[考研数学]第二章矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算1．教学目的和要求：(1) 使学生了解矩阵的概念，掌握矩阵的基本运算. (2) 掌握可逆矩阵的求法(3) 熟练掌握矩阵的初等变换与秩的求法 2．教学重点： (1) 矩阵的基本运算. (2) 逆矩阵的求法(3) 矩阵的初等变换与初等矩阵3．教学难点：分块矩阵的运算，矩阵的初等变换与初等矩阵.4．本章结构：通过实例引出矩阵的概念，并介绍矩阵的基本运算，包括逆矩阵的有关性质及求法，重点介绍矩阵的初等变换，并提出初等矩阵的概念，以及两者之间的联系。

最后介绍了矩阵的秩的定义及其求法。

5．教学内容：§2.1 矩阵一、线性变换与矩阵在许多问题中，我们会遇到一些变量用另外一些变量来线性表示。

设变量m y y y ,,,21 能用变量n x x x ,,,21 线性表示，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n mn m m m n n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y 22112222121212121111 （1）其中ij a 为常数（m i ,,2,1 =；n j ,,2,1 =）。

这种从变量n x x x ,,,21 到变量my y y ,,,21 的变换称为线性变换。

线性变换（1）中的系数可以排成m 行n 列的数表：mnm m n n a a a a a a a a a212222111211而线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的系数也可以排成这样的数表，这种数表就叫做矩阵。

定义1 由n m ⨯个数ij a （m i ,,2,1 =；n j ,,2,1 =）排成m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 （2）称为m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵。

第二矩阵及其运算-

1. mn矩阵
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n …………
am1 am2 … amn
行(row)
元素(element/entry) aij (1 i m, 1 j n) 元素都是实数——实矩阵(real ~)
元素都是复数——复矩阵(complex ~)
注: 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都是实矩阵.
25
3 4 3 5
1 6
2
6
3 6
4 5 6
8
10
1
2
1 2 1 5 1 8
1
BA4 5 62415263
3
32
显然 AB BA.
例2
A
1 3
2 3
0
1
4 0 1
B
2 1
1 2
1 2
求 A B ，并问 B A 是否有意义？
解
4 0 1
AB 13
2 0
1321
1 2
数量(箱) ABC
甲 20
16 200 180 190
乙 50
20 100 120 100
丙 30
16 150 160 140
丁 25
16 180 150 150
甲乙丙丁单价 20 50 30 25 重量 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
1 2
5 8 9
11
2
5
显然B A 无意义
例3
2 4
A
1
2
求 AB , BA
2 4
B
3
6

第二章矩阵及其运算

a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0, a x + a x + L + a x = 0, 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLLL am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = 0
或 Ax = 0
否则, 称方程组为非齐次线性方程组. 非齐次线性方程组否则, 称方程组为非齐次线性方程组. non-homogeneous
转置运算的性质：转置运算的性质： (1) (AT )T = A;
(3) (λ A)T = λ AT ;
6 May 2012
(2) （A + B T = AT + B T ; ）
(4) （AB T = B T AT . ）
河北科大理学院
第二章矩阵及其运算
17
定义7 则称A为对称阵. 定义若 AT = A, 则称为对称阵. symmetric matrix 则称A为反对称矩阵. 若 AT = − A, 则称为反对称矩阵. skew symmetric matrix
第二章矩阵及其运算本章内容
矩阵的概念矩阵的线性运算、乘法、矩阵的线性运算、乘法、转置及幂运算逆矩阵, 逆矩阵,矩阵可逆的条件及逆矩阵的求法矩阵分块法
第二章矩阵及其运算
2
第4讲矩阵的概念讲
一概念的引入线性方程组与矩阵
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 , LLLLLLLLLLLL a x + a x + L +a x = b mn n m m1 1 m 2 2

《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答

An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章矩阵及其运算

矩阵及其运算课后习题答案(最新整理)

用数学归纳法证明:
当 k 2 时,显然成立. 假设 k 时成立，则 k 1时，
k
Ak 1
Ak
A
0
0
kk 1
k 0
k
(k 1) k 2 kk 1 k
2
0 0
1 0
0 1
k1 0 0
k 由数学归纳法原理知: Ak 0 0
kk 1
k 0
k(k 1) k2
2 kk 1
k
(k 1)k1
k 1 0
(k 1)k k1
2 (k 1)k1
k 1
9．设 A, B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BT AB 也是对称矩阵.
证明已知： AT A
则
( ) ( ) BT AB T BT BT A T BT AT B BT AB
从而 BT AB 也是对称矩阵.
2 y3,
x3 4 y1 y2 5 y3,
y1 y2
3z1 z2 2z1 z3 ,
,
y3 z2 3z3,
求从 z1, z2 , z3 到 x1, x2 , x3 的线性变换．
解由已知
x1 x2 x3
2 2 4
0 3 1
152
y1 y2 y2
2 2 4
0 3 1
y2 y2
故
y1 y2 y2
2 3 3
2 1 2
11 x1
53
x2 x3
7 6 3
4 3 2
9 7 4
y1 y2 y3
y1 y2
7x1 4x2 9x3 6x1 3x2 7x3
y3 3x1 2x2 4x3
2．已知两个线性变换
x1 x2

《矩阵及其运算》课件

幂法
通过迭代计算矩阵A的幂，最终得到特征值和特征向量。
反迭代法
利用已知的特征向量x，通过反迭代计算得到对应的特征值λ。
06
应用实例
在物理中的应用
线性变换
矩阵可以表示线性变换，如平移、旋转、缩放等，在物理中广泛应用于描述物体运动和力的作用。
振动分析
矩阵可以用于分析多自由度系统的振动，通过矩阵表示系统的运动方程，简化计算过程。
详细描述
矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。在计算过程中，对应元素相乘并求和，得到新矩阵的一个元素。
矩阵的转置
总结词
矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行的一种运算。
详细描述
矩阵的转置可以通过交换原矩阵的行和列得到，也可以通过计算元素的代数余子式得到。转置后的矩阵与原矩阵的行列式值相等，但元素的位置发生了变化。
《矩阵及其运算》PPT课件
目录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 特征值与特征向量 • 应用实例
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，通常表示为二维数组。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有行标和列标，表示其在矩阵中的位置。
回带法
在消元过程中，每一步都需要回带，以确保解的正确性。
解的判定
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性方程组有唯一解；否则，无解或有无数多解。
线性方程组的解的结构
解的表示
线性方程组的解可以表示为一个向量与自由变量的线性组合。

线性代数矩阵及其运算

A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊
精选版课件ppt
27
伴随矩阵有如下重要性质： AA*A*A(detA)E
矩阵运算举例
例例 1 8 设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
精选版课件ppt
例4
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
22
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
精选版课件ppt
18
例5 设
A1 1
2 1
1 1,
求AB与BA
1 2 B1 1
2 3
解
3 0 3
1 3 AB2 6
BA0 3 0 1 7 1
定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行
a..i.1
... ...
a..is.n......
... bnjs
... ...
cij
精选版课件ppt
14
例2 计算
2 1
1 8 10
1 3
4 01 3
2 4
051 9
2 5 22 15
精选版课件ppt
15
例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
关于矩阵乘法的注意事项：（1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右
矩阵的行数相等；（2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是
A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；

线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件

例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩，如高斯消元法、行变换法、初等行变换法等。
线性代数第二章矩阵及其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义为满足以下条件的矩阵C，即C的元素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相乘都等于原矩阵。

[考研数学]第二章 矩阵及其运算

第二章 矩阵及其运算

第二矩阵及其运算-

第二章 矩阵及其运算

《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答

矩阵及其运算课后习题答案(最新整理)

《矩阵及其运算 》课件

线性代数 矩阵及其运算

线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件

[考研数学]第二章矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算

《矩阵及其运算》课件

线性代数矩阵及其运算