线性代数第五章 相似矩阵
线性代数第五章
又因为c1 c 2 即
1 2
0
1 0 2 0
这与1 , 2 互异矛盾，所以假设不成立 即 c1 1 c 2 2 不是 A 的特征向量．
5. 实对称矩阵不相等的特征值所对应的特征向量正交 例 设3阶实对称矩阵 A 的特征值为6,3,3，特征值6对应 的特征向量为 p1
关于实对称矩阵的特征值和特征向量有非常好的 性质，尤其是实对称矩阵正交相似对角阵的过程， 综合考查了求行列式、求解齐次线性方程组、求特 征值和特征向量、正交化及规范化、相似对角化等 内容，加之有二次型的应用背景，非常重要，应熟 练掌握．
典型题目
1. 求方阵的 k 次方
例
2 设A 0 4 1 2 1 1 0 3
A 的 2 重特征值刚好有两个线性无关的特征向量， 所以 A 可以对角化. 即存在可逆的矩阵
1 P ( p1 , p 2 , p 3 ) 0 1 2 1 4 0 0 1 1
使得
1 1 P AP
2
以上就是判断 A 是否可对角化，以及求相似变换 矩阵的过程。这一过程在实对称矩阵和二次型里还 经常用到。
证明 反证法 假设 c1 1 c 2 2 是 A 的特征向量，所对应的特征值为 则有 展开
A ( c1 1 c 2 2 ) ( c1 1 c 2 2 )
Α ( c 1 1 c 2 2 ) c 1 ( Α 1 ) c 2 ( Α 2 ) c 1 1 1 c 2 2 2
det A 1 2 n
1 2 n a11 a 22 a nn
② 设 Ax x ，则有 f ( A ) x f ( ) x 这个式子说明 f ( A ) 的特征值是 f ( ) ，特征向 量不变．
大学线性代数课件相似矩阵及二次型第五章 相似矩阵及二次型
|[, ] | [, ][ , ]
长为 1 的向量称为单位向量.
例1
01，
1
0
2
，
0
1
2
若向量
1
3
x ≠0 ,
则
1 x
x
1 都是3 维单位向量.
3
1
是 单 位 向 量.
3
例 已知
1
2
2
,
3
,
1
1
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
解：
12 22 (1)2 02
1 0 2
所以A的特征值为 1 2,2 3 1
当 1 2解齐次线性方程组 (2E A)x 0 即
3x1 x2 0 4x1 x2 0 x1 0
3 1 0 1 0 0
由
2E
A
4 1
1 0
00
0 0
1 0
0 0
0
得基础解系
p1
10
故对应于 1 2的全体特征向量为 k1 p1(k1 0)
y yT y xT PT Px xT x x
说明经正交变换向量长度保持不变，这是正交变换的优 良特性．
2 方阵的特征值 特征向量
内容分布 一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的性质
基本要求 会求特征值与特征向量
2.1 特征值与特征向量
定义8 设A是n阶方阵，如果数 和n维非零向量x使
量为
k11 k22 kss （k1, ···,ks不同时为0）
例1 求矩阵
A
2 1
解： A的特征方程为
1 2
的特征值和特征向量
2 1
| E A |
线性代数第五章相似矩阵课件1
二、利用正交矩阵将实对称
矩阵
根 据对上角述化结 论的，方利法用 正 交 矩 阵 将 实 对 称 矩 阵 化
为对角矩阵，其具体步骤为：
(1) 求出 A 的全部不同的特
其重数分别为 r1, r2 ,, rs
征. 值1,
2
,,
s
,
(2) 对每个i (i 1,2,L求, s)出, 并将其正交化。得到 向量。这样共求出 A
(2) 12 Ln A .
推论：设 A 为 n 阶方阵，则 |A|=0 的充要条 件是数 0 是 A 的特征值。
定理 2 设 是矩阵 A 的一个特征值，对应的特 征向量为x ，且f (x) 是一个关x于 的 多项式 , 则f () 是f ( A) 的一个特征值， 对应的特征向量还是x .
定理 设1,2,L,m是方阵A的m个特征值, p1, p2, 3L, pm依次是与之对应的特征向量.如果1,2,L,m
的Ar1的(ri irE2个的属AL)基x于础i0r解s的个系的正n，正
交
特
征
交特征向量 .
(3) 将以上n 个正交特征向量单位化，由所得正交
单位向量作为列构成正交矩阵 Q ，则
Q1 AQ QT AQ diag1,2 ,L,n
例 1 对下列各实对称矩阵，分别求一正交矩P 阵 使 P 1 AP 为对角阵 .
0 2
,
1 2
2
1 0
,
0
3 1 0 2 . 1 2
1 2
2 4 3 4
于是得正交阵
P
1,2 ,3
1
0 2
1 0
1
0
2
线性代数相似矩阵
相似矩阵及其性质
方阵的相似对角化
小结
3.1 相似矩阵及其性质
3.1 相似矩阵及其性质
1. 等价关系 (1)反身性 A与A本身相似.
( 2)对称性 若A与B相似, 则B与A相似.
( 3)传递性
若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似. 2. 若 A B ，则 R A R B 证明：A B ，则 P 1 AP B
将 1 2 2代入 A 1 E 0, 得方程组 x1 2 x2 2 x3 0 解之得基础解系 2 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 1 0 , 2 1 . 2x 4x 4x 0 1 1 1 2 3
1 2 2 A 2 2 4 例 判断实矩阵能否化为对角阵？ 2 4 2 解 将 1 2 2代入 A 1 E 0, 得方程组 x1 2 x2 2 x3 0 解之得基础解系 2 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 1 0 , 2 1 . 2x 4x 4x 0 1 1 1 2 3 对3 7,由 A E x 0, 求得基础解系 3 1,2,2T 2 0 1 由于 0 1 2 0, 所以1 , 2 , 3线性无关. 1 1 2 所以矩阵可化为对角阵
定理1 若n阶矩阵A与B相似 则A与B的特征多项式相同 从而A 与B的特征值也相同 推论 若n阶矩阵A与对角矩阵diag(1 2 n)相似 则1 2 n即是A的n个特征值 相似矩阵的作用 若APBP1 则AkPBkP1 A的多项式 (A)P(B)P1 特别 或有可逆矩阵P使P1AP为对角阵 则 AkPkP1 (A)P()P1 其中 kdiag(1k 2k nk) ()diag((1) (2) (n))
第五章 相似矩阵及二次型 线性代数 含答案
第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。
线性代数—相似矩阵
求 a 的值, 并讨论 A 是否可相似对角化.
1 2 3 2 ( 2) 0
解 E A 1 4 3 1
4
3
1 a 5 1 a 5
1 1 0
( 2) 1 4 3 ( 2)(2 8 18 3a) ,
1 a 5
20
E A ( 2)(2 8 18 3a)
P1AP B , 则称A与B 相似,记为 A ~ B .
矩阵的“相似”关系具有以下特性：
(1)反身性：对任何方阵 A，总有 A ~ A (令 P E 即可)；
(2)对称性：若 A ~ B ，则有 B ~ A ；
证 P 1 AP B A PBP1 ( P 1 )1 BP 1 . (3)传递性：若 A ~ B ,且 B ~ C ,则有 A ~ C .
Pn P 1
1 2
11
11
3 0
01100
1 1
11
1 2
1 1
11
3100 0
10 11
11
1 2
3100 3100
1 1
3100 3100
11
.
25
EN D
26
1 P 1 AP
1
.
0 1 3
2 16
例4
4 判断矩阵 A 2
2 0
1 1
能否对角化，若能，
1
1
0
求可逆阵P，使 P1 AP 为对角阵.
c1 c2
4 2 1 解 E A 2 1 ( 2)2 ,
1 1
2 2 1 2 2 1
对
1
2
，2E
A
2
2
1 0 0 1 ,
推论2 相似矩阵的迹相等；
线性代数第五章答案
l1b1l2b2 lnrbnr0 与b1 b2 bnt线性无关相矛盾
因此 0 是A的也是B的关于0的特征向量 所以A与B有公共的特征值 有 公共的特征向量
8 设A23A2EO 证明A的特征值只能取1或2 证明 设是A的任意一个特征值 x是A的对应于的特征向量 则
(A23A2E)x2x3x2x(232)x0 因为x0 所以2320 即是方程2320的根 也就是说1或2
9 设A为正交阵 且|A|1 证明1是A的特征值 证明 因为A为正交矩阵 所以A的特征值为1或1 （需要说明） 因为|A|等于所有特征值之积 又|A|1 所以必有奇数个特征值为1 即1 是A的特征值
10 设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值 证明也是n阶矩阵BA的特征值 证明 设x是AB的对应于0的特征向量 则有
(AB)xx 于是 B(AB)xB(x) 或 BA(B x)(Bx) 从而是BA的特征值 且Bx是BA的对应于的特征向量
11 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A35A27A| 解 令()3527 则(1)3 (2)2 (3)3是(A)的特征值 故
|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)32318
12 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A*3A2E| 解 因为|A|12(3)60 所以A可逆 故
A*|A|A16A1 A*3A2E6A13A2E 令()6132 则(1)1 (2)5 (3)5是(A)的特征值 故 |A*3A2E||6A13A2E||(A)|
6 设A为n阶矩阵 证明AT与A的特征值相同 证明 因为
线性代数课件第5章相似矩阵
（3）可以证明，对应于 A的每一个 若正好有 ki个线性无关的特征向量,即
k重i 特征值
R( A i E)
i
n
ki
则 A必有 n 个线性无关的特征向量，从而一定可以
对角化． 15
例8 判断下列矩阵是否可以对角化？若可以 对角化,求可逆矩阵使之对角化．
1 0 0
1
(1)
A
2
0 3
,
(2)B
2
x3 1
的全部特征向量为
0 ，1 0
1
2 0
得同解方程组
x1 x2
x3 2 x3
x3 x3
(c1 R) 所以对应于特征值 1 2 1
c11 c1 1 2 2T (c1 0)
7
对于特征值
. ，解方程 (A 2E)x 由0
3 1 0 1 0 0
A
2E
4
1
0
0
1
0
1 0 0 0 0 0
得同解方程组
x1 x2
0 0
故得通解
x3 x3
x1 0
x2
c2
0
x3 1
对应于特征值 3 2 的全部特征向量为
0
c2 2
0
(c2
0)
1
(c2 R)
8
5.1.2 特征值的性质
n 性质1 若 阶方阵 A (ai j ) 的全部特征值为 1, 2, , n （ k 重特征值算作 k 个特征值）则：
1
5.1 方阵的特征值与特征向量
5.1.1 方阵的特征值与特征向量
定义1 设 A (ai j ) 是一个 n 阶方阵,如果存在数 及
x1
n
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第五章 相似矩阵§1 特征值和特征向量特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都和特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的使用。
定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足：(1)AX X λ=。
则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。
例如矩阵1000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取11= 0X ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20=1X ⎛⎫⎪⎝⎭，则有 11=1AX X ⋅，22=0AX X ⋅，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征向量。
（1）式又可以写成 ()0(2)E A X λ-=。
即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有||0 (3)E A λ-=。
（3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。
||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。
对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。
例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。
证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。
两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。
又 2A E =，所以2(1)0X λ-=。
由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。
例2：求矩阵110430102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值和特征向量。
解：因 2110||430(2)(1)102E A λλλλλλ+--=-=----。
所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。
当2λ=时，310100410010100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，1001η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
故属于2λ=的特征向量为11(0)k k η≠。
当 1λ=时，210101420012101000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，2121η-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭。
故属于1λ=的特征向量为 222(0)k k η≠。
§2 相似矩阵定义2：若n 阶方阵A 和B ，存在一个可逆矩阵P ，使得 1P AP B -=。
则称矩阵A 和B 相似，记为 ~A B 。
对于相似矩阵，有下列性质： 1）任一方阵A ，它和自身相似； 2）若A 和B 相似，则B 和A 相似；3）若A 和B 相似，B 和C 相似，则A 和C 相似；4）A 和B 相似，则 ||||E A E B λλ-=-。
证明：只证4），因A 和B 相似，存在可逆矩阵P ，使得 1P AP B -=。
从而111|||||()|E B P EP P AP P E A P λλλ----=-=- 1||||||||P E A P E A λλ-=-=-。
如果方阵A 相似和对角形矩阵，则称A 可以对角化。
并非每个方阵均可以对角化，例如矩阵0100A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对任何2阶可逆矩阵P ，1P AP -均不能为对角形矩阵。
下面给出一般方阵A 相似对角形的条件。
若A 相似对角形，则有 11 (4)n P AP λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记 1(,,)n P X X =，由（4）式可得111(,,)(,,) n n n A X X X X λλ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭即111(,,)(,,)n n n AX AX X X λλ=。
从而 1,2,,i i i A X X i n λ==()。
由定义知i λ为A 的特征值，由P 可逆知i X 为非零向量，且12,,,n X X X 线性无关。
所以它是属于i λ的特征向量。
以上过程可逆，故存在下面定理。
定理1：n 阶方阵A 可以对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
该定理给出了矩阵相似对角形的充分必要条件，但如何找出n 个线性无关的特征向量，则需要下列一些结果。
定理2：方阵A 的属于不同特征值的特征向量线性无关。
证明：设1,,s X X 是分别属于不同特征值1,,s λλ的特征向量，当1s =时，命题成立。
设当s k =时命题成立，则当1s k =+时，设有 11110 (5)k k k k l X l X lX +++++= （5）式乘以1k λ+，有11111110 (6)k k k k k k k l X l X l X λλλ++++++++=再对（5）式两边左乘以A ，有1111110 (7)k k k k k k l X l X l X λλλ++++++=（6）-（7）得11111()()0 k k k k k l X l X λλλλ++-++-=。
由归纳假设，1,,s X X 线性无关。
从而 1()0 (1,2,,)i k i l i k λλ+-==。
由于1k i λλ+≠，所以 0 (1,2,,)i l i k ==，代入（5）式，得 10k l +=。
即 11,,k X X + 线性无关，故1s k =+命题成立。
从而定理得证。
推论1：n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 一定可以对角化。
实际计算中，先求出n 阶方阵A 的全部特征值，再找出属于每个特征值的特征向量的极大线性无关组。
可以证明所有这些线性无关向量组所构成的“大”向量组仍然线性无关。
若这个“大”向量组中向量个数等于n ，则A 可以对角化，若向量个数小于n ，则A 不能对角化。
例3：判别下列矩阵是否可以对角化1）211020413A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ ； 2）100011001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
解：1）2211||020(1)(2)413E A λλλλλλ+---=-=+---。
特征值为 11λ=-，22λ=（二重根）。
当 11λ=-时，111101030010414000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，1101η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
当22λ=时，11141144000000411000⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎪⎝⎭，21410η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，31401η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以A 相似于对角形。
取 123(,,)P ηηη=，则有 1122P AP --⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭。
（2）3101||011(1)001E A λλλλλ---=--=-- ， 特征值为 1λ=（三重根）。
当1λ=时，000001001000000000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1100η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1010η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
故A 不能对角化。
例4：已知 111X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪--⎝⎭的一个特征向量。
1）求,a b 和X 对应的特征值λ。
2）问A 能否相似对角形解：1）因X 是A 的属于特征值λ的特征向量，则有2121153111211a b λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
从而 (2)1205()301(2)0a b λλλ---=⎧⎪+--=⎨⎪-+++=⎩ 解得 1,3,0a b λ=-=-=。
2）因 212533102A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭， 3212||533(1)102E A λλλλλ---=-+-=++， 所以特征值1λ=-（三重根）。
又312101523011101000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭基础解系中仅含一个线性无关的向量，故A 不能对角化。
§3 实对称矩阵的对角化上一节提到，并非每个方阵均可以对角化，这一节介绍一类能对角化的矩阵— —实对称矩阵。
记X 表示向量X 中每个分量取其共轭复数所构成的向量，A 为矩阵A 中每个元素取其共轭复数所构成的矩阵，则 AX AX = 。
性质1：实对称矩阵A 的特征值为实数。
证明：因A 是实对称矩阵，所以, A A A A '==。
设λ是A 的特征值，则有向量0X ≠，使得 AX X λ=，且有AX X λ=。
考虑 ()X AX X X X X λλ'''==，另一方面， ()()X AX X A X AX X X X X X λλ''''''====。
∴ ()()X X X X λλ''=。
0X ≠，0X X '>，∴ λλ= 。
即 λ为实数。
性质2：设λ，μ是实对称矩阵A 的两个不同特征值，,X Y 是分别属于λ，μ的特征向量，则X 和Y 正交。
证明： AX X λ=，AY Y μ=（λμ≠）， 考虑 (,)Y AX Y X Y X λλ''==。
又 ()()(,)Y AX Y A X AY X Y X Y X Y X μμμ''''''=====。
从而 ()(,)0 (,)0Y X Y X λμ-=⇒=。
即 X 和Y 正交。
定理3：任一n 阶实对称矩阵A 一定存在正交矩阵Q ，使得11n Q AQ Q AQ λλ-⎛⎫⎪'==⎪ ⎪⎝⎭。
这里1,,n λλ是A 的特征值。
证明：1n =时，命题成立。
设1n -时命题成立。
即对1n -阶实对称矩阵1A 有1n -正交矩阵2Q ，使得1212n Q AQ λλ⎛⎫⎪'=⎪ ⎪⎝⎭。
下面证明在n 时命题也成立。
由性质1，实对称矩阵A 一定存在实的特征值1λ，取1X 是属于1λ的单位特征向量，将1X 扩充成n R 的标准正交基 1,,n X X ，记 11(,,)n Q X X =，则1111*0Q AQ A λ⎛⎫'=⎪⎝⎭。
由A 对称，可得11Q AQ '对称。
从而 111100Q AQ A λ⎛⎫'=⎪⎝⎭，1A 仍为(1)n -阶对称矩阵。
由归纳假设存在正交矩阵2Q ，使得 1212n Q AQ λλ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭。
令12100Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 Q 正交，且 1n Q AQ λλ⎛⎫ ⎪'= ⎪⎪⎝⎭。
实际计算中，对每个不同的特征值，求出它们线性无关的特征向量，再进行施密特正交化得到正交向量组。
合并这些单位化了的正交向量组可构成n R 的标准正交基，把标准正交基按列的形式构成的正交矩阵记为Q ，则有1n Q AQ λλ⎛⎫⎪'=⎪ ⎪⎝⎭。
例5：设 400031013A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求正交矩阵P ，使得 1P AP -为对角形。
解：2400||031(4)(2)013E A λλλλλλ--=--=----， 特征值为 12λ= ，24λ=（二重根） 当2λ=时，200100011011011000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，1011η⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭。