三角函数与立体几何(二)教师版

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高中数学立体几何 2.(第二次修订版)八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(教师版)

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正.一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 四、与台体相关的，此略. 五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 解： 162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：933342=++=R ，ππ942==R S ；（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .π36 解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，ΘBC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， ΘMN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥，ΘSB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥，ΘSA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，(3)题-1(引理）AC(3)题-2（解答图）AC∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36. （4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π310.C π340.D 解：在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=οBC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BAC BC r ，∴3404)372()2()2(2222=+=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+∈R c b a ,,），则⎪⎩⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，ππ2942==R S ，（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解：3)2(2222=++=c b a R ，432=R ，23=Rπππ2383334343=⋅==R V 球，类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=， (6)题图（6）题直观图P图2-1补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-. 第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .思考：如何求棱长为a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1，设长宽高分别为c b a ,,，110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，π55=S(1)题图B（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 .π229 解：如图2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c ∴291649)(2222=++=++c b a ，291649)(2222=++=++c b a ，229222=++c b a ，22942=R ，π229=S （3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为（3）解答题解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，32=R ，23=R ，ππ2383334=⋅=V （4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .(4)题解答图(4)题解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为1PCO ∆，面积是2.类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图3-1图3-2 图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ；第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(hr R +=，解出R例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为解：设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ，则21=a ，正六棱柱的底面积为833)21(4362=⋅⋅=S ，89833===h Sh V 柱，∴3=h ，4)3(14222=+=R 也可1)21()23(222=+=R ），1=R ，球的体积为34π=球V ；（2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 . 解：32=BC ，4120sin 322==οr ，2=r ，5=R ，π20=S ；（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 .π16 解：折叠型，法一：EAB ∆的外接圆半径为31=r ，11=OO ，231=+=R ；法二：231=M O ，21322==D O r ，4413432=+=R ，2=R ，π16=表S ；法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：162)32()2(222=+=R ，π16=表S ；（4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .π3160解：法一：282164236162=⋅⋅⋅-+=BC ，72=BC ，37423722==r ，372=r ， 3404328)2(2122=+=+=AA r R ，π3160=表S ；法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图4-1图4-2图4-3图4-41．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点. 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；（3）题第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径） 21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=；第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R . 例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 . 解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，72=R ，ππ4942==R S ；（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为解：方法一：找球心的位置，易知1=r ，1=h ，r h =，故球心在正方形的中心ABCD 处，1=R ，34π=V 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC ∆的外接圆，此处特殊，SAC Rt ∆的斜边是球半径，22=R ，1=R ，34π=V . （3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（） A ．433 B ．33 C ．43 D ．123解：高1==R h ，底面外接圆的半径为1=R ，直径为22=R ，设底面边长为a ，则260sin 2==οaR ，3=a ，433432==a S ，三棱锥的体积为4331==Sh V ；（4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为ο60，则该三棱锥外接球的体积为（） A ．π B.3π C. 4π D.43π 解：选D ，由线面角的知识，得ABC ∆的顶点C B A ,,在以23=r 为半径的圆上，在圆锥中求解，1=R ；（5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（）AA．6 BC．3 D．2解：36)33(12221=-=-=r R OO ，362=h ，62362433131=⋅⋅==Sh V 球类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.图5-1图5-2图5-3图5-4图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A ．π3 B ．π2 C ．316πD ．以上都不对解：选C ，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，221)3(R R =+-,32=R ,ππ31642==R S ；法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN 的外接圆是大圆，于是3460sin 22==οR ，下略；第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)俯视图侧视图正视图解答图图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ；第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,；第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+ 注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . 解：如图，3460sin 22221===οr r ，3221==r r ，312=H O ， 35343121222=+=+=r H O R ，315=R ；法二：312=H O ，311=H O ，1=AH ， 352121222=++==O O H O AH AO R ，315=R ；（2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //，ο90=∠A ，ο45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为 π4(2)题-2(2)题-1→A(3)题解：如图，易知球心在BC 的中点处，π4=表S ；（1）题（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为 π6 解：如图，法一：33)2cos(cos 211-=+∠=∠πO OO B SO ， 33sin 21=∠O OO ，36cos 21=∠O OO ， 22cos 21211=∠=O OO O O OO ，232112=+=R ，ππ642==R S ；法二：延长1BO 到D 使111r BO DO ==，由余弦定理得6=SB ，2=SD ，大圆直径为62==SB R ；（4）在边长为32的菱形ABCD 中，ο60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为ο120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为 π28解：如图，取BD 的中点M ，ABD ∆和CBD ∆的外接圆半径为221==r r ，ABD ∆和CBD ∆的外心21,O O 到弦BD 的距离（弦心距）为121==d d ，法一：四边形21MO OO 的外接圆直径2=OM ，7=R ，π28=S ；法二：31=OO ，7=R ；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ,则3==CM AM ， 4=CE ，1=ME ，7=AE ，33=AC ，72147227167cos -=⋅⋅-+=∠AEC ，7233sin =∠AEC ，72723333sin 2==∠=AEC AC R ，7=R ；(5)在四棱锥ABCD 中，ο120=∠BDA ，ο150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角CBD A --(4)题图的平面角的大小为ο120，则此四面体的外接球的体积为解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，→抽象化(5)题解答图-2(5)题解答图-11B32=AB ，22=r ，弦心距32=M O ，13=BC ，131=r ，弦心距321=M O ， ∴2121=O O ，72120sin 21==οO O OM ，法一：∴292222=+==OM MD OD R ，29=R ，∴329116π=球V ；法二：2522222=-=M O OM OO ，∴29222222=+==OO r OD R ，29=R ，∴329116π=球V . 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图7题设：如图7，ο90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 21====，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A ．π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3125解：（1）52==AC R ，25=R ，6125812534343πππ=⋅==R V ，选C（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCDA -的外接球的表面积为．解：BD 的中点是球心O ，132==BD R ，ππ1342==R S .第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高；第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高；第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABC O ABCP S S S S V r -----+++=3例8 （1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是 62a π，解：设正四面体内切球的半径为r ，将正四面体放入棱长为2a的正方体中（即补形为正方体），如图，则 2622313133aa V V ABC P =⋅==-正方体，又Θr a r a Sr V ABC P 223343314314=⋅⋅⋅=⋅=-， ∴263332a r a =，62a r =，∴内切球的表面积为(1)题D图8-1A图8-26422a r S ππ==表（注：还有别的方法，此略）（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为37解：如图，正四棱锥ABCD S -的高7=h ，正四棱锥ABCD S -的体积为374=-ABCD S V 侧面斜高221=h ，正四棱锥ABCD S -的表面积为284+=表S ，正四棱锥ABCD S -的体积为r r S V ABCDS ⋅+==-328431表， ∴3743284=⋅+r ， 771427)122(7221728474-=-=+=+=r （3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则32解：如图，3=∆ABC S ，2==∆∆ACP ABP S S ，7=∆BCP S ，743++=表S ，三棱锥ABC P -的体积为332=-ABCP V ，另一表达体积的方式是r r S V ABC P ⋅++==-347331表， ∴3323473=⋅++r ，∴47332++=r习题： 1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（） A.3 B.6 C.36 D.9 解：【A 】616164)2(2=++=R ，3=R【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2．三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA，则该三(2)题(3)题B棱锥的外接球体积等于 . 332π解：260sin 32==οr ，16124)2(2=+=R ，42=R ，2=R ，外接球体积332834ππ=⋅ 【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .解：ABC ∆外接圆的半径为，三棱锥ABC S -的直径为3460sin 22==οR ，外接球半径32=R ，或1)3(22+-=R R ，32=R ，外接球体积2733233834343πππ=⋅==R V ， 4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .解：PAC ∆的外接圆是大圆，3460sin 22==οR ，32=R ， 5．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .解：973324992cos 222=⋅⋅-+=⋅-+=∠PC PA AC PC PA P ，81216)97(1sin 22⋅=-=∠P ，924sin =∠P ，42922992422===R ，829=R 6．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABCP -外接球的半径为 .解：AC 是公共的斜边，AC 的中点是球心O ，球半径为1=R。

高中数学第八章立体几何初步之立体图形的直观图(精练)(必修第二册)(教师版含解析)

8.2 立体图形的直观图(精练)【题组一平面图形的直观图】1．(2020·全国高一课时练习)用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图；(1)直角边横向；(2)斜边横向.【答案】见解析.【解析】(1)直角边横向如图①②.(2)斜边横向如图③2．(2020·全国高一课时练习)用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(尺寸自定).(1)矩形；(2)平行四边形；(3)正三角形；(4)正五边形【答案】见解析【解析】(1)根据斜二测画法的规则，可得：(2)根据斜二测画法的规则，可得：(3)根据斜二测画法的规则，可得：(4)根据斜二测画法的规则，可得：3．(2020·全国高一课时练习)用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.【答案】见解析【解析】画法：(1)如图(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O.在图(2)中，画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点'O，使'45x O y''︒∠=.(2)在图(2)中，以O'为中点，在x轴上取A D AD''=，在'y轴上取12M N MN''=以点'N为中点，画B C''平行于x'轴，并且等于BC；再以'M为中点，画F E''平行于x'轴，并且等于FE.(3)连接',,,A B C D D E F A'''''''，并擦去辅助线'x轴和'y轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图'A B C D E F'''''图(3).4．(2020·全国高一课时练习)如图所示是由正方形ABCD和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图.【答案】作图见解析【解析】(1)以AB所在直线为轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图①所示)，再建立坐标系x O y'''，使两坐标轴的夹角为45︒(如图②所示).(2)以O'为中点，在x'轴上截取A B AB''=；分别过A'，B'作y'轴的平行线，截取12A E AE=''，12B C BC=''.在y'轴上截取12O D OD=''.(3)连接E D''，E C''，C D''，得到平面图形A B C D E'''''.(4)去掉辅助线，就得到所求的直观图(如图③所示)5．(2020·全国高三专题练习(文))用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图．【答案】见解析【解析】画法：(1)画x'轴，y'轴，使45x o y'''∠=︒；(2)在o x''轴上取D B''、,使3,O D O B OB''''==，在o y''轴上取C'，使12O C OC''=；在o x''轴下方过D作D A''平行于o y''，使1D A''=；(3) 连线，连接O A A B B C''''''、、，所得四边形即为水平放置的四边形OABC的直观图．如图【题组二空间几何体的直观图】1．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法.【答案】答案见解析.【解析】(1)画轴：画Ox轴、Oy轴、Oz轴，45xOy∠=(或135)，90xOz∠=，如左图；(2)画底面：以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD；(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高；(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如下图.2．若给定长,宽,高分别为4cm,3cm,2cm的长方体ABCD A B C D''''-,如何用斜二测画法画出该长方体的直观图?【答案】见解析【解析】(1)画轴.如图(1),画x轴､y轴､z轴,三轴相交于点O,使45xOy∠=︒,90xOz∠=︒.(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使4cmMN=;以点O为中点,在y轴上取线段PQ,使 1.5cmPQ=.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则平面ABCD就是长方体的底面,如图(1).(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA',BB',CC', DD',如图(1).(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到了长方体的直观图,如图(2).3．(2020·全国高一课时练习)已知一棱柱的底面是边长为3cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4 cm，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.【答案】见解析【解析】(1)画轴.画出x轴、y轴z轴，三轴相交于点O，使45xOy∠=︒，90xOz∠=︒.(2)画底面.以点O为中点，在x轴上画3MN cm=，在y轴上画32PQ cm=，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的底面.(3)画侧棱.过点A，B，C，D分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'，如图①所示.(4)成图.连接A B''，B C''，C D''，D A''，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该棱柱的直观图，如图②所示.4．(2020·全国高一课时练习)画出一个上､下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.【答案】见解析【解析】①建立空间直角坐标系,画x轴､y轴､z轴相交于点O.使x轴与y轴的夹角为45°，y轴与z轴的夹角为90°，②底面在y轴上取线段OD取36OD=，且以D为中点，作平行于x轴的线段AB,使2AB=,在y轴上取线段OC,使33OC=.连接,BC CA,则ABC为正三棱台的下底面的直观图.③画上底面在z轴上取OO',使2OO'=,过点O'作//O x Ox'',//O y Oy'',建立坐标系x O y'''.在x O y'''中,类似步骤②的画法得上底面的直观图A B C'''.④连线成图连接AA',BB',CC',去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台ABC A B C'''-即为要求画的正三棱台的直观图.5．(2020·全国高一课时练习)画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.【答案】见解析【解析】(1)建系:先画x 轴､y 轴､z 轴,其交点为O ,使45xOy ∠=︒,90xOz ∠=︒. (2)画底面.以O 为中心,在xOy 平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD ,如图.(3)画顶点.在Oz 上截取OP ,使OP AB =.(4)成图.连接PA ,PB ,PC ,PD ,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图.6．(2020·全国高一课时练习)已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.【答案】见解析.【解析】圆锥直观图如下：⇒7．(2020·全国高一课时练习)一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心，画出这个组合体的直观图. 【答案】见解析【解析】如图所示，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和球共同的轴线上确定球的半径，最后画出圆柱和半球，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.8．(2020·全国高三专题练习)如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．【答案】见解析【解析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.【题组三直观图的面积周长】1．如图,ABC的斜二测直观图为等腰'''Rt A B C,其中''2A B=,则ABC∆的面积为( )A．2 B．4 C．22D．42【答案】D【解析】由题意，ABC的斜二测直观图为等腰Rt A B C'''，45C A B︒'''∠=//C O yA''''∴，2A B''=222A C ABC B''''''∴=+22A C''∴=由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，则2AB=，42AC=，且AC AB⊥112424222ABCS AB AC∆∴=⋅⋅=⨯⨯=∴原平面图形的面积是42故选：D．2．用斜二测画法画水平放置的ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C'''.已知点O'是斜边B C''的中点，且1A O，则ABC的边BC边上的高为( )A．1 B．2 C．2D．22【答案】D【解析】∵直观图是等腰直角三角形A B C '''，90,1B A C A O，∴2A C，根据直观图中平行于y 轴的长度变为原来的一半, ∴△ABC 的边BC 上的高222ACA C .故选D.3．如图，正方形O A B C ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是( )A ．16cmB ．12cmC ．10cmD ．18cm【答案】A【解析】将直观图还原为平面图形，如图所示.2OB O B ''=＝42，2OA O A ''==，所以222(42)6AB =+=，所以原图形的周长为16cm ，故选：A.4．已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角O B C '''，其中1O B ''=，则原平面图形中最大边长为( )A ．2B ．22C ．3D ．23【答案】D【解析】由斜坐标系中作A C B C''''⊥交x'轴于A'点，由1O B''=，O B C'''等腰直角三角形，2A C由斜二测法的纵半横不变，可将直观图在直角坐标系中还原成原平面图形如下：∴222AC A C，1OA=，∴最长边2223BC AC AB=+=，故选：D5．如图，平行四边形O A B C''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中4O A''=，2O C''=，30A O C'''∠=︒，则下列叙述正确的是( )A．原图形是正方形B．原图形是非正方形的菱形C．原图形的面积是82D．原图形的面积是83【答案】C【解析】过C'作C'D//y'轴，交x'轴于D,将DC'绕D逆时针旋转45°，并伸长到原来的两倍，得到实际图中的点C,将C沿O'A'方向和长度平移得到B,得到水平放置时直观图还原为实际的平面图形,如下图所示:30A O C''∠=︒,∴90,4AOC OC∠≠≠,故原图并不是正方形,也不是菱形,故A,B均错误,又直观图的面积11242sin3042S=⋅⋅⋅⋅=,所以原图的面积12282S S==,故选:C.6．把四边形ABCD 按斜二测画法得到平行四边形''''A B C D (如图所示)，其中''''2B O O C ==，''3O D =，则四边形ABCD 一定是一个( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．梯形【答案】A【解析】把平行四边形''''A B C D 还原回原图形，过程如下：在平面直角坐标系中，在x 轴上截取4BC =，且使O 为BC 的中点，在y 轴上截取23OD =，过D 向左左x 轴的平行线段DA ，使4DA =，连接AB ，CD ，可得平行四边形ABCD . ∵2OC =，23OD =，∴()222234CD =+=.∴平行四边形ABCD 为菱形. 故选：A .7．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA B C '''的面积为4，则该平面图形的面积为( )A ．2B ．42C ．82D ．22【答案】C【解析】已知直观图OA B C'''的面积为4,所以原图的面积为22482⨯=，故选：C8．如图所示，正方形''''O A B C的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A．6cm B．8cm C．232cm+D．223cm+【答案】B【解析】先把水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，如图：由斜二测画法得：'=1OA OA=，''=2=22OB O B，''=1BC BC=，2=1(22)3AB OC=+=，所以原图形周长为8.故选：B.9．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形O A B C''''，则原平面图形的周长和面积分别为( )A．2a，224a B．8a，222aC．a，2a D．2a，22a【答案】B【解析】由直观图可得原图形，∴OA BC a==，22OB a=，90BOA∠=，∴3AB OC a==，原图形的周长为8a，∴22222S a a a=⋅=，故选：B9．如图所示，正方形O A B C''''的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是( )A．21 cm B．22 2 cmC ．23 2 cmD ．22cm 4【答案】B【解析】如图所示，由斜二测画法的规则知与x '轴平行的线段其长度不变，正方形的对角线在y '轴上，可求得其长度为2，故在原平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为22，所以原来的图形是平行四边形，其在横轴上的边长为1，高为22，所以它的面积是21222 2 (cm )⨯=．故选：B ．10．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )． A ．12+ B ．22+C ．1222+D ．212+【答案】B【解析】如图，恢复后的原图形为一直角梯形，所以1(121)2222S=++⨯=+.故选：B.11．如图，边长为1的正方形''''O A B C是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则图形OABC的面积是( )A．24B．22C．2D．22【答案】D【解析】由直观图''''O A B C画出原图OABC，如图，因为''2O B=，所以22OB=，1OA=，则图形OABC的面积是22.故选：D12．已知边长为1的菱形ABCD中，3Aπ∠=，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为( ) A．32B．34C．66D．68【答案】D【解析】菱形ABCD中，1AB=，3Aπ∠=，则菱形的面积为132211sin232ABDABCDS Sπ∆==⨯⨯⨯⨯=菱形；所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为36282222ABCDSS===菱形.故选D．13．已知正三角形ABC的边长为2，那么ΔABC的直观图△A1B1C1的面积为( )A．32B．12C．64D．34【答案】C【解析】如图所示，直观图△A1B1C1的高为11116sin45sin452sin60sin45224h C D CD===⨯⨯=，底边长为112A B AB==；所以△A1B1C1的面积为：1116622244S A B h=⋅=⨯⨯=．故选：C．14．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，则其原平面图形的面积为__________.【答案】4【解析】由斜二测画法可知原平面图形为两直角边分别为2,4的直角三角形.故面积为12442⨯⨯=.故答案为：4【题组四斜二测画法】1．(2020·全国高一单元测试)下列命题中正确的是( )A．正方形的直观图是正方形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【答案】B【解析】选项A，正方形的直观图是平行四边形，故A错误；选项B，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；选项C，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故C错误；选项D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D错误．故选：B．2．(2020·全国高三专题练习)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是( )A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点【答案】B【解析】根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B．3．(2020·包头市第九中学高一期末)用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是( )①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，如平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，变为原来的12，所以②错误；对于③，相等的角在直观图中不一定相等，如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45︒和135︒，所以③错误；对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；综上，正确的命题序号是①，共1个．故选：A ．4．(2019·安徽合肥市·合肥一中高二月考(理))下列说法正确的是( )A ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台B ．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C ．通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D ．相等的角在直观图中对应的角仍相等【答案】C【解析】对A ，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台，所以A 错误；对B ，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，所以B 错误；对C ，根据母线的定义可知，正确；对D ，如等腰直角三角形，画出直观图后，不是等腰三角形，所以D 错误．故选：C ． 5．(2020·全国高一课时练习)在用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图时，若在直角坐标系中A ∠的两边分别平行于x 轴、y 轴，则在直观图中A '∠等于( )A ．45︒B ．135︒C ．90︒D ．45︒或135︒【答案】D【解析】因为A ∠的两边分别平行于x 轴、y 轴，所以90A ︒∠=在直观图中，由斜二测画法知45x O y '''︒∠=或135x O y ︒''∠='，即45A ︒'∠=或135A ︒'∠=.故选:D6．(2020·全国高一课时练习)利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是( )①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.A ．①②B ．③④C ．①③D ．②③ 【答案】B【解析】两条相交直线的直观图仍然是相交直线，故①错；两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，故②错；③④正确.故选：B。

三角函数与立体几何

三角函数与立体几何三角函数是数学中重要的概念之一，它在立体几何中也有许多应用。

本文将从三角函数的基本概念出发，探讨它与立体几何的关系，并介绍一些相关的应用。

1. 三角函数的基本概念三角函数是以角度为自变量的函数，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数（sin）表示一个角的对边与斜边之比，余弦函数（cos）表示一个角的邻边与斜边之比，正切函数（tan）表示一个角的对边与邻边之比。

2. 三角函数在立体几何中的应用2.1 三角函数在三角形中的应用在三角形中，三角函数可以用来求解各种未知量，如边长和角度。

以正弦函数为例，利用正弦定理可以求解三角形的边长。

正弦定理表明，对于一个三角形ABC，其三个边长分别为a、b、c，而对应的角分别为A、B、C，则有 sinA/a = sinB/b = sinC/c。

2.2 三角函数在立体图形的体积和表面积计算中的应用三角函数在立体几何中还可以用来计算立体图形的体积和表面积。

以球体为例，球体的体积可以用公式V = (4/3)πr³表示，其中r为球体的半径。

而球体的表面积可以用公式S = 4πr²表示。

3. 三角函数与立体几何的实际应用3.1 三角函数在建筑设计中的应用在建筑设计中，三角函数可以用来计算楼体的高度和角度。

例如，在设计一个斜塔时，可以利用正切函数来计算塔在地面上的投影长度，从而确定塔的高度和倾斜角度。

3.2 三角函数在测量中的应用三角函数在测量中也有广泛的应用。

例如，利用正弦函数可以通过测量一条边和其对应的角来计算其他边的长度。

这在实际的测量工作中非常常见，如通过测量一座山的高度和一个观测点与山顶的夹角，可以利用正切函数计算出山的实际高度。

4. 结语通过对三角函数与立体几何的探讨，我们了解到三角函数在解决立体图形相关问题中的重要性。

无论是在科学研究中还是实际生活中，三角函数与立体几何始终密不可分，为我们提供了诸多的问题求解方法和实际应用。

(完整版)立体几何坐标法教师版

立体几何坐标法：一：一般的公式：1、空间角(1)（线线）设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.(2)（线面）设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)（面面）求二面角的大小(ⅰ)如图①，AB 、CD 是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(ⅱ)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．2、距离（1）点面距的求法：设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.（2）线面距、面面距均可转化为点面距（3）两异面直线的距离求法：d ＝|AB →·n ||n |.（AB 是异面直线上任意两点）二：如何选择建系：8、在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：CM EM ⊥；（Ⅱ）求CM 与平面CDE 所成的角．11年重庆 19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）如题（19）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB BC ⊥，AD CD =，CAD ∠=30︒．（Ⅰ）若AD =2，AB BC =2，求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）若二面角C AB D --为60︒，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点PEDCM AB在平面ABC 内的射影O 在AB 上。

立体几何共线、共点、共面问题(教师版)

立体几何中的共点、共线、共面问题一、共线问题例1. 若ΔABC 所在的平面和ΔA 1B 1C 1所在平面相交，并且直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，求证：(1)AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内；(2)如果AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).例2. 点P 、Q 、R 分别在三棱锥A-BCD 的三条侧棱上，且PQ ∩BC ＝X,QR ∩CD ＝Z,PR ∩BD ＝Y.求证：X 、Y 、Z 三点共线.例3. 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线。

1．如图1，正方体1111ABCD A BC D -中，1AC 与截面1DBC 交O 点，AC BD ，交M 点，求证：1C O M ，，三点共线．证明：连结11AC ，1C ∈平面11A ACC ，且1C ∈平面1DBC ，1C ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．又M AC M ∈∴∈，平面11A ACC ． M BD M ∈∴∈，平面1DBC ．M ∴也是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．1C M ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的交线．O 为1AC 与截面1DBC 的交点，O ∴∈平面11A ACC O ∈，平面1DBC ，即O 也是两平面的公共点． 1O C M ∈∴，即1C M O ，，三点共线．2．如图，在四边形ABCD 中，已知AB∥CD，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线（在同一条直线上）．分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明 ∵ AB//CD， AB ，CD 确定一个平面β．又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴ E ∈α，E ∈β，即 E 为平面α与β的一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E，F ，G ，H 四点必定共线．点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．二、共面问题1.如图3，设P Q R S M N ，，，，，分别为正方体1111ABCD A BC D - 的棱111111AB BC CC C D A D A A ，，，，，的中点，求证：P Q R S M N ，，，，，共面．证明：如图3，连结1A B MQ NR ，，．P N ，分别为1AB A A ，的中点，1A B PN ∴∥．111A D BC A M BQ ∴，∥∥．M Q ，分别为11A D BC ，的中点，1AM BQ ∴=． ∴四边形1A BQM 为平行四边形． 1A B MQ ∴∥．PN MQ ∴∥．因此，直线PN MQ ，可确定一个平面α．同理，由PQ NR ∥可知，直线PQ NR ，确定一个平面β．过两条相交直线PN PQ ，有且只有一个平面，α∴与β重合，即R α∈．同理可证S α∈．因此，P Q R S M N ，，，，，共面．例4. 直线m 、n 分别和平行直线a 、b 、c 都相交，交点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图，求证：直线a 、b 、c 、m 、n 共面.例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.已知：如图，直线l 1，l 2，l 3，l 4两两相交，且不共点. 求证：直线l 1，l 2，l 3，l 4在同一平面内例6. 已知：A 1、B 1、C 1和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线l 1和l 2上的任意三点，M 、N 、R 、T 分别是A 1A 2、B 1A 2、B 1B 2、C 1C 2的中点.求证：M 、N 、R 、T 四点共面.例7. 在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足MB AM ＝NB CN ＝QDAQ＝PD CP ＝k. (1)求证：M 、N 、P 、Q 共面.(2)当对角线AC ＝a,BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示)三、共点问题例8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.1.如图2，已知空间四边形ABCD E F ，，分别是 AB AD ，的中点，G H ，分别是BC CD ，上的点，且2BG DHGC HC==，求证：EG FH AC ，，相交于同一点P ．错解：证明：E 、F 分别是AB,AD 的中点, EF ∴∥BD,EF=21BD,又2==HC DHGC BG ,∴ GH∥BD,GH=31BD,∴四边形EFGH 是梯形，设两腰EG,FH 相交于一点T,2=HCDH ,F 分别是AD.∴AC 与FH 交于一点.∴直线EG,FH,AC 相交于一点正解：证明：E F ，分别是AB AD ，的中点，EF BD ∴∥，且12EF BD =．又2BG DH GC HC ==， GH BD ∴∥，且13GH BD =． EF GH ∴∥，且EF GH >．∴四边形EFHG 是梯形，其两腰必相交，设两腰EG FH ，相交于一点P ，EG ⊂∵平面ABC FH ⊂，平面ACD ，P ∴∈平面ABC P ∈，平面ACD ，又平面ABC 平面ACD AC P AC =∴∈，．故EG FH AC ，，相交于同一点P ．2. 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l ．设梯形ABCD 中，AD∥BC，且AB α，CD β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）．分析：AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰，必定相交于一点M ，只要证明M 在l 上，而l 是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明： ∵ 梯形ABCD 中，AD∥BC， ∴AB，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB，CD 必定相交于一点，设 AB ∩CD＝M ．又∵ AB α，CD β，∴ M∈α，且M∈β． ∴ M∈α∩β．又∵ α∩β＝l ，∴ M∈l ，即 AB ，CD ，l 共点．点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的． 1、(1)证明：∵AA 1∩BB 1＝O, ∴AA 1、BB 1确定平面BAO ，∵A 、A 1、B 、B 1都在平面ABO 内， ∴AB ⊂平面ABO ；A 1B 1⊂平面ABO.同理可证，BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.2证明：如图，设AB ∩A 1B 1＝P ； AC ∩A 1C 1＝R ；∴ 面ABC ∩面A 1B 1C 1＝PR.∵ BC ⊂面ABC ；B 1C 1⊂面A 1B 1C 1，且 BC ∩B 1C 1＝Q ∴ Q ∈PR, 即 P 、R 、Q 在同一直线上.3解析：∵A 、B 、C 是不在同一直线上的三点 ∴过A 、B 、C 有一个平面β 又βα⊂=⋂AB P AB 且,.,,l p l P ∈=⋂∴则设内内又在既在点βααβ.,,,:三点共线同理可证R Q P l R l Q ∴∈∈4解析：证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.证明∵a ∥b,∴过a 、b 可以确定一个平面α.∵A ∈a,a ⊂α，∴A ∈α,同理B ∈a.又∵A ∈m ，B ∈m,∴m ⊂α.同理可证n ⊂α.∵b ∥c,∴过b,c 可以确定平面β，同理可证m ⊂β. ∵平面α、β都经过相交直线b 、m,∴平面α和平面β重合，即直线a 、b 、c 、m 、n 共面.5、解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内. 证明：图①中，l 1∩l 2＝P ， ∴ l 1,l 2确定平面α.又 l 1∩l 3＝A,l 2∩l 3＝C,∴ C,A ∈α. 故 l 3⊂α. 同理 l 4⊂α.∴ l 1,l 2,l 3,l 4共面.图②中，l 1,l 2,l 3,l 4的位置关系，同理可证l 1,l 2,l 3,l 4共面. 所以结论成立.6、证明如图，连结MN 、NR ，则MN ∥l 1,NR ∥l 2，且M 、N 、R 不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知l 1∥l 2与条件矛盾).∴ MN 、NR 可确定平面β，连结B 1C 2，取其中点S.连RS 、ST ，则RS ∥l 2，又RN ∥l 2，∴ N 、R 、S 三点共线.即有S ∈β，又ST ∥l 1，MN ∥l 1，∴MN ∥ST ，又S ∈β，∴ ST ⊂β. ∴ M 、N 、R 、T 四点共面. 7解析：(1)∵MB AM ＝QD AQ＝k ∴ MQ ∥BD ，且MB AM AM +＝1+k k∴BD MQ ＝AB AM ＝1+k k∴ MQ ＝1+k kBD又NB CN ＝PDCP＝k ∴ PN ∥BD ，且NB CN CN +＝1+k k∴BD NP ＝CB CN ＝1+k k 从而NP ＝1+k kBD∴ MQ ∥NP ，MQ ，NP 共面，从而M 、N 、P 、Q 四点共面. (2)∵MA BM ＝k 1，NC BN ＝k1∴MA BM ＝NC BN ＝k 1,MABM BM +＝11+k∴ MN ∥AC ，又NP ∥BD.∴ MN 与NP 所成的角等于AC 与BD 所成的角. ∵ MNPQ 是正方形，∴∠MNP ＝90° ∴ AC 与BD 所成的角为90°，又AC ＝a ，BD ＝b ，AC MN ＝BA BM ＝11+k ∴ MN ＝11+k a 又 MQ ＝11+k b,且MQ ＝MN ， 1+k k b ＝11+k a ，即k ＝ba.说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.求证：a、b、c相交于同一点，或a∥b∥c.证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b∴a、b⊂β∴a、b相交或a∥b.(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b而a、b⊂β，a⊂α∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点又∵α∩γ＝c由公理2知P∈c∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当a∥b时∵α∩γ＝c且a⊂α，a⊄γ∴a∥c且a∥b∴a∥b∥c故a、b、c两两平行.由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.A 1题2．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS∠QNB＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN题3．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．答案：45°题4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ，易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝B 1M ＝6，cos∠GNA＝1030562556=⨯⨯-+。

三角函数在立体几何中的应用

三角函数在立体几何中的应用立体几何是现代数学的一个分支，它主要研究空间中的图形和立体体积等概念。

在立体几何中，三角函数是一种非常重要的工具，它既可以用于解决空间图形的性质问题，也可以用于计算体积和面积等参数。

本文将从几何投影、球体几何、立体体积等方面介绍三角函数在立体几何中的应用。

一、几何投影几何投影是指将三维空间中的一个点或图形映射到另一个平面或曲面上的过程。

在几何投影中，三角函数可以用于计算投影方向和投影角度等问题。

例如，在计算航空器的驾驶员视线方向时，可以利用正切函数来计算视线方向的角度，从而确定飞机的航向。

另外，三角函数还可以用于计算物体的高度和距离等参数。

例如，在拍摄地面物体的照片时，可以利用正切函数计算摄像机的高度和距离，从而确定最佳拍摄位置和角度。

二、球体几何球体几何是指在球面上研究几何问题的一类数学学科。

在球体几何中，三角函数具有特殊的性质，它们的取值范围和计算公式与平面角度不同。

例如，球面上的三角函数可以用于计算两点间的距离和方位角度等问题，还可以通过球坐标系来描述空间中的点的位置和方向。

球体几何中，三角函数的计算公式与平面角度不同，因此需要特殊的公式和计算方法。

例如，球面上的正弦函数和余弦函数的计算公式分别为：sin(a) = cos(l1 - l2)cos(a) = sin(l1)sin(l2) + cos(l1)cos(l2)cos(g)其中，a表示两点之间的距离，l1和l2表示两点的纬度，g表示两点的经度。

三、立体体积立体体积是指立体图形所占据的空间大小。

在立体几何中，三角函数可以用于计算不规则图形的体积和重心等参数。

例如，在计算棱锥的体积和重心时，可以利用正弦函数和余弦函数来确定棱锥的尖角和底面积，从而确定其体积和重心位置。

另外，立体几何中的三角函数还可以用于计算曲面的斜率和切线方向等问题。

例如，在计算曲线的弧长和方向角时，可以利用正弦函数和余弦函数来确定曲线的斜率和切线方向，从而确定曲线的弧长和方向角度。

空间几何体的结构(教师版) (2)

空间几何体的结构____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征．概括简单组合体的结构特征．1．几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间几何体的基本元素．(2)平面及其表示方法：①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．②平面的表示方法：图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的符号表示：平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名．深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 3．棱柱 (1)棱柱的定义一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。

高中数学必修二立体几何角的问题-教师版(含几何法和向量法)

立体几何线线、线面、面面所成角的问题几何法1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ,我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.2、直线和平面所成的角：一条直线PA 和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。

平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。

一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

常见角的取值范围：① 异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛20π，，直线与平面所成的角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，二面角的取值范围依次[]π，0② 直线的倾斜角[)π，0、到的角[)π，0、与的夹角的取值范围依次是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，4、点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 向量法1、两异面直线及所成的角：设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．2、直线和平面所成的角：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．3、二面角：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．4、点到平面距离：点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．例题例1.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010 解析：建立空间直角坐标系如图．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010.答案：B例 2.已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，PD =Rt DCE ∆中，DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=例4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ D ） A.3 B.22C.32λ D.55练习：1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证：EFGH 是平行四边形；（2）若BD=AC=2，EG=2。

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1．如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上， 4CAD π∠=， 72AC =，cos 10ADB ∠=-．（1）求sin C ∠的值；（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长．【答案】(1) sin C ∠=45;(2)AB = 【解析】试题分析：（1）由同角三角函数基本关系式可求sin ADB ∠，由4C ADB π∠=∠-，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解；（2）先由正弦定理求AD 的值，再利用三角形面积公式求得BD ，与余弦定理即可得解AB 的长度. 试题解析：（1）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=，又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-，所以sin sin 4C ADB π⎛⎫∠=∠-⎪⎝⎭sin coscos sin44ADB ADB ππ=∠-∠41021025=+⋅=．（2）在ADC ∆中，由正弦定理sin sin AD ACC ADC=∠∠，故()74sin sin sin sin sin sin AC C AC C AC C AD ADC ADB ADB π⨯⋅∠⋅∠⋅∠====∠-∠∠=又11sin 72210ABD S AD AB ADB BD ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅=，解得5BD =．在ADB ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠8252537AB ⎛=+-⨯⨯=⇒= ⎝⎭2．在ABC ∆中，内角A,B,C,所对应的边为,,a b c 且b c ≠,且22sin sin cos cos C B B B C C -=（1）求角A 的大小（2）若a = 3sin 4C =a = 3sinC 4=，求ABC ∆的面积【答案】（1）A 3π=（2）932S =【解析】试题分析：（1）根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式便可得到2266sin B sin C ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，而由条件得出B C ≠ ，且522333B C πππ⎛⎫+-∈- ⎪⎝⎭，，从而便可得出2266B C πππ-+-＝，这样便可求出3A π=；（2）可根据正弦定理求出32c =，从而可判断出C A ＜，这样便可得出cosC = ，而由sinB sin A C =+（）即可求出sinB 的值，从而由三角形的面积公式12ABCSacsinB ＝即可求出ABC 的面积试题解析:（1）因为22sin sin cos cos C B B B C C -=所以1cos21cos21cos22222C B C C ---=- 即sin 2sin 266B C ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又因为(),B C B C 0b c π≠≠+∈得，又，。

得2266B C πππ-+-=即2B C 3π+=。

所以A 3π=（2）因为a = 3sin 4C =sin sin a c A C =，所以32c =由于c a <，得C A <，所以cos A =故()13sin sin sin cos cos sin 24B A C A C A C =+=+=⨯=所以ABC ∆的面积为11339sin 222832S ac B ==⨯=3．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 3C π=.（1）若224ab a c =-，求sin sin BA的值；（2）求sin sin A B 的取值范围.【答案】(1)(2) 30,4⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】试题分析：（1）先由余弦定理得222c a b ab =+-，再代入条件化简得b =，最后根据正弦定理得sin sin B A 的值；（2）由三角形内角关系得2sin sin sin sin 3A B A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用两角差正弦公式以及二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据角A 的范围以及正弦函数性质确定函数值域试题解析：（1）由余弦定理及题设可知： 22224c a b ab a ab =+-=-，得b =，由正弦定理sin sin B b A a =，得sin sin BA= （2）由题意可知23A B π+=.21sin sin sin sin sin sin 32A B A A A A A π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11cos2444A A =-+ 11sin 2264A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<，故1sin 2126A π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以sin sin A B 的取值范围是30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.4．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ， ()cos cos cos 0C B B A +=，a =.（1）若b =ABC ∆的面积；（2）求2b c +的取值范围.【答案】（1）3（2）(8,【解析】试题分析：（1）由已知可得()cos cos cos cos 0A B B A B A -++=，化简可得tan A =又由余弦定理可得cos A =212=，可得c =ABC ∆的面积；（2）由正弦定理可得：4sin aA=，由此可得()28sin 4sin b c B C B φ+=+==+，又因为ABC ∆为锐角三角形，则62B ππ<<()sin 1B φ<+≤，由此可得2b c +的取值范围. 试题解析：（1）∵()cos cos cos 0C B B A +=，∴()cos cos cos cos 0A B B A B A -++=cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B B A B A -++=，sin sin cos 0A B B A =∵sin 0B >，∴sin 0A A =，∴tan A =∵222cos 2b c a A bc +-=，212=，∴c =1sin 32ABC S bc A ∆==（2）由正弦定理可得：24sin sin 3a R A ===28sin 4sin 8sin 4sin 10sin 3b c B C B B B B π⎛⎫+=+=++=+ ⎪⎝⎭()B φ=+其中tan φ=sin φ=，cos φ= φ为锐角，因为ABC ∆为锐角三角形，则62B ππ<<从而62B ππφφφ+<+<+，得()sin sin 16B πφφ⎛⎫+<+≤⎪⎝⎭，sin 6πφ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin 1B φ<+≤所以82b c <+≤2b c +的取值范围为5．如图所示，已知直三棱柱ABC –A ′B ′C ′，AC =AB =AA ，=2，AC ，AB ，AA ′两两垂直， E ，F ，H 分别是AC ，AB ，BC 的中点，（I ）证明：EF ⊥AH ；（II ）求平面EFC 与平面BB ′C ′所成夹角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1475|1425||||,cos |cos =⨯-==><=m n θ. 【解析】(I)证明线线垂直，可以通过证明线面垂直来解决。

本小题连接C B ',H F E ,,分别是BC AB AC ,',的中点后，可知C B EF '//,这样可以通过证⊥AH 面BC B ',得⊥AH C B '，故AH EF ⊥.(II)以A 为原点，AB 、AA`、AC 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系A-xyz ，然后分别求出平面EFC 和平面BB ′C ′的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值（Ⅰ）如图连接C B ',H F E ,,分别是BC AB AC ,',的中点, 故EF 是C AB '∆的中位线，C B EF '//，………………2分又由2'===AA AB AC ,',,AA AB AC 两两垂直知，⊥AH BC ，又⊥'BB 面ABC ,⊂AH 面ABC ，则'BB AH ⊥…………4分即⊥AH 面BC B ',则⊥AH C B '，故AH EF ⊥.…………………………6分（Ⅱ）如图建立空间坐标系，)0,0,0(A )0,2,2('B )0,0,2(B )2,2,0('C )0,2,0('A)2,0,0(C )1,0,0(E )0,1,1(F )1,0,1(H )1,1,1(-=EF ,)1,2,0('=EC )1,0,1(=AH………………………………8分显然⋅AH EF =0，故AH EF // 不妨设面'EFC 的法向量为),,(z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙0'0EC 即：⎩⎨⎧=+=-+020z y z y x ，不妨令)2,1,3(-=n ，………………10分易知⊥AH 面''BC B ，不妨令面''C BB 的法向量为)1,0,1(== 设面'EFC 与面''C BB 夹角为θ，1475|1425||||,cos |cos =⨯-==><=m n θ6.7．已知等腰梯形PDCB 中，PB=3，DC=1，PD=BC=2，A 为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD ⊥面ABCD.（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成的两部分1:2:=MACB PDCMAV V .【答案】（I ）证明：依题意知：ABCD PAD AD CD 面面又⊥⊥ ..PAD DC 平面⊥∴ .PCD PAD PCD DC 平面平面面又⊥∴⊂（II ）由（I ）知⊥PA 平面ABCD∴平面PAB ⊥平面ABCD ．在PB 上取一点M ，作MN ⊥AB ，则MN ⊥平面ABCD ，设MN =h ，则111213323M ABC ABC h V S h h -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= 21112)21(3131=⨯⨯+⨯=⋅=∆-PA S V ABC ABCD P要使21,1:23:)321(,1:2:==-=h h h V V MACB PDCMA 解得即（或3P ABCD V V-=M-ABC）即M 为PB 的中点.【解析】略8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，点E是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F .（1）求证： AB EF .（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求①二面角E AF D --的锐二面角的余弦值.②在线段PC 上是否存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成角等于60︒，若存在，确定H 的位置，若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)①13；②答案见解析. 【解析】试题分析：(1)由题意可证得AB 平面PCD ，然后利用线面平行的性质定理可得AB EF ， (2)①建立空间直角坐标系，由题意可得平面AEF 的一个法向量为()1,3,3n =-；而()3,0,0OB =为平面PAD 的一个法向量.据此计算有二面角E AF D --的锐二面角的余弦值为1313. ②假设PC 上存在点H 满足题意，利用平面向量的夹角公式得到关于实数λ的方程2191260λλ--=，解方程可得λ=PC 上存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成的角等于60︒.试题解析：（1）证明：∵AB CD ， CD ⊂平面PCD ， AB ⊄平面PCD ， ∴AB 平面PCD ，又∵AB ⊂平面ABEF ，且平面ABEF ⋂平面PCD EF =， ∴AB EF ，（2）①取AD 的中点O ，连接PO ， OB ， BD ， ∵ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒， PA PD AD ==， ∴ABD ， PAD 是等边三角形， ∴PO AD ⊥， OB AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， PO ⊂平面PAD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，以OB ， OD ， OP 为坐标轴建立空间坐标系O xyz -，则：()0,1,0A =-， ()0,1,0D ，(P ，)B，)2,0C，E ⎝⎭，10,,22F ⎛ ⎝⎭.30,2AF ⎛= ⎝⎭，1,02EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则：0{ 0n AF n EF ⋅=⋅=，∴302{ 1022y z x y +=--=，令1x =得： ()1,3,3n =-； ∵OB ⊥平面PAD ， ∴()3,0,0OB =为平面PAD 的一个法向量.∴3,1313OB n cosOB n OB n⋅===⋅. 故二面角E AF D --的锐二面角的余弦值为. ②假设PC 上存在点H 使得直线BH与平面AEF 所成角等于60︒，则BH 与n 所成夹角为30︒，设()(),201CH CP λλλ==-≤≤，则：(),22BH BC CH λ=+=--，4,13BH n cosBH n BH n⋅===⋅，化简得： 2191260λλ--=，解得： λ=λ=， ∴线段PC 上存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成的角等于60︒.点睛：(1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，在第(2)问中，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想．(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．。