线性代数B-4.3 相似矩阵2015
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相似矩阵
相似矩阵是矩阵理论中的重要概念，它指的是通过相似变换可以相互转化的矩阵。相似矩阵具有许多重要的性质，其中最显著的是它们的特征多项式相同，从而特征值也相同。这意味着，如果两个矩阵相似，那么它们在很多方面都具有相似的性质和行为。文档重点讨论了相似矩阵与对角阵的关系。对角阵是一种特殊的矩阵，其非对角线元素全为零。许多复杂的矩阵问题都可以通过相似变换转化为对角阵问题，从而大大简化计算。文档详细阐述了什么类型的矩阵能够相似对角化，即存在一个可逆矩阵P，使得P逆AP等于对角阵。同时，也给出了如何判断一个矩阵能否相似对角化的方法。此外，文档还介绍了一些关于相似矩阵的重要定理和推论，如相似矩阵的特征值问题、相似变换的性质等。这些定理和推论不仅深化了对相似矩阵的
线性代数4-3相似矩阵与矩阵对角化
利用矩阵对角化求二次型标准形
矩阵对角化
对于n阶方阵A，若存在可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$为对角矩阵，则称A可对 角化。
二次型与矩阵对应关系
对于二次型$f(x_1,x_2,...,x_n)=X^TAX$，其中A为实对称矩阵，若A可对角化， 则存在正交矩阵Q，使得$Q^TAQ=Lambda$，其中$Lambda$为对角矩阵。 此时，二次型的标准形为$f=y_1^2+y_2^2+...+y_n^2$，其中$y=QX$。
利用矩阵对角化求二次型标准形
利用矩阵对角化求二次型标准形的步骤 1. 写出二次型对应的实对称矩阵A； 2. 求出A的特征值和特征向量；
利用矩阵对角化求二次型标准形
01
02
03
3. 将特征向量正交化、单 位化，得到正交矩阵Q；
4. 计算 $Q^TAQ=Lambda$， 得到对角矩阵$Lambda$；
利用相似矩阵简化方程组
相似矩阵定义
若存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称A与B相 似。
相似矩阵性质
相似矩阵具有相同的特征多项式、特征值、行列式、 秩和迹。
简化方程组
通过寻找相似矩阵，可以将原方程组转化为更简单的 形式，从而更容易求解。
求解过程示例
2. 寻找可逆矩阵P，使得 P^(-1)AP=B，其中B为对 角矩阵或更易于求解的矩
不同特征值对应的特征 向量线性无关。
若$lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_k$是矩阵的互 不相同的特征值， $alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_k$是分别 对应于这些特征值的线 性无关的特征向量，则 $alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_k$线性无 关。
线性代数课件第五章相似矩阵及二次型-第6节
应用三
在矩阵分解和矩阵求逆中，可以利用相似变换将一 个复杂的问题转化为简单的问题，提高计算效率。
03
二次型
定义与性质
二次型是定义在一组数域上的 一个多项式，其最高次项的次 数为2。
二次型具有对称性，即对于任 意实数x和y，有f(y,x)=f(x,y)。
二次型的系数矩阵是对称矩阵 ，即其转置矩阵等于其本身。
定义法
根据特征值的定义，通过解方程组$Ax = λx$来计算特征值和特征向 量。
谱分解法
将矩阵A表示为若干个特征值的线性组合，即$A = λ1P1 + λ2P2 + ... + λnPn$，其中Pn是对应的特征向量组成的矩阵，λn是特征值。 通过求解这个方程组可以得到特征值和特征向量。
特征值与特征向量的应用
答案
01
02
03
04
1. $A^2 = begin{bmatrix} 5 & 0 0 & 5 end{bmatrix}$
2. $B^3 = begin{bmatrix} 2 & -2 -1 & 1 end{bmatrix}$
3. $C^2 = begin{bmatrix} -1 & 0 0 & -1 end{bmatrix}$，
05
矩阵对角化
矩阵对角化的定义与性质
定义：如果存在可逆矩阵$P$，使得 $P^{-1}AP$为对角矩阵，则称矩阵$A$ 可对角化。
可对角化的矩阵$A$的行列式值等于其 对角矩阵的行列式值。
可对角化的矩阵$A$的秩等于其对角矩 阵的秩。
性质
可对角化的矩阵$A$的特征值都在对角 线上。
矩阵对角化的判定
在求解线性方程组时，如果系数矩阵可对角化，可以利用对角化方法将方程组化为易于求解的形式。
在矩阵分解和矩阵求逆中，可以利用相似变换将一 个复杂的问题转化为简单的问题，提高计算效率。
03
二次型
定义与性质
二次型是定义在一组数域上的 一个多项式，其最高次项的次 数为2。
二次型具有对称性，即对于任 意实数x和y，有f(y,x)=f(x,y)。
二次型的系数矩阵是对称矩阵 ，即其转置矩阵等于其本身。
定义法
根据特征值的定义，通过解方程组$Ax = λx$来计算特征值和特征向 量。
谱分解法
将矩阵A表示为若干个特征值的线性组合，即$A = λ1P1 + λ2P2 + ... + λnPn$，其中Pn是对应的特征向量组成的矩阵，λn是特征值。 通过求解这个方程组可以得到特征值和特征向量。
特征值与特征向量的应用
答案
01
02
03
04
1. $A^2 = begin{bmatrix} 5 & 0 0 & 5 end{bmatrix}$
2. $B^3 = begin{bmatrix} 2 & -2 -1 & 1 end{bmatrix}$
3. $C^2 = begin{bmatrix} -1 & 0 0 & -1 end{bmatrix}$，
05
矩阵对角化
矩阵对角化的定义与性质
定义：如果存在可逆矩阵$P$，使得 $P^{-1}AP$为对角矩阵，则称矩阵$A$ 可对角化。
可对角化的矩阵$A$的行列式值等于其 对角矩阵的行列式值。
可对角化的矩阵$A$的秩等于其对角矩 阵的秩。
性质
可对角化的矩阵$A$的特征值都在对角 线上。
矩阵对角化的判定
在求解线性方程组时，如果系数矩阵可对角化，可以利用对角化方法将方程组化为易于求解的形式。
4.3 相似矩阵
成立, 则称矩阵A与矩阵B相似，记为A B.
2、相似与等价的关系： 矩阵A与B等价 存在可逆矩阵P,Q，使得 B PAQ 矩阵A与B相似 存在可逆矩阵P，使得 B P1AP
相似必等价；等价未必相似
第4章 相似矩阵及二次型 4
3、性质 定理1 如果n阶矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.
1 0 … 0
P=
(1, …, n)
0 …
2
…
…0 ……
0 0 … n
=(11, …, nn)
(A1, …, An) = (11, …, nn) Ai = ii (i=1,2,…,n)
第4章 相似矩阵及二次型 9
一方面：
若A~ =
1 0 … 0 0 2 … 0
解 A的特征值为： 1 1, 2 3 3
3
1=1的一个特征向量 1 1
3
2= 3=3，解方程(3I－A)X=0，
1
得基础解系： 2
1
1
只有一个线性无关 的特征向量 不可对角化
第4章 相似矩阵及二次型 15
5
1 4
1
,
B
0
0 1
2
,
P
1
5
1 5 ,
P 1
6
1 6
1
6
,
1 6
P1 AP B
所以 A B
第4章 相似矩阵及二次型 3
一、方阵相似的定义及性质
1、概念 设A,B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得
P-1AP =B,
2、相似与等价的关系： 矩阵A与B等价 存在可逆矩阵P,Q，使得 B PAQ 矩阵A与B相似 存在可逆矩阵P，使得 B P1AP
相似必等价；等价未必相似
第4章 相似矩阵及二次型 4
3、性质 定理1 如果n阶矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.
1 0 … 0
P=
(1, …, n)
0 …
2
…
…0 ……
0 0 … n
=(11, …, nn)
(A1, …, An) = (11, …, nn) Ai = ii (i=1,2,…,n)
第4章 相似矩阵及二次型 9
一方面：
若A~ =
1 0 … 0 0 2 … 0
解 A的特征值为： 1 1, 2 3 3
3
1=1的一个特征向量 1 1
3
2= 3=3，解方程(3I－A)X=0，
1
得基础解系： 2
1
1
只有一个线性无关 的特征向量 不可对角化
第4章 相似矩阵及二次型 15
5
1 4
1
,
B
0
0 1
2
,
P
1
5
1 5 ,
P 1
6
1 6
1
6
,
1 6
P1 AP B
所以 A B
第4章 相似矩阵及二次型 3
一、方阵相似的定义及性质
1、概念 设A,B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得
P-1AP =B,
4.3 相似矩阵
即
5 1
a b
3 2
1 1
1 1
，
解之得1 a3 b0.
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小结
相似矩阵的定义
设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使 P1APB
则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵. 注: 相似一定等价；或相似关系一种特殊的等价关系.
如果n阶矩阵A有n个线性无关的特征向使得Apii pi (i1 2 n).
于是(Ap1 Ap2 A pn) (1p1 2p2 n pn)
1
所以A(p1
对于232 解方程
得基础解系
(A2E)x0 p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T
所以对应于232的全部特征向量为k2p2k3p3(k2,k3不同时为0).
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例3.1
讨论
A
2 0
4
1 2 1
031
能否对角化?若能,把它对角化.
问题1:一个n阶矩阵A能否对角化？ 问题2:如何寻求可逆矩阵P 使P1AP为对角阵？
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三、方阵与对角阵相似的条件
一个n阶矩阵A能否对角化？如何寻求可逆矩阵P 使
P1AP为对角阵？
设P1AP 其中P(p1 p2 pn) diag(1 2
设n阶矩阵A与B相似 则有可逆矩阵P 使P1APB.
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二、相似矩阵的简单性质
设A B都是n阶矩阵 P1APB , 则A PBP1 ,
于是 Ak (PBP1 )k PBP1 PBP1 …PBP1 PBkP1 .
k个
4.3 相似矩阵
2
相似矩阵具备如下等价关系：
(1)反身性 A与A本身相似. A E 1 AE
( 2 )对称性 若A与B相似, 则B与A相似.
1 B P AP , P可逆 A ~ B
A P
1
1
B P 1 , P 1可逆
( 3 )传递性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
1 1 0 A 0 2 1 . 0 0 3
问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆矩阵 P 和 对角矩阵 , 使 P-1AP = . 解： 矩阵 A 的特征多项式为 1 1 0 |A E| 0 2 1 (1 )( 2 )( 3 ), 0 0 3
19
当 3 3
2 1 0 1 2 0 1 r （ 2 ） r r 1 2 1 A 3E 0 1 1 即： 0 1 1 0 r1 （1） 0 0 0 0 0 0 0 1 x1 2 x3 基础解系为： p2 得方程组 x2 x3 x x 3 3 所以 p3 是对应于 3 3 的特征向量.
即 A p1 , p2 , , pn p1 , p2 , , pn 令P ( p1 , p2 , , pn ), n
p1 , p2 , pn线性无关， P 0,
即P可逆
1 2 1 1 P AP ( p1 , p2 , , pn ) p1 , p2 , , pn n
由 P 1 AP , 得AP P ,
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn
于是有 Api i pi
线性代数习题4.3相似矩阵与矩阵的对角化 (1)
线性代数
2 1 0 1 0 0 0 1 0 E A 4E A 2 1 0 时， x1 0 1 0 0 0 0 0
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2 3 4
§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
线性代数
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§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
1 1 P AP
2
n
其中1 , 2 ,...,n 要和 1 , 2 ,..., n 对应。 四、相似矩阵的应用 我们可以利用相似矩阵求矩阵的高次幂.求一 般矩阵的高次幂比较困难，而对角矩阵的高次 幂却很简单
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§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
通过以上的例子，得到矩阵对角化的步骤： ⑴求矩阵 A 的全部特征根 1 , 2 ,..., （重根写重数） n ⑵对不同的 i 求 (i E A) X 0 的基础解系（基础解系的每个特征向量都可作 为相应的 i 所对应的特征向量； ⑶若能求出 n 线性无关的特征向量， 则以这些特征向量为列向量，构成可逆矩阵 p 1 2 ... n 则有
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2 0 2 1 , 3 0 0 1
是方阵 A 的对应于
§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
1 1 1 1
A 可对角化。
（2）设
2 0 2 1 , 3 0 0 1
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§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
2 1 0 1 0 0 0 1 0 E A 4E A 2 1 0 时， x1 0 1 0 0 0 0 0
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§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
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§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
1 1 P AP
2
n
其中1 , 2 ,...,n 要和 1 , 2 ,..., n 对应。 四、相似矩阵的应用 我们可以利用相似矩阵求矩阵的高次幂.求一 般矩阵的高次幂比较困难，而对角矩阵的高次 幂却很简单
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§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
通过以上的例子，得到矩阵对角化的步骤： ⑴求矩阵 A 的全部特征根 1 , 2 ,..., （重根写重数） n ⑵对不同的 i 求 (i E A) X 0 的基础解系（基础解系的每个特征向量都可作 为相应的 i 所对应的特征向量； ⑶若能求出 n 线性无关的特征向量， 则以这些特征向量为列向量，构成可逆矩阵 p 1 2 ... n 则有
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2 0 2 1 , 3 0 0 1
是方阵 A 的对应于
§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
1 1 1 1
A 可对角化。
（2）设
2 0 2 1 , 3 0 0 1
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§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
线性代数PPT课件：相似矩阵与二次型 第3节 相似矩阵
的矩阵又是对角矩阵，所以下面要讨论的主要问
题是： 对 n 阶矩阵 A ，寻求相似变换矩阵 P，使
P–1AP = 为对角矩阵． 如果 n 阶矩阵 A 能相似
于对角矩阵，则称矩阵 A 可对角化．
4.3.2 矩阵可对角化的条件
定理 4.3.2 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵
的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.
第 4.3 节
相似矩阵
相似矩阵的概念
相似矩阵的性质
可对角化的条件
4.3.1 相似矩阵的概念
定义4.3.1 设 A , B 为 n 阶矩阵, P 为 n 阶可
逆矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
例3 设
0 1 1 A 1 0 1 , 1 1 0
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
相似矩阵具有下列的性质：下设A，B 是同
阶矩阵.
性质4.3.1 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
detA = detB .
性质4.3.2 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 且矩阵
A可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
性质4.3.3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
(1) 问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆 矩阵 P 和对角矩阵 , 使 P-1AP = . (2) 使 P-1AP = 成立的 P 、 是否唯一， 举例说明.
例 2 设
0 0 1 A 1 1 x , 1 0 0
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线性代数
§4.3 相似矩阵
§43 相似矩阵
矩阵之间的一种特殊的等价关系——相似 一、相似矩阵的概念 二、相似矩阵的简单性质 三、方阵与对角阵相似的条件 （两个充要条件、一个充分条件）
一、相似矩阵的概念
相似矩阵的定义 设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使P1APB
则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵
二、相似矩阵的简单性质
性质1 相似矩阵的特征多项式相同，特征值也相同. 证 因此 |BE||P1APE| |P1APP1(E)P| |P1(AE)P| |P1||AE||P| |AE| 即A与B有相同的特征多项式 设n阶矩阵A与B相似 则有可逆矩阵P 使P1APB
1 2 . 2
0 0 1 补充例2 设 A 1 1 x 问x为何值时 矩阵A能对角化？ 1 0 0 0 1 解 | A E | 1 1 x ( 1)2 ( 1) 1 0 得11 231 矩阵A可对角化的充要条件是 对应重根231 有特征值1的重数2等于n-r=3－r(A1×E) 1 0 1 r 1 0 1 因为 A E 1 0 x ~ 0 0 x 1 由 1 0 1 0 0 0 所以当x1时 r(AE)1 此时矩阵A能对角化
|P1||P|=1
二、相似矩阵的简单性质
性质2 相似矩阵的秩相等. （等价矩阵的秩相等.） 性质3 相似矩阵的行列式相等. （如n阶方阵A和B相似，则P1APB , 即|P1AP| |P1| |A| |P| =|B |，故|A| =|B |.) 性质4 相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的 逆矩阵也相似。 |A| =|B |,故如果|A| ≠0,则|B| ≠0, 如n阶方阵A和B相似，则P1APB , 即B1= (P1AP) 1= P1A 1 (P 1 ) 1 = P1A 1 P , 即A 1和B 1相似.
二、相似矩阵的简单性质
设A B都是n阶矩阵 如P1APB , 则A PBP1 ,
于是 Ak (PBP1 )k PBP1 PBP1 …PBP1
k 1 k
PBkP1
k个
若B为对角矩阵, 有
则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵
对 A 进行 P1AP运算称为对 A进行相似变换，称可逆矩阵 P为 相似变换矩阵 注: 相似一定等价；相似关系是一种特殊的等价关系. 相似满足下列性质 ( 1) 自反性 A与A相似 E1AEA ( 2) 对称性 若A与B相似 则B与A相似 P1APB => APBP1 ( 3) 传递性 若A与B相似 B与C相似 则A与C相似
2）求特征向量.
练习P123:5(2)1 0 0 1 1 0 1 r2 r3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 x1 x4 , x4是自由未知量） x2 x4 （ x x 4 3
三、方阵与对角阵相似的条件
定理2(充分必要条件) n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件 是A有n个线性无关的特征向量 推论(充分条件) 若n阶矩阵A的n个特征值互不相等 则A与对角阵相似 定理3(充分必要条件) n 阶矩阵 A 与对角阵相似 ( 即A 能对角化) 的充分必要条件是 对于 A 的每个特征值 i , 有 i 作为特征值的重数等于对应于 i 的线性无关的特征向量的个数 或i作为特征值的重数等于 n－r(A － i E).
0 0 1 0
0 1 0 r 1 r2 1 r 1 *( 1) 0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 1 0
练习P123:10
祝愿大家考试顺利！
定理3描述 n阶方阵A与对角阵相似的充要条件为矩阵A每个特征值的 线性无关的特征向量的个数恰好等于特征值的重数.
2 1 1 补充例1讨论A 0 2 0 能否对角化?若能,把它对角化. 4 1 3 解 A的特征多项式为 2 1 1 | A E | 0 2 0 ( 1)( 2)2 4 1 3 所以A的特征值为11 232
对于11 解方程(AE)x0 得基础解系p1(1 0 1)T
对于232 解方程A2E)x0 得基础解系 p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T 于是p1 , p2 , p3线性无关,故A能够对角化. 取P=(p1 p2 p3) 则P－1AP=
k 2
. k n
利用对角矩阵 计算矩阵的高次幂
若可逆矩阵P使P 1 AP 为对角矩阵, 则
方阵A与对角阵∧相似
Ak P k P 1 .
二、相似矩阵的简单性质
性质1 相似矩阵的特征多项式相同，特征值也相同. （课本定理1） 推论若n阶矩阵A与对角矩阵diag(1 2 n)相似 则 1 2 n即是A的n个特征值
1 0
0 1 1 0 能否对角化，若能，求出矩阵A的相似对角阵. 0 0
1 0 ( 1) 2 ( 1) 0,
则1 2 1，3 1
1 0 1 x1 0 把1 1代入( E A) x 0得 0 0 0 x2 0 1 0 1 x 0 3 求得基础解系为1 (1,0,1)T ，2 (1,1,0)T .
考试注意事项： 1：分清行列式和矩阵的表示法； 2：分清是相等关系？还是等价关系？注意等 号的使用还是->的使用； 3：大题必须要有详细的解题步骤。 4：认真掌握各类运算规律和性质、定理.
0 练习题 判断矩阵A 0 1 解 1 ）求特征值. 0 令 E A 0 1
1 0 1 x1 0 T 把3 1代入( E A) x 0得 0 2 0 x2 0 , 求得基础解系为3 (1,0,1) . 1 0 1 x 0 3 0 1 1 1 1 令P (1, 2 , 3 ) 0 1 0 ，则P 1 AP 1 . 1 0 1 0 1
对 A 进行 P1AP运算称为对 A进行相似变换，称可逆矩阵 P为 相似变换矩阵 注: 相似一定等价；相似关系是一种特殊的等价关系. 矩阵等价 mn矩阵A与B等价 A经过有限次的初等变换化为B; 存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q 使PAQB
一、相似矩阵的概念
相似矩阵的定义 设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使P1APB
§4.3 相似矩阵
§43 相似矩阵
矩阵之间的一种特殊的等价关系——相似 一、相似矩阵的概念 二、相似矩阵的简单性质 三、方阵与对角阵相似的条件 （两个充要条件、一个充分条件）
一、相似矩阵的概念
相似矩阵的定义 设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使P1APB
则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵
二、相似矩阵的简单性质
性质1 相似矩阵的特征多项式相同，特征值也相同. 证 因此 |BE||P1APE| |P1APP1(E)P| |P1(AE)P| |P1||AE||P| |AE| 即A与B有相同的特征多项式 设n阶矩阵A与B相似 则有可逆矩阵P 使P1APB
1 2 . 2
0 0 1 补充例2 设 A 1 1 x 问x为何值时 矩阵A能对角化？ 1 0 0 0 1 解 | A E | 1 1 x ( 1)2 ( 1) 1 0 得11 231 矩阵A可对角化的充要条件是 对应重根231 有特征值1的重数2等于n-r=3－r(A1×E) 1 0 1 r 1 0 1 因为 A E 1 0 x ~ 0 0 x 1 由 1 0 1 0 0 0 所以当x1时 r(AE)1 此时矩阵A能对角化
|P1||P|=1
二、相似矩阵的简单性质
性质2 相似矩阵的秩相等. （等价矩阵的秩相等.） 性质3 相似矩阵的行列式相等. （如n阶方阵A和B相似，则P1APB , 即|P1AP| |P1| |A| |P| =|B |，故|A| =|B |.) 性质4 相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的 逆矩阵也相似。 |A| =|B |,故如果|A| ≠0,则|B| ≠0, 如n阶方阵A和B相似，则P1APB , 即B1= (P1AP) 1= P1A 1 (P 1 ) 1 = P1A 1 P , 即A 1和B 1相似.
二、相似矩阵的简单性质
设A B都是n阶矩阵 如P1APB , 则A PBP1 ,
于是 Ak (PBP1 )k PBP1 PBP1 …PBP1
k 1 k
PBkP1
k个
若B为对角矩阵, 有
则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵
对 A 进行 P1AP运算称为对 A进行相似变换，称可逆矩阵 P为 相似变换矩阵 注: 相似一定等价；相似关系是一种特殊的等价关系. 相似满足下列性质 ( 1) 自反性 A与A相似 E1AEA ( 2) 对称性 若A与B相似 则B与A相似 P1APB => APBP1 ( 3) 传递性 若A与B相似 B与C相似 则A与C相似
2）求特征向量.
练习P123:5(2)1 0 0 1 1 0 1 r2 r3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 x1 x4 , x4是自由未知量） x2 x4 （ x x 4 3
三、方阵与对角阵相似的条件
定理2(充分必要条件) n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件 是A有n个线性无关的特征向量 推论(充分条件) 若n阶矩阵A的n个特征值互不相等 则A与对角阵相似 定理3(充分必要条件) n 阶矩阵 A 与对角阵相似 ( 即A 能对角化) 的充分必要条件是 对于 A 的每个特征值 i , 有 i 作为特征值的重数等于对应于 i 的线性无关的特征向量的个数 或i作为特征值的重数等于 n－r(A － i E).
0 0 1 0
0 1 0 r 1 r2 1 r 1 *( 1) 0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 1 0
练习P123:10
祝愿大家考试顺利！
定理3描述 n阶方阵A与对角阵相似的充要条件为矩阵A每个特征值的 线性无关的特征向量的个数恰好等于特征值的重数.
2 1 1 补充例1讨论A 0 2 0 能否对角化?若能,把它对角化. 4 1 3 解 A的特征多项式为 2 1 1 | A E | 0 2 0 ( 1)( 2)2 4 1 3 所以A的特征值为11 232
对于11 解方程(AE)x0 得基础解系p1(1 0 1)T
对于232 解方程A2E)x0 得基础解系 p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T 于是p1 , p2 , p3线性无关,故A能够对角化. 取P=(p1 p2 p3) 则P－1AP=
k 2
. k n
利用对角矩阵 计算矩阵的高次幂
若可逆矩阵P使P 1 AP 为对角矩阵, 则
方阵A与对角阵∧相似
Ak P k P 1 .
二、相似矩阵的简单性质
性质1 相似矩阵的特征多项式相同，特征值也相同. （课本定理1） 推论若n阶矩阵A与对角矩阵diag(1 2 n)相似 则 1 2 n即是A的n个特征值
1 0
0 1 1 0 能否对角化，若能，求出矩阵A的相似对角阵. 0 0
1 0 ( 1) 2 ( 1) 0,
则1 2 1，3 1
1 0 1 x1 0 把1 1代入( E A) x 0得 0 0 0 x2 0 1 0 1 x 0 3 求得基础解系为1 (1,0,1)T ，2 (1,1,0)T .
考试注意事项： 1：分清行列式和矩阵的表示法； 2：分清是相等关系？还是等价关系？注意等 号的使用还是->的使用； 3：大题必须要有详细的解题步骤。 4：认真掌握各类运算规律和性质、定理.
0 练习题 判断矩阵A 0 1 解 1 ）求特征值. 0 令 E A 0 1
1 0 1 x1 0 T 把3 1代入( E A) x 0得 0 2 0 x2 0 , 求得基础解系为3 (1,0,1) . 1 0 1 x 0 3 0 1 1 1 1 令P (1, 2 , 3 ) 0 1 0 ，则P 1 AP 1 . 1 0 1 0 1
对 A 进行 P1AP运算称为对 A进行相似变换，称可逆矩阵 P为 相似变换矩阵 注: 相似一定等价；相似关系是一种特殊的等价关系. 矩阵等价 mn矩阵A与B等价 A经过有限次的初等变换化为B; 存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q 使PAQB
一、相似矩阵的概念
相似矩阵的定义 设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使P1APB