2011高三7模数学试题

2011届高三第七次模拟考试数学试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{12}{}aA B a b ==，，，，若1{}2A B ⋂=，则A B ⋃=（ ）A ．1{,1,}2b B ．1{1,}2- C ．1{1,}2D ．1{1,,1}2-2、i 是虚数单位，即21i =-，则1＋16C i ＋226C i ＋336C i ＋446C i ＋556C i ＋666C i ＝（ ）A ．8iB ．8i -C ．8D ．1616i -+3、定义行列式运算：12142334.a a a a a a a a =-若将函数3sin ()1cos xf x x=的图象向左平移(0)m m >个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．8πB ．3π C ．56π D ．23π 4、一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F成120 角，且12,F F 的大小分别为1和2，则有 （ ）A ．13,F F 成90角B ．13,F F 成150角C ．23,F F 成90角D ．23,F F 成60角 5、已知函数32122331()lg(1),0,0,0f x x x x x x x x x x =++++>+>+>且，则123()()()f x f x f x ++的值（ ） A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．以上都有可能6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．33π+B ．323π+C ．23π+D ．3π+7、已知命题：p ：函数()sin cos f x x x =的最小正周期为π；q ：函数()sin()2g x x π=+ 的图象关于原点对称，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∨C ．p ⌝D ．()p q ⌝∨8、已知三条直线,,a b c 和平面β，则下列推论中正确的是（ ）A ．若ββ//,,//a b b a 则⊂B ．若a ，b 与β所成角相等，则//a bC ．若,//,//a b a b a b ββ⊂，共面，则D ．若b a c b c a //,,则⊥⊥9、设实数,x y 满足条件4100280,(0,0)0,0x y x y z ax by a b x y --≤⎧⎪-+≥=+>>⎨⎪≥≥⎩若目标函数的最大值为12，则23a b+的最小值为 （ ） A ．4B ．83C ．113D ．25610、已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，若()2f α=，则()12f πα+的值为（ ）A ．3B ．3±C ．1D ．与ϕ和α有关11、用数字2,3,5,6,7组成没有重复数字的五位数，使得每个五位数中的相邻的两个数都互质，则得到这样的五位数的概率为（ ） A ．25 B ．720 C ．310 D ．1412、已知双曲线)0(222>=-a a y x 的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线在第一象限的 图象上有一点P ，γβα=∠=∠=∠APB PBA PAB ,,，则（ ）A ．tan tan 10αβ⋅+=B ．tan tan 10βγ⋅+=C ．tan tan 10αγ⋅+=D ．tan tan 10αβ⋅-= 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、已知函数0()(cos sin )(0)()x f x t t dt x f x =->⎰，则的最大值是 。

14、右下图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是. 15、已知函数()f x 满足1(1)()f x f x +=，且()f x 是偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是 ．16、如图，第一个图是正三角形，将此正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得第2个图，将第2个图中的每一条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得第3个图，如此重复操作至第n 个图，用n a 表示第n 个图形的边数，则数列{}n a 的前n 项和n S 等于 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17、已知数列{}n a 中，11a =，且21231n n n na a n n --=+⋅-*(2,)n n N ≥∈。

(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 令13n n nb a -=*()n N ∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，试比较2n S 与n 的大小； 18、某品牌的汽车4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元. 用η表示经销一辆汽车的利润.表中的,a b（1）求上值；（2）若以频率作为概率，求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率()P A ； （3）求η的分布列及数学期望E η.19、如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，,,PB BC PD CD ⊥⊥且PA=2，E 为PD 中点。

（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角E —AC —D 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点F ，使得点E 到平面PAF 的 距离为255？若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由。

20、如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C ∠=，B 、C 在x 轴上且关付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 频 数4020a10bxyDO CAB F EA OBC D于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC 的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．(1) 求双曲线E 的方程；(2) 若过点(2,0)P 的直线l 与双曲线E 交于不同于双曲 线顶点的两点M 、N ，且MP PN λ=，问在x 轴上 是否存在定点G ，使()BC GM GN λ⊥-？若存在， 求出所有这样的定点G 的坐标；若不存在，请说明理由． 21、已知函数()ln()x f x e a =+（a 为常数）是实数集R 上的奇函数，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[－1，1]上的减函数． （I ）求a 的值；（II ）若2()1g x t t λ≤++在[1,1]x ∈-及λ所在的取值范围上恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+的根的个数．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22、在直角三角形ABC 中，,900=∠ACB 以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，连接DO 并延长交AC 的延长线于点E,⊙O 的切线DF 交AC 于F 点. （I ）试证明：AF=CF; （II ）若ED = 4,53sin =∠E ，求CE 的长.23、已知函数()21f x x x =+--． （Ⅰ）试求)(x f 的值域；(Ⅱ)设233()(0)ax x g x a x-+=>若对(0,)s ∀∈+∞，(,)t ∀∈-∞+∞， 恒有()()g s f t ≥成立，试求实数a 的取值范围．高三第七次模拟考试数学答案一、选择题： DBCAB ABCDA CA 二、填空题： 21- 34 1(0,]441n- 三、解答题：17、解：(Ⅰ)由题21231n n n na a n n --=+⋅-知， 21231n n n a a nn --=+⋅-， 由累加法，当2n ≥时，22122323231n n a a n --=+⨯+⨯++⨯代入11a =，得2n ≥时，112(13)1313n n n a n ---=+=- ．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又11a =，故1*3()n n a n n N -=⋅∈． ．．．．．．．．．．．．．．．．6分（II ）*n N ∈时，131n n n b a n-==．方法1：当1n =时，121112S =+>；当2n =时，2211112234S =+++>； 当3n =时，321111111132345678S =+++++++<．猜想当3n ≥时，2n S n <． ．．．．．．．．．．．．．．．．8分 下面用数学归纳法证明：①当3n =时，由上可知323S <成立； ②假设(3)n k k =≥时，上式成立，即1111232k k ++++<. 当1n k =+时，左边1111111232212k k k +=++++++++1112121221kk k k k k k +<+++<+<+++， 所以当1n k =+时成立．由①②可知当*3,n n N ≥∈时,2n S n <．综上：当1n =时,121S >； 当2n =时, 222S >；当*3()n n N ≥∈时,2n S n < ．．．．．．．．．．．．．．．． 12分方法2：21111232n n S =++++记函数2111()(1)232n n f n S n n =-=++++-所以1111(1)(1)(1)232n f n n ++=++++-+则11112(1)()()1102122221n nn n n f n f n ++-=+++-<-<+++ 所以(1)()f n f n +< ．．．．．．．．．．10分由于121(1)1(1)102f S =-=+->，此时121S >；22111(2)2(1)20234f S =-=+++->，此时222S >；321111111(3)3(1)302345678f S =-=+++++++-<，此时323S <；由于，(1)()f n f n +<，故3n ≥时，()(3)0f n f ≤<，此时2n S n <．综上：当1,2n =时，2n S n >；当*3()n n N ≥∈时,2n S n <．．．．．．．．． 1218、解：（1）由0.2100a=得20a = ∵402010100a b ++++= ∴10b = ----------------------------2分 （2）记分期付款的期数为ξ，依题意得：40(1)0.4100P ξ===,20(2)0.2100P ξ===,(3)0.2P ξ==, 10(4)0.1100P ξ===, 10(5)0.1100P ξ===------------------------------5分 则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率:()P A ＝31230.80.2(10.2)0.896C +⨯-=-------------------------------7分（3）∵η的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）(1)(1)0.4P P ηξ==== ------------------------8分 ( 1.5)(2)(3)0.4P P P ηξξ===+== ------------------------9分 (2)(4)(5)0.10.10.2P P P ηξξ===+==+= ---------------------10分∴η的分布列为∴10.4 1.50.420.2 1.4E η=⨯+⨯+⨯=(万元) ---------------------12分.η 11.5 2 P0.40.40.220、解：(1) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =．xyDOCABNBCOyxGMP∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩（3分）解之得1a =，∴2,3c b ==．∴双曲线E 的方程为2213y x -=．（5分）(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-．设直线l 的方程为2x ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ．代入2213yx -=得22(31)1290k y ky -++=其中2310k -≠且0∆>，即213k ≠且210k +>．121222129,3131k y y y y k k -+==--． ① （8分） 由MP PN λ=，得120y y λ+=,即12yy λ=- ②∵(4,0)BC =，GM GN λ-1212(,)x t x t y y λλλ=--+-， ∴12()x t x t λ-=-．即122(2)ky t ky t λ+-=+-．③ （10分） 把②代入③，得12122(2)()0ky y t y y +-+=把①代入，得221812(2)03131k k t k k --=--， 化简得 2kt k =． 当12t =时，上式恒成立． 因此，在x 轴上存在定点1(,0)2G ，使()BC GM GN λ⊥-． （12分）21、解：（Ⅰ）)ln()(a e x f x +=是奇函数，则)ln()ln(a e a e x x+-=+-恒成立．∴()() 1.xx ea e a -++=即211,x x ae ae a -+++=∴()0,0.xxa e ea a -++=∴= （2分）（II ）由（I ）知(),f x x = ∴()sin g x x x λ=+ ∴'()cos g x x λ=+且'()cos 0g x x λ=+≤对x ∈[－1，1]恒成立，即cos x λ≤-对x ∈[－1，1]恒成立，∴1λ≤- （4分） 又)(x g 在[－1，1]上单调递减，∴max ()(1)sin1,g x g λ=-=-- ∵2()1g x t t λ≤++ 在[1,1]x ∈-上恒成立∴2sin11,t t λλ--≤++即2(1)sin110t t λ++++≥对1λ≤-恒成立 （6分） 令),1(11sin )1()(2-≤++++=λλλt t h 则⎩⎨⎧≥+++--≤+,011sin 1012t t t ∴21sin10t t t ≤-⎧⎨-+≥⎩ ，2sin10,t t -+≥而恒成立 1-≤∴t ．（8分） （Ⅲ）由（I ）知,2ln ,)(2m ex x x x x x f +-=∴=方程为 令m ex x x f x x x f +-==2)(,ln )(221，21ln 1)(xx x f -=' ， ()f x ∴在(0,)e 为增函数，在(,)e +∞上为减函数，当e x =时，.1)()(1max 1ee f x f == 而222)()(e m e x x f -+-=，（10分） )(1x f 函数∴、)(2x f 在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当ee m e e m 1,122+>>-即时，方程无解． ②当ee m e e m 1,122+==-即时，方程有一个根． ③当e e m e e m 1,122+<<-即时，方程有两个根．（12分） 22、（Ⅰ）在直角三角形ABC 中，直角边BC 为⊙O 的直径,∴AC 为⊙O 的切线, 又FD 为⊙O 的切线，FD=CF,且∠FDC=∠FCD, ………2分又由BC 为⊙O 的直径，∴∠ADF+∠FDC =2π,∠A +∠FCD=2π, ∴∠ADF=∠A, ,∴FD=AF, ∴AF=CF. ……………………………………5分(Ⅱ)直角三角形FED 中，ED=4， 53sin =∠E ， ∴54cos =∠E ，∴FE=5, …………… 8分 又 FD=3=FC, ∴CE=2. ………………………10分23、函数可化为3(2)()21(21)3(1)x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩, ()[]3,3f x ∴∈- ………5分(Ⅱ) 若0x >，则2333()3233ax x g x ax a x x-+==+-≥-， 即当23ax =时，()min 233g x a =-， 由（Ⅰ）知()max 3f x ∴=． ……………………．．8分若对(0,)s ∀∈+∞，(,)t ∀∈-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，即()min g x ≥()max f x ， 2333,a ∴-≥3a ∴≥，即a 的取值范围是[)3,+∞． ………… 10分。