矩阵的相似对角形
矩阵相似于对角矩阵的条件
矩阵相似于对角矩阵的条件
1、对角矩阵：
对角矩阵是指矩阵的非零元素只存在主对角线上，根据主对角线类型的不同，还可以将对角矩阵分为两大类：单位对角矩阵和非单位对角矩阵。
单位对角矩阵非零元素全为1；而非单位对角矩阵的非零元素有不同的系数。
2、相似于对角矩阵的条件：
一个矩阵相似于对角矩阵，就必须满足三个要素：首先，矩阵中每一行和每一列的非零元素只有一个；其次，每一行和每一列上不同的非零元素的值必须不相等；最后，每一行和每一列的不同的非零元素的位置一定是主对角线上的相邻位置，例如，第一行第一列的非零元素，只能是矩阵的第一行第二列的非零元素的相邻位置，或者是第二行第一列的非零元素的相邻位置。
3、相似于对角矩阵的例子：
一个 3×3 的矩阵：
3 4 0
5 0 8
0 9 7
此时，第一行和第一列上都只有一个非零元素 3，而在主对角线上非零元素有两个 4 和 7，并且都是相邻的位置在第一行第二列和第二行第一列，所以这个矩阵就不相似于对角矩阵。
再比如如下矩阵：
1 6 0
4 0 5
0 3 7
第一行和第一列同样只有一个非零元素 1，且主对角线上非零元素有 6 和 7，这两个非零元素在第一行第二列和第二行第一列互为相邻，这个矩阵就相似于对角矩阵。
矩阵相似对角化
矩阵相似对角化
矩阵的相似对角化，是一种基变换，或者说是坐标系变换，本质上是将线性变换在原坐标系（标准坐标系）中的表示变换为在新的坐标系下的表示，而这个新的坐标系刚好是由线性变换的一组线性无关的特征向量作为基建立的。
在n维空间中的n个线性无关的向量张成了这个n维空间，它们是这个n维空间的一组基底。
一般地，二维空间，我们用i和j两个单位正交基来建立坐标系表示，也就是我们的x轴和y轴。
同样的道理，我们也可以用任意一组基底建立坐标系描述，将原来的坐标系下的一个或者一组向量变换到新基底下的表示方式，就是基变换。
对于一组原空间下的向量（或者说一个变换），我们如何将其转化为用新的一组基底表示呢？
考虑原坐标系（标准坐标系）下的一线性变换A，以基底P建立的新坐标系下有一向量X，X各个维度的值是基底P中各个基底向量方向的坐标，P中的各个基底还是原坐标系（标准坐标系）下的表示方式，那么X在原坐标系下的表示自然就是PX，X在原坐标系下线性变换后得到的结果自然就是APX。
我们既然将新坐标系下的某个向量左乘基底P得到原坐标系下的向量，那么再左乘一个P-1，就可以变换回新坐标系。
因此，P-1APX 就是X经过原坐标系下的线性变换A后在新坐标系下得到的向量。
换个角度看，P-1AP就是原坐标系下的线性变换A在新坐标系下的表示。
一般矩阵的相似对角形
0 1 0
P
(1,2
,3 )
1
0
1 ,
2 1 0
1 0 0
P1
AP
0
2
0 .
0 0 3
矩阵相似对角化的步骤：
(i)求出A的所有特征值1,2,, n， 若1,2,, n互异，则A与对角阵相似； 若1,2,, n中互异的为1,2,, m, 每个i的重数 为ri，当r( A iE) n ri时(i 1,2,, m),
设为k重特征值，只要r( A E) n k, 则 ( A E) X O就有k个线性无关的解向量，即A有k个线
性无关的特征向量。
定 理 2：设A的相异特征值为1，2，，m, 其重数分别为
m
r1, r2 ,, rm , ri n, 则 A ~ r( A iE) n ri.
i 1
2
APi iPi, i 1,2,, n.
n
（Pi是否为特征向量？）
(1P1,2P2,, nPn)
P 0 P1, P2,, Pn为非零向量。（且线性无关。）
1, 2,, n是特征值 P1, P2,, Pn是特征向量。
反之设1,2,, n是A的特征值, 对应的特征向量为
P1, P2,, Pn.
练习
2 0 0
A 1 3 1能否与对角阵相似?
1 0 1
1 1,2 2, 3 3 A ~
1 1 1
B
2
4
2
能否与对角阵相似？
1
2
2, 3
6.
3 3 5
当 1 2 2 时
1 1 1 1 1 1
B
2E
2
3
2 3
2
0
3 0
矩阵的相似性与对角化
矩阵的相似性与对⾓化概要介绍相似矩阵、对⾓化以及⼀⼤堆性质.相似矩阵的定义从⼀节中，我们了解到每⼀个可逆矩阵都是⼀个可变换基的矩阵，每⼀个可变换基的矩阵也都是可逆的. 设 B 是向量空间V的⼀组基，T是V上的⼀个线性变换，A=B[T]B, 则T的所有基表⽰的集合是{B1[I]B⋅B[T]B⋅B[I]B1:B1is a basis of V}={S−1AS:S∈M n(F)is invertible}这恰是所有与A的相似的矩阵的集合，说明了相似矩阵正好就是单个线性变换的不同的基表⽰. 于是研究相似性可以看成是研究线性变换固有的性质或者是它们所有的基表⽰共有的性质。
与任何等价关系类似，相似性将集合M n分划成不相交的等价类。
每个等价类是M n中⼀个给定矩阵（这个类的⼀个代表元）相似的所有矩阵组成之集合。
⼀个等价类中所有的矩阵是相似的，不同等价类中的矩阵是不相似的，关键的结论是处于⼀个相似类中的矩阵共同享有许多重要的性质。
相似矩阵的性质相似矩阵有相同的特征多项式 **证明**：计算 \\begin{align\*} p\_B(t)&=\mathrm{det}(tI-B)=\mathrm{det}(tS^{-1}S-S^{-1}AS)=\mathrm{det}(S^{-1}(tI-A)S) \\\\ &=\mathrm{det}\\,S^{-1} \mathrm{det}(tI-A) \mathrm{det}S=( \mathrm{det}\\,S)^{-1}(\mathrm{det}\\,S) \mathrm{det}(tI-A)=\mathrm{det}(tI-A)=p\_{A}(t) \\end{align\*} 基于此有个简单的推论，对相似性来说，有相同的特征值是⼀个必要但⾮充分的条件，⽐如01 00与0000有相同的特征值但不相似。
### 对⾓矩阵的相似性由于对⾓矩阵特别简单且有很好的性质，我们乐于知道何种矩阵与对⾓矩阵相似. **证明**：假设k<n, 且="" n="" 元向量=""x(1)="",=""⋯="",x(k)="" 是线性⽆关的，⼜对每个="" i="1,"⋯,=""k="" 有="" ax(i)="λi x(i)." 设="" λ="diag(λ1,"λk),=""s1=""x(1)=""⋯=""x(k)="",="" 并选取任意⼀个="" s2=""∈=""m n,="" 使得="" s=""s1s2="" 是⾮奇异的.="" 计算="" \\begin{align\*}="" s^{-1}as="" &="S^{-1}"=""ax(1)⋯ax(k)as_2="S^{-1}" \lambda\_1="" x^{(1)}&\cdots&\lambda\_k="" x^{(k)}&as\_2\end{bmatrix}="" \\\\="" s^{-1}="" &s^{-1}as\_2\end{bmatrix}=""e_1=""⋯λ_k=""e_k=""s−1as_2="" \lambda="" c="" 0="" d="" \end{bmatrix},\quad="" \end{bmatrix}="S^{-1}AS\_2" \\end{align\*}="" 反过来，如果="" s="" 是⾮奇异的，s−1as=""且我们给分划=""s1s2,="" 其中="" m_{n,k},=""那么=""s_1=""的列就是线性⽆关的，且=""=""as1as2="AS=S"s1λ=""s1c+s2=""d.=""于是，as_1="S_1\Lambda,"所以=""的每⼀列都是=""a=""的特征向量。
线性代数 第5.2节 矩阵相似对角化
2 2 得基础解系 p1 1 , p2 0 . 0 1 当 3 7 时，齐次线性方程组为 A 7 E X 0 1 8 2 2 1 0 2 2 5 4 0 1 1 A 7E 0 0 0 2 4 5
求矩阵 A.
22
解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 A 是3 阶方阵。
因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 P 1 AP
1 1 1 其中 P 1 0 2 , 1 1 1
求得 P 1
1 3 1 2 1 6 1 3 0 1 3
A 可以对角化。
当 1 1 时， 齐次线性方程组为
A Ex 0
5 5 1 1 系数矩阵 A E 2 2 0 0
x1 x2
1 令 x2 1 得基础解系: p1 1
25
当
2 2 时， 齐次线性方程组为 A 2 E x 0 2 5 2 5 系数矩阵 A 2 E 2 5 0 0
x1 2 x2
2 得基础解系 p1 1 , 0
0 0. p2 1
当 3 2 时，齐次线性方程组为 A 2 E X 0
6 A 2 E 3 3 6 3 6 0 1 0 0 3 0 0 1 0 1 1 0
可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 1. 由特征值、特征向量反求矩阵 例3：已知方阵 A 的特征值是
1 0, 2 1, 3 3, 1 1 1 1 , 0 , 2 , 相应的特征向量是 1 2 3 1 1 1
线性代数-矩阵的相似对角化
即 y1 0.9 z1 0.1
0.2 0.8
y0 z0
,
矩 阵
第 k 年末城乡人口为
yk zk
0.9 0.1
0.2 0.8
yk 1 zk 1
,
即
yk zk
0.9 0.1
0.2 0.8
k
y0 z0
,
记 A 0.9 0.1
0.2 , 0.8
则有
yk zk
Ak
y0 z0
,
相
其重数分别为 s1, s2 , , sr ;
似 矩
(2) 对每一个特征值 i , 求矩阵 A 特征向量，
阵
并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为 ti ;
(3) 若 ti si , 则 A 不能相似对角化；
(4) 若 ti si (i 1, 2, , r), 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P， 从而有 P 1 AP Λ;
有
y0 z0
a
X1
b
X
2
,
X2
1 3
1 , 1
(线性无关)
故第 k 年末城乡人口为
yk zk
Ak
y0 z0
a Ak X1 b Ak X2
ak1 X1 bk2 X2 a X1 b(0.7)k X 2 ,
y z
a
X
1
1 2a , 3a
y : z 2 :1.
25
§5.2 矩阵的相似对角化
13
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
例
试将矩阵
A
a
a
1
相似对角化。
章
a
相 解 令 | I A| 0 , 得 A 的特征值为 1 a , (三重根)
矩阵论-第八讲
D k ( ) , k 2,3, , n, 称为A( )的不变因式。 Dk 1 ( ) 把所有次数大于零的不变因式分解为互不相同的一次因式的幂的乘积， 这些一次因式的幂称为初级因子。
设n阶矩阵A的全部初级因子为： ( 1)k1 , ( 2)k 2 ,, ( s )k s 则每个初级因子( i )k i 对应一个约当块矩阵： i 0 Ji 0 0 0 1 0 i 1 0 i 0 0 0 0 i 1 0 , 或 J i 0 0 1 0 i 0 0 i 0 1 i 0 0 1 0 0 0 i
第八讲
矩阵的相似对角形 矩阵的约当标准形
一、矩阵的相似对角形 定理：设A是复数域C上的n×n矩阵，则A与对角 形矩阵相似的充要条件是，A有n个线性无关的特 征向量。 定理：若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A与对 角形矩阵相似 。
例： 1 0 （ 1 ） 0 2 2 0 3 1 2 3 （ 2 ） 3 2 2 1 2 2 2 0 2 （ 3 ） 1 0 -1 0 -1 2 4 4
二、矩阵的约当标准形
定义：n阶矩阵A的特征矩阵A( ) I A中所有非零的 k阶子式的首项（最高次项）系数为1的最大公因式 Dk ( )称为A( )的一个k阶行列式因子。 D n ( ) I A , Dk 1 ( )能整除 Dk ( )，k 2,3, , n 定义： d 1 ( ) D1 ( ), d k ( )
由约当块构成的分块对角矩阵： J1 J J2 J s 称为约当标准形矩阵。 定理：每个复数方阵A都相似于一个约当标准形矩阵。
例： 1 0 2 0 - 1 1 0 - 2 3 - 1 - 2 0 0 - 1 1 0
相似矩阵对角化问题
相似矩阵对角化问题
相似矩阵对角化问题是一个重要的线性代数问题，涉及到矩阵的特征值和特征向量。
如果一个矩阵A可以被相似对角化，即存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP是对角矩阵，那么矩阵A就被称为可对角化的。
可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
具体来说，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=∧是对角矩阵，其中∧是对角线上为A的特征值的对角矩阵。
因此，A的相似对角化可以通过求解特征值和特征向量来实现。
此外，如果矩阵A的n个特征值互不相等，那么A一定可对角化。
这是因为如果特征值互不相等，那么对应的特征向量一定线性无关，从而满足可对角化的条件。
因此，对于一个给定的矩阵A，我们可以通过求解特征值和特征向量来判断其是否可对角化，并进一步通过相似对角化来简化矩阵的表示和计算。
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推论：
n阶矩阵A的相异特征值为1，2，，m ,i1,i2 ,,iri
m
是特征值i所对应的线性无关的特征向量，则 ri个特征
i 1
向量11,12 ,,1r1 ,21,22 ,,2r2，，m1,m2 ,,mrm
线性无关。
性质2：相似矩阵有相同的特征值。
证明矩阵 有相同特
A ~ B A E B E
矩阵的相似对角形
矩阵的特征值与特征向量
一、相似矩阵：
1.定义1：设A与B都是n阶矩阵，若存在一个n阶可逆阵P，使
B P1AP，则称矩阵A与B相似，记作 A~B
可逆阵P称为相似变换矩阵。
(1) 相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。
(2) A~B AB,反之不对。
相似与等价的关系
2.相似矩阵的简单性质：
量只有一个。
其全部特征向量为 k1(k 0).
对3 2,
3
B 2E 4
1 1
0 0
1 4
0 1
0 0
1 0
0 1
0
0
1 0 0 1 0 0 3 1 0 0 1 0
0
1
0
x1 0, x2 0, x3任意； 3 (0，0，1)T
0
0
0
其全部特征向量为 k3(k 0).
征值的方法
注：属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于 这一特征值 的特征向量；但属于不同特征值的特征向量的 非零线性组合一般就不 是特征向量了。
A E
0
满足 A E 0的数为特征值；
方程组( A E) X O的非零解为特征向量。(或基础解系)
例1：求矩阵的特
1
征 值与特征向量。A 2
解：
2
1 2
2 2 2 4 4 2
2
1 1 0 B 4 3 0
1 0 2
A E 2 2 4
2
4 2
(1 )(2 )2 16 16 4(2 ) 16(1 ) 4(2 )
(2) A与对角阵相似时，可逆阵 P及对角阵怎样求？
二、矩阵的特征值与特征向量：
1.定义2：设A是n阶矩阵，为一个数，若存在非零向量，
使A ，则称数为矩阵A的特征值，非零向
量为矩阵A的对应于特征值的特征向量。
特征向量为非零向量！
2.矩阵的特征值与特征向量的求法：
A ( A E) O
是方程组( A E)X O的非零解
2 4
1 0
2 0
2
0
x1
2 x2
2x3
2 4 4 0 0 0
1 (2,1,0)T ,2 (2,0,1)T
为属于特征值2的线性无关的特征向量；其全部特征向量为
k11 k22（, k1, k2不全为零）。
同理可求3 7的特征向量为3 (1，2， 2)T .
其全部特征向量为 k3(k 0).
(1 )(4 4 2) 24 32
3 32 24 28
经试根知，2是一个根。故
上式 ( 2)(2 5 14) ( 2)( 7)( 2)
1 2 2, 3 7 （这就是特征值。）
（下面求特征向量。）
对1 2 2, (解( A 2E) X O)
1 2 A 2E 2 4
求特征值与特征向量的步骤：
1.解 A E 0求出的值；即得到特征值；
2.对每一个 ，求方程组 ( A E) X O的基础解系；即得到属 于这个
特征值的线性无关的特 征向量。
1 1 0
B 4
3
0
1 2 1, 3 2
线性无关 的特征向
1
对1 2
0 2 1, 1 (1,2,1)T
5 EX : C 1
1 5
3 3,
r(C
)
2,
求a及C的特征值与特征向量。
3 3 a
3.特征值的求法公式：设为A的特征值，则
(i) k为kA的特征值； (ii) m为Am的特征值；
非常重要的公 式，一定要背过。
(iii) f ( )为f (A)的特征值；
(iv)
(v)
A为1为AA的1特的征特值征；值；A可逆。
(vi) 为AT的特征值.
4.特征值与矩阵的关系公式：1, 2 ,, n是A的特征值，则
(i) 12 n A;
在求行列式时特别有用。
(ii) 1 2 n a11 a22 ann .
证明详见课本。
例1：设三阶方阵A的特征值为1， 2， 3，求 A及A1，A，
A2 2A E的特征值。 A 6
A1的特征值: 1, 1 , 1 ; A的特征值 : 6,3,2;
23
A2 2 A E的特征值 : 4,1,4.
(4,2,5)
例2：设三阶方阵A的特征值为1，1，2，求 A 3E . 40
三、特征值与特征向量的性质：
性质1：n阶矩阵A的相异特征值1，2，，m所对应的 特征向量1, 2 ,, m线性无关。
(i) A ~ B r( A) r(B)
(ii) A ~ B A B
(iii) ~ B A与B同时可逆或同时不可逆，且当可逆时A1 ~ B1
(iv) A ~ B f ( A) ~ f (B), f (x) amxm am1xm1 a1 x a0
问题：
(1) A满足什么条件时能与对 角阵相似？