苏科版七年级数学下册 幂运算、整式的乘法和因式分解 知识点与例题讲解(无答案)

幂运算、整式的乘法和因式分解幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则：a m·a n·a p·……=a m+n+p+……（m、n、p……均为正整数）文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。

（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。

二、幂的乘方1、法则:(a m)n=a mn（m、n均为正整数）。

推广：｛[(a m)n]p｝s=a mn p s文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

（2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：a mn=(a m)n，三、积的乘方1、法则：(ab)n=a n b n（n为正整数）。

推广：(acde)n=a n c n d n e n文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。

2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

（2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：a n b n=(ab)n；四、同底数幂的除法1、法则：a m÷a n=a m-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

（2）注意a≠0这个条件。

（3）注意该法则的逆应用，即：a m-n=a m÷a n；整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。

二、单项式与多项式相乘法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。

三、多项式与多项式相乘法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb(2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。

如：(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b=ma+na+mb+nb乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。

2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。

（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。

二、完全平方公式1、公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。

2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。

3、补充公式：(a+b+c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。

整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

二、多项式除以单项式法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。

◇整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。

因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。

（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。

△具体步骤：（1）“看”。

观察各项是否有公因式；（2）“隔”。

把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。

按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。

(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。

)三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。

1、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。

△注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。

（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。

2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。

△注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。

四、十字相乘法公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。

五、综合1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。

2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。

3、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。

例题讲解1.下列计算正确的是（）A．a4+a3＝a7B．a4•a3＝a12C．（a4）3＝a7D．a4÷a3＝a2.下列各式不能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（a﹣b）B．（﹣a﹣b）（a+b）C．（a﹣m）（﹣a﹣m）D．（b+n）（n﹣b）3.若（x+3）（x﹣1）＝x2+mx+n，那么m、n的值分别是（）A．m＝1，n＝3B．m＝4，n＝5C．m＝2，n＝﹣3D．m＝﹣2，n＝﹣34.已知5a＝4，5b＝6，5c＝9，则a，b，c之间满足的等量关系是（）A．a+b＝c+1B．b2＝a•c C．b＝c﹣a D．2b＝a+c5.对于任意的底数a，b，当n时正整数时，n 个a b n 个a n 个b(ab)n=(ab)⋅(ab)⋅ ⋅(ab)=(a⋅a⋅ a)(b⋅b⋅ ⋅b)=a n b n其中，第二步变形的依据是（）A.乘方的定义B.乘法交换律C.乘法结合律D.乘法交换律与结合律6.要使(4x-a)(x+1)的积中不含有x的一次项，则a等于（）A.1B.2C.3D.47.有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b（b>a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重，则拼成的正方形的边长最长可以为（）叠拼接）8．在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①然后在①式的两边都乘以6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（）A．B．C．D．a2014﹣19.若m+n=3，则2m2+4mn+2n2﹣6的值为（）A．12B．6C．3D．010.请你计算：（1﹣x）（1+x），（1﹣x）（1+x+x2），…，猜想（1﹣x）（1+x+x2+…+x n）的结果是（）A．1﹣x n+1B．1+x n+1C．1﹣x n D．1+x n11.如果x 2+x﹣1=0，那么代数式x 3+2x 2﹣7的值为（）A．6B．8C．﹣6D．﹣812.若（1﹣2x+y）是4xy﹣4x 2﹣y 2﹣m 的一个因式，则m 的值为（）A．4B．1C．﹣1D．013.（3x+2）（﹣x 6+3x 5）+（3x+2）（﹣2x 6+x 5）+（x+1）（3x 6﹣4x 5）与下列哪一个式子相同？（）A．（3x 6﹣4x 5）（2x+1）B．（3x 6﹣4x 5）（2x+3）C．﹣（3x 6﹣4x 5）（2x+1）D．﹣（3x 6﹣4x 5）（2x+3）14.如图，正方形卡片A 类，B 类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C 类卡片张．15.已知x m =时，多项式2244x x n -+的值为4-，则x m =-时，多项式2244x x n -+的值为.16.若20x y +-=，则代数式224x y y +-的值等于.17.对于有理数,a b ，定义}{min ,a b 的含义为:当a b ≥时，}{min ,a b b =;当a b ≤时，}{min ,a b a =.若}{22min 13,6413m n m n ---=，则n m 的值等于.18.（﹣）2015×32016＝．19.18x n +1－24x n =．20(m ＋n )(x －y )－(m ＋n )(x ＋y )=．21.多项式x 2+mx +5因式分解得（x +5）（x +n ），则m =，n =．22.若m 2－n 2=6，且m －n=2，则m ＋n=______．23.若3a ＋b ＝50，a －3b ＝11，则(2a －b )2－(a ＋2b )2＝____________．24.若100x 2＋kxy ＋49y 2可以分解成(10x －7y )2，则k 的值为__________________．25.如果a 2－8ab ＋16b 2＝0，且b ＝2.5，那么a ＝_______________．26.分解因式：(a +2)(a －2)+3a =．27.一个多项式4x 3y ﹣M 可以分解因式得4xy （x 2﹣y 2+xy ）．那么M 等于．28.如果用公式（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2计算（a+b+c ）2，则第一步应该写成（a+b+c ）2＝____________．29.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为_________30已知2x +3=4，则x = .31.32.33.34.若多项式x 2+mx +9是一个完全平方式，则m 的值是.35.已知a -b =4，则a 2-b 2-8a 的值为.36.37.若a －b ＝3，ab ＝1，则a 2＋b 2的值为________.38.若多项式(x ＋m )与(x ＋1)乘积的结果中不含x 的一次项，则m ＝________39、因式分解（1）()yx y x m +--2（2）15(a －b )2－3y (b －a )(3)－(a ＋b )2＋(2a －3b )2；(4)49(x －2)2－25(x －3)2．(5)a 2－6a (b －c )＋9(b －c )2；(6)4(x ＋y )2＋25－20(x ＋y)40.41.整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形．把多项式乘多项式法则反过来，将得到：ac+ad+bc+bd＝（ac+ad）+（bc+bd）＝a（c+d）+b（c+d）＝（a+b）（c+a）．这样该多项式就被分解为若干个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例：x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）（第一步）＝x2﹣（y+1）2（第二步）（第三步）（x﹣y﹣1）＝（x+y+1）（1）例题求解过程中，第二步变形是利用（填乘法公式的名称）（2）利用上述方法，分解因式：x2+xz﹣yz﹣2xy+y2．42.你能化简(m-1)(m99+m98+ +m+1)吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，探究归纳出一些方法.（1）分别化简下列各式：(m-1)(m+1)=m2-1(m-1)(m2+m+1)=(m-1)(m3+m2+m+1)=(m-1)(m n+m n-1+m n-2+ +m+1)=（2）请你利用上面的结论计算：299+298+297+ +2+1，写出计算过程.（3）根据以上计算经验，直接写出3n+3n-1+3n-2+ +3+1结果.43.借助表格进行多项式乘多项式运算，可以方便合并同类项得出结果，下面尝试利用表格试一试.例题：(a +b )(a -b )解：填表则(a +b )(a -b )=a 2-b 2.根据所学完成下列问题.（1）如表，填表计算(x +2)(x 2-2x +4)，直接写出结果.结果为.（2）根据以上获得的经验填表：结果为.根据以上探索，请用字母a 、b 来表示发现的公式为.（3）用公式计算：(2x +3y )(4x 2-6xy +9y 2)=.因式分解：27m 3-8n 3= .44.我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式成多项式的运算法则：m(a+b+c)=ma+mb+mc（如图1），多项式乘多项式的运算法则：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2（如图3）.图1图2图3把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法.（1）请设计两个图形说明一下两个等式成立（画出示意图，并标上字母）1(a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2②(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c.试用两种不同的方法c的什么数量关系？（注：写出解答过程）计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、图445.9。