人教版九年级数学下册 锐角三角函数在图形与几何中的综合运用
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28.1 锐角三角函数 课件 2024-2025学年数学九年级下册人教版
2 A＝___4___．
感悟新知
知1－练
例 3 如图28.1－3，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，如果 2AB＝3BC，求∠B 的三个三角函数值.
解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定 义的前提是在直角三角形中”这一特 征，用“构造直角三角形法”求解.
感悟新知
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图28.1－3，
学习目标
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
感悟新知
知识点 1 锐角三角函数
1. 正弦、余弦、正切
名称
定义
符号语言
在Rt△ABC中，∠C＝
90°，∠A的对边与斜 在Rt△ABC
正弦
边的比叫做∠A 的正 中，∠C＝
弦 ，记 作 sin A，即 sin A＝∠A斜的边对边
90°，sin ＝ac
A.
4 3
B.
3 4
C.
3 5
D.
4 5
解题秘方：引入参数，用这个参数表示出三角形的
三边长，再用定义求解.
感悟新知
知1－练
解：由sin A＝BACB＝45，可设BC＝4k(k>0)，则AB＝5k. 根据勾股定理，得AC＝3k， ∴ tan B＝ABCC＝34kk＝34. 答案：B
感悟新知
知1－练
技巧点拨：在直角三角形中，给出某一个锐角的三角 函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助 元，即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时要 约去辅助元.
感悟新知
知1－练
2－1. [期中·盐城射阳县]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，
sin
A＝13，则cos
22 A＝___3___，tan
数学人教版九年级下册锐角三角函数的几何应用
数学,人教,版,九年级,下册,锐角,三角函数,的,初三复习课课题：锐角三角函数的几何应用珠海八中朱娟教学内容分析《锐角三角函数》是学生在学习了特殊直角三角形边角关系、勾股定理及相似三角形的基础上进行的，是对直角三角形边角关系的整合提升，也是解直角三角形及实际问题的基础.它也是学生今后进一步学习高中三角函数和解析几何的基础.它所蕴含的函数思想、数形结合思想、方程思想、转化思想等对学生基本素养和方法的形成有很好的促进作用.教学设计理念为了更好地体现发展学生数学核心素养的理念，本节课采取了对文本知识进行探究性重组，拟在教学过程中让学生在数学活动中通过经历、体验、内化，使数学知识具有生长性。
教学过程通过师生的积极互动、共同探讨、分层推进，利用知识点的逻辑生成加深学生对边角关系的理解和升华，力求突出专题复习的系统性，复习目标知识与技能：（1）进一步理解锐角三角函数的定义；（2）能正确运用锐角三角函数的概念去求直角三角形的有关线段长；（3）会进行三角函数值之间的转换，体会线段比的意义；（4）会利用同角（或等角）的余角相等、同（等）弧所对的圆周角之间的关系转化角.过程与方法：（1）通过对零散知识点的系统整理，让学生对求直角三角形中的线段长的知识体系结构化；（2）通过变式练习层层推进，引导学生感悟图形间的变化和联系，提炼解题方法，回归知识的本质；（3）使学生进一步体会“方程思想”、“转化思想”等，强化数学模型的意识.情感与态度：通过问题的不断深入拓展，培养学生观察、比较、分析的思维能力和深入探究的意识，激发学生数学学习兴趣和信心.教学重点熟练掌握边角关系，运用锐角三角函数的有关知识求边长、转化角.教学难点在复杂图形中，培养学生读图、识图的能力以及锐角三角函数知识的综合应用.教学辅助多媒体课件、ipad、软磁板、微课等教法学法教法分析：本着学生为主体的原则，通过学生自主、生生助动、师生互动的方式促进学生的学习，教师着力于引导，侧重学生能力的提高.同时考虑学生的个体差异，教学中各环节要进行分层施教，“让不同的学生在数学上得到不同的发展”.学法指导：复习过程中，教师应引导学生学会如何去分析、去学.引导学生自己动口、动脑，积极主动思考探索获取知识，且在交流、合作等数学活动中总结方法和规律，培养学生的主动性和积极性.教学过程设计问题与情境学生活动教师活动设计意图知识梳理和前测◆活动1利用平板展示优秀学生思维导图，回顾知识，学生用平板对比赏析思维导图，回顾知识结构。
人教版九年级下册数学：第二十八章锐角三角函数解直角三角形及其应用
计算器
由锐角求三角函数值 由三角函数值求锐角
解直角三角形的原则：
有斜用弦, 无斜用切； 宁乘毋除, 取原避中。
A
温故而知新
B
c a
┌
b
C
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直 角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° A D
tan 1 2
1.5 3
i=1:1.5 Bα
6m FE
i=1:3
β
C
33.69
在Rt△CDE中，∠CED=90°
(2)已知，tan2AF 6
3 BFBF
BF 9
tan 1
3
18.43
在RtABF中，由勾股定理 A B 6 2 9 211 37 13
例题讲解
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 65°方向，距离灯塔80n mile的A处，它
沿正南方向航行一段时间后，到达位于
灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时， 65° A
海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果P
取整数）？
C
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
34°
在Rt△＝B8P0C×中co，s2∠5°B≈7＝2.3540°5sinB PC
P B sP iB n C 7 s.i5 3 2 n 0 4 1 53 (n0m ) iPlBe
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．
九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用教案新版新人教版
4.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.
1.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良 好的学习习惯.
2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数 学的信心.
3.通过根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和 求知欲.
【师生活动】 学生在教师提出的问题的引导下,小组合作交流,回答解题思路,教师根据
学生的回答进行汇总归纳,学生回答问题过程中注意解题方法的多样性.
【课件展示】
(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一
条边),就可以求出其余的三个未知元素.
(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
∵tanB=b,∴a= b = 20 ≈28.6.
a
tanB tan35°
∵sinB=b,∴c= b = 20 ≈34.9.
c
sinB sin35°
[设计意图] 通过例题理解和掌握解直角三角形的思路和方法,进一步训练学生学会灵活
运用直角三角形的有关知识解直角三角形,并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解,
一、共同探究 思路一 探究: (1)在 Rt△ABC 中,∠A=60°,AB=30,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
(2)在上图中,若 AC= 2,BC= 6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? (3)在上图中,若∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? (4)在直角三角形中,知道几个元素就可以求出其他元素? 【师生活动】 小组合作交流解题思路,注意在解题过程中方法的多样性,教师根据学生的 回答进行汇总归纳. 【课件展示】 (1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一 条边),就可以求出其余的三个未知元素. (2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (3)解直角三角形,只有两种:①已知两条边；②已知一条边和一个锐角.
1.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良 好的学习习惯.
2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数 学的信心.
3.通过根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和 求知欲.
【师生活动】 学生在教师提出的问题的引导下,小组合作交流,回答解题思路,教师根据
学生的回答进行汇总归纳,学生回答问题过程中注意解题方法的多样性.
【课件展示】
(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一
条边),就可以求出其余的三个未知元素.
(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
∵tanB=b,∴a= b = 20 ≈28.6.
a
tanB tan35°
∵sinB=b,∴c= b = 20 ≈34.9.
c
sinB sin35°
[设计意图] 通过例题理解和掌握解直角三角形的思路和方法,进一步训练学生学会灵活
运用直角三角形的有关知识解直角三角形,并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解,
一、共同探究 思路一 探究: (1)在 Rt△ABC 中,∠A=60°,AB=30,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
(2)在上图中,若 AC= 2,BC= 6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? (3)在上图中,若∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? (4)在直角三角形中,知道几个元素就可以求出其他元素? 【师生活动】 小组合作交流解题思路,注意在解题过程中方法的多样性,教师根据学生的 回答进行汇总归纳. 【课件展示】 (1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一 条边),就可以求出其余的三个未知元素. (2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (3)解直角三角形,只有两种:①已知两条边；②已知一条边和一个锐角.
九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2解直角三角形的应用举例教学课件新版
120 31203
B C B D C D 4 03 1 2 03ຫໍສະໝຸດ 160327.17C
答：这栋楼高约为277.1m.
二、新课讲解
例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向， 距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间 后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这 时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到1海 里） 解析：首先根据题意得出∠APC=90°65°=25°，再利用解直角三角形求出即可.
热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高
（结果取整数）？
仰角
水平线
B
αD Aβ
俯角 C
二、新课讲解
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视 线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的 是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°
在Rt△ABC中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角 三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出 BC．
九年级数学人教版·下册
第二十八章 锐角三角函数
28.2.2 解直角三角形应用举例
授课人：XXXX
一、新课引入
二、新课讲解
F P
Q α O·
二、新课讲解
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的 最远距离P点约2051km.
二、新课讲解
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶
部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，
≈26.57° tana
=
1 2
=
0.5
sina= BC = BC. AC 240
在Rt△ABC中, ∠B =90°, ∠A = 26.57°, AC =240 ,
数学人教版九年级下册锐角三角函数及应用
第四章
几何图形初步与三角形 锐角三角函数及其应用
鱼塘中学 鲍晓丽
一、知识要点梳理
概念定理
1. 锐角三角函数的定义 假设在Rt△ABC中，∠C=90°，则有： （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的
正弦，记作sinA.
即 （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦， 记作cosA. 即
解：（1）如答图6-3-3，过点M作MD⊥AB于点D. ∵∠AME=45°， ∴∠AMD=∠MAD=45°. ∵AM=180海里， ∴MD=AM·cos45°= （海里）. 答：渔船从A到B的航行过程中与小岛 M间的最小距离是 海里. （2）在Rt△DMB中， ∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°. ∵MD= 海里，∴MB=
∴ ÷20= =3×2.45=7.35≈7.4（小时）. 答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时.
试一试
1. （2012广东）如图6-3-7，小山岗的斜坡AC的坡度是
tanα =
，在与山脚C距离200 m的D处，测得山顶A的仰角
为26.6°，求小山岗的高AB.（结果取整数，参考数据：
sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）
（2）三边之间的关系：a2+b2=c2.
（3）边角之间的关系：sinA= ，
cosA=
，tanA=
.
（a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边）
二|、中考考点精讲精练
考点1 锐角三角函数
考点精讲
【例1】（2013广东）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，
BC=4，则sinA=
.
考题再现 1. （2014汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=
几何图形初步与三角形 锐角三角函数及其应用
鱼塘中学 鲍晓丽
一、知识要点梳理
概念定理
1. 锐角三角函数的定义 假设在Rt△ABC中，∠C=90°，则有： （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的
正弦，记作sinA.
即 （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦， 记作cosA. 即
解：（1）如答图6-3-3，过点M作MD⊥AB于点D. ∵∠AME=45°， ∴∠AMD=∠MAD=45°. ∵AM=180海里， ∴MD=AM·cos45°= （海里）. 答：渔船从A到B的航行过程中与小岛 M间的最小距离是 海里. （2）在Rt△DMB中， ∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°. ∵MD= 海里，∴MB=
∴ ÷20= =3×2.45=7.35≈7.4（小时）. 答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时.
试一试
1. （2012广东）如图6-3-7，小山岗的斜坡AC的坡度是
tanα =
，在与山脚C距离200 m的D处，测得山顶A的仰角
为26.6°，求小山岗的高AB.（结果取整数，参考数据：
sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）
（2）三边之间的关系：a2+b2=c2.
（3）边角之间的关系：sinA= ，
cosA=
，tanA=
.
（a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边）
二|、中考考点精讲精练
考点1 锐角三角函数
考点精讲
【例1】（2013广东）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，
BC=4，则sinA=
.
考题再现 1. （2014汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=
九年级数学人教版下册第二十八章锐角三角函数 解直角三角形及其应用 解直角三角形课件
＝20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位)．
解： A ＝ 9 0 º － B ＝ 9 0 º － 3 5 º ＝ 5 5 º ，A
∵ tanB＝b ,
c
b
a
20
∴ a ＝ tan bB ＝ tan 20 35°≈ 28. 6 ． C
35° a
B
二、探究新知
∵ sinB＝b , c
A． b＝a·tan A
B． b＝c·sin A
C． b＝c·cos A
D． a＝c·cos A
四、课堂训练
3．如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC＝4， sin B＝ 4 ，则菱形的周长是( C )．
5 A．10 B．20 C．40 D．28
A
D
B
EC
四、课堂训练
4．如图，已知 AC＝4，求 AB 和 BC 的长．
一般地，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元 素的过程，叫做解直角三角形．
二、探究新知
(1)在直角三角形中，除直角外还有哪几个元素？ (2)结合右图说一说这几个元素之间有哪些关系？ (3)知道这几个元素中的几个，就可以求其余元素？ 解：(1)在 Rt△ABC 中除直角外还有五个元素，三边： AB，AC，BC 或 a，b，c 两锐角：∠A ，∠B．
∴ c＝ sin bB ＝ sin 23 05°≈ 34. 9． 注意：选取函数关系求值时尽可能用原始数据，减少因 为近似产生的累积误差．
二º，∠B＝72º，c＝14，解这个
直角三角形． A
解： A ＝ 9 0 º － 7 2 º ＝ 1 8 º ，
， B
二、探究新知
在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，a＝30，b＝20．解这个直 角三角形． 在 Rt△ACD 中，
人教版九年级数学下册锐角三角函数《解直角三角形及其应用(第1课时)》示范教学课件
2．在上述 Rt△ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
如图，在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个元素之间有如下关系：
解直角三角形的类型及方法
图示
已知类型
已知条件
方法与步骤
两边
斜边，一条直角边（如 c，a）
（1） ；（2）由 ，求∠A；（3）∠B＝90°－∠A
两条直角边 a，b
（1） ；（2）由 ，求∠A；（3）∠B＝90°－∠A
解直角三角形及其应用
（第1课时）
人教版九年级数学下册
sin A＝____________＝____．
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°． 我们把锐角 A 的_________________叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即
对边与斜边的比
把∠A 的________________叫做∠A 的余弦，记作 cos A，即
在 Rt△ABC 中，有哪些未知元素？如何求这些未知元素？求解的依据是什么？
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ ，BC＝ ，解这个直角三角形．
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．
cos A＝____________＝____；
邻边与斜边的比
把∠A 的_________________叫做∠A 的正切，
记作 tan A，即
tan A＝__________＝____．
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
如图，在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个元素之间有如下关系：
解直角三角形的类型及方法
图示
已知类型
已知条件
方法与步骤
两边
斜边，一条直角边（如 c，a）
（1） ；（2）由 ，求∠A；（3）∠B＝90°－∠A
两条直角边 a，b
（1） ；（2）由 ，求∠A；（3）∠B＝90°－∠A
解直角三角形及其应用
（第1课时）
人教版九年级数学下册
sin A＝____________＝____．
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°． 我们把锐角 A 的_________________叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即
对边与斜边的比
把∠A 的________________叫做∠A 的余弦，记作 cos A，即
在 Rt△ABC 中，有哪些未知元素？如何求这些未知元素？求解的依据是什么？
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ ，BC＝ ，解这个直角三角形．
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．
cos A＝____________＝____；
邻边与斜边的比
把∠A 的_________________叫做∠A 的正切，
记作 tan A，即
tan A＝__________＝____．
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用相似三角形的性质表示 数量关系
再用勾股定理 建立方程
因为 x 0 ，所
以仅求算术平方 根
三、小 结 图形与几 何
题目类型
类似题目
数与代数
锐角三角函数综合于 “圆”
锐角三角函数综合于 “四边形”
2018年第22题、 2017年第22题、 2019年第9题、 2020年第22题
四、变式训练
变式训练1：如图所示，现有一张边长为4的正方 形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、 点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C 落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH，已 知cos∠HPD=0.8．求PD的长度。
∴△ADE≌△AFE ∴∠AFE=∠D=90°.
全等三角形的性质
∴∠AFB+∠EFC=180°-∠AFE=90°
在Rt△FEC中，∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠AFB=∠FEC（同角的余角相等）
又∵∠B=∠C
∴∆AFB～∆FEC（两角对应相等的两个三角形相似）
用勾股定理和全等三 角形的性质表示数量 关系
人教版九年级数学下册
第28章复习题28（第85页） 综合运用第11题
难点名称：锐角三角函数在图形与几 何中的综合运用
二、解答分析
第（1）小题思路分析(猜想-证明)
（1）答：△AFB∽△FEC
矩形的性质
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC,AD=BC.
∵矩形ABCD折叠后点D与点F重合,
P
A
D
E
HGLeabharlann FBC 图1
变式训练2:用第11题的图进行自创题目， 根据图示写出已知条件和问题，再自行解答。 （要求用三角形和四边形的有关知识解答,不 能与11题重复）
养成习惯
规范使用数学语言 准确描述自己的思维过程 用书写整理自己的思维过程
再用勾股定理 建立方程
因为 x 0 ，所
以仅求算术平方 根
三、小 结 图形与几 何
题目类型
类似题目
数与代数
锐角三角函数综合于 “圆”
锐角三角函数综合于 “四边形”
2018年第22题、 2017年第22题、 2019年第9题、 2020年第22题
四、变式训练
变式训练1：如图所示，现有一张边长为4的正方 形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、 点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C 落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH，已 知cos∠HPD=0.8．求PD的长度。
∴△ADE≌△AFE ∴∠AFE=∠D=90°.
全等三角形的性质
∴∠AFB+∠EFC=180°-∠AFE=90°
在Rt△FEC中，∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠AFB=∠FEC（同角的余角相等）
又∵∠B=∠C
∴∆AFB～∆FEC（两角对应相等的两个三角形相似）
用勾股定理和全等三 角形的性质表示数量 关系
人教版九年级数学下册
第28章复习题28（第85页） 综合运用第11题
难点名称：锐角三角函数在图形与几 何中的综合运用
二、解答分析
第（1）小题思路分析(猜想-证明)
（1）答：△AFB∽△FEC
矩形的性质
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC,AD=BC.
∵矩形ABCD折叠后点D与点F重合,
P
A
D
E
HGLeabharlann FBC 图1
变式训练2:用第11题的图进行自创题目， 根据图示写出已知条件和问题，再自行解答。 （要求用三角形和四边形的有关知识解答,不 能与11题重复）
养成习惯
规范使用数学语言 准确描述自己的思维过程 用书写整理自己的思维过程