初一数学相似变换的复习资料
第五讲 相似变换
相似变换【中考要求】1． 基本要求了解图形的位似2． 略高要求会依据要求按比例放、缩图形【知识点讲解】1． 位似以及位似中心：如果两个图形不仅是相似图形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，像这样的相似叫做位似，这个交点叫做位似中心。
2． 位似图形与相似图形的区别与联系：位似图形一定是相似图形，而相似图形却不一定是位似图形。
因此，位似图形是相似图形的特例。
3． 位似中心的选取：可在两个图形的同侧、可在两图形之间、可在多边形内、也可在多边形的一条边上、也可取在多边形的某一顶点。
【重点与难点】重点：（1） 了解图形位似变换的特点（2） 能够利用位似变换将一个图形放大或缩小难点：（1） 根据比例画好相似图形（2） 位似图形在解决实际问题过程中的应用（3） 理解相似与位似的关系，从具体操作中体会位似图形的特有特点，加深图形相似的认识【例题讲解】1（东营）、如图1，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）答案：A2（宁波）、如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，相似比为2：3，已知AB=4，则DE 的长等于（ ） A.6 B.5 C.9 D.83(A)(B)(C)(D)AB 图1答案：A3（常州）、如图，在ABC ∆中，1=BC ，2=AC ，090=∠C ．（1）在方格纸①中，画'''C B A ∆，使'''C B A ∆∽ABC ∆，且相似比为2︰1；（2）若将（1）中'''C B A ∆称为“基本图形”，请你利用“基本图形”，借助旋转、平移或轴对称变换，在方格纸②中设计一个以点O 为对称中心，并且以直线l 为对称轴的图案．【巩固练习】1（宁安）、用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）A 原图形的外部B 原图形的内部C 原图形的边上D 任意位置答案：D2（2006广东）、图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A’B’C’是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.（1） 画出位似中心点O ；（2） 求出△ABC 与△A’B’C’的位似比；（3） 以点O 为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比等于1.5。
(完整版)相似知识点总结
相似【知识脉络】【基础知识】Ⅰ . 相关相似形的见解(1) 形状同样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。
(2) 假如两个边数同样的多边形的 对应角相等，对应边成比率， 这两个多边形叫做相似多边形。
．．．．．．．．．．．．．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) 。
Ⅱ . 比率的性质（注意性质立的条件：分母不可以为 0）（ 1）基天性质：① a : b c : dad bc ；② a : b b : c b 2 a c ．注：由一个比率式只可化成一个等积式， 而一个等积式共可化成八个比率式， 如 adbc ，除了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d c : d a : b b : d a : c b : a d : c。
， ， ，a b，互换内项)c d (（ 2）换比性质 ( 互换比率的内项或外项 ) ：ac d c ，互换外项 ( )bdbadb．(同时互换内外项 ) c aⅢ . 平行线分线段成比率定理基础图形：定理：如上图，三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比率.推论：平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线）所得的对应线段成比率．Ⅳ . 相似三角形（ 1）见解：对应角相等，对应边成比率的三角形，叫做相似三角形。
相似用符号“∽” 表示，读作“相似于”。
相似三角形对应边的比叫做相似比( 或相似系数 ) 。
注：①对应性：即两个三角形相似时，必定要把表示对应极点的字母写在对应地点上，这样写比较简单找到相似三角形的对应角和对应边；② 次序性：相似三角形的相似比是有次序的；③ 两个三角形形状同样，但大小不用然同样；④全等三角形是相似比为 1 的相似三角形。
两者的差别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比率。
（ 2）判断：依据相似图形的特点来判断。
（对应边成比率，对应角相等）①. 平行于三角形一边的直线 ( 或两边的延伸线 ) 和其余两边订交 , 所组成的三角形与原三角形相似；② . 假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；③. 假如两个三角形的两组对应边的比相等, 并且相应的夹角相等 , 那么这两个三角形相似；④ . 假如两个三角形的三组对应边的比相等, 那么这两个三角形相似；直角三角形相似判判断理 ：直角三角形被斜边上的高分红的两个直角三角形和原三角形相似注：射影定理： 在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比率中项。
初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质
初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质相似变换和全等变换是初中数学中非常重要的概念，它们在几何图形的研究和解决问题中起着至关重要的作用。
了解它们的性质和特点，能够帮助我们更好地理解几何图形的变换过程，并能够应用于各种数学问题的解决中。
一、相似变换的性质相似变换是指在平面上进行的一种变换，通过等比例的缩放、平移、旋转或镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之相似的图形。
相似变换的性质如下：1. 边长比例相等：在相似变换中，两个相似图形的对应边的长度之比是相等的。
即若两个图形A和B相似，对应边的长度之比为a:b，则可以表示为AB/aB = AC/aC = BC/bC。
2. 角度相等：在相似变换中，两个相似图形的对应角的度数是相等的。
即若两个图形A和B相似，对应角的度数相等，可以表示为∠A = ∠B。
3. 面积比例相等：在相似变换中，两个相似图形的面积之比等于对应边长的平方之比。
即若两个图形A和B相似，对应边长之比为a:b，则面积之比为A: B = (a^2:b^2)。
4. 直线平行：在相似变换中，图形中直线的平行性保持不变。
即如果两个图形A和B相似，那么其中的平行线段保持平行关系。
二、全等变换的性质全等变换也是一种平面上的变换，通过平移、旋转和镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之完全重合的图形。
全等变换的性质如下：1. 边长相等：在全等变换中，两个全等图形的对应边的长度是相等的。
即若两个图形A和B全等，则它们对应边的长度是完全相等的，可以表示为AB = aB = aC = BC。
2. 角度相等：在全等变换中，两个全等图形的对应角的度数是相等的。
即若两个图形A和B全等，则对应角的度数是完全相等的，可以表示为∠A = ∠B。
3. 面积相等：在全等变换中，两个全等图形的面积是相等的。
若两个图形A和B全等，则它们的面积完全相等，可以表示为A = B。
4. 其他性质：全等变换还具有对称性、传递性和自反性等性质。
6-3相似变换
→ →
(k ≠ 0)
且k≠1时f为位似变换, k＝1时f为平移变换.
Q′ = P′ P+ 证明 必要性 若f 是平移变换T ( a ), 则 P′ → → → → → → PQ QQ - a PQ a PQ; 若f 是位似变换H(O,k), 则 → → → → → → PQ OQ- OP k OQ - k OP k PQ . 充分性 取固定点A, 设 f : A → A′ , 对任意点P, → → 有 A′ P′ = k AP . → → → → → → → (1)若k＝1, 则 PP′ = PA+ AA′ + A′ P′ = PA+ AA′ +1 AP → → (定向量), 故此时 f = T ( AA′ ). = AA′ → 1 → (2)若k≠1, 在直线 AA′ 上取点O,使 OA AA, 则 → → → → → → k -1 ① OA (k - 1) OA = k OA OA′ = OA+ AA′ → → ② A′ = k OA, 设 f: O→O, ′ 则由条件,有 O′
三、运用位似变换解题举例
运用位似变换解题时,要证明图形F具有性质φ, 可 改证位似图形F′ 具有性质φ′. (此时图形F′ 一般具有较 图形F具备的更多性质或更易证明的途径) 解题关键：选择合适的位似中心与位似比.
例1 如图,PT、PB是⊙O的切线. AB是⊙O的直径, H为 T在AB上的射影, 求证：PA平分TH.
H (O1 , k1 ) H (O2 , k2 ) F2 F1
F3， F1
H (O3 , k3 )
F3， 则
H (O2 , k2 ) H (O1 , k1 ) H (O3 , k3 ), 且k3≠1(因H(O,1)为恒等变换). 由定理2知, k3 = k1k2 ≠1,
相似变换知识点
相似变换是数学中的一个重要概念，它在几何学、图像处理和人工智能等领域中都有广泛的应用。
相似变换可以将一个图形缩放、旋转或平移，而保持其形状不变。
本文将从逐步思考的角度介绍相似变换的基本知识点。
1. 相似性和相似变换的定义相似性是指两个物体在形状上相似的程度。
相似变换是指对一个图形进行缩放、旋转或平移，而保持其形状不变。
相似变换可以用数学公式表示，例如：•缩放变换：T(x,y)=(kx,ky)，其中 k 是缩放因子。
•旋转变换：T(x,y)=(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)，其中θ 是旋转角度。
•平移变换：T(x,y)=(x+a,y+b)，其中 (a, b) 是平移向量。
2. 相似变换的性质相似变换具有以下几个重要性质：•形状不变性：相似变换不改变图形的形状，只改变图形的大小、位置和方向。
•距离比例性：在相似变换中，图形上的两点之间的距离比例保持不变。
•角度保持性：在相似变换中，图形上的两条线段之间的夹角保持不变。
3. 相似变换的应用相似变换在几何学、图像处理和人工智能等领域中有广泛的应用。
下面将介绍其中几个重要的应用。
3.1 几何学中的相似变换在几何学中，相似变换被广泛应用于图形的测量和构造。
例如，通过相似变换，我们可以计算两个三角形之间的相似性，从而得到它们的边长比例和角度关系。
3.2 图像处理中的相似变换在图像处理中，相似变换常用于图像的缩放、旋转和平移。
通过相似变换，我们可以改变图像的大小和位置，从而实现图像的放大、缩小和剪裁等操作。
相似变换还可以用于图像的配准和校正，提高图像的质量和准确性。
3.3 人工智能中的相似变换在人工智能中，相似变换常用于图像识别和模式识别。
通过相似变换，我们可以将不同尺寸和方向的图像转化为统一的表示，从而方便进行图像特征的提取和比较。
相似变换还可以用于图像的分类和检索，提高人工智能系统的视觉能力和识别准确性。
4. 相似变换的计算方法要进行相似变换的计算，我们需要知道变换前后的对应点。
初中数学中的图形的相似变换
初中数学中的图形的相似变换在初中数学的广阔领域中，图形的相似变换是一个极为重要的概念，它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开理解和解决许多几何问题的大门。
相似变换，简单来说，就是指两个图形在形状上相同，但大小可能不同。
这种相似关系在我们的生活中随处可见。
比如，不同尺寸的照片、放大或缩小的地图，这些都是相似图形的实际应用。
相似变换包括了三种基本的操作：平移、旋转和缩放。
平移，就是将图形沿着某个方向移动一段距离，移动后的图形与原图形的形状和大小完全相同，只是位置发生了改变。
想象一下，你把一本书从桌子的左边移到右边，书的形状和大小没有任何变化，这就是平移。
旋转则是围绕一个固定的点，将图形按照一定的角度进行转动。
像是公园里的旋转木马，每匹马在围绕中心轴转动的过程中，其形状和大小始终保持不变，只是方向发生了改变。
而缩放，就是将图形按照一定的比例放大或缩小。
比如说，用放大镜看一幅画，画中的图案就被放大了，但其形状依然不变。
在数学中，判断两个图形是否相似，主要依据是它们的对应角相等，对应边成比例。
这是相似图形的核心特征。
相似三角形是相似图形中的一个重要类型。
对于相似三角形，我们有着许多重要的定理和性质。
比如，“两角分别相等的两个三角形相似”，如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，那么这两个三角形就是相似的。
再比如“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，如果两个三角形的两组对应边的比值相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三角形也是相似的。
相似三角形的性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
例如，在测量物体的高度时，我们常常利用相似三角形的原理。
假设我们要测量一棵大树的高度，但是直接测量是很难做到的。
这时，我们可以在同一时间、同一地点，测量一根直立的小木棍的长度以及它的影子长度，同时测量大树的影子长度。
因为太阳光线是平行的，所以大树和它的影子、小木棍和它的影子构成了相似三角形。
通过小木棍和它的影子的长度比例，以及大树影子的长度，就可以计算出大树的高度。
苏教版初中数学《相似》总复习
苏教版初中数学《相似》总复习在初中数学的学习中，相似是一个重要的知识点，它不仅在数学领域有着广泛的应用，也为我们解决实际问题提供了有力的工具。
相似图形的性质和判定方法，以及相似三角形的相关定理，都是我们需要重点掌握的内容。
接下来，让我们一起对苏教版初中数学中的《相似》进行一次全面的总复习。
一、相似图形的概念相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形。
两个相似图形的对应角相等，对应边的比相等。
比如，两个正方形、两个等边三角形都是相似图形。
相似多边形的对应边的比叫做相似比。
当相似比为 1 时，两个相似多边形全等。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
当两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等时，这两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
如果两个三角形的三条边对应成比例，那么它们相似。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
四、位似图形如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
五、相似三角形的应用相似三角形在实际生活中有广泛的应用，比如测量物体的高度、宽度、距离等。
例如，要测量一棵大树的高度，我们可以在同一时刻，测量出一根直立的标杆的高度和它的影长，以及大树的影长。
因为在同一时刻，太阳光线是平行的，所以大树和标杆构成的三角形与它们各自的影长构成的三角形相似。
根据相似三角形对应边成比例的性质，就可以计算出大树的高度。
再比如，在地图上，我们可以利用相似三角形的知识来计算实际距离。
第27章《相似》复习资料
第27章《相似》复习资料（一）知识要点（考点重点）1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。
对应边的比叫做相似比。
三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。
2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS ”)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS ”)④两角对应相等(AA) 直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL ”）。
相似三角形的基本图形：说明：对于双垂图5有：1、AB 2=BD •BC ；2、AC 2=CD •BC ；3、AD 2=BD •CD 。
对于拓展图6只有：AC 2=CD •BC 。
判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。
3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。
⑤相似三角形的传递性：如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2（二）相似三角形的应用求物体的长或宽或高；求有关面积等。
（1）利用阳光下的影子测量物体的高度时：被测物体的影长被测物体的实际高度该物体的影长某物体的实际高度=。
（2）利用标杆测物体的高度时，人与标杆及被测物体均与地面垂直，因此三者是平行的。
（3）利用镜子的反射测物体的高度时，人与被测物体都与地面垂直，光的入射角等于反射角。
(三) 位似图形（1）概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
（2）位似图形与相似图形的关系：位似图形是特殊的相似图形；如果两个图形是位似图形，那么这两个图形也必定是相似图形；两个相似图形却不一定是位似图形。
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初一数学相似变换的复习资料
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学习是劳动，是充满思想的劳动。
为大家整理了初一数学下册期中复习资料，让我们一起学习，一起进步吧! ※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成. ※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的`比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段. ※3、注意点: ①a:b=k,说明a是b 的k倍; ②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数; ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b之外,a:b≠b:a,与互为倒数; 小编为大家提供的初一数学下册期中复习资料大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。