线性代数—相似矩阵
线性代数第五章相似矩阵课件1
二、利用正交矩阵将实对称
矩阵
根 据对上角述化结 论的，方利法用 正 交 矩 阵 将 实 对 称 矩 阵 化
为对角矩阵，其具体步骤为：
(1) 求出 A 的全部不同的特
其重数分别为 r1, r2 ,, rs
征. 值1,
2
,,
s
,
(2) 对每个i (i 1,2,L求, s)出, 并将其正交化。得到 向量。这样共求出 A
(2) 12 Ln A .
推论：设 A 为 n 阶方阵，则 |A|=0 的充要条 件是数 0 是 A 的特征值。
定理 2 设 是矩阵 A 的一个特征值，对应的特 征向量为x ，且f (x) 是一个关x于 的 多项式 , 则f () 是f ( A) 的一个特征值， 对应的特征向量还是x .
定理 设1,2,L,m是方阵A的m个特征值, p1, p2, 3L, pm依次是与之对应的特征向量.如果1,2,L,m
的Ar1的(ri irE2个的属AL)基x于础i0r解s的个系的正n，正
交
特
征
交特征向量 .
(3) 将以上n 个正交特征向量单位化，由所得正交
单位向量作为列构成正交矩阵 Q ，则
Q1 AQ QT AQ diag1,2 ,L,n
例 1 对下列各实对称矩阵，分别求一正交矩P 阵 使 P 1 AP 为对角阵 .
0 2
,
1 2
2
1 0
,
0
3 1 0 2 . 1 2
1 2
2 4 3 4
于是得正交阵
P
1,2 ,3
1
0 2
1 0
1
0
2
线性代数 第5.2节 矩阵相似对角化
2 2 得基础解系 p1 1 , p2 0 . 0 1 当 3 7 时，齐次线性方程组为 A 7 E X 0 1 8 2 2 1 0 2 2 5 4 0 1 1 A 7E 0 0 0 2 4 5
求矩阵 A.
22
解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 A 是3 阶方阵。
因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 P 1 AP
1 1 1 其中 P 1 0 2 , 1 1 1
求得 P 1
1 3 1 2 1 6 1 3 0 1 3
A 可以对角化。
当 1 1 时， 齐次线性方程组为
A Ex 0
5 5 1 1 系数矩阵 A E 2 2 0 0
x1 x2
1 令 x2 1 得基础解系: p1 1
25
当
2 2 时， 齐次线性方程组为 A 2 E x 0 2 5 2 5 系数矩阵 A 2 E 2 5 0 0
x1 2 x2
2 得基础解系 p1 1 , 0
0 0. p2 1
当 3 2 时，齐次线性方程组为 A 2 E X 0
6 A 2 E 3 3 6 3 6 0 1 0 0 3 0 0 1 0 1 1 0
可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 1. 由特征值、特征向量反求矩阵 例3：已知方阵 A 的特征值是
1 0, 2 1, 3 3, 1 1 1 1 , 0 , 2 , 相应的特征向量是 1 2 3 1 1 1
线性代数第五章相似矩阵
3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
4、性质
定理 正交向量组必为线性无关组,但反之则不一定成立. 定理 若向量β与 1 , 2 ,, s 中每个向量都正交，则
β与 1 , 2 ,, s 的任一线性组合也正交.
5、正交基 若正交向量组1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个正交基. 6、标准正交基 若标准正交组 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个标准正交基.
7、施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
1 1 0 令 1 1 , 2 1 0 , 3 2 1 . 1 1 1 1）正交化
1 1 1 1 1 1 1 i , 1 1 ,2 0 , 3 2 . 令 i i 3 2 2 6 1 1 1
(2) 1 2 n a11 a22 ann ;
证明① 当 1 , 2 ,, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2 n
1 2 n
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
线性代数相似矩阵
相似矩阵及其性质
方阵的相似对角化
小结
3.1 相似矩阵及其性质
3.1 相似矩阵及其性质
1. 等价关系 (1)反身性 A与A本身相似.
( 2)对称性 若A与B相似, 则B与A相似.
( 3)传递性
若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似. 2. 若 A B ，则 R A R B 证明：A B ，则 P 1 AP B
将 1 2 2代入 A 1 E 0, 得方程组 x1 2 x2 2 x3 0 解之得基础解系 2 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 1 0 , 2 1 . 2x 4x 4x 0 1 1 1 2 3
1 2 2 A 2 2 4 例 判断实矩阵能否化为对角阵？ 2 4 2 解 将 1 2 2代入 A 1 E 0, 得方程组 x1 2 x2 2 x3 0 解之得基础解系 2 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 1 0 , 2 1 . 2x 4x 4x 0 1 1 1 2 3 对3 7,由 A E x 0, 求得基础解系 3 1,2,2T 2 0 1 由于 0 1 2 0, 所以1 , 2 , 3线性无关. 1 1 2 所以矩阵可化为对角阵
定理1 若n阶矩阵A与B相似 则A与B的特征多项式相同 从而A 与B的特征值也相同 推论 若n阶矩阵A与对角矩阵diag(1 2 n)相似 则1 2 n即是A的n个特征值 相似矩阵的作用 若APBP1 则AkPBkP1 A的多项式 (A)P(B)P1 特别 或有可逆矩阵P使P1AP为对角阵 则 AkPkP1 (A)P()P1 其中 kdiag(1k 2k nk) ()diag((1) (2) (n))
线性代数第六章 矩阵的相似变换
第六章 矩阵的相似变换本章主要讨论方阵的特征值和特征向量、方阵的相似变换和对角化等问题.第一节 方阵的特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量X 使关系式λ=AX X （6.1）成立，则称数λ为方阵A 的特征值；非零列向量X 称为A 对应于特征值λ的特征向量.将式（6.1）改写成()λ−=A E X 0， （6.2） 将（6.2）看成关于X 的齐次线性方程组，它有非零解当且仅当其系数行列式满足 0λ−=A E ， （6.3）即1112121222120λλλ−−=−n nn n nn a a a a a a a a a ， （6.4）这是以λ为未知数的一元n 次方程，称为A 的特征方程，其左端λ−A E 是λ的n 次多项式，记作()λf ，称为A 的特征多项式，特征方程的根就是A 的特征值.根据代数基本定理，在复数范围内，n 阶方阵A 有n 个特征值（重根按重数计算），记作12,,,λλλ n .求出特征值λi 后，将λi 代入齐次线性方程组（6.2）中，求解方程组()λ−=i A E X 0 （6.5） 的所有非零解向量，就是属于λi 的特征向量。
对不同的特征值逐个计算，可求得属于各特征值的全部特征向量.若非零向量X 是方阵A 的特征向量，则由（6.1）式可知，对任意实数0k ≠，有()()k k λ=A X X ，（6.6） 这表明k X 也是方阵A 的特征向量，因此属于同一特征值的特征向量有无穷多个；反之，不同特征值对应的特征向量必不相同，即一个特征向量只能属于一个特征值（证明留给读者作为练习）.由齐次线性方程组解的性质容易证得如下定理.定理1 设λ是方阵A 的特征值，12,,,s p p p 是属于λ的特征向量，则12,,,s p p p 的任意非零线性组合仍是属于λ的特征向量.例1 求141130002−−=A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式2141()130(2)(1)002λλλλλλλ−−−=−=−=−−−f A E ,所以A 的特征值为12λ=，231λλ==. 对于12λ=，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由3411012110011000000−−−=→−A E ，得基础解系 1111−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于12λ=的全部特征向量.对于231λλ==，解齐次方程组()−=A E X 0.由 241120120001001000−−−=→A E ，得基础解系 2210−=p ，所以222(0)≠k k p 是对应于231λλ==的全部特征向量. 例2 求204121103−−=A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式2204()121(1)(2)13λλλλλλλ−−−=−=−=−+−−f A E ,所以A 的特征值为11λ=−，232λλ==. 对于11λ=−，解齐次方程组()+=A E X 0.由104104131011104000−−+=→−A E ，得基础解系 1411−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于11λ=−的全部特征向量.对于232λλ==，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由 4041012101000101000−−−=→A E ，得基础解系 2010=p ，3101− = p ,所以2233+k k p p （2k ，3k 不同时为0）是对应于232λλ==的全部特征向量.二、特征值和特征向量的性质定理2* 设12,,,λλλ n 是n 阶方阵()=ij a A 的n 个特征值，则有（1）11n n i ii i i a λ==∑∑； （2）1ni i λ==∏A .其中1niii a=∑是A 的主对角元之和，称为方阵A 的迹，记作tr()A .证明 见附录六例3 设7414744y x −= −−A 的特征值为123λλ==，312λ=，求,x y 的值. 解 由定理2可得123123tr()7718331212108x x y λλλλλλ=++=++=+− A A 解之得4,1x y ==−.定理3 设λ是方阵A 的特征值，p 是A 的属于λ的任一特征向量，则有： （1）k R ∀∈，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量；（2）对任意非负整数k ，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量； （3）若()ϕA 是A 的m （m 为任意非负整数）次多项式，即01()m m a a a ϕ=+++A E A A ，则()ϕλ是()ϕA 的特征值，p 是()ϕA 的属于()ϕλ的特征向量；（4）若A 可逆，则0λ≠，且1λ是1−A 的特征值，p 是1−A 的属于1λ的特征向量；（5）若A 可逆，则λA是*A 的特征值，p 是*A 的属于λA的特征向量；（6）λ也是T A 的特征值.证明 （1）由λ=Ap p ，有k k λ=Ap p 成立。
线性代数之——相似矩阵
工地施工现场的地基处理与加固工地施工现场的地基处理与加固是建筑工程中不可或缺的环节。
地基处理与加固的目的是确保建筑物的稳定性和安全性。
本文将从地基处理的必要性、地基处理的方法和地基加固的技术等角度进行探讨。
一、地基处理的必要性地基处理的必要性不言而喻。
地基是建筑物的基础，直接承载着整个建筑物的重量。
如果地基不稳定，建筑物就会存在倾斜、沉降等安全隐患。
因此，在施工前，必须对地基进行处理。
二、地基处理的方法地基处理的方法主要包括土壤改良和地基加固两种。
1. 土壤改良土壤改良是指通过物理或化学手段，改良和提升土壤的力学性质。
常见的土壤改良方法有夯实法、注浆法和灌浆法。
夯实法是通过在土壤中夯实砂石等材料，提高土壤的密实度和稳定性。
注浆法则是通过注入特殊的浆液，增加土壤的粘结力和强度。
灌浆法是将浆液注入土壤中，形成坚固的土体。
2. 地基加固地基加固是指通过加固措施，提高地基的承载能力。
常用的地基加固技术有钢筋混凝土地基桩、钢板桩和钢筋灌注桩等。
钢筋混凝土地基桩是将钢筋混凝土灌注到孔中，形成一个坚固的地基桩。
钢板桩则是将钢板沉入土壤中，形成一个抵抗侧向力的支撑体。
钢筋灌注桩是将钢筋和混凝土灌注到孔中，形成一个强固的地基。
三、地基加固的技术地基加固的技术是指在地基处理的基础上，进一步加固地基，增强地基的承载能力和稳定性。
常用的地基加固技术有振动加固法、地基增强法和地基加压法。
振动加固法是通过振动机械在地基中产生冲击力，使土壤颗粒重新排列，形成一个致密的土体。
地基增强法是通过向地基中注入增强材料，形成一个坚固的地基。
地基加压法则是利用加压水封闭地基，增加地基的承载能力。
地基处理与加固是保证建筑物稳定性和安全性的关键措施。
通过合理的地基处理与加固方法，能够提高建筑物的质量和使用寿命，减少安全隐患。
因此，在工地施工现场，科学地进行地基处理与加固工作是不可或缺的。
结语地基处理与加固是工地施工现场中一项重要的工作。
通过土壤改良和地基加固等方法，能够提高地基的稳定性和承载能力，确保建筑物的安全。
43相似矩阵—线性代数(吴赣昌-第四版)
注意：mi 为方程组 ( A j E ) x 0 的基础解
系所含解向量个数 .
A可对角化
m1 m2 ms n
A不可对角化 m1 m2 ms n
推论2 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是 A 的每一个 ni
,n ) (1,2 ,L
,
n
)
2
O
n
因而, Ai ii ,i 1, 2,L , n,
因为P (1,2 ,L
,n )可逆,故1,2 ,L
,
线性无关且
n
它们分别是A对应于特征值1,2,L ,n的特征向量。
设矩阵A有n个线性无关的特征向量 1,2 ,L ,n 它们对应的特征值分别为1，2，L ，n,则Ai ii ,
1
A(1 ,2 ,L
,n ) (1,2 ,L
,
n
)
2
O
n
即 AP PΛ
又1,2 ,L ,n线性无关 ,故P (1,2 ,L ,n )可逆
从而 P1AP Λ, 即A与Λ相似.
推论１若n阶方阵A有n个相异的特征值1, 2 ,L n， 则A可对角化，且A相似于diag(1, 2 ,L n ).
当A的特征方程有重根时，它不一定有n个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化。
设 1, 2 ,L , s是矩阵A的所有特征值，重数分别为 m1, m2 ,L , ms ,
xj1, xj2 ,L , xjmj 是方程组
(A jE)x 0
的一个基础解系, j=1, 2, …, s, A的特征向量组为
(i=1，2，…，s) 重特征值i对应有 ni 个线性无关的特征向量.
线性代数—相似矩阵
求 a 的值, 并讨论 A 是否可相似对角化.
1 2 3 2 ( 2) 0
解 E A 1 4 3 1
4
3
1 a 5 1 a 5
1 1 0
( 2) 1 4 3 ( 2)(2 8 18 3a) ,
1 a 5
20
E A ( 2)(2 8 18 3a)
P1AP B , 则称A与B 相似,记为 A ~ B .
矩阵的“相似”关系具有以下特性：
(1)反身性：对任何方阵 A，总有 A ~ A (令 P E 即可)；
(2)对称性：若 A ~ B ，则有 B ~ A ；
证 P 1 AP B A PBP1 ( P 1 )1 BP 1 . (3)传递性：若 A ~ B ,且 B ~ C ,则有 A ~ C .
Pn P 1
1 2
11
11
3 0
01100
1 1
11
1 2
1 1
11
3100 0
10 11
11
1 2
3100 3100
1 1
3100 3100
11
.
25
EN D
26
1 P 1 AP
1
.
0 1 3
2 16
例4
4 判断矩阵 A 2
2 0
1 1
能否对角化，若能，
1
1
0
求可逆阵P，使 P1 AP 为对角阵.
c1 c2
4 2 1 解 E A 2 1 ( 2)2 ,
1 1
2 2 1 2 2 1
对
1
2
，2E
A
2
2
1 0 0 1 ,
推论2 相似矩阵的迹相等；
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推论1 如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化. 因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
注意: 这个条件是充分的而不是必要的.
如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性 无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如 果能找到n个线性无关的特征向量, A还是能对角化． 推论 2 n 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是对每一个
3 3 6
特征向量 1 (1 , 1 , 1)T ,
特征向量 2 (1 , 1 , 0)T ,
8 2 3 1 11 6
对
3
9 ，9E
A
2
8
3 0
2
1 ,
3
3
3
0
0
0
特征向量 3 (1 , 1 , 2)T ,
13
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
例1 设 A 0 a 2 , B 0 2 0 ,且 A ~ B ,求a, b 。
0 2 3
0 0 b
解
A B 3a 4 b tr( A) tr(B) 5 a 3 b
a 3 b 5 .
另解 相似矩阵有相同的特征多项式，由
det E A det E B
得
2 0 0 2 0 0
求可逆阵P，使 P1 AP 为对角阵.
4 10 0 解 E A 1 3 0 ( 1)2( 2) ,
3 3 6 3 3 6
1 1 0
10 0
( 1) 2 1 3 ( 1) 2 3 3
3 3 6
3 6 6
3 3
( 1)
( 1)( 9) ,
6 6
11
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
3 3 6
1
对
1
0 ，0 E
A
2
2 1
3 1 3 0
ni 重程组iE A X 0 的基础解系所含的
向量个数等于特征根 i 的重数 ni 。
10
1 2 3
例2
设
A 2
1
3 ,
求可逆阵P，使 P1 AP 为对角阵.
3
3
6
r1 r2
1 2 3 1 1 0 解 E A 2 1 3 2 1 3
A
1 0
11
与E
1 0
10 的特征值相同，
但它们不相似, 因为对任意可逆阵P, P 1EP E ,
即与 E 相似的矩阵只有它自己。
相似矩阵的其它性质：
相似矩阵的秩相等； P 1 AP B ,
若P,Q为可逆矩阵,则有 r(PA) r( AQ) r( A) .
4
若 A ~ B ,则 (1) AT ~ BT ； (2) kA ~ kB ,其中 k 为任意常数； (3) Am ~ Bm ,其中 m 为任意正整数； (4) p(A) ~ p(B) ,其中p(x) 为任一多项式；
,
n
)
2
,
n
即 ( A1 , A2 , , A n ) (11, 2 2 , , n n ) ,
即得 A i i i , i 1,2, , n ,
说明1,2 , ,n 是 A 的分别对应于特征值1, 2 , , n
的特征向量,
由于 P 可逆，所以1,2 , ,n 线性无关。 必要性得证。
3 3 6
1 (1 , 1 , 1)T , 2 (1 , 1 , 0)T , 3 (1 , 1 , 2)T ,
令
1 1
P (1 , 2 3 ) 1 1
1 1,
1
0
2
0
则
P 1 AP
1
.
9
14
例3
4 判断矩阵 A 1
10 3
0
0 能否对角化，若能，
3 6 1
0 1 0 3 4
0 1 a 0 2 b
6
计算上面两个行列式，得到
22 a 1 2 2 3 3b 8
比较等式两边 同次幂的系数，得
a 3 b 1 3b 8
解得
a b
3 5
.
7
二、矩阵可相似对角化的条件
如果一个矩阵能与一个对角阵相似,称该矩阵 可以(相似)对角化。
2 1
3 1 ,
3
3
6
0 0 0
特征向量 1 (1 , 1 , 1)T ,
2 2 3 2 2 3
对 2 1， E A 2 2 3 0 0 1 ,
3
3
7
0 0 0
特征向量 2 (1 , 1 , 0)T ,
12
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
第二节
1
一、相似矩阵的概念和性质
定义 对于n阶方阵A和B，若存在n阶可逆方阵P，使得
P1AP B , 则称A与B 相似,记为 A ~ B .
矩阵的“相似”关系具有以下特性：
(1)反身性：对任何方阵 A，总有 A ~ A (令 P E 即可)；
(2)对称性：若 A ~ B ，则有 B ~ A ；
(5) 它们的特征矩阵E A 和E B 也相似；
(6) A ,B 同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵
及伴随矩阵也分别相似。
只证(3)，其余证明留作练习.
P 1 AP B , Bm (P 1 AP)m
(P 1 AP)( P 1 AP) (P 1 AP) P 1 Am P .
5
2 0 0 1 0 0
证 P 1 AP B A PBP1 ( P 1 )1 BP 1 . (3)传递性：若 A ~ B ,且 B ~ C ,则有 A ~ C .
证 P 1 AP B , Q1BQ C
Q1(P 1 AP )Q (PQ)1 A(PQ) C .
2
相似矩阵的性质：
定理 相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同.
定理 n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件 是A有n个线性无关的特征向量。
证 必要性：设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆
阵P,使
1
P
1
AP
2
,
n
8
P 1 AP , 即 AP P ,
将矩阵 P 按列分块, P (1,2 , ,n ) ,则有
1
A(1,2 ,
,n )
(1,2 ,
证 P1 AP B E B E P1 AP
P1(E A)P P1 E A P E A .
推论1 相似矩阵的行列式相等；
推论2 相似矩阵的迹相等；
1
推论3
若矩阵A与一个对角阵
2
相似,
n
则1,2, n 即为 A 的全部特征值。
3
注意: 特征值相同的矩阵不一定相似.
例如,