2020年高考数学三角函数专题解题技巧
高三理科数学培优专题——三角函数
三角函数专题一、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。
（2）角的配凑。
α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。
（3）升幂与降幂：主要用2倍角的余弦公式。
（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。
（5）引入辅助角。
asinθ＋bcosθ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab确定。
2.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
二、例题集锦： 考点一：三角函数的概念1.（2011年东城区示范校考试15）设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα的值； （2）设函数()f OP OQ α=⋅，求()αf 的值域．考点二：三角函数的图象和性质2.（2014年课标I ，7）在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos(2)6y x π=+，④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为 （ ）A.①②③B. ②③④C. ②④D. ①③3.（2012年课标全国，9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A.15[,]24 B.13[,]24C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.()0,24.（2011年课标全国，11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增5．将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 A ．12- B ．12C． D6.（2011年东城区期末15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换7.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π． （Ⅰ）求()4f π的值； （Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值.8.已知向量(cos ,sin ),a x x =向量(cos ,sin ),()b x x f x a b =-=⋅ （1）求函数()()sin 2g x f x x =+的最小正周期和对称轴方程； （2）若x 是第一象限角且'3()2()f x f x =-，求tan()4x π+的值.考点六：解三角形9．ABC ∆中，角,,A B C成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知函数()cos f x x =,,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且22233a b c +-4ab =，则下列不等式一定成立的是A ．()()sin cos f A fB ≤ B ．()()sin cos f A f B ≥C ．()()sin sin f A f B ≥D ．()()cos cos f A f B ≤ 11.（2014年课标I ，16）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .12.（2014年河南焦作联考）在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A =+，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则2abc 的最大值为 . 13.（2015河北秦皇岛一模，17，12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，满足()222.AB AC a b c ⋅=-+（1）求角A 的大小； （2）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角,B C 的大小.14．（2009全国II ， 17，10分） 设ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，3cos()cos 2A CB +=-，2b ac =.求B ∠的大小.14.（2015课标II ，17，12分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积是ADC ∆面积的2倍. （1）求sin sin BC∠∠；（2）若1,AD DC ==，求BD 和AC 的长.15、（2011东城一模15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．例题集锦答案：1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是 单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅，求()αf 的值域． ★★单位圆中的三角函数定义解：（Ⅰ）由已知可得54sin ,53cos ==αα……………2分6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫⎝⎛-∴………3分1043321542353+=⨯+⨯=…………4分（Ⅱ）()f OP OQ α=⋅ ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭………6分ααsin 21cos 23+=………………7分 sin 3πα⎛⎫=+⎪⎝⎭………………8分 [0,)απ∈ 4[,)333πππα∴+∈………9分 sin 123πα⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭…………12分()αf ∴的值域是⎛⎤⎥ ⎝⎦………………………………13分2．（2011年西城期末理15）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.★★三角函数一般定义解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin 2α=-，1cos 2α=，………………2分 所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=-………………4分21(2(32=⨯-⨯=-.………………5分 （Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分 3.（2011年东城区期末理15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=， 所以T =π． ……2分 所以2ω=．当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=， 因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ……5分所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+． ………6分 （Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2cos cos 2sin cos 266x x x ππ=+- 12cos 22x x =- sin(2)6x π=-． ……10分 因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤． 当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1； 当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……13分4．（2010年海淀期中文16）已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值；（2）求函数)(x f 的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心 解：（1）22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分） 212sin 23+=x ....5分 由1)(=θf ，可得332sin =θ ......7分所以θθθ2sin 21cos sin =⋅ ......8分 63= .......9分 （2）当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ，换元法 ..11即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，)(x f 单调递增.所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ... 13分5.（2011年丰台区期末理15）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- （0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当 02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．解：（Ⅰ）()sin 2cos 212sin(2)14f x x x x π=--=--ωωω． ω意义 ……4分因为22T π=，所以 T =π，1ω=． ……6分 所以 ()2sin(2)14f x x π=--．所以 ()04f π= ………7分（Ⅱ）()2sin(2)14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤， 无范围讨论扣分所以 当242x ππ-=，即8x 3π=时，max ()21f x =-， …10分 当244x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-． ………13分6、（2011朝阳二模理15）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若02()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. 解: 2()2sin cos 2sin 1=⋅-+f x x x x ……………………………………1分 sin 2cos2=+x x ……………………………………2分π2sin(2)4x =+. 和差角公式逆用 ………………3分 （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………………………………5分 令πππ2π22π242k x k -++≤≤()k ∈Z ， ……………………………………6分所以3ππ2π22π44k x k -+≤≤. 即3ππππ88k x k -+≤≤.所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ[π, π]88k k -+ ()k ∈Z . ……………8分（Ⅱ）解法一：由已知得0002()sin cos 23x f x x =+=，…………………9分 两边平方，得021sin 29x += 同角关系式 所以 07sin 29x =-…………11分 因为0ππ(, )44x ∈-，所以0π2(, )22x π∈-.所以20742cos 21()99x =--=. ……………………………………13分 解法二：因为0ππ(, )44x ∈-，所以0ππ(0, )42x +∈. …………………………9分 又因为000ππ2()2)2)22443x x f x =⋅+=+=，得 0π1sin()43x +=. ……………………………………10分 所以20π12cos()1()433x +=-=. ……………………………………11分 所以，00000πππcos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444x x x x x π=+=+=++ 122422339=⋅⋅=. 诱导公式的运用7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知π72sin()4A +=，ππ(,)42A ∈．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求函数5()cos2sin sin2f x x A x=+的值域．解：（Ⅰ）因为ππ42A<<，且πsin()4A+=，πcos()410A+=-．ππππcos()cos sin()sin4444A A+++31021025=-+=．所以3cos5A=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin5A=．212sin2sinx x=-+2132(sin)22x=--+，x∈R．因为sin[1,1]x∈-，所以，当1sin2x=时，()f x取最大值32；当sin1x=-时，()f x取最小值3-．所以函数()f x的值域为3[3,]2-．8．（2011年朝阳期末理15）已知△ABC中，2sin cos sin cos cos sinA B C B C B=+.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量(cos,cos2)A A=m，12(, 1)5=-n，求当⋅m n取最小值时，)4tan(π-A值.解：和差角公式逆用所以2sin cos sin()sin()sinA B B C A A=+=π-=. ………3分因为0A，所以sin0A.所以1cos2B=. ………5分3Bπ=. …………7分（Ⅱ）因为12cos cos25A A⋅=-+m n，…………………8分所以2212343cos2cos12(cos)5525A A A⋅=-+-=--m n. …10分所以当3cos5A=时，⋅m n取得最小值.A），于是tan同角关系或三角函数定义……12分所以tan11tan()4tan17AAAπ--==+. ……………13分9．（2011年石景山期末理15）已知函数23cossinsin3)(2-+=xxxxf()Rx∈．（Ⅰ）求)4(πf的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x，求)(xf的最大值；（Ⅲ）在ABC∆中，若BA<，21)()(==BfAf，求ABBC的值．解：（Ⅰ）234cos4sin4sin3)4(2-+=ππππf21=．4分（Ⅱ）2)2cos1(3)(xxf-=+232sin21-xxx2cos232sin21-=)32sin(π-=x．…6分2π<<x，32323πππ<-<-∴x．∴当232xππ-=时，即125π=x时，)(xf的最大值为1．…8分（Ⅲ） )32sin()(π-=xxf，若x是三角形的内角，则π<<x令21)(=xf，得解得4π=x或127π=x．……10分由已知，BA,是△ABC的内角，BA<且21)()(==BfAf，∴4π=A，127π=B，∴6π=--π=BAC．…11分又由正弦定理，得221226sin4sinsinsin==ππ==CAABBC．……13分10、（2011东城一模理15）（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=， 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．边化角 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=． 在△ABC所以1cos 2A =，3A π∠=．（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b c bc bc +-=≥- 均值定理在三角中的应用所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=” ． 取等条件别忘所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤． 所以三角形面积的最大值为． ……………………13分 11、(2011丰台一模理15). 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵， （或写成A 是三角形内角） ……………………4分 ∴3A π=．……………………5分 （Ⅱ）2cos2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 222x x =++ …7分 1sin()62x π=++， ……9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈（没讨论，扣1分）…10分 ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． …11分又∵3A π=， ∴3C π= ∴△ABC 为等边三角形． ……13分12、(2011海淀一模理15). （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分 代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分 因为180A B C =-- , …………………4分(B - 角关系 ………5分 （II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A =. …………………7分 因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . …………8分 所以sin B=sin C =. …………9分 由sin sin a cA C=得a = …………………11分 所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分 13、（2011石景山一模理15）．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222A B C +-=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角，∴ π=++C B A ．∵ 三角形中角的大小关系 ∴…………2分 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ．即 021cos 2cos 22=+-C C ． ……4分∴ 21cos =C ． 又∵ π<<C 0 ， ∴ 3π=C ． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π=+B A ．∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ． ∴ 当26ππ=+A ，即 3π=A 时，B A sin sin +取得最大值为3．…………13分。
高中数学三角函数做题技巧
高中数学三角函数做题技巧高中数学是大多数学生需要面对的一门学科。
其中，三角函数是高中数学相对难度较大的一个重点难点内容，也是考试中经常会出现的重要题型。
因此，掌握做题技巧是非常重要的。
一、掌握公式三角函数公式是我们应当掌握的基础内容。
首先，我们需要掌握基础的三角函数公式，包括：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、基本性质等；其次，我们需要掌握三角函数的诸多公式，包括：倍角公式、半角公式、和差公式、积化和差公式、万能公式等。
具体来讲，倍角公式主要用于解决诸如sin2x，cos2x，tan2x这样的题目；半角公式则是解决诸如sinx/2，cosx/2，tanx/2这样的题目；和差公式则是解决两个三角函数之和或差的问题；积化和差公式则是解决三角函数积的问题；万能公式则是将任意三角函数化成任意一个三角函数。
通过掌握这些公式，我们能够更好地解决各种不同类型的三角函数题目。
二、加强思维训练在解决三角函数题目时，思维训练也同样重要。
首先，我们需要学会分类思维，将习题按照各种分类方式进行划分，有助于找到类似的题型的解题方法；其次，我们需要注重思想方法的训练和锻炼。
在解题的过程中，应不断思考，注重方法，掌握走一步看三步的技能，善于思考一步之后的步骤，并同时注重套路训练，提高解题的速度和准确性。
此外，在解题的过程中，我们还需要有意识地加强应用题的解题思维，锻炼自己的应用能力。
三、注重细节分析在解决三角函数题目时，我们还需要关注细节分析，比如说数值区间。
在解题的过程中，有时候可能会遇到三角函数在某一数值区间内计算值的正负性或大小关系问题，这时就需要特别注意数值区间的问题，尤其是在涉及到三角函数的绝对值、极值、矩形面积等问题时。
此外，还需要注意机巧妙用，让解题过程变得更为简单。
四、注重实践训练除了学习相关的知识和技巧，实践训练也是掌握三角函数技巧的关键。
在平时的学习中，我们需要多做练习题，充分掌握三角函数的用法和相关计算方法，逐渐深化对知识和技巧的理解和应用。
三角函数解题思路与技巧
三角函数的解题思路与技巧如下：
1.直接法：直接进行正确的运算和公式变形，结合已知条件，得到正确的答案。
2.换元法：用变量代替一个函数或表达式，通过对变量进行代换，将问题转化为
更容易解决的问题。
3.比例法：通过比例关系，将三角函数值转化为其他函数值，从而解决问题。
4.构造法：通过对问题的分析，构造出符合条件的函数或表达式，从而解决问题。
5.倒推法：从目标结果倒推到起始条件，逐步解决问题。
以上仅为部分解题思路和技巧，实际解题中需要根据具体问题选择合适的思路和方法。
2023年高考数学解题技巧及规范答题：三角函数大题
202 年高考数学解题技巧及规范答题三角函数大题【规律方法】1、正弦定理、余弦定理：正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分基本量的情况下求解其余基本量，基本思想是方程思想.正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，其解题方法主要有： （1）化边为角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，如：，等，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时要注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如：，或等．（2）化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，如，等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．注意：（1）注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．（2）在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．2、三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；(2)构造；(3)和角公式逆用，得(其中φ为辅助角)；(4)利用研究三角函数的性质；2sin a R A =2222cos a b c ab C +-=sin sin A B A B =⇔=sin 2sin 2A B A B =⇔=2A B π+=sin 2a A R =222cos 2b c a A bc+-=())f x x x =+())f x x ϕ=+())f x x ϕ=+3(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【核心素养】以三角形为载体，以正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段考查解三角形问题是高考一类热点题型，考查的核心素养主要有“逻辑推理”、“数学运算”、“数据分析”．【典例】【2020年全国II 卷】中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求周长的最大值.【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：，，，. （2）由余弦定理得：，即.ABC ABC cos A A ()29AC AB AC AB +-⋅=AC AB +222BC AC AB AC AB --=⋅2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅()0,A π∈ 23A π∴=222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=()29AC AB AC AB +-⋅=第二步，用定理、公式、性质：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为【解题方法与步骤】1、解三角形问题的技巧：（1）解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． ①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍；②求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图进行判断．(2)三角形解个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断．2、三角恒等变换要遵循的“三看”原则:一看“角”：通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式; 二看“函数名称”：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”;三看“结构特征”：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.3、解三角形与三角函数综合问题一般步骤：第一步，转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理将问题转化为三角函数的问题； 22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭AC AB =()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭AC AB +≤AC AB =ABC ∴ 3L AC AB BC =++≤+ABC ∴ 3+的的关系的互化；第三步，得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论三角函数的基本性质等.【好题演练】1.（2021·河南中原高三模拟）在中，，，所对的角分别为，，，已知. （1）求；（2）若，为的中点；且，求的面积.【分析】（1）根据题意，由正弦定理得出，再由两角和的正弦公式化简得，由于，从而可求得，最后根据同角三角函数的平方关系，即可求出；（2）法1：在中由余弦定理得出，再分别在和中，由余弦定理得出和，再由，整理ABC a b c A B C 3cos 3a b A c +=sin B 3a =D AC BD =ABC sin 3sin cos3sin A B A C +=sin 3sin cos A A B =sin 0A >1cos 3B =sin B ABC 221936c b c+-=ABD △BCD △2cos ADB ∠=2cos CDB ∠=cos ADB cos DB 0∠+∠=C化简的出边，最后根据三角形的面积公式，即可求出结果. 法2：由平面向量的加法运算法则得出，两边平方并利用平面向量的数量积运算化简得，从而可求出边，最后根据三角形的面积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为， 所以，因为，所以，所以，因为，所以（2）法1：在中，由余弦定理得，即， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得因为，c 1sin2ABC S ac B =△12BD BA BC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()213294c c =++c 1sin 2ABC S ac B =△3cos 3a b A c +=sin 3sin cos 3sin A B A C +=()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin 3sin cos A A B =()0,A π∈sin 0A >1cos 3B =()0,B π∈sin B ===ABC 222cos 2a c b B ac +-=221936c b c+-=ABD △2cos ADB ∠=BCD △2cos CDB ∠=πADB CDB ∠+∠=220=即，所以， 整理得，解得：或（舍去）， 所以. 法2：因为为的中点，所以，两边平方得，即，即，解得或（舍）， 所以. 2.记中内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求；（2）点，位于直线异侧，，.求的最大值.【分析】（1，利用正弦定理化边为角结合利用两角和的正弦公式展开整理可求得的值，即可得角； （2）结合（1化角为边可得，即，在中由余弦定理求，利用三角恒等式变换以及三角函数的性质可得最大值.2262b c =+()222296219366c c c b c c+-++-==2230c +c -=1c =3c =-11sin 3122ABC S ac B ==⨯⨯=△D AC 12BD BA BC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222124B BD B BA C BC A →→→→→⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭()213294c c =++2230c +c -=1c =3c =-11sin 3122ABC S ac B ==⨯⨯=△ABC A B C a b c a =3cos sin B b A =+A A D BC BD BC ⊥1BD =AD cos sin B b A =+sin sin()C A B =+tan A A cos sin sin C A B B A =+cos sin B a B =+sin c B B =ABD △2AD（1）求 A ；【详解】（1，.. 因为，，所以，，，又因为， 可得：，所以； （2）由（1，， 即，由余弦定理得，所以当且仅当时，取得最大值，所以.3.在中，内角的对边分别为，且满足. 3cos sin B b A =+a =cos sin B b A =+cos sin sin C A B B A =+πA B C ++=,,(0,π)A B C ∈sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos s cos sin s i in n A B A B A B B A +=+sin sin sin A B B A =sin 0B ≠sin A A =tan A =0πA <<π3A =cos sin sin C AB B A =+cos sin B a B =+cos sin c a B B B =+=+2222cos AD c BD c BD ABD =+-⋅∠()()()2sin 12sin sin B B B B B =+--222sin 3cos 212sin 2B B B B B =+++++42B =+π4B =2AD )241+=+AD 1+ABC 、、A B C ,,a b c 2sin cos b A B ()2sin c b B =-（2）若l 的取值范围.【分析】（1）由正弦定理得，化简得， 利用的范围可得答案；（2）由正弦定理得，利用的范围和三角函数的性质可得答案.【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以，即，解得，因为，所以.（2）由正弦定理得， 所以，所以，因为，所以， a =()2sin sin cos 2sin sin sin B A B CB B =-1cos2A =A 4sin ,4sin bB cC ==()4sin sin l B C =++B ()2sin sin cos 2sin sin sin BA B C B B=-0B π<<sin 0B ≠2sincos 2sin sin A BC B =-2sin cos 2sin cos 2sin cos sin A B A B B A B =+-1cos 2A =0A π<<3A π=4sin sin sin a b cAB C===4sin ,4sin b B c C ==()24sin sin sin sin 3l B C B B π⎡⎤⎛⎫=+++-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦314sin cos 22B B B B ⎛⎫⎫=+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以， 所以.4.（2021·天津高考）在，角所对的边分别为，已知． （I ）求a 的值；（II ）求的值；（III ）求的值．【分析】（I ）由正弦定理可得（II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I ）因为，由正弦定理可得，；（II ）由余弦定理可得； （III ），， ，， 所以. 1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(l ∈ABC ,,A B C ,,a bc sin:sin :sin 2A B C =b =cos C sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭::2a b c =2C sin :sin :sin 2A B C =::2:1:ab c=b =2a c ∴==2223cos 24a b c C ab +-===3cos 4C =sin C ∴==3sin 22sin cos 24C C C ∴===291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1182=⨯=5.（2021·南京市中华中学）在中，分别为内角的对边，且满足． （1）求的大小；（2）从①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题．问题：已知___________，___________，若存在，求的面积，若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再结合辅助角公式化简运算，可求出角的范围.（2）若选择条件①②，由余弦定理可计算的值，面积公式计算面积；若选择条件②③，正弦定理计算边，两角和的正弦计算，可求面积；若选择条件①③，由大边对大角可知三角形不存在. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得因为即因为所以因为即ABC ,,a b c ,,A B C b a =B 2a c =2b =4A π=ABC ABC ABC a c 、a sin C b a =sin sin B A =sin 0A ≠cos 1B B -=1sin()62B π-=0B π<<5666B πππ-<-<66B ππ-==3B π第 11 页 共 11 页（2）若选择条件①②，由余弦定理可得，解得， 故所以若选择条件②③由正弦定理可得，可得所以若选择条件①③这样的三角形不存在，理由如下： 在三角形中，， 所以， 所以，所以又因为所以与矛盾，所以这样的三角形不存在.2222cos b a c ac B=+-222442c c c +-=c =a =11sin sin 223ABC S ac B π=== sin sin a b A B =sin sin b A a B ==11sin 2sin 2234ABC S ab C ππ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭ ABC 43A B ππ==，53412C ππππ=--=A C <a c <2a c=a c >a c <。
2020高考数学必胜秘诀(四)三角函数
2020高考数学必胜秘诀(四)三角函数――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结四、三角函数1、 角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方 向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成 一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、 象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 X 轴的非负半轴重合，角 的终边在第几象限，就讲那个角是第几象限的角。
假如角的终边在坐标轴上，就认为那个角不属于任何象 限。
，合弧度。
〔答：25;36〔2〕 终边与 终边共线(的终边在终边所在直线上)k (k Z).〔3〕 终边与 终边关于x 轴对称 2k (k Z)〔4〕 终边与 终边关于y 轴对称 2k (k Z).〔5〕 终边与 终边关于原点对称 2k (k Z).〔6〕终边在x 轴上的角可表示为：k ,k Z; 终边在y 轴上的角可表示为:k-,k Z； 终边在坐标轴上的角可表示为:k ■ ,k Z .如 的终边与一的终边关于直线226x 对称，那么=。
〔答：2k,k Z 〕34、 与=的终边关系：由”两等分各象限、一二三四'’确定•如假设 是第二象限角，那么是第2 2_____ 象限角〔答：一、三〕5、弧长公式：I | |R ，扇形面积公式： S *IR 21 | R 2 , 1弧度(irad) 573.如扇形AOB的周长是6cm ,该扇形的中心角是 1弧度，求该扇形的面积。
〔答：2cm 2〕6、 任意角的三角函数的定义 ：设 是任意一个角，P (x, y)是 的终边上的任意一点〔异于原点〕，xr r cot(y 0), sec x 0 , cscy 0。
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上yxy点P 的位置无关。
女口〔 1〕角的终边通过点 P(5, - 12),那么sin cos 的值为 ____________ 。
高考数学之三角函数压轴小题的解法
教海探索摘要：纵观这几年的高考数学题目，经常在三角函数这块出一些比较难的压轴小题，这类题目深度考查三角函数的图象与性质，然而学生对于这类压轴小题的得分却很低，所以本文详细介绍这一类三角函数压轴小题的解法，旨在帮助学生攻克这类三角函数压轴小题。
关键词：三角函数；压轴小题；取值范围；整体换元本文中笔者将讲解这类压轴小题的具体考法以及“正面解法”，正面解法是指在小题里，特别是选择题里，不采用特值检验选项的方法，完全依据题目给的条件推出正确选项.在平时做练习题的时候，训练正面解法有助于提升我们的数学思维，加深对三角函数图象与性质的理解。
一、从单调性方面考查w 的取值范围这种题目会给出正余弦型函数在某区间上是单调递增或单调递减或者直接说是单调的，只要题目中提到正余弦型函数在某区间上是单调的，那这个单调区间的长度一定小于等于T2（T 是正余弦型函数的最小正周期），这时再结合最小正周期公式T =2πw，可以初步确定w 的一个大范围。
确定了w 的一个大范围，接下来我们用整体换元法来推出w 的具体范围：题目中给出了单调区间，等于给出了x 的范围，我们可以推出wx +φ的范围，这时我们将wx +φ视为一个整体，令t =wx +φ，此时正余弦型函数就变成了我们熟悉的正余弦函数。
这时我们一定要明白wx +φ的范围是由题目中给的单调区间推过来的，而正余弦函数的单调区间公式是一个总的单调区间。
所以wx +φ的范围一定是包含于（⊆）正余弦函数的单调区间公式，这时就可以解出w 的范围，再联立一开始利用单调区间的长度一定小于等于T2求得的w 的大范围，从而求出w的具体范围。
接下来以一道高考题为例：2012年高考新课标卷理科第9题：已知w >0，函数f (x )=sin(wx +π4)在区间(π2,π)上单调递减，求w 的取值范围。
解析：在(π2,π)上单调递减，可以得出π-π2≤T2，结合最小正周期公式T =2πw ，可以得出π2≤πw 。
2020年高考文科数学大题专项二 高考中的三角函数与解三角形
二
考情分析
典典例例剖剖析析
专题总结提升
-7-
题型一
题型二
题型三
题型四
对点训练 1(2018 山东潍坊期中联考)设函数 f(x)=sin ωx·cos
ωx- 3cos2ωx+ 23(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为
π2 + 4.
(1)求 ω 的值;
(2)若函数
y=f(x+φ)
0
<
������
高考大题专项二 高考中的三角函数与解三角形
高考大题专项 高考中的三角函数与解三角形
二
考情分析
典例剖析
专题总结提升
-2-
从近五年的高考试题来看,高考对三角函数与解三角形的考查都 呈现出较强的规律性,每年的题量和分值要么三个小题共15分,要 么一个小题和一个大题共17分.在三个小题中,分别考查三角函数 的图象与性质、三角变换、解三角形;在一个小题和一个大题中, 小题要么考查三角函数的图象与性质,要么考查三角变换,大题考 查的都是解三角形.
题型三
题型四
解 (1)在△ABD 中,由正弦定理得si���n������∠��������� = sin∠������������������������������. 由题设知,sin545°= sin∠2������������������,所以 sin∠ADB= 52.
由题设知,∠ADB<90°,所以 cos∠ADB=
<
π 2
是奇函数,求函数 g(x)=cos(2x-φ)
在[0,2π]上的单调递减区间.
高考大题专项 高考中的三角函数与解三角形
二
考情分析
典典例例剖剖析析
数学三角函数解题技巧
数学三角函数解题技巧
数学中的三角函数是一类非常重要的函数，常用于解决与角度有关的问题。
在学习三角函数时，很多学生会遇到各种各样的困难和难题。
以下就是一些关于解决三角函数解题的技巧。
1. 熟悉三角函数的定义
三角函数的定义有很多种，例如正弦函数，余弦函数，正切函数等等。
在解题过程中，首先需要对每种函数的定义进行熟悉和理解，才能更好地应用它们来解决问题。
2. 熟悉三角函数的基本性质
三角函数有很多基本性质，例如周期性，对称性，奇偶性等等。
熟悉这些基本性质，可以帮助我们更快地解决问题。
3. 转化为代数式解决问题
有些三角函数问题可以通过将三角函数转化为代数式来解决。
例如，可以使用和差化积公式或倍角公式将三角函数转化为代数式，然后再用代数式解决问题。
4. 利用三角函数的图像解决问题
三角函数的图像是一种很好的解题工具。
通过观察图像，可以了解函数的周期、振幅、极值等信息，从而更好地解决问题。
5. 利用三角函数的特殊值解决问题
三角函数有很多特殊值，例如正弦函数的最大值和最小值是1和-1，余弦函数的最大值和最小值是1和-1。
利用这些特殊值，可以更快地解决问题。
总之，解决三角函数问题需要多加练习和思考，掌握好以上技巧，相信可以更好地应对各种各样的三角函数问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数专题复习
在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。
三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。
一、研究考题，探求规律
1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去
2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。
偏重化简求值,三角函数的图象和性质。
考查运算和图形变换也成为了一个趋势。
三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。
三角化简、求值、恒等式证明。
图象。
最值。
3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。
②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。
二、典例剖析
例1：函数22()cos 2cos
2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66
ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2
x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2
t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22
t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A
【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断.
例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值； （Ⅱ）求cos2θ的值．
【解析】
（Ⅰ）∵tan 2θ=，
tan
tan 4tan 41tan tan 4π
θπθπθ+⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭-
123112
+==--⨯． （Ⅱ）解一: 22cos 2cos sin θθθ=- 2222cos sin cos sin θθθθ-=+221tan 1tan θθ-=+143145
-==-+ 解二:tan 2θ=，22tan 44tan 21tan 143
θθθ∴===--- 又tan 2,θ=可知 ()42k k k Z πππθπ+
<<+∈， 从222()2k k k Z π
πθππ+<<+∈
∴3cos 25θ==- 【解后反思】因此涉及到计算型问题的时候，一定不能在计算上出问题，宁可慢些.错解2是较难发现其错误的，在求角的过程中，不自觉的扩大了角的范围，从而产生增根.可以灵活的选用和使用恰当的公式避开角的讨论，如要展开角的讨论，需要我们对角的范围更精确一些，角的范围不能有效的确定，往往是错误的根源.
例3：由函数f (x )=sin2x 的图象得到g(x )=cos(2x －
6π)的图象，需要将f (x )的图象 （ ） A ．向左平移3
π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3
π个单位 D ．向右平移6π个单位 【解析】g(x ) sin(2)3x π=+=sin 2()6
x π+，要得到函数f (x )=sin2x 的图像,将f (x )的图象向左平移6
π个单位，答案B 【温馨提示】解题中必须仔细和认真，注意函数的名称是不一样的，并且是将f (x )的图象进行平移得到()g x 的图像,认真读题，是解题的第一要求，图象变换的两种情况先周期变换后相位变换和先相位变换后周期变换，这两种.它们所移动的长度单位是不一样的．解答此类题目时应注意将自变量x 的系数提取出来，紧紧抓住谁是变元这个关键——函数图象平移变换是指自变量x 的改变程度.另外应记清：左“＋”右“－”，上“＋”下“－”的规律.
三、复习建议
由此对于高中数学复习提出如下建议：
1、切实抓好“三基”，牢固打好数学基础。
① 回扣课本，浓缩知识，巩固提高
回扣课本是一次系统的复习，目的是迅速巩固原有复习效果，特点是速度快、记忆量大，准确度要求高。
② 建立知识结构体系
通过对反映相关数学理论的本质属性的许多重要的例题和习题类比、延伸、迁移、拓广,提出新的问题并加以解决,能有效地掌握基础知识,发展数学能力。
③ 重视数学思想方法的渗透
基本数学思想方法是在知识的形成的过程中发展,数学能力是在知识、方法和技能的学习过程中提高,
2、突出应用。
解答数学应用问题,是创新意识和实践能力的重要表现。
学会将实际问题抽象为数学问题总的来说：三角函数的考查会立足课本，落实基础，重视方法。
基础知识、基本方法仍是高考的重点；创新型题型，探究型题型将加大考察力度；
同步训练题
例1、已知函数（1）x x f ln 3)(=；（2）x e
x f cos 3)(=； （3）x e x f 3)(=；（4）x x f cos 3)(=，其中对于f （x ）定义域内杜任意一个自变量1x ，都存
在唯一一个自变量2x ，使3)()(21=x f x f 成立的函数是（ ）
A 、（1）（2）（4）
B 、（2）（3）
C 、（3）
D 、（4）
分析：本题属新信息题，考查知识的迁移及应用能力；明确三角函数的图象与性质是求解本题的关键。
解析：（1）不符合要求，如当1x ＝1时，一定不存在满足条件的2x 使得等式成立；（2）不符合要求，显然要使3)()(21=x f x f 即0cos cos 1212cos 1cos =+⇒=+x x e x x ，由于x y cos =在定义域上不单调，故满足条件的实数不唯一；（3）符合，据题意只须021=+x x ，当给定1x 值时，显然2x 唯一确定；（4）不符合要求，据题意要使1cos cos 21=⋅x x ，由三角函数知2x 也是不唯一的。
故选C.
2、已知函数x x x f sin )(⋅=的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若)2
,2(,21ππ-∈x x ，且)()(21x f x f <，则（ ）
A 、21x x >
B 、021>+x x
C 、21x x <
D 、2
221x x <
分析：比较两个函数图象，可以从对称性的角度进行判断，从而确定函数的图象；再运用确定的函数图象，结合给出的条件，理解其含义（如单调性，与原点的距离等），从直观上给予判断。
解：函数x x x f sin )(⋅=是偶函数，故其图象关于y 轴对称，应选第二个图象，当
)2
,2(ππ-∈x 时，运用图象的特征可知，距y 轴越远，f （x ）的值越大。
因为)()(21x f x f <，所以||||21x x <，即2221x x <，故选D.
3函数 2
(sin )1y x a =-+，当sin x a =时有最小值，当sin 1x =时有最大值，则a 的取值范围是（ ）
A ．[1,0]-
B ．[1,1]-
C ．(,0]-∞
D ．[0,1]
解析：∵函数 y = ( sinx － a )2 + 1 当 sinx = a 时有最小值, 所以对称轴应该在自变量的区域内，即 ∴－1≤a≤1,∵当sinx = 1 时有最大值, ∴a≤0, ∴-1≤a≤0。
点评：本题设计巧妙，首先需要具备两种重要的思想：数形结合、逆向思维，在sin x a =时有最小值，说明对称轴在-1≤a≤1,在当sin 1x =时有最大值，说明对称轴离端点1远些。
即对称轴在[-1,1]的中点的左侧，所以有a≤0。