .【答案】【解析】设三个根由小到大依次为，结合余弦函数图像可知关于直线对称，关于直线对称，代入计算得【考点】三角函数图像及性质点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系15.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，即，，所以，=，故选B。
高三一轮复习精题组正弦定理、余弦定理及解三角形(有详细答案)
§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形1． 正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2. S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：4. 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是(3，2)．( √ ) (3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )2． (2013·湖南)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.3． (2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4． 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.5． 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．题型一 正、余弦定理的简单应用例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则sin B ＋sin C 的最大值为( )A ．0B ．1C.12D. 2思维启迪 (1)由sin C ＝23sin B 利用正弦定理得b 、c 的关系，再利用余弦定理求A . (2)要求sin B ＋sin C 的最大值，显然要将角B ，C 统一成一个角，故需先求角A ，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A . 答案 (1)A (2)B解析 (1)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.(2)已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ， 根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，∴A ＝120°.故sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )， 故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.思维升华 (1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )A.725B ．－725C ．±725D.2425(2)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________． 答案 (1)A (2)π6解析 (1)由正弦定理b sin B ＝csin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得bsin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用例2 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪 利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.思维升华 有关三角形面积问题的求解方法： (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ， 即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 题型三 解三角形的实际应用例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．思维升华 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°.由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.代数式化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解； (3)结论表述不规范． 规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．方法与技巧1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 3． 合理利用换元法、代入法解决实际问题． 失误与防范1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°答案 A解析 在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB <BC ，∴∠C <∠A ，故∠C ＝30°.2． △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．3． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 4． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cosA ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.5． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A＝78，则△ABC 的面积等于 ( )A.17B.15C.152D ．3答案 C解析 ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0， 即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－(78)2＝152.二、填空题6． (2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝________. 答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.7． 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________.答案 210解析 由tan A ＝2得sin A ＝2cos A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，∠B ＝π4，根据正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.8． 如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在点A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________． 答案 50 2 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，所以AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝50 2.三、解答题9． (2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A，∴cos A ＝63. (2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去．故c 的值为5.10．(2013·江西)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 即3cos B ＝sin B . 因为0<B <π， 所以sin B >0， 所以cos B >0， 所以tan B ＝3， 即B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14， ∴b ≥12.又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1． △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba等于( )A ．2 3B ．2 2C. 3D. 2答案 D解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin Bsin A＝ 2.2． 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析 如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.3． (2013·浙江)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________. 答案63解析 因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B ，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中，有CMAM ＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2.再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63.4． (2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1.由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.5． 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值． (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， 所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π.又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]． (2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csinπ4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)含答案
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)含答案一、三角函数与解三角形多选题1．知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 的图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【分析】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误. 【详解】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， 作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确；对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254ππωππ≤+<，解得151988ω<≤，C 选项正确； 对于B 选项，若151988ω<≤，则2192154604πππππω≤+<+，所以，函数()f x 在区间20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于4x π=对称，则()442k k Z ωππππ+=+∈，()14k k Z ω∴=+∈.52361812T ππππω∴=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=. 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5,1836x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，339442x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，合乎题意，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC 【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==，由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin 7cR C===，ABC外接圆半径为7，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.3．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.4．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意()()()a b c D f a f b f c ∈，，，，，分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（ ） A ．()4sin f x x =- B ．()22sin 10cos 13f x x x =-++C ．()tan 2xf x = D ．()sin 20,34f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】AD【分析】结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若()f x 为 “三角形函数”则()()()max min min f x f x f x <-恒成立，即()()max min 2f x f x <恒成立即可，根据条件求出函数的最大值和最小值，进行判断即可. 【详解】解:①()4sin f x x =-，则()max 415f x =+=，()min 413f x =-= 则()()max min 2f x f x <恒成立,则A 满足条件②()22532cos 10cos 112cos 22f x x x x ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭ 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0cos 1x ≤≤∴当cos 0x =时，函数()f x 取得最小值()min 11f x =,当cos 1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 23f x =则()()max min 2f x f x <不恒成立，则B 不满足条件 ③()()()tan ,00,2xf x =∈-∞⋃+∞，则不满足条件()()max min 2f x f x <恒成立，故C 不是④()sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则()max sin12f x π=+=+()min 51sin62f x π=+=+则()min 21f x =+，则()()max min 2f x f x <恒成立，故D 满足条件 故选AD 【点睛】本题考查了三角形的性质及“三角形函数”的概念，根据条件转化为()()max min 2f x f x <恒成立是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.5．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.6．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.7．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC 【分析】首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.8．将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则（ ） A ．()f x 的图象的对称轴方程为()62k x k Z ππ=-+∈ B ．()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ C ．()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭ D ．()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【分析】首先根据图象平移求函数()y f x =的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间. 【详解】cos 2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向下平移1个单位长度后得到()cos 213y f x x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 对于A ，令23x k ππ+=，解得,62k x k Z ππ=-+∈，函数的对称轴是,62k x k Z ππ=-+∈，故A 正确； 对于B ，令232x k πππ+=+，解得：,122k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心,1,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭，故B 不正确； 对于C ，令2223k x k ππππ-+≤+≤，解得：236k x k ππ-+π≤≤-+π，所以函数的单调递增区间是2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，由于单点不具有单调性，所以()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭也正确，故C 正确；对于D ，令2223k x k ππππ≤+≤+，解得：63k x k ππππ-+≤≤+，所以函数单调递减区间是,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 不正确. 故选：AC 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.9．设函数()()1sin 022f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ）A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD 【分析】化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令6t x πω=+，由[]0,x π∈可求得,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象，可判断AB 选项的正误；由图象得出346ππωππ≤+<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】()3131sin sin sin cos sin 2226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+>⎪⎝⎭的图象如下图所示：对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确； 对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误； 对于D 选项，由于函数()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则346ππωππ≤+<，解得172366ω≤<，D 选项正确；对于C 选项，由于172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，53663x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误. 故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6t x πω=+，将问题转化为函数sin y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的零点个数问题，数形结合来求解.10．已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω= B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125-<f f D ．若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤ 【答案】AD【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案.【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误；对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确. 故选：AD【点睛】 本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.。
高三一轮复习三角函数专题及答案解析
三角函数典型习题 1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.2 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin=++C B A . （I ）试判断△ABC 的形状;（II ）若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.3 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.(Ⅰ)(Ⅱ)4．在∆(1)求(2)若5（1（26(I)(II)若7(Ⅰ)(Ⅱ)当0,2x ∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的最大值,并写出x 相应的取值.8．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡答案解析1【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin AC A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭===22∴C II.163∴ (Ⅱ)∵由(Ⅰ)∵C 2∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴sin A = 由正弦定理得:sin sin AB BC C A= ∴BC ==8【解析】:(1) //m n ⇒ 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得: 4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△∴△②4=a 2∴∵△∴△42sin (2)a 2+故S 5π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤， 即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴． （Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 6【解析】:(I)由已知得3sin 3sin 222A A a c b ⇒=⋅-+(II)而b 又S 所以7 =所以(Ⅱ)1-所以此时444428。
高考数学(文)一轮复习文档：第三章 三角函数、解三角形 第7讲正弦定理与余弦定理 Word版含答案
第7讲 正弦定理与余弦定理, )1．正弦定理和余弦定理(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin_B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2．余弦定理的推导过程如图，设CB →＝a ，CA →＝b ， AB →＝c .则c ＝a －b ，所以|c |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |cos C . 即c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 同理可证a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .3．三角形解的判断1.教材习题改编在△ABC 中，A ＝45°，C ＝30°，c ＝6，则a 等于( ) A ．3 2 B ．6 2 C ．2 6D ．3 6B 由正弦定理得a sin A ＝csin C，所以a ＝6sin 45°sin 30°＝6×2212＝6 2.2.教材习题改编在非钝角△ABC 中，2b sin A ＝3a ，则B 角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2C 由正弦定理得b sin A ＝a sin B ，所以2a sin B ＝3a ，即sin B ＝32，又B 非钝角，所以B ＝π3，故选C. 3.教材习题改编已知△ABC 的三边之比为3∶5∶7，则最大角为( ) A ．2π3B ．3π4C ．5π6D ．7π12A 由三边之比为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝（3k ）2＋（5k ）2－（7k ）22×3k ×5k ＝－12，又0<C <π，所以C ＝2π3.4.教材习题改编在非钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，S △ABC ＝32，则c 等于________． 由三角形面积公式得12×1×2×sin C ＝32，即sin C ＝32，又0°<C ≤90°， 所以C ＝60°，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×cos 60°＝3， 所以c ＝ 3. 3利用正、余弦定理解三角形(高频考点)利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查主要有以下两个命题角度： (1)由已知求边和角；(2)解三角形与三角函数相结合．(1)(2016·高考全国卷乙)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3(2)(2016·高考全国卷丙)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A ．310 B ．1010C ．55D ．31010(3)(2016·高考全国卷甲)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．【解析】 (1)由余弦定理，得4＋b 2－2×2b cos A ＝5，整理得3b 2－8b －3＝0，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.(2)设BC 边上的高为AD ，则BC ＝3AD ，DC ＝2AD ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝5AD .由正弦定理，知ACsin B＝BCsin A，即5AD22＝3AD sin A，解得sin A ＝31010，故选D.(3)法一：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.由正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝a sin B sin A ＝2113. 法二： 因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，从而cos B ＝－cos(A＋C )＝－cos A cos C ＋sin A ·sin C ＝－45×513＋35×1213＝1665.由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝a sin C sin A ＝2013.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b ＝2113.法三：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝2013.从而b ＝a cos C ＋c cos A ＝2113.法四：如图，作BD ⊥AC 于点D ，由cos C ＝513，a ＝BC ＝1，知CD ＝513，BD ＝1213.又cos A ＝45，所以tan A ＝34，从而AD ＝1613.故b ＝AD ＋DC ＝2113.【答案】 (1)D (2)D (3)2113利用正、余弦定理解三角形的应用(1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．角度一 由已知求边和角1．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6C 由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝0，即2a cos A ＋a ＝0，所以cos A ＝－12，A ＝2π3.故选C.角度二 解三角形与三角函数相结合2．(2017·安徽皖南八校联考)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－sin x ，n ＝(1，sin x ＋3cos x )，x ∈R ，函数f (x )＝m ·n .(1)求f (x )的最小正周期及值域；(2)已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝0，a ＝3，bc ＝2，求△ABC 的周长．(1)由题知f (x )＝－sin 2x －3sin x cos x ＋32＝cos 2x －3sin x cos x ＋12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，因为x ∈R ，所以－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， 故f (x )的值域为．(2)f (A )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋1＝0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，由A ∈(0，π)，得A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ，又a ＝3，bc ＝2，所以(b ＋c )2＝9，b ＋c ＝3，所以△ABC 的周长为3＋ 3.利用正、余弦定理判定三角形的形状在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状． 【解】 法一：利用边的关系来判断： 由正弦定理得sin C sin B ＝c b，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为a 2＋b 2－c 2＝ab .所以2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 法二：利用角的关系来判断： 因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ， 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°，所以C ＝60°， 所以△ABC 为等边三角形．判断三角形形状的两种途径(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形D 因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， 所以b 2＝a 2，所以2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， 所以sin 2A cos A sinB ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B .所以A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D. 法二：由正弦定理、余弦定理得：a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， 所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0， 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D.与三角形面积有关的问题(2017·唐山统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B＝b cos C ＝3.(1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c .【解】 (1)由正弦定理得sin C sin B ＝sin B cos C ， 又sin B ≠0，所以sin C ＝cos C ，C ＝45°. 因为b cos C ＝3， 所以b ＝3 2.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝212，c sin B ＝3，所以a ＝7.又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝25，所以c ＝5.与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且(2b －c )·cos A＝a cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，b ＝2c ，求△ABC 的面积． (1)由(2b －c )cos A ＝a cos C ，得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )，所以2sin B cos A ＝sin B ， 因为0<B <π，所以sin B ≠0， 所以cos A ＝12，因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为a ＝3，b ＝2c ， 由(1)得A ＝π3，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2＝12， 解得c ＝3，所以b ＝2 3.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝332., )——正、余弦定理的应用(本题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．(1)(2)(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .(3分) 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ， 解得tan C ＝2.(6分)(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝55.(8分)因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.(9分)由正弦定理得c ＝22b3，(10分)又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，(11分)故b ＝3.(12分)(1)本题是解三角形与三角恒等变换的结合，求解中首先利用正弦定理把边的关系转化为三角函数关系，再利用恒等变换，再次应用正弦定理，求解所求问题．(2)计算准确，争取得满分①公式运用要准确，这是计算正确的前提．②算数要准确无误，尤其注意正、负号的选择，计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程．, )1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．75°A 因为在锐角△ABC 中，b ＝2a sinB ，由正弦定理得，sin B ＝2sin A sin B ，所以sinA ＝12，又0°<A <90°，所以A ＝30°.2．(2017·兰州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2C 易知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋22－（7）22×3×2＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，故选C.3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定C 由正弦定理得b sin B ＝csin C， 所以sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定B 依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B ·cosC ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，所以A ＝π2，故选B.5．(2017·东北三校高三模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，sin C ＝3sin B ，且S △ABC ＝2，则b ＝( )A ．1B ．2 3C ．3 2D ．3A 因为cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝12bc sin A ＝2，所以bc ＝3.又sin C ＝3sin B ，所以c ＝3b ，所以b ＝1，c ＝3，故选A.6．(2017·大连一模)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高为( ) A ．32 B ．332C ．34D ． 3B 在△ABC 中，由余弦定理可得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ，因为AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，所以7＝AB 2＋4－4×AB ×12，所以AB 2－2AB －3＝0，所以AB ＝3，作AD ⊥BC ，垂足为D ，则在Rt △ADB 中，AD ＝AB ×sin 60°＝332，即BC 边上的高为332.7．(2016·高考山东卷改编)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝________.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，所以2b 2(1－sin A )＝2b 2(1－cosA )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0<A <π，所以A ＝π4.π48．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4. 49．(2017·海淀期末检测)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a sinA sinB ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是________．由已知及正弦定理得sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sinA ，所以sinB ＝2sin A ，所以b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac ＝3a 2＋c 24ac≥23ac 4ac ＝32，当且仅当c ＝3a 时取等号，因为A 为三角形的内角，且y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以0<A ≤π6，则角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π6.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π610．(2017·广东揭阳一模)已知△ABC 中，角A 、32B 、C 成等差数列，且△ABC 的面积为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．因为A 、32B 、C 成等差数列，所以A ＋C ＝3B ，又A ＋B ＋C ＝π， 所以B ＝π4，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2得ac ＝2(2＋2)，由余弦定理及a 2＋c 2≥2ac ， 得b 2≥(2－2)ac ，即b 2≥(2－2)×2(2＋2)，所以b ≥2，所以AC 边的长的最小值为2. 211．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c －b ＝2b cos A . (1)若a ＝26，b ＝3，求c ； (2)若C ＝π2，求角B .(1)由c －b ＝2b cos A 及余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，得c －b ＝2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－a 2c，即a 2＝b 2＋bc ，所以(26)2＝32＋3c ，解得c ＝5. (2)因为c －b ＝2b cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin B ＝2sin B cos A ，又C ＝π2，所以1－sin B ＝2sin B cos A ，所以1－sin B ＝2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ， 所以1－sin B ＝2sin 2B ， 即(2sin B －1)(sin B ＋1)＝0， 所以sin B ＝12或sin B ＝－1(舍去)，因为0＜B ＜π2，所以B ＝π6.12．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 如图，在△ABD 中，由正弦定理，得 AD sin B ＝ABsin ∠ADB ， 所以sin ∠ADB ＝22. 由题意知0°<∠ADB <60°， 所以∠ADB ＝45°，所以∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°. 所以∠BAC ＝30°，∠C ＝30°， 所以BC ＝AB ＝ 2. 在△ABC 中，由正弦定理， 得ACsin B ＝BCsin ∠BAC，所以AC ＝ 6. 613．(2017·湖北三市第二次联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值． (1)因为a sin B ＝－b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，所以由正弦定理得sin A ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝5π6. (2)因为A ＝5π6，所以sin A ＝12，由S ＝34c 2＝12bc sin A ＝14bc ，得b ＝3c ， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ， 由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714. 14．(2017·河南郑州模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围． (1)由已知得2sin 2A －2sin 2C＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2C －14sin 2C ， 化简得sin A ＝±32， 因为A 为△ABC 的内角， 所以sin A ＝32，故A ＝π3或2π3. (2)因为b ≥a ，所以A ＝π3.由正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝asin A＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.因为b ≥a ， 所以π3≤B <2π3，则π6≤B －π6<π2， 所以2b －c ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6∈[3，23)．。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为．【答案】【解析】令得：，令得：，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为.【考点】抽象函数赋值法2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.若点在函数的图象上，则的值为 .【答案】.【解析】由题意知，解得，所以.【考点】1.幂函数；2.三角函数求值4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.已知向量，设函数.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长．【答案】（1）函数在上的单调递增区间为，；（2）边的长为.【解析】（1）根据平面向量的数量积，应用和差倍半的三角函数公式，将化简为.通过研究的单调减区间得到函数在上的单调递增区间为，.（2）根据两角和的正弦公式，求得，利用三角形的面积，解得，结合,由余弦定理得从而得解.试题解析：（1）由题意得3分令,解得：，，，或所以函数在上的单调递增区间为， 6分（2）由得：化简得：又因为，解得： 9分由题意知：，解得，又,所以故所求边的长为. 12分【考点】平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，三角函数的图像和性质，正弦定理、余弦定理的应用.6.函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知：，得，函数关于对称，所以，，又因为，解得，故选B.【考点】的图像和性质7.已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的一个值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，所以从而.将各选项代入验证可知选【考点】1、三角函数的周期；2、函数图象的变换8.若函数的一个对称中心是，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于正切函数的对称中心坐标为，且函数的一个对称中心是，所以，因此有，因为，所以当时，取最小值，故选B.【考点】三角函数的对称性9.在中，（1）求角B的大小;（2）求的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1)由正弦定理实现边角互化，再利用两角和与差的正余弦公式化简为,再求角的值；（2）二倍角公式降幂扩角，两角差余弦公式展开，同时注意隐含条件，即可化为一角一函数，再结合求其值域.求解时一定借助函数图象找其最低点与最高点的纵坐标.试题解析：(1）由已知得：，即∴∴ 5分（2）由（1）得：，故+又∴所以的取值范围是. 12分【考点】1.正余弦定理；2.三角函数值域；3.二倍角公式与两角和与差的正余弦公式.10.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.11.函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为．【答案】【解析】根据题意，由于函数，，在上的部分图象可知周期为12，由此可知，A=5，将（5,0）代入可知，5sin(+)=0，可知=，故可知==，故答案为【考点】三角函数的解析式点评：主要是考查了三角函数的解析式的求解和运用，属于基础题。
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三角函数典型习题
1 ．设锐角ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a，b， c , a 2bsin A .
(Ⅰ)求B的大小 ;
(Ⅱ )求cos A sin C的取值范围 .
A B C
在中 ,角A, B,C所对的边分别为，， 2 .
ABC c , sin sin
2 ． 2 2
（I）试判断△ABC的形状 ;
（I I）若△ABC的周长为 16,求面积的最大值 .
3 ．已知在
ABC 中
, A
且与
tan B
是方程 x2 5 x 6 0 的两个根
.
B , tan A
(Ⅰ )求tan( A B) 的值;
(Ⅱ )若 AB 5 ,求BC的长.
4．在ABC 中,角A．B．C所对的边分别是a,b,c,且a2 c 2 b 2 1 ac.
A C 2
(1)求sin2 cos 2B 的值;
2
(2)若 b=2,求△ABC面积的最大值 .
5．已知函数f ( x) 2sin 2 π
3 cos2x ， x
π π
．x
4
，
4 2
（1）求f ( x)的最大值和最小值；
（2）f ( x) m 2 在 x π π
上恒成立，求实数m 的取值范围．，
4 2
6．在锐角△
ABC 中
,
角．．的对边分别为
a
、
b
、已知
(
b2 c 2 a 2
) tan
A bc
A B C c, 3 .
(I)求角 A;
(II)若 a=2,求△ ABC面积 S 的最大值 ?
7．已知函数f ( x) (sin x cos x)2 +cos2 x .
(Ⅰ )求函数f x 的最小正周期 ;
(Ⅱ )当x 0,
2
时 ,求函数f x 的最大值 ,并写出 x 相应的取值 .
8 ．在ABC中,已知内角 A ． B ． C 所对的边分别为 a 、 b 、 c, 向量
r
2sin B, r
cos2B, 2cos
2 B
1
r r
m 3 , n 2 ,且m / / n ?
(I)求锐角 B 的大小 ;
(II)如果b 2 ,求ABC 的面积S ABC的最大值?
答案解析
1
1【解析】 :(Ⅰ )由 a
2b sin A ,根据正弦定理得 sin A
2sin B sin A ,所以 sin B ,
2
π
由
ABC 为锐角三角形得
B
.
6
(Ⅱ ) cos A sin C cos A sin
A
cos A sin
6
A
cos A
1
3 sin A
cos A
2
2
3 sin A .
3
2【解析】 :I. sin
C sin C cos C sin C 2 sin( C
)
C
2 2
2 2 2 4
即 C ,所以此三角形为直角三角形 .
2
4
2
2
II. 16 a b
2
2
ab
2ab , ab
64(2
2) 2
a b 时取等
a
b
2 当且仅当 号,
此时面积的最大值为
326 4 2 .
3【解析】 :(Ⅰ )由所给条件 ,方程 x 2 5 x 6 0 的两根 tan A 3, tan B
2 .
∴ tan( A B)
tan A tan B
2 3
1
1 tan A tan B 1
2 3
(Ⅱ)∵ A B C 180 ,∴ C
180 (A B) .
由(Ⅰ )知 , tanC
tan( A B)
1,
∵ C 为三角形的内角 ,∴ sin C
2
2
∵ tan A
3 , A 为三角形的内角 ,∴ sin A
3 ,
10
由正弦定理得 :
AB BC
5 3 ∴ BC 3 5 .
2
10
2
8【解析】 :(1)
r r
2sinB(2cos 2 B m / / n
-1)=- 3cos2B
2
2sinBcosB=- 3cos2B
tan2B=- 3
2π
π ∵ 0<2B< π,∴ 2B= 3 ,∴ 锐角 B=3
(2)由 tan2B=- 3
π 5π
B= 或
6
3
π
① 当B= 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :
3
4=a 2+c 2 -ac ≥ 2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立 )
1 3
∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB= 4 ac ≤ 3
∴△ ABC 的面积最大值为 3
5π ② 当 B= 6 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :
4=a 2+c 2 + 3ac ≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立 )
∴ac ≤ 4(2-3)
1 1
∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB=4ac ≤2- 3 ∴△ ABC 的面积最大值为 2- 3
1
4【解析】 :(1) 由余弦定理 :cosB=4
sin 2
A C
+cos2B=
1
2
4
(2)由 cos B
1
,得 sin B
15
. ∵ b=2,
4
4
a
2
1
8 1
15 2
+ c =2ac+4≥2ac,得 ac ≤ ,
S △ABC =2acsinB ≤
(a=c 时取等号 )
3
3
故 S △ABC 的最大值为 15
3
5 【解析】
∵
f ( x) 1 π
3 cos2 x 1 sin 2x 3cos2 x
（ Ⅰ ）
cos2x
2
1 2sin 2x
π
．
3
又∵ x
π π
π 2x
π 2π
， ， ∴
≤
≤
，
4 2
6
3
3
即2≤1
2sin 2x
π
≤ 3，
3
∴ f ( x) max 3， f ( x) min 2 ．
（Ⅱ ） ∵ f ( x)
m 2
f (x) 2 m
f (x) 2 ， x
π π ，
4
，
2
∴ m
f ( x)max 2 且 m f ( x) min 2 ，
∴1 m 4 ，即 m 的取值范围是 (14)， ．
6【解析】 :(I)由已知得
b 2
c 2
a 2 sin A
3 3
2bc
cos A sin A
2
2
又在锐角 △ABC 中,所以 A=60°,[不说明是锐角 △ABC 中,扣 1 分 ]
(II)因为 a=2,A=60 所°以 b
2
c
2
bc 4, S
1
bc sin A
3
bc
2
4
而
b 2
c 2
2
bc
4 2
bc
bc
4
bc
又 S
1
bc sin A
3
bc
3 4 3
2
4
4
所以 △ ABC 面积 S 的最大值等于
3
7【解析】 :(Ⅰ )因为 f ( x) (sin x
cos x)2 +cos2 x
sin 2 x 2sin x cos x cos 2 x cos2 x
1 sin
2 x cos2x ( ) =1+ 2 sin(2 x
)
4
所以 2
,即函数 f (x) 的最小正周期为
, T
2
(Ⅱ )因为 0 x
,得
4 2x
4
5
,所以有
2 sin(2 x) 1
2
4
2 4 1
2 sin(2 x
) 2,即0 1
2 sin(2 x)
1
2
4
4
所以 ,函数 f x
的最大值为 1 2
此时 ,因为
2 x
5
,所以 , 2 x
,即 x
8
4
4
4
4
2。