最新三角函数+立体几何知识点

三角函数 解三角形⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，π弧度 180=，1180π=弧度，1弧度 )180(π='1857 ≈注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制.8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9．三角函数定义：,cos ,sin r x r y ==ααxy=αtan10．三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )”.11各象限角的各种三角函数值符号: 一全二正弦,三切四余弦sin y r α=cos x r α= tan y xα=, 12.同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= ()2222s i n1c o s,c o s 1s i n αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13.角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()tan 2tan k παα+=．()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 14．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。

④sin22sin cos ααα=；⑤2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；⑥ααα2tan 1tan 22tan -=。

15．三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：“一角二名三结构”。

即首先观察角与角之间的关系；第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”； 第三观察代数式的结构特点。

（1）巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等； (2)三角函数次数的降升 (降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos22cos αα+=，21cos22sin αα-=)。

（3）设置辅助角：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。

16.图像变换法一：函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；yTA xα B SO M P再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．法二：函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭18.函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<． 19五点描点法20.正弦定理：在△ABC 中，R CcB b A a 2sin sin sin === （1）可解决问题：①已知两边和一角 ②已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。

（2）正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 21.三角形解的个数的讨论 方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。

(1)若Ａ≥９０°时 ①a>b 时有一解a ≤b 时无解.（2a ＜bsinA ，则无解a ＝bsinA ，则有一解③若bsinA ＜a ＜b ，则有两解a ≥b ，则有一解.22.余弦定理： 2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．（1）余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．（2）可解决问题：①已知三边求三角 ②已知两边及夹角，解三角形23. 三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 24.在△ABC 中：①sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=--cosC ，sin 2B A +=cos 2C ，cos 2BA +=sin 2C②若222a b c +=，则90C =； 若222a b c +>，则90C <； 若222a b c +<，则90C >． ③A 、B 、C 成等差数列的充要条件是︒=60B④ABC ∆是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列⑤等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边。

⑥三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

六 常规函数的图像常规函数图像主要有：指数函数：逆时针旋转， 对数函数：逆时针旋转，底数越来越大底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。

其他象限图象看函数奇偶性确定。

重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.第九章 直线、平面、简单几何体Ⅰ、平行与垂直位置关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：αβαγβγ//,// ==⇒⎫⎬⎭a b a b面面平行性质⎫⎬⎪⎭⎪ A b2、 线线、线面、面面垂直关系的转化：面面垂直判定面面垂直定义αβαβαβ =--⇒⊥⎫⎬⎭l l ，且二面角成直二面角3、平行与垂直关系的转化：面面∥面面平行判定2 面面平行性质3a b a b //⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααa b a b⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//a a ⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//a a ⊥⊥⎫⎬⎭4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。

”其中核心的位置关系是 ，它既与其它位置关系有着最紧密的联系，又是解决角度与距离问题的前提，所以在解答立体几何题时，尽可能地先从图形中找出线面垂直的位置关系 Ⅱ、空间中的角与距离的数量关系的求法三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三指、四算” 即：（1） ； （2） ； （3） （4） 1 、异面直线所成的角θ：（1）定义：如图（2）范围： （3）求法： 注：（1）求异面直线所成的角的最关键是要找出一个点，把其作为角的顶点，然后把两条直线“平行平移”过来，这个角就完成了。

这个点有时很好找，中点、交点、对称点等。

（2）若用平移转化烦琐或无法平移时，可考虑是否异面垂直，即可通过证明垂直的位置关系得到90°的数量关系2、直线与平面所成的角： （1）定义：如图（2）范围：（时，∥或）θαα=︒⊂0b b（3）求法：即三余弦定理： （其中α、β、θ分 别是斜线与射影（即线与面）、射影与面内线、斜线与面内线所成的角)3、二面角：（1）定义 ：（2）求法：如图，即所谓的常见的点、线、面法另外，还有公式法：①、利用面积射影公式，即 （直棱柱中截面与底面夹角）②、利用异面直线上任意两点间的距离公式θcos 22222mn d n m l -++=向量法：最后是向量的夹角还是其补角，要在图形中注出法向量的方向后判定，若方向是同进同出，则是其补角，若是一进一出，则就是此角注：（1）当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底面的两个中线 （2）求正棱锥侧面夹角时，利用全等三角形（3）若是无棱二面角，一种办法是作出交线，利用结论：若三个平面两两相交于在三条直线，则三条直线平行或相交于一点，即要么作平行线，要么延长相交，就能作出交线。