矩阵的相似变换
相似变换矩阵
相似变换矩阵相似变换矩阵是指两个基向量组在空间内所表示的二维或多维矢量之间的一种变换，即将一组基向量映射到另一组基向量的变换。
它的一般矩阵形式表示为A=SDT，其中S是一个n乘n的对角正交变换，D是一个不变的n乘n的正定矩阵，T是n乘n的正交矩阵。
一、定义1、相似变换矩阵是指一种从基向量空间向原始空间的线性变换，它把一组基向量映射到另一组基向量，称为相似变换矩阵。
2、它的矩阵形式表示为A=SDT，S是一个对角正交变换，D是一个不变的正定矩阵，T是一个正交矩阵。
二、特点1、相似变换矩阵可以进行圆锥剪裁变换，表示出将原空间的单位向量映射到投影空间的单位向量；2、它可以表示出空间中某一点由点A变换到点B的映射；3、它可以改变空间中的几何图形的形状或大小；4、它可以改变空间中的点的坐标；5、它可以改变空间矩阵中的一部分元素，而影响行列式的值；6、它还可以表示空间中一个方向向量从一点经过变换后在另一点的变换矩阵。
三、应用1、相似变换矩阵可以用来描述投影变换、旋转变换、拉伸变换等变换；2、它可以用于计算图形变换，包括缩放、旋转、平移、膨胀、板块变换/平面变换等；3、在计算机图形学中，可以利用它来变换几何图元的坐标；4、在数字图像处理中，也可以利用它来实现图像的缩放、旋转及镜像等操作；5、在非线性控制算法研究中，可以利用它实现控制器空间中的各种变换；6、在天文学中，可用它描述宇宙学中的物理量的变换；7、在量子力学中，可以利用它来描述量子系统的运动。
四、总结相似变换矩阵是一种将一组基向量映射到另一组基向量的线性变换。
它的矩阵形式表示为A=SDT，其中S是一个n乘n的对角正交变换，D是一个不变的n乘n 的正定矩阵，T是n乘n的正交矩阵。
它可以用于各种类型的图形变换、数字图像处理等操作，也可用于非线性控制算法等研究方面。
第6章 矩阵的相似变换
6 3 6 A= 6 3 6 −6 −6 −9
2
求特征值 A − λ E = − ( λ − 3 )( λ + 3 ) = 0
λ1 = λ2 = −3, λ3 = 3.
第2步 求线性无关的特征向量， 即求 ( A − λi E ) x = 0 的基础解系
λ1 = λ2 = −3,
⇔ Api = λi pi ( i = 1,L , n)
说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量， 就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它 拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。
-19-
定理 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线 性无关的特征向量。 推论 n 阶矩阵 A 如有 n 个不同的特征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。
Ap = λ p
特征值 λ 的特征向量。 把(1)改写为
(1)
则称λ 为A的特征值, 非零向量p称为A的对应于(或属于)
( A− λE) p = 0
⇔ A− λE = 0
(2)
λ 是A的特征值 ⇔ λ 使得 ( A − λ E ) x = 0 有非零解
( A − λ E ) x = 0 的所有非零解向量都是对应于 λ 的特征向量.
µ2
的特征值 O µn
解: 特征多项式
µ1 − λ A− λE = µ2 − λ O
对角阵的特征值 就是对角线元素
µn − λ
= ( µ1 − λ )( µ2 − λ ) L ( µn − λ ) = ( −1)n ( λ − µ1 )( λ − µ2 ) L ( λ − µn )
x1 = − x3 同解方程组为 ，令 x3 = 1, 得基础解系 x2 = x3 −1 基础解系的个数与 p3 = 1 特征值重数相等 1
线性代数中矩阵的相似变换及其应用
线性代数中矩阵的相似变换及其应用线性代数是一门研究线性空间及其上的线性变换的数学分支。
在这门学科中，矩阵是一个极为重要的概念，因为它可以将线性变换转化为更加容易处理的代数形式。
而其中的一种基本操作——矩阵相似变换，更是在许多领域都得到了广泛的应用。
一、矩阵相似变换矩阵相似变换在线性代数中是一个非常重要的概念，因为它可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和特征，也方便了我们进行矩阵的运算和求解。
矩阵相似变换指的是对一个矩阵A进行"相似变换"之后得到另一个矩阵B的过程，其中相似变换指的是将矩阵A按照特定的方式变换之后得到的矩阵B，即B=PAP^(-1)。
其中，P是一个可逆矩阵，也就是说，矩阵A和B具有相同的特征值和特征向量。
矩阵相似变换有如下的性质：1. 若A和B相似，则它们的特征值和特征向量相同。
2. 若A相似于B，B相似于C，则A相似于C。
3. 若A相似于B，则A^k相似于B^k，Aⁿ相似于Bⁿ。
4. 若A与B相似，则它们的行列式和迹相同。
5. 若A和B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B。
二、矩阵相似变换的应用1. 矩阵对角化矩阵对角化是指将某个矩阵转化为对角矩阵的过程，这个过程通常是通过矩阵相似变换来实现的。
对角化之后的矩阵易于计算，也便于我们理解矩阵的特征和性质。
2. 特征值和特征向量的求解矩阵相似变换可以将一个矩阵转化为与之相似的矩阵B，使得B具有与A相同的特征值和特征向量。
因此，通过矩阵相似变换，我们可以方便地求解一个矩阵的特征值和特征向量。
3. 线性微分方程组的求解在求解线性微分方程组时，矩阵相似变换可以将矩阵转化为对角矩阵，使得求解过程更加简单明了。
因此，线性微分方程组的求解中矩阵相似变换得到了广泛的应用。
4. 特征空间的求解特征空间指的是某一矩阵的所有特征向量张成的空间。
通过矩阵相似变换，我们可以方便地求解出一个矩阵的特征向量，从而得到它的特征空间，进而解决许多实际问题。
r语言做矩阵的相似变化
r语言做矩阵的相似变化矩阵的相似变换在数据分析和机器学习中起着重要的作用。
在R语言中，我们可以使用一些函数和算法来实现矩阵的相似变换，以便对数据进行降维、特征提取或聚类分析等操作。
我们需要了解矩阵相似变换的概念。
矩阵相似变换是指通过线性变换将一个矩阵转换成与之相似的另一个矩阵的过程。
相似矩阵具有相同的特征值，但特征向量可能不同。
在R语言中，我们可以使用`eigen`函数来计算矩阵的特征值和特征向量。
接下来，我们可以使用特征向量来进行矩阵的相似变换。
假设我们有一个矩阵A，其特征向量矩阵为V，特征值矩阵为D。
那么，矩阵相似变换可以表示为AV = VD。
在R语言中，我们可以使用`eigen`函数来计算矩阵的特征向量和特征值，然后使用这些特征向量和特征值进行相似变换。
除了使用特征向量进行矩阵的相似变换外，我们还可以使用其他方法。
例如，我们可以使用奇异值分解（SVD）来进行矩阵的相似变换。
SVD将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A = USV^T，其中U和V是正交矩阵，S是对角矩阵。
在R语言中，我们可以使用`svd`函数来进行奇异值分解，并使用得到的U、S和V来进行矩阵的相似变换。
在进行矩阵的相似变换时，我们通常会选择保留矩阵的前几个特征向量或奇异值，以实现数据的降维或特征提取。
例如，如果我们有一个100x100的矩阵，我们可以选择保留其前10个特征向量或奇异值，从而将矩阵的维度降低到10维。
这样做可以减少计算和存储成本，并且可以更好地揭示数据的内在结构和特征。
除了降维和特征提取外，矩阵的相似变换还可以用于聚类分析。
聚类分析是一种将数据分成不同组或簇的方法，其目标是使同一组内的数据点更相似，而不同组之间的数据点差异较大。
矩阵的相似变换可以帮助我们找到数据的相似性，从而更好地进行聚类分析。
在R语言中，我们可以使用一些聚类算法（如K均值算法或层次聚类算法）来对经过相似变换的矩阵进行聚类分析。
这些算法可以根据数据的相似性将数据点分成不同的簇，并为每个簇分配一个标签。
矩阵的相似变换(第一章)
10，A可相似对角化的充要条件为A有n个线性无关的特征向量。
11，如果n阶方阵A有那个不同的特征向量，则A可相似对角化。或ri重特征值有ri个不同的特征向量则A可相似对角化。
Jordan
1，Jordan块：Ji=
2，Jordan阵：J=
3，A的Jordan标准形，设 ，则A与一个Jordan标准形J相似即存在P ，有P-1AP=J。这个J除了Jordan块的排列次序外由A唯一确定，称J为A的Jordan标准形。
（3）A为正规阵，λ是A的特征值，x是对应特征向量，则 为AH的特征值，对应特征向量为xH。
（4）A为正规阵，不同的特征值对应的特征向量正交。
6,Hermite正定矩阵、半正定矩阵：
设A 是Hermite矩阵，若任意0≠x n都有xHAx＞0（或xHAx≥0），则称A是Hermite正定（半正定）矩阵。
（3）行列式因子法：设A（λ）的秩为r，m×n阶，1≤k≤n，则A（λ）的全部k阶子式的首一最大共因子式Dk（λ）称为A的k阶行列式因子。Dk（λ）=d1（λ）d2（λ）…dk（λ）。
第一步：求λI-A和λI-A的n个行列式因子Dk（λ）。
第二步：求dk（λ）（k=1，2，…，n）并并求出A的不变因子。
7，设A 是Hermite矩阵，则，下列条件等价：
（1）A是Hermite正定矩阵（2）A的特征值全为正实数（3）存在P ，使得A=PHP
（1）A是Hermite半正定矩阵（2）A的特征值全为非负实数（3）存在P ，使得A=PHP。
第一步：将A写成A（λ），即λI-A
第二步：用初等变换法将矩阵化为如下形式：（smith标准型）
其中di（λ）/di+1（λ）可整除
矩阵的相似变换及其应用
矩阵的相似变换及其应用矩阵是线性代数中的重要概念之一，它被广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在矩阵中，相似变换是一种常见的操作，它可以将一个矩阵转化为另一个相似的矩阵，从而方便求解问题。
一、什么是相似变换相似变换指的是将一个矩阵A通过一个线性变换P变为另一个矩阵B的过程。
这种变换需要满足两个条件：一是变换矩阵P可逆；二是A和B具有相同的特征值。
具体来说，假设A和B都是n阶方阵，它们的特征值为λ1，λ2，…，λn。
若存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似，这种变换叫做相似变换。
这个定义显然比较抽象，下面我们用一个例子来说明相似变换的具体含义。
假设有如下矩阵：A = [1 23 4]我们可以求出它的特征值和特征向量：λ1 = -0.3723，v1 = [-0.8246, 0.5658]Tλ2 = 5.3723，v2 = [-0.4159, -0.9090]T将特征向量组成的矩阵P=[v1, v2]，则有：P = [-0.8246 -0.41590.5658 -0.9090]由于特征向量的性质，我们有：P-1AP = Λ = [-0.3723 00 5.3723]其中Λ是由特征值构成的对角矩阵。
这就是相似变换的应用，我们可以通过这种变换将一个矩阵A转化为一个对角矩阵Λ，从而更方便地求解问题。
二、相似变换的特性相似变换有一些重要的特性，这些特性可以帮助我们更深入地理解它的应用。
首先，相似变换是可传递的。
也就是说，如果矩阵A与B相似，B与C相似，那么A与C也相似。
这个特性可以通过变换矩阵的乘积来证明，即P-1AP=Λ，Q-1BQ=Λ，则有：(PQ)-1A(PQ) = Q-1P-1APQ = Q-1ΛQ = Λ'其中Λ'是由特征值构成的对角矩阵，证明了A与C相似。
其次，相似变换保留了矩阵的秩和行列式。
具体来说，如果矩阵A与B相似，则它们的秩和行列式相等。
这个特性可以通过排列特征值的乘积来证明，即有：|A| = λ1 * λ2 * … * λn|B| = μ1 * μ2 * … * μn由于A与B相似，则它们的特征值相同，因此有μ1 * μ2 * … * μn = λ1 * λ2 * … * λn，从而有|A| = |B|。
矩阵相似的判定条件
矩阵相似的判定条件矩阵相似是一个概念，它指的是多个矩阵之间有相似性的情况。
它是一个重要的数学概念，被广泛用于线性代数和科学计算中。
本文将讨论矩阵相似的判定条件，并给出一个典型的例子。
矩阵相似的定义是两个矩阵之间存在一种可以将一个矩阵变换到另一个的变换，以及这两个矩阵的行列式相等。
具体来讲，如果A 和B是两个n阶矩阵，那么A和B是矩阵相似的，当且仅当存在一个n阶可逆矩阵P，令B=PAP-1。
这个变换矩阵P可以是正交的、对称的或者是单位矩阵，并且行列式det(P)可以是任意非零值。
举一个典型的例子，让我们来看一下矩阵A和矩阵B：A=begin{bmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{bmatrix},quadB=begin{bmatrix}-1 & 2 & 3-4 & 5 & 6-7 & 8 & 9end{bmatrix}矩阵A和B之间有一种可以将A变换到B的变换，即变换矩阵P 为单位阵：P=begin{bmatrix}-1 & 0 & 00 & 1 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}可以看到，B=PAP-1，也就是说矩阵A和矩阵B是矩阵相似的。
除了上面的例子外，可以看到，矩阵相似的判定条件是由三个方面组成的：（1）存在一个可逆的变换矩阵；（2）变换矩阵的行列式不为0；（3）矩阵A和矩阵B之间存在一种可以将A变换到B的变换，即B=PAP-1。
此外，在实际应用中，也存在非可逆矩阵和正交变换矩阵，也可以用来检验矩阵相似性。
给定一个非可逆矩阵P，如果B=PAP-1，那么A和B也是矩阵相似的。
除此之外，正交矩阵也可以检验矩阵相似性。
如果P是一个正交矩阵，那么B=PAPT，其中PT是P的转置矩阵，也就是说A和B是矩阵相似的。
矩阵的相似变换
1 1
2
2
2, 1 1, 1
1
LLLL
r
r
r 1
, ,
1 1
1
L
r , r1 r1, r1
r 1
容易验证 1, 2,L , r 是一个正交向量组.
第二步 单位化
1
1 1
,2
2 2
,L L L ,r
r r
显然 1,2,L ,r 是一个标准的正交向量组。
例1 运用正交化与单位化过程将向量组
对应于
的特征向量。
i
矩阵的特征值与特征向量的性质：
（1）一个特征向量不能属于不同的特征值。 （2）特征值的几何重数不大于它的代数重数。 （3）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
（值应些4，于特）征 i向设i 的 的量几1q,何i个121重,,线L数性12,为,无Lrq关是i,的，1A特q1;的征i1向,r量i个2，,互L则不,的同所iq的i 有特是这征对
(6) 设 A，B Cnn ,则 tr（AB）=tr（BA）.
1.2 相似对角化
定义：设 A，B Cnn
，若存在
P
C nn n
使得
P1AP=B, 则称 A与B相似，记为A : B，
P称为相似变换阵。
相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同
的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩， 有相同的迹，有相同的谱。
矩阵理论
成都信息工程学院 李胜坤
第一章 矩阵的相似变换
1.1 特征值与特征向量
定义 设 AC nn，如果存在 C和非零向量 x Cn，
使 Ax x ，则 叫做 A的特征值，x 叫做 A 的属于
特征值 的特征向量。
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设 U C nn , P R nn
酉矩阵 U : U H U I , U H U 1 正交矩阵 P : P T P I , P T P 1
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
矩阵 A , B C nn ( 或R nn ) B U H AU —— 酉变换
即：
u i H
pi
T
u j p j
ij ij
i , j 1, 2,n
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
二、矩阵的相似变换：酉变换和正交变换
1、相似变换
两种重要的相似变换！ 后面用的多！
定义：设 A , B C nn ( 或R nn )
如果存在非奇异方阵 S 0 S C nn (或R nn )
使 B S 1 AS 成立
则称 B 与 A 相似，记 B ~ A
变换矩阵！
A S B 的变换称为相似变换。
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
注：相似变换是一种很实用的矩阵变换！
实用上，是构造一非奇异方阵[S]，进行相似变换， 使变换后[B]比[A]简单（例如：三角阵、三对角 阵等），以便快速求出[A]的特征解。
③若[U]是酉矩阵，[P]是正交矩阵，则[U]H也是酉矩 阵， [P]T也是正交矩阵。
证： U H H U H U U 1 I P T T P T P P 1 I 证毕。
第 2 节
矩 阵 的 相 似 变 换
酉 矩 阵 和 正 交 矩 振
第
一
章基 础 知 识
④若[U]和[V]都是同阶酉矩阵（或正交矩阵）
A T R nm 若 AT Aa ij a ji ,
AT Aa ij a ji ,
A 为实对称方阵 A 为反对称方阵
* 正交矩阵：若 A T A I
（是一种实矩阵！）
则称[A]为正交矩阵！
或 AT A1
正交矩阵与正交相似变换密切有关！ 即 正交矩阵用于正交相似变换！
性质：
①反身性： A ~ A ②对称性：若 A ~ B , 则 B ~ A ③传递性：若 A~ B , B ~ C
则 A~ C
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
2.酉变换和正交变换——两种特殊的相似变换！
用酉矩阵作为相 似变换矩阵！
用正交矩阵作为相似变换矩阵！
是酉矩阵！实的酉矩阵是正交矩阵。酉矩阵 用于酉变换！
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
3、酉矩阵和正交矩阵的性质（变换方法中用到！） ①单位矩阵是酉矩阵，也是正交矩阵；
I I T I I H I
②若[U]是酉矩阵，[P]是正交矩阵，
则 U H U I U H U 1 酉矩阵与正交 PT P I PT P1 矩阵的条件！
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
* Hermite矩阵
A
c
1 id
c id
1
22
若
即 AT AH A
共轭转置！
aij a ji
i, j 1, 2
则： A ——称为 Hermite矩阵。
是对称复数矩阵！
若 A H A 则 A 称为反对称Hermite矩阵。
则乘积 U V S 也是酉矩阵（或正交矩阵）
证： U V H U V V H U H U V V H I V V H V I
即：一系列酉矩阵乘积仍是酉矩阵！ 后面用到！
一系列正交矩阵乘积仍是正交矩阵！
⑤ n阶酉矩阵[U]（或正交矩阵[P]）的 n 个列
构成了Cn(或Rn)上的一组规范正交向量组。
第 2 节
酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
§1-2 矩阵的相似变换，酉变换和正交变换 一、特殊的矩阵介绍
重点：正交矩阵，酉矩阵
第
一
章基 础 知 识
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
1、实矩阵：若 A R mn , 则 A 实矩阵
元素为实数！
线性空间
注：这两种复矩阵的区别！
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
* 酉矩阵定义： A C nn
A —— n 阶复方阵
若 AH A I 或 AH A1
则[A]称为酉矩阵！
例：
A
cos
eid
s
in
eid sin
cos
是一酉矩阵。
显然：酉矩阵是复矩阵，但复矩阵不一定
第 2 节 酉矩 矩阵 阵的 和相 正似 交变 变换
第 一 章基
础 知 识
2、复矩阵：特别注意这两种复矩阵：
Hermite矩阵 酉矩阵
两种重要的 复矩阵！
若 A C mn 则 A 为复数矩阵
复线性空间
元素为复数！
例如：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
c
1 id
c id
1
22
A —复数矩阵。
i 1 —为复数单位。
使得 B P T AP —— 正交变换
则[B]与[A]酉相似（或正交相似）。
说明：正交相似变换和酉相似变换在矩阵的特征问题分析中有 着重要的作用。
在结构动力分析中，所涉及的矩阵一般都具有良好的性态， 因此正交矩阵和正交相似变换用的较多。
酉矩阵和酉相似变换是分析矩阵特征解性态的重要工具。