(完整版)高中数学三角函数解题技巧和公式(已整理)

关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。

下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。

分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。

解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+= 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。

A ．m 2=nB ．m 2=12+nC ．n m 22=D ．22mn = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θθθθcos sin 1 故：1212122+=⇒=-nm n m ，选B 。

例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。

A ．21B ．21-C ．41D ．41- 分析：tg α+ctg α=41cos sin 4cos sin 1=⇒=αααα 故：212sin cos sin 22sin =⇒=αααα。

答案选A 。

例4 已知：tg α+ctg α=2，求αα44cos sin +分析：由上面例子已知，只要αα44cos sin +能化出含sin α±cos α或sin αcos α的式子，则即可根据已知tg α+ctg α进行计算。

由于tg α+ctg α=⇒=2cos sin 1αα 21cos sin =αα，此题只要将αα44cos sin +化成含sin αcos α的式子即可： 解：αα44cos sin +=αα44cos sin ++2 sin 2αcos 2α-2 sin 2αcos 2α=（sin 2α+cos 2α）- 2 sin 2αcos 2α=1-2 (sin αcos α)2 =1-2)21(2⨯ =211- =21 通过以上例子，可以得出以下结论：由于ααcos sin ±，sin αcos α及tg α+ctg α三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。

这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。

但有一点要注意的；如果通过已知sin αcos α，求含ααcos sin ±的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。

这是由于（ααcos sin ±）2=1±2sin αcos α，要进行开方运算才能求出ααcos sin ±二、关于“托底”方法的应用：在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg α（或ctg α）与含sin α（或cos α）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。

方法如下：例5 已知：tg α=3，求ααααcos sin 2cos 3sin +-的值。

分析：由于αααcos sin =tg ，带有分母cos α，因此，可把原式分子、分母各项除以cos α，“造出”tg α，即托出底：cos α；解：由于tg α=30cos 2≠⇒+≠⇒αππαk故，原式=013233123cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin =+⨯-=+-=+⋅⋅-ααααααααααtg tg例6 已知：ctg α= -3，求sin αcos α-cos 2α=? 分析：由于αααsin cos =ctg ，故必将式子化成含有ααsin cos 的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：1cos sin 22=+αα及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin α，造出ctg α： 解：αααααααααα222222cos sin cos cos sin cos cos sin 1cos sin +-=-⇒=+ α2sin ,分母同除以分子 ααααααααα22221)sin cos (1)sin cos (sin cos ctg ctg ctg +-=+- 56)3(1)3(322-=-+-+-= 例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） 设20,20ππ<<<<y x ，)6sin()3sin(sin sin y x y x --=ππ且 求：)3)(33(--ctgy ctgx 的值 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于20,20ππ<<<<y x ，故0sin ,0sin ≠≠y x ，在等式两边同除以y x sin sin ，托出分母y x sin sin 为底，得：解：由已知等式两边同除以y x sin sin 得： 1sin sin 6cos cos 6sin sin sin 3cos cos 3sin 1sin sin )6sin()3sin(=-⋅-⇒=--y y y x x y x y x ππππππ 334)3)(33(1)3)(33(431)3)(13(411sin sin 3cos sin sin cos 341=--⇒=--⇒=--⇒=-⋅-⋅⇒ctgy ctgx ctgy ctgx ctgy ctgx yy y x x x “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。

由于αααcos sin =tg ，αααsin cos =ctg ，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。

而添加分母的方法主要有两种：一种利用1cos sin 22=+αα，把αα22cos sin +作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。

三、关于形如：x b x a sin cos ±的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：可以从公式)sin(sin cos cos sin x A x A x A ±=±中得到启示：式子x b x a sin cos ±与上述公式有点相似，如果把a ，b 部分变成含sinA ，cosA 的式子，则形如x b x a sin cos ±的式子都可以变成含)sin(x A ±的式子，由于-1≤)sin(x A ±≤1，所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a 当成sinA ，b 当成cosA ，如式子：x x sin 4cos 3+中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA ≤1，-1≤cosA ≤1，可以如下处理式子：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±++=±x b a b x b a a b a x b x a sin cos sin cos 222222 由于1)()(222222=+++b a b b a a。

故可设：22sin b a aA +=，则A A sin 1cos -±=，即：22cos b a b A +±= ∴)sin()sin cos cos (sin sin cos 2222x A b a x A x A b a x b x a ±+=±+=±无论x A ±取何值，-1≤sin(A ±x)≤1，22b a +-≤)sin(22x A b a ±+≤22b a + 即：22b a +-≤x b x a sin cos ±≤22b a +下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：例1（98年全国成人高考数学考试卷） 求：函数x x x y cos sin cos 32-=的最大值为（AAAA ）A ．231+B ．13-C ．231- D ．13+ 分析：x x x x 2sin 21cos sin 221cos sin =⋅=，再想办法把x 2cos 变成含x cso 2的式子：212cos cos 1cos 22cos 22+=⇒-=x x x x 于是：x x y 2sin 21212cos 3-+⋅= x x 2sin 21232cos 23-+= 23)2sin 212cos 23(+-=x x由于这里：1)21()23(,21,232222=+=+==b a b a 则 ∴23)2sin 212cos 23(1+-⨯=x x y 设：21cos ,23123sin 22===+=A b a a A 则 ∴232sin cos 2cos sin +-=x A x A y 23)2sin(+-=x A 无论A-2x 取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故231+-≤y ≤231+ ∴y 的最大值为231+，即答案选A 。

例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷）在△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB 、BC 、CA 上任取点D 、E 、F ，使△DEF 为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sin α取何值时，△EFD 的边长最短？并求此最短边长。

分析：首先，由于222224)3(1AB CA BC ==+=+，可知△ABC 为Rt △，其中AB 为斜边，所对角∠C 为直角，又由于︒===30,21sin A AB BC A 故，则∠B= 90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF 的最短边长，故必要设正△DEF 的边长为l ，且要列出有关l 为未知数的方程，对l 进行求解。