线性代数第五章 相似矩阵
线性代数 第五章 相似矩阵与二次型 第1节
就正交。
显然，零向量与任何向量正交。
定义 一组两两正交的非零向量，称为正交向量组。
定理 如果 n 维向量 1, 2 ,..., m 为正交向量组， 则1, 2 ,..., m 线性无关。
证明 设有1，2，m 使11 2 2 ... m m 0
以
T 1
左乘上式两端，得
1
T 1
1
0
因1 0， 故1T1 1 2 0，从而1 0。
1 3 1
4 6
1 2 1
5 3
1 1 ; 1
3
3
[ 3, 1] [1, 1]
1
[ 3, 2] [2, 2 ]
2
4 1 0
1
3
1 2 1
5
3
1 1 1
2 0
2
再把它们单位化，取
e1
1
1
1 6
1 2 , 1
e3
3
3
r1,n , 把1，r ,r1,n 正交规范化
就得到 Rn 的一个正交规范基。
五、正交矩阵与正交变换
定义 若 n 阶方阵A 满足 AT A E (即A1 AT )
则称 A 是正交矩阵。
若记 A 1 2 n ，则 AT A可表示为：
12TT
1
2
n E
T n
即
iT j
1 0
当i 当i
四、施密特正交化方法
把基 1, 2 ,..., n 化成标准正交基的具体步骤：
先正交化：
令
1
，
1
2
2
[ 2 , [1,
1] 1]
1
3
3
2 i 1
[ 3 [i
线性代数第五章相似矩阵课件1
二、利用正交矩阵将实对称
矩阵
根 据对上角述化结 论的，方利法用 正 交 矩 阵 将 实 对 称 矩 阵 化
为对角矩阵，其具体步骤为：
(1) 求出 A 的全部不同的特
其重数分别为 r1, r2 ,, rs
征. 值1,
2
,,
s
,
(2) 对每个i (i 1,2,L求, s)出, 并将其正交化。得到 向量。这样共求出 A
(2) 12 Ln A .
推论：设 A 为 n 阶方阵，则 |A|=0 的充要条 件是数 0 是 A 的特征值。
定理 2 设 是矩阵 A 的一个特征值，对应的特 征向量为x ，且f (x) 是一个关x于 的 多项式 , 则f () 是f ( A) 的一个特征值， 对应的特征向量还是x .
定理 设1,2,L,m是方阵A的m个特征值, p1, p2, 3L, pm依次是与之对应的特征向量.如果1,2,L,m
的Ar1的(ri irE2个的属AL)基x于础i0r解s的个系的正n，正
交
特
征
交特征向量 .
(3) 将以上n 个正交特征向量单位化，由所得正交
单位向量作为列构成正交矩阵 Q ，则
Q1 AQ QT AQ diag1,2 ,L,n
例 1 对下列各实对称矩阵，分别求一正交矩P 阵 使 P 1 AP 为对角阵 .
0 2
,
1 2
2
1 0
,
0
3 1 0 2 . 1 2
1 2
2 4 3 4
于是得正交阵
P
1,2 ,3
1
0 2
1 0
1
0
2
线性代数第五章相似矩阵
3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
4、性质
定理 正交向量组必为线性无关组,但反之则不一定成立. 定理 若向量β与 1 , 2 ,, s 中每个向量都正交，则
β与 1 , 2 ,, s 的任一线性组合也正交.
5、正交基 若正交向量组1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个正交基. 6、标准正交基 若标准正交组 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1 , 2 ,, r 为向量空间Ｖ上的一个标准正交基.
7、施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
1 1 0 令 1 1 , 2 1 0 , 3 2 1 . 1 1 1 1）正交化
1 1 1 1 1 1 1 i , 1 1 ,2 0 , 3 2 . 令 i i 3 2 2 6 1 1 1
(2) 1 2 n a11 a22 ann ;
证明① 当 1 , 2 ,, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2 n
1 2 n
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
【经典线代】线性代数课件第五章§3 相似矩阵
P1AEP
AE.
推论 若 n阶方阵A与对角阵
1
2
n
相 ,则 似 1 ,2 , ,n即 A 的 是 n 个特 . 征
利用对角矩阵计算矩阵多项式
若 A PP B 1,则
k个
Ak PBP1 PBP1 PBP1PBP1PBkP1.
A的多项式
( A ) a 0 A n a 1 A n 1 a n 1 A a n E
对于对角矩阵 ,有
k 1
k
k 2
,
k n
(1)
()
(1)
,
(1)
利用上述结论可以很方便地计算矩阵A
的多项式 (A) .
定理 设 f()是矩 A 的 阵 特征 ,则 f(多 A )O .项
三、利用相似变换将方阵对角化
对n阶方A阵 ,若可找到可 P,使 逆矩阵 P1AP为对,角 这阵 就称为A对 把角 方 . 化 阵 定理4 n阶矩A阵 与对角矩阵 (即A相 能似 对角 ) 化 的充分必要A条 有n个 件线 是性无关的.特征
例3 设
0 0 1 A 1 1 x
1
0
0
问x为何值时，矩阵A能对角化？
解：
AE 1
1
0
1
0
1 x
(1)
1
1
(1)2(1)
得 11,21
由于 A可对角化所以 1二 2 1重 有根 两个
线 性 无 关 的 特 是R 征 (A向 E)量 1 于
所
以 AE11
0 0
1 1 0 1 x~0 0 x1
2 1 2 AE 5 3 3 13
1 0 2
所 A 的 以特 1征 2 值 3 1 为 . 把 1 代 A E x 入 0 ,解之得基础解系 (1,1,1)T,
线性代数第五章 相似矩阵
AX1 1 X1
, AX n 1 X 1 , 2 X 2 , L , n X n
AX 2 2 X 2
L
AX n n X n
由于P X 1 , X 2 ,L , X n 是可逆矩阵， X 1 , X 2 ,L , X n 都不是零向量，它们线性无关。所以， A有n个线性无关的特征向量。证毕
所以kX 2 (k 0)是对应于2 3 1的全部特征向量.
求特征值和特征向量的步骤
(1) 解特征方程 E - A 0, 求得特征值1，2， ，n L (2) 对每一个i，求解方程组
(i E - A) X = 0 的基础解系
基础解系为X i1 , X i 2 ,L , X iri , 则k1 X i1 k2 X i 2 L kri X iri 为A 的属于 特征值 i 的全部特征向量
当1 2时, 解方程(2 E A) X 0
3 1 0 1 行变换 2 E A 4 1 0 0 1 0 0 0
0 1 0
0 0
0
x1 0 x2 0 x c 3
得基础解系:
0 X1 0 , 1
当s 1时，X1 0， 结论成立；
假设s k时结论成立； 当s k 1时， k+1个数l1 , L , lk , lk 1满足 设有
l1 X 1 l2 X 2 L lk X k lk 1 X k 1 0
线性代数第五章(第三节相似矩阵)
1 2 A( p1 p2 pn ) ( p1 p2 pn ) . n
因而
Api = i pi , i = 1, 2, … , n ,
因为 P 为可逆矩阵, 所以 p1 , p2 , … , pn为线性无 关的非零向量, 它们分别是矩阵 A 对应于特征值
1 , 2 , … , n 的特征向量.
充分性 由必要性的证明可见, 如果矩阵 A
有 n 个线性无关的特征向量, 设它们为 p1 , p2 ,
相似矩阵具有下列的性质：下设A，B 是同
阶矩阵. 定理 1 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则 |A - E| = | B - E| , 因而 A 与 B 有相同的特征值, 相同的行列式值.
证明 只需证 A 与 B 有相同的特征多项式即
可. 由于 A与 B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P,使得 P-1AP = B ,
所以 p2 是对应于 2 2 的特征向量.
当
3 3
时, 解方程组
( A 3E ) x 0 ,
即
2 1 0 x1 0 1 1 x2 0, 0 x 0 0 3
解之得基础解系为
1 p3 2 , 2 所以 p3 是对应于 3 3 的特征向量.
注: A与B的特征值相同不能推出A与B相似. 例2
0 1 0 0 A 与B 是否相似? 0 0 0 0 1 0 1 1 与 0 1 0 1
《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答
故， β 3 = ( −
1 3
1 3
1 3
1) T ⇒ γ 3 =
β3 3 = (− 6 β3
3 6
3 3
3 T ) 2
⎛ 3 2 4⎞ ⎜ ⎟ 例 5.3 计算 3 阶矩阵 A＝ 2 0 2 的全部特征值和特征向量. ⎜ ⎟ ⎜ 4 2 3⎟ ⎝ ⎠
n n
f ( x) = xT Ax ，其中 A T = A .
6．熟悉矩阵 A 合同（或相合）于 B 的定义，理解合同关系是等价关系. 7．熟练掌握化二次型 xT Ax 为平方和（标准形）或求实对称矩阵 A 的相合标准形的 3 种方法：正交变换法；配方法；和同型初等行、列变换法. 8．了解惯性定理，会求矩阵 A 的正、负惯性指数和符号差，会求二次型的规范形. 9．熟练掌握正定二次型（正定矩阵）的定义和判别方法. 10．熟悉实对称矩阵 A 正定（二次型正定）的各种等价命题（正定的充要条件）. 11．理解 A 正定的必要条件： a ii > 0( i = 1, 2, L , n ); det( A ) > 0 . 12． 会利用正交变换化二次型为标准型和极坐标平移方法判别一般二次曲线和曲面的类 型.
故 A 是正交矩阵. 例 5.2 已知向量 α 1 = (1,1, 0, 0 ) , α 2 = (1, 01, 0 ) , α 3 = ( − 1, 0, 0,1) 是线性无关向
T T T
量组，求与之等价的正交单位向量组. 解法一 先正交化，再单位化 (1) 取 β 1 =
α1
(2) 令 β 2 = k β 1 + α 2 ，使得 β2 与 β 1 正交
T −1 ∗
5.3 例题分析
例 5.1 设 a 是 n 阶列向量， E 是 n 阶单位矩阵，证明 A = E −
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
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第五章 相似矩阵§1 特征值与特征向量特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。
定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足：(1)AX X λ=。
则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。
例如矩阵1000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取11= 0X ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20=1X ⎛⎫⎪⎝⎭，则有 11=1AX X ⋅，22=0AX X ⋅，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征向量。
（1）式又可以写成 ()0(2)E A X λ-=。
即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有||0 (3)E A λ-=。
（3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。
||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。
对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。
例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。
证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。
两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。
又 2A E =，所以2(1)0X λ-=。
由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。
例2：求矩阵110430102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量。
解：因 2110||430(2)(1)102E A λλλλλλ+--=-=----。
所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。
当2λ=时，310100410010100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，1001η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
故属于2λ=的特征向量为11(0)k k η≠。
当 1λ=时，210101420012101000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，2121η-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭。
故属于1λ=的特征向量为 222(0)k k η≠。
§2 相似矩阵定义2：若n 阶方阵A 和B ，存在一个可逆矩阵P ，使得 1P AP B -=。
则称矩阵A 与B 相似，记为 ~A B 。
对于相似矩阵，有下列性质： 1）任一方阵A ，它与自身相似； 2）若A 与B 相似，则B 与A 相似；3）若A 与B 相似，B 与C 相似，则A 与C 相似；4）A 与B 相似，则 ||||E A E B λλ-=-。
证明：只证4），因A 与B 相似，存在可逆矩阵P ，使得 1P AP B -=。
从而111|||||()|E B P EP P AP P E A P λλλ----=-=-1||||||||P E A P E A λλ-=-=-。
如果方阵A 相似与对角形矩阵，则称A 可以对角化。
并非每个方阵均可以对角化，例如矩阵0100A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对任何2阶可逆矩阵P ，1P AP -均不能为对角形矩阵。
下面给出一般方阵A 相似对角形的条件。
若A 相似对角形，则有 11 (4)n P AP λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记 1(,,)n P X X =，由（4）式可得111(,,)(,,) n n n A X X X X λλ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭即111(,,)(,,)n n n AX AX X X λλ=。
从而 1,2,,i i i AX X i n λ==()。
由定义知i λ为A 的特征值，由P 可逆知i X 为非零向量，且12,,,n X X X 线性无关。
所以它是属于i λ的特征向量。
以上过程可逆，故存在下面定理。
定理1：n 阶方阵A 可以对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
该定理给出了矩阵相似对角形的充分必要条件，但如何找出n 个线性无关的特征向量，则需要下列一些结果。
定理2：方阵A 的属于不同特征值的特征向量线性无关。
证明：设1,,s X X 是分别属于不同特征值1,,s λλ的特征向量，当1s =时，命题成立。
设当s k =时命题成立，则当1s k =+时，设有 11110(5)k k k k l X l X l X +++++=（5）式乘以1k λ+，有11111110 (6)k k k k k k k l X l X l X λλλ++++++++=再对（5）式两边左乘以A ，有1111110 (7)k k k k k k l X l X l X λλλ++++++=（6）-（7）得11111()()0 k k k k k l X l X λλλλ++-++-=。
由归纳假设，1,,s X X 线性无关。
从而 1()0 (1,2,,)i k i l i k λλ+-==。
由于1k i λλ+≠，所以 0 (1,2,,)i l i k ==，代入（5）式，得 10k l +=。
即 11,,k X X + 线性无关，故1s k =+命题成立。
从而定理得证。
推论1：n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 一定可以对角化。
实际计算中，先求出n 阶方阵A 的全部特征值，再找出属于每个特征值的特征向量的极大线性无关组。
可以证明所有这些线性无关向量组所构成的“大”向量组仍然线性无关。
若这个“大”向量组中向量个数等于n ，则A 可以对角化，若向量个数小于n ，则A 不能对角化。
例3：判别下列矩阵是否可以对角化1）211020413A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ ； 2）100011001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
解：1）2211||020(1)(2)413E A λλλλλλ+---=-=+---。
特征值为 11λ=-，22λ=（二重根）。
当 11λ=-时，111101030010414000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，1101η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
当22λ=时，11141144000000411000⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎪⎝⎭，21410η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，31401η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以A 相似于对角形。
取 123(,,)P ηηη=，则有 1122P AP --⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭。
（2）3101||011(1)001E A λλλλλ---=--=-- ， 特征值为 1λ=（三重根）。
当1λ=时，000001001000000000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1100η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1010η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
故A 不能对角化。
例4：已知 111X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪--⎝⎭的一个特征向量。
1）求,a b 和X 对应的特征值λ。
2）问A 能否相似对角形解：1）因X 是A 的属于特征值λ的特征向量，则有2121153111211a b λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
从而 (2)1205()301(2)0a b λλλ---=⎧⎪+--=⎨⎪-+++=⎩ 解得 1,3,0a b λ=-=-=。
2）因 212533102A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭， 3212||533(1)102E A λλλλλ---=-+-=++， 所以特征值1λ=-（三重根）。
又312101523011101000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭基础解系中仅含一个线性无关的向量，故A 不能对角化。
§3 实对称矩阵的对角化上一节提到，并非每个方阵均可以对角化，这一节介绍一类能对角化的矩阵— —实对称矩阵。
记X 表示向量X 中每个分量取其共轭复数所构成的向量，A 为矩阵A 中每个元素取其共轭复数所构成的矩阵，则 AX AX = 。
性质1：实对称矩阵A 的特征值为实数。
证明：因A 是实对称矩阵，所以, A A A A '==。
设λ是A 的特征值，则有向量0X ≠，使得 AX X λ=，且有AX X λ=。
考虑 ()X AX X X X X λλ'''==，另一方面， ()()X AX X A X AX X X X X X λλ''''''====。
∴ ()()X X X X λλ''=。
0X ≠，0X X '>，∴ λλ= 。
即 λ为实数。
性质2：设λ，μ是实对称矩阵A 的两个不同特征值，,X Y 是分别属于λ，μ的特征向量，则X 与Y 正交。
证明： AX X λ=，AY Y μ=（λμ≠）， 考虑 (,)Y AX Y X Y X λλ''==。
又 ()()(,)Y AX Y A X AY X Y X Y X Y X μμμ''''''=====。
从而 ()(,)0 (,)0Y X Y X λμ-=⇒=。
即 X 与Y 正交。
定理3：任一n 阶实对称矩阵A 一定存在正交矩阵Q ，使得11n Q AQ Q AQ λλ-⎛⎫⎪'==⎪ ⎪⎝⎭。
这里1,,n λλ是A 的特征值。
证明：1n =时，命题成立。
设1n -时命题成立。
即对1n -阶实对称矩阵1A 有1n -正交矩阵2Q ，使得1212n Q AQ λλ⎛⎫⎪'=⎪ ⎪⎝⎭。
下面证明在n 时命题也成立。
由性质1，实对称矩阵A 一定存在实的特征值1λ，取1X 是属于1λ的单位特征向量，将1X 扩充成n R 的标准正交基 1,,n X X ，记 11(,,)n Q X X =，则1111*0Q AQ A λ⎛⎫'=⎪⎝⎭。
由A 对称，可得11Q AQ '对称。
从而 111100Q AQ A λ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，1A 仍为(1)n -阶对称矩阵。
由归纳假设存在正交矩阵2Q ，使得 1212n Q AQ λλ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭。
令12100Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 Q 正交，且 1n Q AQ λλ⎛⎫ ⎪'= ⎪⎪⎝⎭。
实际计算中，对每个不同的特征值，求出它们线性无关的特征向量，再进行施密特正交化得到正交向量组。
合并这些单位化了的正交向量组可构成n R 的标准正交基，把标准正交基按列的形式构成的正交矩阵记为Q ，则有1n Q AQ λλ⎛⎫⎪'=⎪ ⎪⎝⎭。
例5：设 400031013A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求正交矩阵P ，使得 1P AP -为对角形。
解：2400||031(4)(2)013E A λλλλλλ--=--=----， 特征值为 12λ= ，24λ=（二重根） 当2λ=时，200100011011011000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，1011η⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭。