高三数学二轮复习：专题一 三角函数

解答
思维升华
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用类题目的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝ Asin(ωx＋φ)＋B的形式； 第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx ＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
跟踪演练 3 已知函数 f(x)＝4cos ωxsinωx－π6(ω>0)的最小正周期是 π. (1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；
周期为____π____，最大值为____4____.
解析
∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos
1－cos 2x－ 2
2x＋2＝32cos
2x＋52，
∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.
解析 答案
2.(2018·全国Ⅱ改编 )若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最 3π
1 A.2
1 B.3
1 C.6
√D.－16
解析 答案
热点二 三角函数的图象及应用
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图： 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，π2，π，32π，2π，求出 x 的值与相应的 y 的值， 描点、连线可得. (2)图象变换： (先平移后伸缩)y＝sin x―向――平左―移―φ―|>φ―0|个―或―单―向位―右―长―φ度―<―0→ y＝sin(x＋φ)
2
例1 (1)(2018·资阳三诊)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负
半轴重合，若它的终边经过点P(2,1)，则tan 2α等于
√A.34
1 B.2
C.－21
D.－43
解析 因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边
经过点P(2,1)，
所以 tan α＝12，
因此 tan 2α＝1－2tatnanα2α＝1－1 14＝34.
跟踪演练 1 (1)(2018·合肥质检)在平面直角坐标系中，若角 α 的终边经
过则
sin(π＋α)等于
A.－
3 2
√B.－12
1
3
C.2
D. 2
解析 答案
(2)(2018·衡 水 金 卷 调 研 卷 ) 已 知 sin(3π ＋ α) ＝ 2sin 32π＋α ， 则 5sisnin2ππ－＋αα－＋42scionsπ22＋π－α α等于
例1
(1)(2018·张掖市诊断考试)已知
sinπ6－α＝
33，则
cos2α＋2
0318π等于
2
1
A.3
B.3
C.－32
√D.－13
解析
cos2α＋2
0318π＝cos2α＋23π＋672π＝cos2α＋23π，
∵sinπ6－α＝cosπ3＋α＝ 33，
∴cos2α＋2
0318π＝cos2α＋23π
部分图象如图所示，则 7π
ω＝__2____；函数
f(x)在区间π3，π上的零点为
__1_2_____.
解析 答案
热点三 三角函数的性质
1.三角函数的单调区间 y＝sin x 的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋2π(k∈Z)，单调递减区间是 2kπ＋2π，2kπ＋32π(k∈Z)； y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ， 2kπ＋π](k∈Z)； y＝tan x 的单调递增区间是kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z).
板块三 专题突破 核心考点
专题一 三角函数、三角恒等变换与解三角形
第1讲 三角函数的图象与性质
[考情考向分析]
1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周 期性. 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值， 重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
解答
(2)求 f(x)在π8，38π上的最大值和最小值.
解
当 x∈π8，38π时，2x－π6∈1π2，71π2，2sin2x－6π∈
6－ 2
2，2，
所以 f(x)在π8，38π上的最大值和最小值分别为 1，
6－ 2
2 －1.
解答
真题押题精练
真题体验
1.(2018·全国Ⅰ改编)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则f(x)的最小正
横――坐――标―变――为―原――来―的――ω1――ω―>0――倍→ 纵坐标不变
y＝sin(ωx＋φ)
―纵――坐―标――变横―为―坐―原标 ―来―不―的―变A――A―>―0―倍→y＝Asin(ωx＋φ).
(先伸缩后平移)y＝sin x―横―坐――标―变―纵―为―坐―原标―来―不―的―变ω1――ω―>―0―倍→y＝sin ωx
2.y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数； 当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数； 对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得. y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数； 当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.
π θ＝____3____.
解析 答案
思维升华
(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待 定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定 ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点 作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置. (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只 是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数 提取后再确定变换的单位长度数和方向.
y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.
例 3 设函数 f(x)＝sin ωx·cos ωx－ 3cos2ωx＋ 23(ω>0)的图象上相邻最高 点与最低点的距离为 π2＋4. (1)求 ω 的值；
解答
(2)若函数 y＝f(x＋φ)0<φ<π2是奇函数，求函数 g(x)＝cos(2x－φ)在[0,2π] 上的单调递减区间.
则 A 的值为
8 A.3 3
√B.136 3
C.8
D.16
押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的
热点，本题结合平面几何知识求A，考查数形结合
思想.
押题依据 解析 答案
3.已知函数 f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x. (1)若 x 是某三角形的一个内角，且 f(x)＝－ 22，求角 x 的大小； 押题依据 三角函数解答题本问的常见形式是求周期、求单调区间及求 对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到， 因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式.
√A.向左平移230π个单位长度
B.向右平移230π个单位长度
C.向左平移π5个单位长度
D.向右平移π5个单位长度
押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象
的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错.
押题依据 解析 答案
2.如图，函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0，|φ|≤π2 与坐标轴的三个 交点 P，Q，R 满足 P(2,0)，∠PQR＝π4，M 为 QR 的中点，PM＝2 5，
热点分类突破
热点一 三角恒等变换
1.三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”. 2.三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等. (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α －β)＋β等. (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化：一般是切化弦.
＝2cos2α＋π3－1＝23－1＝－31.
解析 答案
(2)已知 sin α＝ 55，sin(α－β)＝－ 1100，α，β 均为锐角，则 β 等于
5π
π
A.12
B.3
√C.π4
π D.6
解析 答案
思维升华
(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍 角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之 间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过 程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出 现“张冠李戴”的情况. (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩 小，避免产生增解.
解析 答案
(2)(2018·衡水金卷信息卷)已知曲线 f(x)＝x3－2x2－x 在点(1，f(1))处的切
线的倾斜角为 α，则 cos2π2＋α－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为
√A.85
B.－45
C.43
D.－23
解析 答案
思维升华
(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常 常借助三角函数的定义求解.应用定义时，注意三角函数值仅与终边位 置有关，与终边上点的位置无关. (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三 角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化 高为低、化繁为简等.
解析 答案
4.(2018·北京)设函数 f(x)＝cosωx－π6(ω>0).若 f(x)≤f π4对任意的实数 x 2
都成立，则 ω 的最小值为_____3___.
解析 答案
押题预测 1.已知函数 f(x)＝sinωx＋π5(x∈R，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距