三角函数解题技巧和公式(已整理)
(完整版)高中高考数学三角函数公式汇总(最新整理)
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四、和角公式和差角公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan
六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）
sin 2
2 tan 1 tan2
， cos 2
1 1
tan2 tan2
， tan 2
2 tan 1 tan2
。
万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。
七、和差化积公式2sin来自sin2 sin
cos
…⑴
2
2
sin
sin
⑴ 2k (k Z ) 、 、 、 、 2 的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数
名不变，符号看象限）
⑵
、
、
3
、
3
的三角函数值，等于 的异名函数
2
2
2
2
值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符
号看象限）
2
y
y
sin cos
sin cos 0
sin cos
sin cos 0
x y 0
o
x
As(in2,2)cos
o
x
sin cos 0
A(2,2)
xy 0
4
十三诱导公式
公式一： 设 α 为任意角，终边相同的角的同一三角函 数的值相等 k 是整数
公式二： 设 α 为任意角，π+α 的三角函数值与 α 的三 角函数值之间的关系
三角函数公式大全及记忆口诀
三角函数公式大全及记忆口诀
在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们在几何、物理、
工程等领域中都有着广泛的应用。
为了更好地掌握三角函数，我们
需要熟练掌握它们的公式，同时也需要一些记忆口诀来帮助我们记忆。
首先，我们来看一下三角函数的公式大全：
1. 正弦函数（sine function），sin(θ) = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cosine function），cos(θ) = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tangent function），tan(θ) = 对边/邻边。
4. 余切函数（cotangent function），cot(θ) = 邻边/对边。
5. 正割函数（secant function），sec(θ) = 斜边/邻边。
6. 余割函数（cosecant function），csc(θ) = 斜边/对边。
这些公式是我们在解决三角函数相关问题时经常会用到的，熟练掌握它们对我们的学习至关重要。
除了公式外，记忆口诀也是我们学习三角函数的好帮手。
下面是一个简单的记忆口诀：
正弦对，余弦邻，正切比，余切颠，正割斜，余割对。
这个口诀可以帮助我们记忆三角函数的定义和关系，使我们更容易在解题时迅速找到正确的公式和方法。
总之，三角函数是数学中的重要内容，掌握好三角函数的公式和记忆口诀，对我们的学习和工作都有着重要的帮助。
希望大家能够通过不断的练习和记忆，熟练掌握三角函数，为自己的数学学习打下坚实的基础。
高考数学中的三角函数运算技巧分享
高考数学中的三角函数运算技巧分享在高考数学中，三角函数是一个非常重要的知识点。
掌握三角函数的运算技巧对于解题来说至关重要。
本文将分享一些高考数学中常用的三角函数运算技巧，希望对广大考生有所帮助。
一、角的单位转换在三角函数的运算中，角的单位有弧度和角度两种表示方法。
我们经常需要在这两种单位之间进行转换。
下面以角度单位转换为弧度单位为例进行说明。
对于给定的角度A（单位：度），我们可以利用以下等式将其转换为弧度：弧度 = 角度× π/180同理，我们可以利用以下等式将弧度转换为角度：角度 = 弧度× 180/π在解题过程中，我们需要根据实际情况选择合适的角度单位进行计算，灵活地进行单位转换是运算的前提之一。
二、三角函数的运算性质1. 正弦函数和余弦函数运算：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB - sinAsinB2. 正弦函数和余弦函数的平方和差化积公式：sin^2A ± sin^2B = 2sinAcosAcos^2A - cos^2B = -2sinAsinB3. 三角函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些运算性质在解题过程中常常被运用到，掌握它们能够加快解题速度，提高解题的准确性。
三、利用对称性简化运算在三角函数的运算中，存在着一些对称性，可以利用这些对称性简化运算。
下面以正弦函数为例进行说明。
1. 正弦函数的奇偶性：sin(-A) = -sinAsin(180° - A) = sinA2. 正弦函数的周期性：sin(A ± 360°) = sinAsin(A ± 2π) = sinA对于其他三角函数，我们也可以类似地利用对称性简化运算。
考研三角函数公式(最新整理)
三角公式表倒数关系:商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin 2α＋cos 2α＝11＋tan 2α＝sec 2α1＋cot 2α＝csc 2α诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。
）sin （－α）＝－sinαcos （－α）＝cosαtan （－α）＝－tanαcot （－α）＝－cotαsin （π/2－α）＝cosαcos （π/2－α）＝sinαtan （π/2－α）＝cotαcot （π/2－α）＝tanαsin （π/2＋α）＝cosαcos （π/2＋α）＝－sinαtan （π/2＋α）＝－cotαcot （π/2＋α）＝－tanαsin （π－α）＝sinαcos （π－α）＝－cosαtan （π－α）＝－tanαcot （π－α）＝－cotαsin （π＋α）＝－sinαcos （π＋α）＝－cosαtan （π＋α）＝tanαcot （π＋α）＝cotαsin （3π/2－α）＝－cosαcos （3π/2－α）＝－sinαtan （3π/2－α）＝cotαcot （3π/2－α）＝tanαsin （3π/2＋α）＝－cosαcos （3π/2＋α）＝sinαtan （3π/2＋α）＝－cotαcot （3π/2＋α）＝－tanαsin （2π－α）＝－sinαcos （2π－α）＝cosαtan （2π－α）＝－tanαcot （2π－α）＝－cotαsin （2kπ＋α）＝sinαcos （2kπ＋α）＝cosαtan （2kπ＋α）＝tanαcot （2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin （α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin （α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos （α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβtan （α＋β）＝—————— 1－tanα ·tanβ tanα－tanβtan （α－β）＝—————— 1＋tanα ·tanβ2tan(α/2)sinα＝—————— 1＋tan 2(α/2) 1－tan 2(α/2)cosα＝—————— 1＋tan 2(α/2) 2tan(α/2)tanα＝—————— 1－tan 2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2αsin3α＝3sinα－4sin 3αcos3α＝4cos 3α－3cosα2tanαtan2α＝————— 1－tan 2α3tanα－tan 3αtan3α＝—————— 1－3tan 2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋β α－βsinα＋sinβ＝2sin———·cos——— 2 2α＋β α－βsinα－sinβ＝2cos———·sin——— 2 2α＋β α－βcosα＋cosβ＝2cos———·cos——— 2 2α＋β α－βcosα－cosβ＝－2sin———·sin——— 2 21sinα ·cosβ＝-[sin （α＋β）＋sin （α－β）] 2 1cosα ·sinβ＝-[sin （α＋β）－sin （α－β）] 2 1cosα ·cosβ＝-[cos （α＋β）＋cos （α－β）] 2 1sinα ·sinβ＝— -[cos （α＋β）－cos （α－β）] 2反三角函数一、正切函数与余切函数图象二、正、余切函数的性质y=tanxy=cotx定义域值域RR 单调性在 上单增(k ∈Z))2,2(ππππ+-k k 在 上单减(k ∈Z)),(πππ+k k 周期性T=πT=π对称性10 对称中心，奇函数(k ∈Z))0,(πk 20 对称轴；无10 对称中心，奇函数(k ∈Z))0,2(π20 对称轴；无注: 1、由定义域知，y=tanx 与y=cotx 图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单元区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内.三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x 到y 的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x 的范围，使之成为由x 到y 的对应.从方便的角度而言，这个x 的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x ∈的反函数记作y=arcsinx, x ∈[-1,1]，称为反正弦函数. ]2,2[ππ- y=cosx, x ∈的反函数记作y=arccosx, x ∈[-1,1]，称为反余弦函数. ],0[πy=tanx ，x ∈ 的反函数记作y=arctanx, x ∈R ，称为反正切函数. ]2,2[ππ- y=cotx ，x ∈的反函数记作y=arccotx, x ∈R ，称为反余切函数. ],0[π 2．反三角函数的图象 由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.注:（1）y=arcsinx, x ∈[-1,1]图象的两个端点是)1,2()2,1(--ππ和（2）y=arccosx, x ∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）. （3）y=arctanx, x ∈R 图象的两条渐近线是和.2π=y 2π-=y （4）y=arccotx, x ∈R 图象的两条渐近线是y=0和y=π.四、反三角函数的性质由图象y=arcsinxy=arccosx y=arctanxy=arccotx定义域[-1,1][-1,1]RR 值域]2,2[ππ-[0, π]]2,2[ππ-(0, π)单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R 上单增在R 上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心 )2,0(π非奇非偶 20对称轴；无10对称中心（0，0）奇函数20对称轴；无10对称中心 )2,0(π非奇非偶20对称轴；无周期性无无无无另外: 1．三角的反三角运算 arcsin(sinx)=x(x ∈ ) arccos(cosx)=x (x ∈[0, π]) ]2,2[ππ- arctan(tanx)=x(x ∈ ) arccot(cotx)=x(x ∈(0, π)) ]2,2[ππ- 2．反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x (x ∈[-1,1]) cos(arccosx)=x (x ∈[-1,1]) tan(arctanx)=x (x ∈R) cot(arccotx)=x (x ∈R) 3．x 与-x 的反三角函数值关系 arcsin(-x)=-arcsinx(x ∈[-1,1]) arccos(-x)=π-arccosx (x ∈[-1,1]) arctan(-x)=-arctanx (x ∈R) arccot(-x)=π-arccotx(x ∈R)4.，])1,1[(2arccos arcsin -∈=+x x x π)(2cot arctan R x x arc x ∈=+π 五、已知三角函数值求角1. 若sinx=a (|a|≤1)，则x=k π+(-1)k arcsina(k ∈Z)2. 若cosx=a (|a|≤1)，则x=2k π+arccosa(k ∈Z)3. 若tanx=a (a ∈R), 则x=k π+arctana (k ∈Z)4. 若cotx=a (a ∈R), 则x=k π+arccota(k ∈Z)。
三角函数运算公式大全
三角函数运算公式大全1. 正弦函数的运算公式。
正弦函数的定义，在直角三角形中，对于任意一个锐角A，正弦函数sinA的值等于A对边与斜边的比值，即sinA=a/c。
正弦函数的基本关系，sin(-A)=-sinA，sin(π-A)=sinA，sin(π+A)=-sinA。
正弦函数的和差化积公式，sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB。
2. 余弦函数的运算公式。
余弦函数的定义，在直角三角形中，对于任意一个锐角A，余弦函数cosA的值等于A邻边与斜边的比值，即cosA=b/c。
余弦函数的基本关系，cos(-A)=cosA，cos(π-A)=-cosA，cos(π+A)=-cosA。
余弦函数的和差化积公式，cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB。
3. 正切函数的运算公式。
正切函数的定义，在直角三角形中，对于任意一个锐角A，正切函数tanA的值等于A对边与A邻边的比值，即tanA=a/b。
正切函数的基本关系，tan(-A)=-tanA，tan(π-A)=-tanA，tan(π+A)=tanA。
正切函数的和差化积公式，tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)。
4. 三角函数的倍角公式。
正弦函数的倍角公式，sin2A=2sinAcosA。
余弦函数的倍角公式，cos2A=cos^2A-sin^2A=2cos^2A-1=1-2sin^2A。
正切函数的倍角公式，tan2A=(2tanA)/(1-tan^2A)。
5. 三角函数的半角公式。
正弦函数的半角公式，sin(A/2)=±√((1-cosA)/2)。
余弦函数的半角公式，cos(A/2)=±√((1+cosA)/2)。
正切函数的半角公式，tan(A/2)=±√((1-cosA)/(1+cosA))。
6. 三角函数的和差化积公式。
sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB。
三角函数公式速记方法
三角函数公式速记方法
三角函数公式速记方法有多种，以下是其中的几种方法：
1. 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限，α当锐角看。
奇变偶不变：“奇”与“偶”指的是所加的角是π/2的奇数倍与偶数倍，“变”指的是函数名，即sin与cos；符号看象限，α当锐角看：“符号”是指结果的符号，即当将α看做锐角时，根据改变之后的角在单位圆中的终边所在象限来判断结果的符号。
2. 两角和差公式口诀：异名相乘符号同（正弦），同名相乘符号异（余弦），子同母异（正切）。
子同母异（正切）：所谓“子同”，指的是如果是两角相加（减），分子就为两部分相加（减）；所谓“母异”，指的是如果是两角相加（减），分子就为两部分相减（加）。
3. 二倍角公式：二倍角公式可由两角和差公式推出，在此不做过多解释。
4. 和差化积公式：将等式右边展开，即可得到等式左边。
5. 积化和差公式：将等式右边展开，即可得到等式左边。
6. 辅助角公式：证明方法可以查阅数学书籍或资料，了解更多关于三角函数公式的证明和应用。
此外，还可以使用三角函数公式的对称性和周期性来记忆和理解公式。
例如，正弦函数和余弦函数的图像都是周期函数，具有对称性，可以利用这些特点来记忆和理解公式。
总之，记忆三角函数公式需要多练习和应用，不断加深对公式的理解和掌握。
同时，也可以通过查阅数学书籍或资料来了解更多关于三角函数公式的证明和应用。
数学三角函数解题技巧
数学三角函数解题技巧
数学中的三角函数是指正弦、余弦、正切等函数，这些函数在解决三角形相关问题时非常常见。
然而，对于一些学生来说，解决三角函数问题可能会感到困难。
以下是一些解决三角函数问题的技巧：
1. 理解三角函数的定义：在开始解决三角函数问题之前，应该先理解三角函数的定义。
例如，sinθ代表角度θ的正弦值，cosθ代表角度θ的余弦值，tanθ代表角度θ的正切值。
2. 记住基本三角函数值：在解决三角函数问题时，有时需要知道一些基本的三角函数值，例如sin30°、cos60°、tan45°等。
因此，记住这些基本的三角函数值是很重要的。
3. 使用三角函数的周期性：三角函数具有周期性，因此角度值可以加上或减去360°，不会改变其三角函数值。
因此，如果问题涉及到不同的角度值，可以考虑使用该角度值的周期性。
4. 使用三角函数的反函数：三角函数的反函数可以用于求解一些问题，例如求一个角度的值，使得其正弦值等于0.5。
在这种情况下，可以使用反正弦函数（arcsin）。
5. 应用三角函数的性质：三角函数具有许多性质，例如sinθ+cos
θ=1，tanθ=sinθ/cosθ等。
在解决三角函数问题时，可以使用这些性质简化问题。
总之，掌握这些技巧可以帮助学生更加轻松地解决三角函数问题。
当然，要熟练掌握这些技巧还需要多做练习，加深对三角函数的理解。
三角函数值的巧算方法
三角函数值的巧算方法三角函数是数学中经常被使用的概念，它们在解析几何、物理学等领域有广泛的应用。
计算三角函数值是解决很多数学问题的基础，但有时候我们可能需要快速计算一些常见角度的三角函数值。
在本文中，我将介绍一些巧算方法，帮助你快速计算三角函数值。
一、正弦函数 sin(x)的巧算方法正弦函数是三角函数中最常用的函数之一，其定义为一个直角三角形的斜边与相应角的对边的比值。
为了方便计算，我们可以使用以下巧算方法：1. 对于0°、30°、45°、60°和90°这五个特殊角度，我们可以直接记忆其正弦函数值：sin(0°) = 0sin(30°) = 1/2sin(45°) = 1/√2sin(60°) = √3/2sin(90°) = 12. 对于其他角度，我们可以利用sin(x)的周期性质进行计算。
例如，sin(150°)等于sin(150°-180°)等于-sin(30°)，而sin(-x)等于-sin(x)。
因此，我们可以通过相应角度的特殊角度来计算其他角度的正弦函数值。
二、余弦函数 cos(x)的巧算方法余弦函数是正弦函数的互补函数，其定义为一个直角三角形的斜边与相应角的邻边的比值。
我们可以利用以下巧算方法来计算余弦函数值：1. 对于0°、30°、45°、60°和90°这五个特殊角度，我们可以直接记忆其余弦函数值：cos(0°) = 1cos(30°) = √3/2cos(45°) = 1/√2cos(60°) = 1/2cos(90°) = 02. 利用余弦函数的周期性质和对称性，我们可以根据特殊角度的余弦函数值计算其他角度的余弦函数值。
例如，cos(150°)等于cos(-150°)，而cos(-x)等于cos(x)。
三角函数必背公式记忆技巧
三角函数必背公式记忆技巧
三角函数的必背公式有很多，记忆技巧包括以下几点：
1. 理解公式的含义：不仅仅是死记硬背，更要理解公式的意义和用途。
例如，sin函数代表一个角度的正弦值，cos函数代表一个角度的余弦值。
2. 利用图形记忆：可以通过画图的方式，将公式与图形联系起来，从
而更容易记忆和理解。
例如，sin函数的图形是一个周期性的波形，可以将公式与这个图形联系起来记忆。
3. 创造联想记忆：将公式与一些容易记住的关键词或形象相联系，可
以帮助记忆。
例如，sin(a + b) = sina*cosb + cosa*sinb，可以将
"a + b"联想成"阿爸"，然后将每个字母与对应的公式部分联系起来记忆。
4. 划分为小块记忆：将公式划分为几个小块，分别记忆每个小块的内容，然后逐渐合并起来。
例如，sin(a + b)可以拆分为sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b)，分别记忆这两个部分，然后合并起来记忆整个公式。
5. 多练习：通过反复练习来巩固记忆，可以进行一些练习题或者实际
应用来加深对公式的理解和记忆。
记忆三角函数的公式需要耐心和坚持，通过不断的练习和巩固，相信
可以掌握并记忆好这些公式。
三角函数学习公式方法
三角函数学习公式方法备考是一种经历，也是一种体验。
每天进步一点点，基础扎实一点点，通过考试就会更容易一点点。
下面是作者为大家整理的关于三角函数学习方法公式，期望对您有所帮助!高考数学三角函数公式背诵口诀同角三角函数的基本关系式倒数关系:商的关系：平方关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secαsin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α(六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
”)引诱公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。
)sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotαsin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)sinα=2tan(α/2)/(1+tan2(α/2))cosα=(1-tan2(α/2))/(1+tan2(α/2))tanα=(2tan(α/2))/(1-tan2(α/2))半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αtan2α=2tanα/(1-tan2α)sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=4cos3α-3cosαtan3α=(3tanα-tan3α)/(1-3tan2α)三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式sinα+sinβ=2sin(2/(α+βα-β))·cos(2/(α+βα-β))sinα-sinβ=2cos(2/(α+βα-β))·sin(2/(α+βα-β))cosα+cosβ=2cos(2/(α+βα-β))·cos(2/(α+βα-β))cosα-cosβ=-2sin(2/(α+βα-β))·sin(2/(α+βα-β))sinα·cosβ=-[sin(α+β)+sin(α-β)]/21cosα·sinβ=-[sin(α+β)-sin(α-β)]/21cosα·cosβ=-[cos(α+β)+cos(α-β)]/21sinα·sinβ=—-[cos(α+β)-cos(α-β)]2化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的情势(辅助角的三角函数的公式)高三数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌控了三角函数的本质及内部规律就会发觉三角函数各个公式之间有强大的联系。
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浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )c o s (s i n222±=±+=±故知道)c o s(s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。
A ．m 2=nB ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22mn =分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ而：n ctg tg ==+θθθθcos sin 1故：1212122+=⇒=-nm n m ，选B 。
例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。
A ．21 B ．21- C ．41 D ．41- 分析：tg α+ctg α=41cos sin 4cos sin 1=⇒=αααα故：212sin cos sin 22sin =⇒=αααα。
答案选A 。
例4 已知：tg α+ctg α=2，求αα44cos sin +分析：由上面例子已知，只要αα44cos sin +能化出含sin α±cos α或sin αcos α的式子，则即可根据已知tg α+ctg α进行计算。
由于tg α+ctg α=⇒=2cos sin 1αα21cos sin =αα，此题只要将αα44cos sin +化成含sin αcos α的式子即可： 解：αα44cos sin +=αα44cos sin ++2 sin 2αcos 2α-2 sin 2αcos 2α =（sin 2α+cos 2α）- 2 sin 2αcos 2α =1-2 (sin αcos α)2=1-2)21(2⨯=211-=21通过以上例子，可以得出以下结论：由于ααcos sin ±，sin αcos α及tg α+ctg α三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。
这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。
但有一点要注意的；如果通过已知sin αcos α，求含ααcos sin ±的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。
这是由于（ααcos sin ±）2=1±2sin αcos α，要进行开方运算才能求出ααcos sin ±二、关于“托底”方法的应用：在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg α（或ctg α）与含sin α（或cos α）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。
方法如下：例5 已知：tg α=3，求ααααcos sin 2cos 3sin +-的值。
分析：由于αααcos sin =tg ，带有分母cos α，因此，可把原式分子、分母各项除以cos α，“造出”tg α，即托出底：cos α；解：由于tg α=30cos 2≠⇒+≠⇒αππαk故，原式=013233123cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin =+⨯-=+-=+⋅⋅-ααααααααααtg tg例6 已知：ctg α= -3，求sin αcos α-cos 2α=? 分析：由于αααsin cos =ctg ，故必将式子化成含有ααsin cos 的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：1cos sin 22=+αα及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin α，造出ctg α：解：αααααααααα222222cos sin cos cos sin cos cos sin 1cos sin +-=-⇒=+ α2sin ,分母同除以分子 ααααααααα22221)sin cos (1)sin cos (sin cos ctg ctg ctg +-=+- 56)3(1)3(322-=-+-+-=例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） 设20,20ππ<<<<y x ，)6sin()3sin(sin sin y x y x --=ππ且求：)3)(33(--ctgy ctgx 的值 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于20,20ππ<<<<y x ，故0sin ,0sin ≠≠y x ，在等式两边同除以y x sin sin ，托出分母yx sin sin 为底，得：解：由已知等式两边同除以y x sin sin 得：1sin sin 6cos cos 6sin sin sin 3cos cos 3sin 1sin sin )6sin()3sin(=-⋅-⇒=--yyy x x y x y x ππππππ 334)3)(33(1)3)(33(431)3)(13(411sin sin 3cos sin sin cos 341=--⇒=--⇒=--⇒=-⋅-⋅⇒ctgy ctgx ctgy ctgx ctgy ctgx y yy x x x“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。
由于αααcos sin =tg ，αααsin cos =ctg ，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。
而添加分母的方法主要有两种：一种利用1cos sin 22=+αα，把αα22cos sin +作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。
三、关于形如：x b x a sin cos ±的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：可以从公式)sin(sin cos cos sin x A x A x A ±=±中得到启示：式子x b x a sin cos ±与上述公式有点相似，如果把a ，b 部分变成含sinA ，cosA 的式子，则形如x b x a sin cos ±的式子都可以变成含)sin(x A ±的式子，由于-1≤)sin(x A ±≤1，所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a 当成sinA ，b 当成cosA ，如式子：x x sin 4cos 3+中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA ≤1，-1≤cosA ≤1，可以如下处理式子：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±++=±x b a bx b a a b a x b x a sin cos sin cos 222222由于1)()(222222=+++b a b b a a 。
故可设：22sin ba a A +=，则A A sin 1cos -±=，即：22cos ba b A +±=∴)sin()sin cos cos (sin sin cos 2222x A b a x A x A b a x b x a ±+=±+=± 无论x A ±取何值，-1≤sin(A ±x)≤1，22b a +-≤)sin(22x A b a ±+≤22b a + 即：22b a +-≤x b x a sin cos ±≤22b a + 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用： 例1（98年全国成人高考数学考试卷）求：函数x x x y cos sin cos 32-=的最大值为（AAAA ） A ．231+B ．13-C ．231- D ．13+ 分析：x x x x 2s in 21c o s s in 221c o s s in =⋅=，再想办法把x 2c o s 变成含x cso 2的式子：212c o s c o s 1c o s 22c o s 22+=⇒-=x x x x 于是：x x y 2sin 21212cos 3-+⋅=x x 2sin 21232cos 23-+=23)2sin 212cos 23(+-=x x 由于这里：1)21()23(,21,232222=+=+==b a b a 则 ∴23)2sin 212cos 23(1+-⨯=x x y 设：21cos ,23123sin 22===+=A b a a A 则 ∴232sin cos 2cos sin +-=x A x A y23)2sin(+-=x A 无论A-2x 取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故231+-≤y ≤231+ ∴y 的最大值为231+，即答案选A 。
例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷）在△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB 、BC 、CA 上任取点D 、E 、F ，使△DEF 为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sin α取何值时，△EFD 的边长最短？并求此最短边长。