相似矩阵及二次型

都正交. 记
A
1T
rT
r( A) r n
Ax 0 必有非零解.
其任一非零解即为所求的 r1
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线性代数
五、施密特正交化过程
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设 1,2,,r 是一组线性无关的向量, 它就是它
生成的向量空间
L (1,2,,r )
的一个基(坐标系), 如何在向量空间 L 中建立正交的 基(坐标系)?
这个问题就是…
找与 1,2,,r 等价的正交向量组 1, 2,, r 11
线性代数
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以三个向量 1,2,3 为例, 从几何直观上去求. 2 2
1 1 2 2 11
11
1 1
上式两边与 1 做内积, 注意 [1, 2] 0 得
从而
1
[1,2 ] [1, 1]
2
2
[1,2 [1, 1
从而
3
3
[1,3 [1, 1
] ]
1
[ [
2 2
, ,
3 2
] ]
2
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线性代数
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施密特正交化方法 设 1,2,,r 线性无关
令 1 1
2
2
1,2 1, 1
1,
1 1 / 1
2 2 / 2
r r / r
3
3
[1 , 3 ] [1, 1]
1
[ [
2 2
, 3 ] ,2]
2
是与 1,2,,r 等价的规范正交组
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线性代数
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例1
已知 R3 中两个正交向量
1
1
1 1, 2 2
1
1
试求 3 使1 , 2 , 3 构成
R3 的一个正交基.
解 这相当于要求方程组的非零解
12TT
x x
0 0
x1
x1
x2 x3 0百度文库2x2 x3 0
Ax
0
A
12TT
1 1
1 2
1 1
3
线性代数
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性质
(1) [ x, y] [ y, x];
(2) [x, y] [ x, y];
(3) [ x y, z] [ x, z] [ y, z]; (4) [ x, x] 0,且当 x 0时,有[ x, x] 0.
著名的Cauchy-Schwarz不等式 [ x, y]2 [ x, x][ y, y]
当 [ x, y] 0 时,称向量 x与 y正交 . 若 x 0,则显然 x 与任何向量都正交 .
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线性代数
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四、正交向量组
定义 若一个不含零向量的向量组1,2,,r 中的 向量两两正交 [i , j ] 0(i j) ，则称该向量组为 正交向量组．又如果这些向量都是单位向量 i 1 ,
则称该向量组为规范正交向量组.
若该向量组是一个向量空间 V 的基, 又分别称 为向量空间 V 的正交基和规范正交基.
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线性代数
性质
正交向量组必线性无关.
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证 设 α1,α2,,αr 是正交向量组
又设有 1,2,,r 使 11 22 r 0 以a1T 左乘上式两端 ,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 . 同理可得2 r 0. 故1,2,,r线性无关.
即
n
xi
i 1
yi
2
n
xi2
i 1
i
n 1
yi2
4
线性代数
二、向量的长度及性质
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定义 x [ x, x] x12 x22 xn2 ,
称 x 为n维向量 x的长度或范数 .
性质 1. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x ;
了线性运算, 而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了
三维空间丰富的内容.
我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中.
在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积)
x y x y cos( x, y)
建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积 设 x ( x1, x2, x3 )T , y ( y1, y2, y3 )T 则
x y x1 y1 x2 y2 x3 y3
2
线性代数
一、内积的定义及性质
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定义 设有 n维向量 x ( x1, x2,, xn )T , y ( y1, y2,, yn )T
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn xT y yT x 称x, y为向量 x 与 y的 内积 .
线性代数
第五章
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相似矩阵及二次型
§5.1 向量的内积、长度及正交性
§5.2 方阵的特征值与特征向量
§5.3 相似矩阵
§5.4 对称矩阵的对角化 §5.5 二次型及其标准形
§5.6 用配方法化二次型成标准形
§5.7 正定二次型
1
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§5.1 向量的内积、长度及正交性
引言 n 维向量空间是三维向量空间的直接推广, 但是只定义
] ]
1
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线性代数
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我们已求得 1, 2 已正交, 再求构造 3
3 3 11 22 (1) (1)式两边与 1 内积, 注意
3 3
[1,2] [1,3] 0
得
1
[1 , 3 ] [1, 1]
11
(1)式两边再与2 内积, 类似可得 1
22 2
11 22
2
[ 2 , 3 ] [2 , 2 ]
1
求得基础解系(即为所求)为 3 0
线性代数
1
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例2 (例1的一般化, 也称正交基的扩张定理)
设 1,2,,r 是 Rn 中的一个正交向量组, r n , 证明必可找到 n r个向量 r1,,n 使 1,2,,n
构成 Rn 的正交基.
证 只需证必可找到r1 0 使 r1 与 1,2,,r
1 1
2 2 r121
2 r121 2
3 3 r131 r232
3 r131 r232 3
3. 三角不等式 x y x y . (三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证,见P114)
5
线性代数
三、单位向量和 n 维向量间的夹角
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1当 x 1时,称 x为单位向量 . 2当 x 0, y 0时, arccos [ x, y]
x y 称为 n 维向量 x 与 y 的 夹角.
r
r
[1 [1
,r , 1
] ]
1
[ 2 , [2 ,
r] 2]
2
[r1,r ] [r1, r1]
r
1
则 1, 2,, r 两两正交, 且与 1,2,,r 等价.
?
?
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线性代数
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1, 2,, r 两两正交, 可用数学归纳法严格证明.
与 1,2,,r 等价, 这是因为(只需看三个)
1 1