线性代数-矩阵的相似对角化

相
其重数分别为 s1, s2 , , sr ;
似 矩
(2) 对每一个特征值 i , 求矩阵 A 特征向量，
阵
并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为 ti ;
(3) 若 ti si , 则 A 不能相似对角化；
(4) 若 ti si (i 1, 2, , r), 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P， 从而有 P 1 AP Λ;
0
1 0 1
1 1 1 2
3
4
1 2
1 2 1
3 2 1
1 0 1
似
矩 阵
1 2
9 3 2
7 1 2
3 3; 8
1 25 9
A1
P Λ1P 1
1 24
9 2
33 2
9. 6
18
§5.2 矩阵的相似对角化
第 例 设任意非零 n 维向量都是 n 阶方阵 A 的特征向量，
( A p1, A p2 , , A pn ) (a1 p1, a2 p2 , , an pn ) ,
于是有 A pi ai pi (i 1,2, , n), 又因为 P 可逆，故 pi 0 , 且 p1, p2 , , pn 线性无关， 因此 p1, p2 , , pn 是 A 的 n 个线性无关的特征向量 . 即
对应的特征向量分别是 X1
1 1
,
X2
01
,
X3
1 1
,
相
似
求矩阵 A 和 A1.
0
1
2
矩
阵
解
(1)
令
P
(
X1,
X2,
X3
)
1 1
1 0
1 1,
0 1 2
则
P
可逆，且
P 1 AP
1
3
Λ,
4
17
§5.2 矩阵的相似对角化
第
(2) 因此有
五 章
相
A
P
ΛP 1
1 1
4
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
定义
对于 n 阶矩阵 A，若存在可逆的 n 阶方阵 P， 使得
P145
相 定义 似 5.3 矩
记为
Λ.
阵
则称 A 可相似对角化 ；
▲
5
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
好处
若存在可逆矩阵 P 使 P 1 AP B , 则 A PBP1,
1 2
y0 z0
1 3
2
( y0 z0 y0 z0
)
,
即当 k 时，城与农村的人口之比为 2:1.
24
§5.2 矩阵的相似对角化
第 注 本题还可以直接利用特征值与特征向量的性质来求解
五 章
由 A 的特征值为 1 1, 2 0.7 , 对应的特征向量分别为
相 似 矩 阵
X1
1 3
2 , 1
因此矩阵 A 不能相似对角化。
14
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五 例 将矩阵 章
相似对角化，并求 A100 .
相 似
解
(1)由 | I A| 0 , 得 A 的特征值为 1 2 , 2 1,
矩
(单根) (重根)
阵
对 1 2 , 取特征向量 X1 (1, 1, 1)T ,
对 2 1, 取特征向量 X 2 (2, 1, 0)T , X 3 (0, 0, 1)T ,
五 章
证明 A 为数量阵。
证 (1) 由题意可知：
相
似
n 维基本向量 e1, e2 , , en 是 A 的特征向量，
矩
阵
令 P (e1, e2 , , en ) I , 则存在 1, 2 , , n 使得
1
P 1 AP
2
,
n
1
即 A
2
,
n
19
§5.2 矩阵的相似对角化
即 y1 0.9 z1 0.1
0.2 0.8
y0 z0
,
矩 阵
第 k 年末城乡人口为
yk zk
0.9 0.1
0.2 0.8
yk 1 zk 1
,
即
yk zk
0.9 0.1
0.2 0.8
k
y0 z0
,
记 A 0.9 0.1
0.2 , 0.8
则有
yk zk
Ak
y0 z0
,
0 0.7
0 0.7
因而有
Ak
P
1k 0
0 0.7k
P
1
.
23
§5.2 矩阵的相似对角化
第
(3) 第 k 年末城乡人口为
五
章 相
yk zk
Ak
y0 z0
P
1k 0
0 0.7k
P
1
y0 z0
似 矩
当 k 时，0.7k 0 , 故
阵
y 1 2 z 3 1
1 1 1 0
0 1 01
(之一)
相
Ak
P
BP1
PBP
1
PBP1
PBk P 1.
似
k
矩 阵
特别地，若
a1 B Λ
a2
, an
a1k 则 Ak P Λk P 1 P
a2k
P 1.
ank
6
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
例
证明矩阵
A
a
1 a
1
不能相似对角化。
章
a
相 证 (反证法) 假设存在可逆矩阵 P ，使得
有
y0 z0
a
X1
b
X
2
,
X2
1 3
1 , 1
(线性无关)
故第 k 年末城乡人口为
yk zk
Ak
y0 z0
a Ak X1 b Ak X2
ak1 X1 bk2 X2 a X1 b(0.7)k X 2 ,
y z
a
X
1
1 2a , 3a
y : z 2 :1.
25
§5.2 矩阵的相似对角化
1 2 0
2
令
P
1
1
0,
则
P 1 A P
Λ
1 .
1 0 1
1
15
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五 例 将矩阵 章
相似对角化，并求 A100 .
相 似
解
(2)由 P 1 A P Λ, 有 A P ΛP 1 ,
矩 阵
A100 P Λ100 P 1
1 1
2 1
0 2100 0
22
§5.2 矩阵的相似对角化
第
(2) 由 | I A| 0 , 求得 A 的特征值为 1 1, 2 0.7 ,
五 章
它们对应的特征向量分别为
相 似
X1
1 3
2 , 1
X2
1 3
1 , 1
矩 阵
令 P 1 2 1 , 则 P 1 1 1 ,
3 1 1
1 2
且 P 1 A P 1 0 , A P 1 0 P 1 ,
11
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
五 章
步骤
(4) 若 ti si (i 1, 2, , r),
则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，
相
似
从而有 P 1 AP Λ;
矩
阵
s1个
其中
Λ
s2
个
sr 个
12
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
1100
1 2 0 1 1 0
1
0
1
1100
1
2
1
2100 2 2101 2 0 2100 1 2101 1 0 .
2100 1
2101 2 1
16
§5.2 矩阵的相似对角化
第 例 设三阶方阵 A 的三个特征值为 1 1, 2 3, 3 4 , 且
五 章
第 例 设任意非零 n 维向量都是 n 阶方阵 A 的特征向量，
五 章
证明 A 为数量阵。
证 (2) 又 n 维向量 (1, 1, , 1)T 也是 A 的特征向量，
相
似
故存在 ~, 使得 A ~ , 即
矩
阵
1
2
11
~
11
n
1
1
1 2 n ~,
因此 A ~ I , 即 A 为数量阵。
似 矩 阵
P
1 A
P
a1
a2
Λ,
A P Λ P 1,
a3
由矩阵 A 与 相似，故它们有相同的特征值，即得
a1 a2 a3 a ,
Λ a I , A P(a I )P 1 a I , 矛盾！
故矩阵 A 不能相似对角化。
7
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
几点说明
(1) P 中的列向量(即特征向量) p1, p2 , , pn 的排列顺序要与
相
似
特征值的顺序一致。
矩
阵 (2) 因 pi 是 ( A I )X 0 的基础解系中的解向量，故 pi 的
取法不是唯一的。因此 P 也不是唯一的。
(3) 由于 | A I | 0 的根只有 n 个(重根按重数计算)，所以 如果不计特征值的排列顺序，则 Λ是唯一的。
第 四、矩阵相似对角化的应用
五 章
1. 人口流动问题
2. 微分方程组求解问题
相
似 例 求解常系数线性常微分方程组
矩
阵
其中， xi xi (t),
xi
dxi (t) dt
.
设想: 假如微分方程组为
x1 x2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
x1 ,
2
x2
,
x3
3 x3,
则它们是三个独立 的齐次型微分方程, 其解非常容易得到.
26
§5.2 矩阵的相似对角化
5.6 应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征
值的重数。
P146 推论2
推论 如果 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则矩阵 A 可以 P145 相似对角化。
推论1
10
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
五 章
步骤
(1) 求 n 阶方阵 A 的特征值 1, 2 , , r ,
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
§5.2 矩阵的相似对角化
章
一、相似矩阵的基本概念与性质
相 似
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
矩 阵
三、矩阵相似对角化的方法步骤
四、矩阵相似对角化的应用
1
§5.2 矩阵的相似对角化
第 一、相似矩阵的基本概念与性质
五 章
1. 相似矩阵的概念
定义 对于 n 阶矩阵 A 和 B ，若存在可逆的 n 阶方阵 P 使得
相 P144 似 定义
P 1 A P B ,
矩 5.2 则称 A 与 B 相似，或者称 A 相似于 B，记为 A~ B .
阵
称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。
称对 A 所进行的运算 P 1 AP 为对 A 进行相似变换。
注 矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。
2
§5.2 矩阵的相似对角化
13
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
例
试将矩阵
A
a
a
1
相似对角化。
章
a
相 解 令 | I A| 0 , 得 A 的特征值为 1 a , (三重根)
似 矩
由 ( 1 I A)X 0, 得 A 的特征向量为
阵
1 0
X k1 0 k2 1 ,
(k12
k
2 2
0) ,
0 0
显然，最多能找到两个线性无关的特征向量，
P 的列向量由 A 的线性无关的特征向量构成。
9
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
1. 问题分析
2. 矩阵可相似对角化的条件
相 似 定理 n 阶矩阵 A 能够相似于对角矩阵 Λ 的充分必要条件是
矩 阵
P145 定理
A 有 n 个线性无关的特征向量， 即 A 每个特征值所对
五 章
1. 问题分析
(1) 如何构成？
相 似
所考虑的问题是寻找可逆的 n 阶方阵 P ，使得
矩 阵
P
1 A P
a1 0
0
0 a2 0
0
0
an
记为
Λ.
由于 a1, a2 , , an 是 的 n 个特征值， 而 A 与 相似，
因此 a1, a2 , , an 就是 A 的 n 个特征值 . 即
定理
5.5 (5) 若 A ~ B , 则 | A| | B|.
3
§5.2 矩阵的相似对角化
第 一、相似矩阵的基本概念与性质
五 章
1. 相似矩阵的概念
2. 相似矩阵的性质
相 似
定理
若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征多项式,
矩
从而 A 与 B 有相同的特征值。
P144 定理5.5 (3)
的主对角线上的元素由 A 的全部特征值构成。
8
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
1. 问题分析
(2) P 如何构成？
相 似
设 P ( p1, p2 , , pn ), 则由 P 1 AP Λ 有 AP PΛ, 即
矩 阵
A( p1, p2 , , pn ) ( p1, p2 , , pn ) Λ,
阵
证明 因 A 与 B 相似，即存在可逆的矩阵 P 使得 P 1 AP B ,
故 | B I | | P 1 AP I | | P 1 AP P 1 I P |
| P1( A I )P || P1 | | A I | | P |
| A I |.
即 A 与 B 有相同的特征多项式。
20
§5.2 矩阵的相似对角化
第 四、矩阵相似对角化的应用
五 章
1. 人口流动问题
例
相
似
矩
阵
P148 例10
21
§5.2 矩阵的相似对角化
第 解 (1) 设最初城市和农村人口分别为 y0 , z0 ,
五
第一年末城乡人口为
章
相 似
y1 z1
0.9 0.1
y0 y0
0.2 0.8
z0 z0
, ,
第 一、相似矩阵的基本概念与性质
五 章
1. 相似矩阵的概念
2. 相似矩阵的性质
相 似 性质 (1) 反身性 A ~ A;
矩 阵
P144
(2) 对称性 若 A ~ B , 则 B ~ A;
(3) 传递性 若 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C .
P144 (4) 若 A ~ B , 则 r( A) r(B) .