2014-2015学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(理科解析版)

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高中高二数学上学期第二次月考试卷文(含解析)-人教版高二全册数学试题

2014-2015学年某某省某某市安吉县上墅私立高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＞x，则下列说法中正确的是（） A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题3．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．4．若直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，则实数m=（） A．﹣或1 B． 1 C． 1或2 D．﹣5．直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，则它们之间的距离为（） A． 4 B． C． D．6．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面（）A．若l⊥α，l⊥m，则m∥α B．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥mC．若l∥α，m⊥α，则l⊥m D．若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ7．过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2时，直线l的斜率为（）A． B． C．±1 D．8．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． y=±2x B． C． D．9．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离10．下列结论正确的是（）A．命题“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题是假命题B．若函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题是真命题C．向量，的夹角为钝角的充要条件是•＜0D．“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的充分不必要条件二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分.）11．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值X围为．12．已知命题p：m＜0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m 的取值X围是．13．两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，则a=．14．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为．15．已知动圆M与圆C1：（x+3）2+y2=9外切且与圆C2：（x﹣3）2+y2=1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是．16．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．17．下列四个命题：①“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定；②“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件④“函数f（x）=tan（x+φ）为奇函数”的充要条件是“φ=kπ．（k∈Z）”，其中真命题的序号是．三、解答题：（本大题共5小题，共49分.）18．设p：实数x满足x2+2ax﹣3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x﹣8＜0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值X围．19．求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．20．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．22．已知圆C：x2+y2=4和直线l：3x+4y+12=0，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，（1）求与圆C相切且平行直线l的直线方程；（2）求△PAB面积的最大值．2014-2015学年某某省某某市安吉县上墅私立高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义结合三角形的性质，分别证明充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：在△ABC中，若A=，则cosA=，是充分条件，在△ABC中，若cosA=，则A=或A=，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了三角形中的三角函数值问题，是一道基础题．2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＞x，则下列说法中正确的是（） A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：容易判断命题p是真命题，q是假命题，所以根据p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q的关系即可找出正确选项．解答：解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题；x＜0时，无解，∴命题q是假命题；∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；∴D正确．故选D．点评：考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．3．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），依题意得．解答：直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故．故选A．点评：本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．4．若直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，则实数m=（） A．﹣或1 B． 1 C． 1或2 D．﹣考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由直线的平行可得m的方程，解得m代回验证可得．解答：解：∵直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，∴（m+2）（2m﹣1）﹣3×1=0，解得m=﹣或1经验证当m=1时，两直线重合，应舍去，故选：D点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．5．直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，则它们之间的距离为（） A． 4 B． C． D．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：通过直线的平行求出m，然后利用平行线之间的距离求解即可．解答：解：直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，所以m=6，直线4x+my+7=0化为直线4x+6y+7=0即2x+3y+3.5=0，它们之间的距离为：d==．故选：C．点评：本题考查两条平行线之间是距离的求法，基本知识的考查．6．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面（）A．若l⊥α，l⊥m，则m∥α B．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥mC．若l∥α，m⊥α，则l⊥m D．若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若l⊥α，l⊥m，则m∥α或m⊂α，故A错误；若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l与m平行或异面，故B错误；若l∥α，m⊥α，则由直线与平面平行的性质得l⊥m，故C正确；若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ或m⊂γ，故D错误．故选：C．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．7．过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2时，直线l的斜率为（） A． B． C．±1 D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设直线l的方程为：y=kx﹣2k，由已知条件结合圆的性质和点到直线的距离公式推导出=2，由此能求出直线的斜率．解答：解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx﹣2k，（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的圆心C（2，3），半径r=3，∵过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2，∴圆心C（2，3）到直线AB的距离d==2，∵点C（2，3）到直线y=kx﹣2k的距离d==2，∴•2=3，解得k=±．故选：A．点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．8．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． y=±2x B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．解答：解：由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．故选B．点评：本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．9．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离d正好等于半径，可得直线和圆相切．解答：解：由于圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为d==2=r（半径），故直线和圆相切，故选：C．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．10．下列结论正确的是（）A．命题“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题是假命题B．若函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题是真命题C．向量，的夹角为钝角的充要条件是•＜0D．“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析： A．“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题为“若a2＞b2，则a＞b＞0”是假命题；B．函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题为“函数f（x）为周期函数，则f （x）=sinx”，显然不正确；C．向量，的夹角为钝角⇒•＜0，反之不成立，由于非零向量反向共线时，满足＜0；D．“x2＞2”⇒或x，而x2﹣3x+2=﹣≥﹣，反之也不成立．解答：解：A．“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题为“若a2＞b2，则a＞b＞0”是假命题，正确；B．函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题为“函数f（x）为周期函数，则f （x）=sinx”是假命题，不正确；C．向量，的夹角为钝角⇒•＜0，反之不成立，由于向量反向共线时，其＜0，因此不正确；D．“x2＞2”⇒或x，此时x2﹣3x+2=﹣≥﹣，反之也不成立，因此“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的既不充分也不必要条件，不正确．综上可得：只有A．故选：A．点评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定、向量的数量积及其夹角公式，考查了推理能力，属于基础题．二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分.）11．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值X围为（1，+∞）．考点：特称命题．专题：计算题．分析：原命题为假命题，则其否命题为真命题，得出∀x∈R，都有x2+2x+m＞0，再由△＜0，求得m．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1．∴m的取值X围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）点评：本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题．考查转化、计算能力．12．已知命题p：m＜0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m 的取值X围是﹣2＜m＜0 ．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题的真假性判断出命题p、q都是真命题，再逐一求出m的X围，最后求它们的交集．解答：解：因为“p∧q”为真命题，所以命题p、q都是真命题，若命题q是真命题，则∀x∈R，x2+mx+1＞0横成立，所以△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，又命题p：m＜0，也是真命题，所以实数m的取值X围是：﹣2＜m＜0，故答案为：﹣2＜m＜0．点评：本题考查了复合命题的真假性，以及二次函数的性质，属于基础题．13．两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，则a= 0或﹣1 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由已知得a（a﹣1）+2a=0，由此能求出a．解答：解：∵两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，∴a（a﹣1）+2a=0，解得a=0或a=﹣1．故答案为：0或﹣1．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．14．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为3x﹣y﹣9=0 ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心坐标，利用点斜式，可得方程．解答：解：两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的圆心坐标分别为（2，﹣3），（3，0），∴连心线方程为y﹣0=（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0．故答案为：3x﹣y﹣9=0．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查直线方程，比较基础．15．已知动圆M与圆C1：（x+3）2+y2=9外切且与圆C2：（x﹣3）2+y2=1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是﹣=1（x≥2）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：找出两圆圆心坐标与半径，设设动圆圆心M（x，y），半径为r，根据动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，即可确定出M轨迹方程．解答：解：由圆C1：（x+3）2+y2=9，圆心C1（﹣3，0），半径r1=3，圆C2：（x﹣3）2+y2=1，圆心C2（3，0），r2=1，设动圆圆心M（x，y），半径为r，根据题意得：，整理得：|MC1|﹣|MC2|=4，则动点M轨迹为双曲线，a=2，b=，c=3，其方程为﹣=1（x≥2）．故答案为：﹣=1（x≥2）点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及动点轨迹方程，熟练掌握双曲线定义是解本题的关键．16．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．17．下列四个命题：①“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定；②“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件④“函数f（x）=tan（x+φ）为奇函数”的充要条件是“φ=kπ．（k∈Z）”，其中真命题的序号是①②．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①按照特称命题的否定要求改写，然后判断真假；②先写出原命题，然后再按照否条件、否结论进行改写；③双向推理，然后进行判断，此例可以举反例；④结合奇函数的性质进行推导，从左推右，然后反推化简．解答：解：①原命题的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1＞0；因为，故①为真命题；②原命题的否命题是：若x2+x﹣6＜0，则x≤2．由x2+x﹣6＜0，得（x+3）（x﹣2）＜0，所以﹣3＜x＜2，故②为真命题；③当A=150°时，．所以故在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的不充分条件．故③是假命题；④若函数f（x）为奇函数，则f（0）=tanφ=0，或y轴为图象的渐近线，所以φ=kπ（k∈Z）；或tanφ不存在，则φ=，（k∈Z）所以前者是后者的不充分条件．故④为假命题．故答案为：①，②点评：本题以简易逻辑为载体，考查了命题的否定及否命题的写法以及真假判断，充分必要性的判断方法，属于基础题，难度不大．三、解答题：（本大题共5小题，共49分.）18．设p：实数x满足x2+2ax﹣3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x﹣8＜0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值X围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：先分别化简两个不等式，再利用q是p的必要不充分条件，转化为，然后某某数a的取值X围．解答：解：由x2+2ax﹣3a2＜0得（x+3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以﹣3a＜x＜a，（2分）x2+2x﹣8＜0，∴﹣4＜x＜2，p为真时，实数x的取值X围是：﹣3a＜x＜a；q为真时，实数x的取值X围是：﹣4＜x＜2（6分）因为q是p的必要不充分条件，所以有（10分）所以实数a的取值X围是≤a≤2．（14分）点评：本题考查一元二次不等式的解法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查计算能力，转化思想，是中档题．19．求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），解方程即可得到椭圆方程；（3）讨论椭圆的焦点的位置，由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解方程可得a，c，再由a，b，c 的关系解得b，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得，2a=12，e=，即有a=6，=，即有c=4，b===2，即有椭圆方程为+=1；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），可得36m+0=1，且0+64n=1，解得m=，n=，即有椭圆方程为+=1；（3）当焦点在x轴上时，可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解得a=7，c=3，b==2，即有椭圆方程为+=1；同理，当焦点在y轴上时，可得椭圆方程为+=1．即有椭圆方程为+=1或+=1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的方程的正确设法，以及椭圆性质的运用，属于基础题．20．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）建立空间直角坐标，利用向量法证明线面垂直．（2）利用向量法求线面角的大小．解答：解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，∵平面ACDE⊥平ABC，∴EA⊥平面ABC，∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M（0，1，1） (3)=（0，1，1），=（0，2，0）﹣（0，0，2）=（0，2，﹣2），=（2，2，0）﹣（0，2，0）=（2，0，0），∴，，∴AM⊥EC，AM⊥CB，∴AM⊥平面EBC．…（5分）（2）∵AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量，∵=（0，1，1），=（2，2，0），∴cos．∴=60°．∴直线AB与平面EBC所成的角为30°．…（12分）点评：本题主要考查向量法证明线面垂直以及利用向量法求线面角的大小，运算量较大．21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．考点：轨迹方程；椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆方程为，根据题意可得a=2且c=，从而b==1，得到椭圆的标准方程；（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．解答：解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为，∴a=2，，可得b==1因此，椭圆的标准方程为．（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，整理得，∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴可得，化简整理得，由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．22．已知圆C：x2+y2=4和直线l：3x+4y+12=0，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，（1）求与圆C相切且平行直线l的直线方程；（2）求△PAB面积的最大值．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）根据题意设所求方程为3x+4y+a=0，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离d=r求出a的值，即可确定出所求直线方程；（2）当直线与AB平行，且与圆相切时，△PAB面积的最大值，如图所示，求出|AB|与|MN|的长，即可确定出△PAB面积的最大值．解答：解：（1）设所求直线方程为3x+4y+a=0，由题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，即=2，解得：a=±10，则所求直线方程为3x+4y±10=0；（2）当直线与AB平行，且与圆相切时，△PAB面积的最大值，此时直线方程为3x+4y﹣10=0，∵点C到直线AB的距离||=，CM=2，∴|MN|=+2=，∵A（﹣4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，∴|AB|=5，则△PAB面积最大值为×5×=11．点评：此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两直线平行时斜率的关系，以及直线与圆相切的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．。

四川省眉山市高二数学下学期期末试卷理(含解析)-人教版高二全册数学试题

某某省眉山市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（1，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）2．用反证法证明“若x＜y，则x3＜y3”时，假设内容是（）A．x3=y3B．x3＞y3C．x3=y3或x3＞y3D．x3=y3或x3＜y3 3．设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=（）A．+p B．1﹣p C．1﹣2p D．﹣p4．（1+）6的展开式中有理项系数之和为（）A．64 B．32 C．24 D．165．有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为（）A．B．C．D．6．若离散型随机变量ξ的分布列为：则随机变量ξ的期望为（）ξ 0 1 2 3P 0.15 0.4 0.35 XA．1.4 B．0.15 C．1.5 D．0.147．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．∃x0∈R，f（x0）=0D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=08．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（）A．6 B．8 C．12 D．169．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的动点，P到直线A1D1的距离为d，且d2﹣|PM|2=1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线10．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人11．设双曲线﹣=1（0＜a＜b）的半焦距为c，（a，0），（0，b）为直线l上两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为（）A．B．或2 C．2或D．212．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上13．复数z=的共轭复数为．14．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．15．已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，则a的取值X围是．16．方程x|x|﹣y|y|=﹣1的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：①f（x）在R上单调递减；②函数F（x）=f（x）﹣x﹣存在3个零点；③函数y=f（x）的值域是R；④函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程x|x|﹣y|y|=1确定的曲线．其中所有正确的命题序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知书架中甲层有英语书2本和数学书3本，乙层有英语书1本和数学书4本．现从甲、乙两层中各取两本书．（1）求取出的4本书都是数学书的概率．（2）求取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率．18．已知函数f（x）=ln（x+1）+．（1）当函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线4y﹣x+1=0垂直时，某某数m的值；（2）若x≥0时，f（x）≥1恒成立，某某数m的取值X围．19．已知平面内一动点P（x，y）（x≥0）到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求△OAB面积的最小值．20．某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx，g（x）=，F（x）=f（x）+g（x）．（1）当a＜0时，求函数F（x）的单调区间；（2）若函数F（x）在区间[1，e]上的最小值是，求a的值；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C （x0，y0），直线AB的斜率为k，证明：k＞f′（x0）某某省眉山市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（1，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算和复数的几何意义进行化简即可．解答：解：===1﹣3i，对应的坐标为（1，﹣3），故选：B点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键．2．用反证法证明“若x＜y，则x3＜y3”时，假设内容是（）A．x3=y3B．x3＞y3C．x3=y3或x3＞y3D．x3=y3或x3＜y3考点：反证法与放缩法．专题：证明题；推理和证明．分析：由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“x3＜y3”的否定为：“x3≥y3”，由此得出结论．解答：解：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“x3＜y3”的否定为：“x3≥y3”，故选：C．点评：本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．3．设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=（）A．+p B．1﹣p C．1﹣2p D．﹣p考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：根据随机变量ξ～N（0，1），正态曲线关于x=0对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于﹣1的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是，得到结果．解答：解：∵随机变量ξ～N（0，1），∴正态曲线关于x=0对称，∵P（ξ＞1）=p，∴P（ξ＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，故选D．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性的应用，考查关于对称轴对称的区间上的概率相等，本题是一个基础题，题目中所处的字母p可以变式为实数．4．（1+）6的展开式中有理项系数之和为（）A．64 B．32 C．24 D．16考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数为有理数，求出r的值，再利用二项式系数的性质，即可求得展开式中有理项系数之和．解答：解：（1+）6的展开式的通项公式为 T r+1=•，令为整数，可得r=0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为+++=25=32，故选：B．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5．有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：先求出所有的同学都没有通过的概率，再用1减去此概率，即得所求．解答：解：所有的同学都没有通过的概率为=，故至少有一位同学能通过测试的概率为 1﹣=故选：D．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题．6．若离散型随机变量ξ的分布列为：则随机变量ξ的期望为（）ξ 0 1 2 3P 0.15 0.4 0.35 XA．1.4 B．0.15 C．1. 5 D．0.14考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：利用随机变量的期望公式、随机变量的分布列的概率和为1，即可得出结论．解答：解：由题意，x=1﹣0.15﹣0.4﹣0.35=0.1数学期望Eξ=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4，故选：A．点评：本题考查随机变量的期望公式及分布列的概率和为1，是一道基础题．7．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．∃x0∈R，f（x0）=0D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：对于A，采用取特殊函数的方法，若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x3﹣x2﹣x，利用导数研究其极值和单调性进行判断；对于B：因为函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，都可能经过中心对称图形的y=x3的图象平移得到，故其函数y=f（x）的图象是中心对称图形；对于C：对于三次函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故在区间（﹣∞，+∞）肯定存在零点；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）=0，正确．解答：解：对于三次函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，A：若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x3﹣x2﹣x，对于f（x）=x3﹣x2﹣x，∵f′（x）=3x2﹣2x﹣1∴由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣，1）∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣），（1，+∞），减区间为：（﹣，1），故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故错；B：∵f（﹣﹣x）+f（x）=（﹣﹣x）3+a（﹣﹣x）2+b（﹣﹣x）+c+x3+ax2+bx+c =﹣+2c，f（﹣）=（﹣）3+a（﹣）2+b（﹣）+c=﹣+c，∵f（﹣﹣x）+f（x）=2f（﹣），∴点P（﹣，f（﹣））为对称中心，故B正确．C：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故∃x0∈R，f（x0）=0，正确；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0）=0，正确．故答案为：A点评：本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算．8．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（）A．6 B．8 C．12 D．16考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求．解答：解：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有×3=6种方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2=6种方法．综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12种，故选C．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．9．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的动点，P到直线A1D1的距离为d，且d2﹣|PM|2=1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线考点：轨迹方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作PQ⊥AD，作QR⊥D1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得PR2﹣PQ2=RQ2=1，又已知PR2﹣PM2=1，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离．解答：解：如图所示：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得PR2﹣PQ2=RQ2=1．又已知PR2﹣PM2=1，∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选：B．点评：本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想，得到PM=PQ是解题的关键．10．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：设出男学生有x人，根据一共有8人得到女学生有8﹣x人，根据从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，得到关于x的等式C x2C8﹣x1A33=90，解出x即可．解答：解：设男学生有x人，则女学生有8﹣x人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案∴C x2C8﹣x1A33=90，∴x（x﹣1）（8﹣x）=30=2×3×5，∴x=3故选B．点评：本题考查排列组合数的实际应用，是一个综合题，解题时思考方法同一般的排列组合一样，根据题意列出等式，得到结果．11．设双曲线﹣=1（0＜a＜b）的半焦距为c，（a，0），（0，b）为直线l上两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为（）A．B．或2 C．2或D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为c，及c2=a2+b2，求出离心率的平方e2，进而求出离心率．解答：解：∵直线l过（a，0），（0，b）两点，∴直线l的方程为：，即 bx+ay ﹣ab=0，∵原点到直线l的距离为c，∴=c．又c2=a2+b2，∴3e4﹣16e2+16=0，∴e2=4，或e2=．∵a＞b＞0，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=，故离心率为e=，故选：A．点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．12．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t 的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．解答：解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故选：B．点评：本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上13．复数z=的共轭复数为﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算法则进行化简即可．解答：解：z==+i，则z=的共轭复数为=﹣i，故答案为：﹣i点评：本题主要考查复数的共轭复数的计算，比较基础．14．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．15．已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，则a的取值X围是[1，+∞）．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：依题意知，f′（x）=+x≥2（x＞0）恒成立⇔a≥2x﹣x2恒成立，令g（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，利用二次函数的对称性、单调性与最值，可求得g（x）max，于是可得a的取值X围．解答：解：∵f（x）=alnx+x2（a＞0），对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，∴f′（x）=+x≥2（x＞0）恒成立，∴a≥2x﹣x2恒成立，令g（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，则a≥g（x）max，∵g（x）=2x﹣x2为开口方向向下，对称轴为x=1的抛物线，∴当x=1时，g（x）=2x﹣x2取得最大值g（1）=1，∴a≥1．即a的取值X围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．点评：本题考查函数恒成立问题，考查导数的几何意义与二次函数的对称性、单调性与最值，考查转化思想．16．方程x|x|﹣y|y|=﹣1的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：①f（x）在R上单调递减；②函数F（x）=f（x）﹣x﹣存在3个零点；③函数y=f（x）的值域是R；④函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程x|x|﹣y|y|=1确定的曲线．其中所有正确的命题序号是②③④．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给的命题的真假性．解答：解：（1）x≥0，y≥0，x2﹣y2=﹣1即y2﹣x2=1，此为a=b=1，实轴为y轴的双曲线在第1象限的部分，增函数；（2）x≥0，y＜0，x2+y2=﹣1不存在；（3）x＜0，y≥0，﹣x2﹣y2=﹣1，x2+y2=1，此为圆心在原点，半径为1的圆在第2象限的部分，增函数；（4）x＜0，y＜0，﹣x2+y2=﹣1，x2﹣y2=1，此为a=b=1，实轴为x轴的双曲线在第3象限的部分，增函数；根据上述情况作出相应的图象，如图所示，故：①f（x）在R上单调递减，错误；②函数f（x）的图象与函数y=x+在第二象限相切，在第一，三象限延长后各有一个交点，即函数f（x）的图象与函数y=x+共有三个交点，即函数F（x）=f（x）﹣x﹣存在3个零点，正确；③函数y=f（x）的值域是R，正确；④函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程﹣x|﹣x|+y|﹣y|=﹣1，即方程x|x|﹣y|y|=1确定的曲线，正确．即正确的命题序号是：②③④，故答案为：②③④点评：本题主要考查了含有绝对值的函数的图象，以及有关圆锥曲线的问题，利用了数形结合的思想，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知书架中甲层有英语书2本和数学书3本，乙层有英语书1本和数学书4本．现从甲、乙两层中各取两本书．（1）求取出的4本书都是数学书的概率．（2）求取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率．考点：相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：（1）设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A，“从乙层取出的2本书均为数学书”的事件为B，则所求的事件的概率等于P（A）P（B）=×，运算求得结果．（2）利用互斥事件的概率加法公式，所求的事件的概率等于×+×，运算求得结果．解答：解：（1）设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A，“从乙层取出的2本书均为数学书”的事件为B，由于A、B相互独立，记“取出的4本书都是数学书的概率”P1，则P1=P（AB）=P（A）P（B）=×=．（2）设“从甲层取出的2本书均为数学书，从乙层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学”的事件为C，“从甲层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学，从乙层取出的2本书中均为数学”的事件为D，由于C，D互斥，记“取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率”为P2P2=P（C+D）=P（C）+P（D）=×+×=．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题．18．已知函数f（x）=ln（x+1）+．（1）当函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线4y﹣x+1=0垂直时，某某数m的值；（2）若x≥0时，f（x）≥1恒成立，某某数m的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到所求m的值；（2）不等式ln（x+1）+≥1在x≥0时恒成立，即m≥x+1﹣（x+1）ln（x+1）在x≥0时恒成立．令g（x）=x+1﹣（x+1）ln（x+1）（x≥0），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令m不小于最大值即可．解答：解：（1）∵f′（x）=﹣，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率k=f′（0）=1﹣m，∵函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线4y﹣x+1=0垂直，∴1﹣m=﹣4，∴m=5；（2）依题意不等式ln（x+1）+≥1在x≥0时恒成立，即m≥x+1﹣（x+1）ln（x+1）在x≥0时恒成立．令g（x）=x+1﹣（x+1）ln（x+1）（x≥0），则g′（x）=1﹣[ln（x+1）+1]=﹣ln（x+1），∴x≥0时，g′（x）≤0，∴函数g（x）在[0，+∞）时为减函数，∴g（x）≤g（0）=1，∴m≥1即实数m的取值X围是[1，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义和不等式恒成立问题，注意运用分离参数和函数的单调性是解题的关键．19．已知平面内一动点P（x，y）（x≥0）到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求△OAB面积的最小值．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，可得当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x=﹣1的距离，所以动点P的轨迹为抛物线；（2）过点F的直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，利用韦达定理，结合△OAB面积=|y1﹣y2|，即可求△OAB面积的最小值．解答：解：（1）∵平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，∴当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x=﹣1的距离，∴动点P的轨迹为抛物线，方程为y2=4x（x≥0）；∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≥0）；（2）设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），过点F的直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴△OAB面积=|y1﹣y2|=，∴m=0时，△OAB面积的最小值为2．点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是确定抛物线的方程，利用韦达定理解题．20．某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）利用条件概率公式，即可求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）确定X的可能取值，利用概率公式即可得到总分X的分布列，代入期望公式即可．解答：解：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件A，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件B，则P（A）=，P（AB）=．…∴该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为P（B|A）=．…（2）X的可能取值为：0，10，20，30，则P（X=0）==，P（X=10）=+=，P（X=20）==，P（X=30）=1﹣﹣﹣=．…∴X的分布列为X 0 10 20 30p…∴X的数学期望为EX=0×+10×+20×+30×=．…点评：此题考查了独立事件，条件概率的概率公式，随机变量的分布列及其期望，重点考查了学生对于题意的正确理解及准确的计算能力．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（I）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由条件利用椭圆的性质求得 b和a的值，可得椭圆C的方程．（Ⅱ）（i）设AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简，由△＞0，求得t的X围，再利用利用韦达定理可得 x1+x2以及x1+x2的值．再求得P、Q的坐标，根据四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|，计算求得结果．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简求得x2+2=．再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x2+2 的值，可得 x1+x2以及x1﹣x2的值，从而求得AB的斜率K的值．解答：解：设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（0，），∴b=．再根据离心率===，求得a=2，∴椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）（i）设A（ x1，y1），B（ x2，y2），AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简可得 x2+2tx+2t2﹣4=0，由△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，求得﹣2＜t＜2．利用韦达定理可得 x1+x2=﹣2t，x1+x2=2t2﹣4．在+=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，﹣1），∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|===，故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最小值为4．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，设PA的斜率为k，则 PB的斜率为﹣k，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣8=0，∴x2+2=．同理可得直线PB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2），x2+2=，∴x1+x2=，x1﹣x2=，∴AB的斜率K======．点评：本题主要考查求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义、性质的应用，直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式、韦达定理的应用，属于难题．22．已知函数f（x）=lnx，g（x）=，F（x）=f（x）+g（x）．（1）当a＜0时，求函数F（x）的单调区间；（2）若函数F（x）在区间[1，e]上的最小值是，求a的值；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C （x0，y0），直线AB的斜率为k，证明：k＞f′（x0）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求出F（x）=lnx+的导数，导数大于0，即可求函数的增区间；（2）对a进行分类讨论，分别求出各种情况下的函数在[1，e]上的最小值令其为，解方程求得a的值；（3）对于当a=0时，先把f（x）=lnx具体出来，然后求导函数，得到f′（x0），在利用斜率公式求出过这两点的斜率公式，利用构造函数并利用构造函数的单调性比较大小．解答：（1）解：F（x）=lnx+，则F′（x）=，∵a＜0，x＞0，∴F′（x）＞0，∴函数F（x）的单调增区间是（0，+∞）；（2）解：在[1，e]上，分如下情况讨论：1．当a＜1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=a＜1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；2．当a=1时，函数f（x）在（1，e]单调递增，其最小值为f（1）=1，同样与最小值是相矛盾；3．当1＜a＜e时，函数f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，单调递减，在（a，e]上有f'（x）＞0，单调递增，∴函数f（x）的最小值为f（a）=lna+1=，得a=．4．当a=e时，函数f（x）在[1，e）上有f'（x）＜0，单调递减，其最小值为f（e）=225，还与最小值是相矛盾；5．当a＞e时，显然函数f（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为f（e）=1+＞2，仍与最小值是相矛盾．综上所述，a的值为．（3）证明：当a=0时，f（x）=lnx∴f′（x）=∴f'（x0）=又k==不妨设x2＞x1，要比较k与f'（x0）的大小，即比较与的大小，又∵x2＞x1，∴即比较ln与=的大小．令h（x）=lnx﹣（x≥1），则h′（x）=≥0∴h（x）在[1，+∞）上是增函数．又＞1，∴h（）＞h（1）=0，∴ln＞，即k＞f'（x0）．点评：此题考查了利用导函数求函数的单调的增区间，还考查了构造函数并利用构造的函数的单调性把问题转化为恒成立的问题，重点考查了学生的转化的思想及构造的函数与思想．。

高2015届-七中林荫-高一上期期末复习(解析版)

2013-2014学年四川省成都七中高一（上）期末数学复习试卷一、选择题：1．（3分）若关于x的方程ax2﹣2x+1=0的解集中有且仅有一个元素，则实数a的值组成的集合中的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（3分）设集合A中含有元素2，3，a2+2a﹣3，集合B中含有元素2，|a+3|，若5∈A且5∉B，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．43．（3分）下列每个选项中集合M与N表示同一集合的是（）A．M={（3，2）}，N={（2，3）}B．M={4，5}，N={5，4}C．M={1，2}，N={（1，2）}D．M={（x，y）x+y=1}，N={y|x+y=1}4．（3分）已知a∈Z，A={（x，y）|ax﹣y≤3}，且（2，1）∈A，（1，﹣4）∉A，则不满足条件的a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．35．（3分）满足{a，b}⊊M⊊{a，b，c，d，e}的集合M的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．96．（3分）已知集合，，P={x|x=，则M，N，P的关系（）A．M=N⊊P B．M⊊N=P C．M⊊N⊊P D．N⊊P⊊M7．（3分）已知集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1}，若Q⊆P，那么a的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0，1或﹣18．（3分）设集合S={x|x＞1，x＜﹣1}，T={x|a＜x＜a+8}，若S∪T=R，则a的取值范围是（）A．﹣7＜a＜﹣1 B．﹣7≤a≤﹣1 C．a≤﹣7或a≥﹣1 D．a＜﹣7或a＞﹣19．（3分）如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩∁I S D．（M∩P）∪∁I S10．（3分）设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是（）A．（∁I A）∪B=I B．（∁I A）∪（∁I B）=I C．A∩（∁I B）=∅D．（∁I A）∩（∁I B）=∁I B二、填空题：11．（3分）已知三个元素3，x，x2﹣2x构成一个集合，则实数x应满足的条件为．12．（3分）满足{a，b}⊊A⊆{a，b，c，d，e}的集合A有个．13．（3分）设集合A={x|x+m≥0}，B={x|﹣2＜x＜4}，全集U=R，且（∁U A）∩B=∅，求实数m的取值范围为．14．（3分）若f（x）=ax2﹣，且f[f（）]=﹣，则a=．三、解答题：15．已知集合A={a﹣2，2a2+5a，12}且﹣3∈A，求a．16．实数集A满足条件：若a∈A，则（a≠1）．求证：①若2∈A，则A中必还有另外两个元素；②集合A不可能是单元素集．17．若集合M={x|x2+x﹣6=0}，N={x|ax﹣1=0}，且N⊆M，求实数a的值．18．设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，其中x∈R，若B⊆A，求实数a 的取值范围．19．设集合A={（x，y）|2x+y=1，x，y∈R}，B={（x，y）|a2x+2y=a，x，y∈R}，若A∩B=∅，求a的值．20．已知全集U=R，集合A=．求：（1）A∩B；（2）（∁U B）∪P；（3）（A∩B）∩（∁U P）．2013-2014学年四川省成都七中高一（上）期末数学复习试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题：1．（3分）（2013秋•武侯区校级期末）若关于x的方程ax2﹣2x+1=0的解集中有且仅有一个元素，则实数a的值组成的集合中的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】讨论a=0与a≠0，从而求实数a的值组成的集合中的元素个数．【解答】解：若a=0，则﹣2x+1=0，解集中有且仅有一个元素，成立；若a≠0，△=4﹣4a=0，则a=1．故实数a的值组成的集合中的元素个数为2．故选B．【点评】本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题．2．（3分）（2013秋•武侯区校级期末）设集合A中含有元素2，3，a2+2a﹣3，集合B中含有元素2，|a+3|，若5∈A且5∉B，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【分析】本题根据题意，进行分类讨论，列出a满足的相等关系和不等关系，得到符合条件的a的值，即得到本题结论．【解答】解：∵集合A中含有元素2，3，a2+2a﹣3，5∈A，∴a2+2a﹣3=5，∴a2+2a﹣8=0，∴x=2或x=﹣4．∵集合B中含有元素2，|a+3|，且5∉B，∴|a+3|≠5，∴a≠2且a≠﹣8．∴x=﹣4．故选A．【点评】本题考查了元素与集合的关系，本题思维量不大，属于基础题．3．（3分）（2013秋•武侯区校级期末）下列每个选项中集合M与N表示同一集合的是（）A．M={（3，2）}，N={（2，3）}B．M={4，5}，N={5，4}C．M={1，2}，N={（1，2）}D．M={（x，y）x+y=1}，N={y|x+y=1}【分析】M={（3，2）}，N={（2，3）}表示不同的点；由集合中的元素具有无序性，M={4，5}，N={5，4}，知集合M与N表示的是同一集合；M={1，2}是两个元素1，2组成的数集，N={（1，2）}是一个点（1，2）组成的点集；M={（x，y）|x+y=1}表示的是点集，N={y|x+y=1}表示的是数集．【解答】解：在A中，∵M={（3，2）}，N={（2，3）}表示不同的点，∴集合M与N表示的不是同一集合；在B中，∵集合中的元素具有无序性，M={4，5}，N={5，4}，∴集合M与N表示的是同一集合；在C中，∵M={1，2}是两个元素1，2组成的数集，N={（1，2）}是一个点（1，2）组成的点集，∴集合M与N表示的不是同一集合；在D中，∵M={（x，y）|x+y=1}表示的是点集，N={y|x+y=1}表示的是数集，∴集合M与N表示的不是同一集合．故选B．【点评】本题考查集合的概念和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意集合相等的概念的灵活运用．4．（3分）（2013秋•武侯区校级期末）已知a∈Z，A={（x，y）|ax﹣y≤3}，且（2，1）∈A，（1，﹣4）∉A，则不满足条件的a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】本题可将选项的逐一代入集合A中，然后验证是否符合题意，可得本题结论．【解答】解：（1）当a=0时，不等式ax﹣y≤3即为﹣y≤3，将x=2，y=1代入上式，得到﹣1≤3，恒成立，故（2，1）∈A成立；将x=1，y=﹣4代入上式，得到﹣（﹣4）≤3 不成立，故（2，1）∉A成立．∴a=0满足条件．（2）当a=1时，不等式ax﹣y≤3即为x﹣y≤3，将x=2，y=1代入上式，得到2﹣1≤3，恒成立，故（2，1）∈A成立；将x=1，y=﹣4代入上式，得到1﹣（﹣4）≤3，不成立，故（2，1）∉A成立．∴a=1满足条件．（3）当a=2时，不等式ax﹣y≤3即为2x﹣y≤3，将x=2，y=1代入上式，得到2×2﹣1≤3，恒成立，故（2，1）∈A成立；将x=1，y=﹣4代入上式，得到2×1﹣（﹣4）≤3，不成立，故（2，1）∉A成立；∴a=2满足条件．（4）当a=3时，不等式ax﹣y≤3即为3x﹣y≤3，将x=2，y=1代入上式，得到3×2﹣1≤3，不成立，故（2，1）∉A成立；将x=1，y=﹣4代入上式，得到3×1﹣（﹣4）≤3，原不等式成立，故（2，1）∉A成立；∴a=3不满足条件．故选D．【点评】本题考查的是集合与元素的关系和线性规划的知识，本题难度不大，属于基础题．5．（3分）（2015秋•晋城期末）满足{a，b}⊊M⊊{a，b，c，d，e}的集合M的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据题意，列举满足{a，b}⊆M⊊{a，b，c，d，e}的集合M，即可得答案．【解答】解：根据题意，满足{a，b}⊊M⊊{a，b，c，d，e}的集合M有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，共6个；故选A．【点评】本题考查集合的子集的判断，解题时要注意符号“⊆”与“⊊”的不同含义．6．（3分）（2013•西湖区校级模拟）已知集合，，P={x|x=，则M，N，P的关系（）A．M=N⊊P B．M⊊N=P C．M⊊N⊊P D．N⊊P⊊M【分析】N={x|x=，n∈Z}，x==，n∈Z；P={x|x=，P∈Z}，x==；N===p，M={x|x=m+，m∈Z}，x=m+=，M，N，P三者分母相同，所以只需要比较他们的分子．M：6的倍数+1，N=P：3的倍数+1，所以M⊊N=P．【解答】解：N={x|x=，n∈Z}，x==，n∈Z．P={x|x=，P∈Z}，x==，N===P，M={x|x=m+，m∈Z}，x=m+=，M，N，P三者分母相同，所以只需要比较他们的分子．M：6的倍数+1，N=P：3的倍数+1，所以M⊊N=P，故选B．【点评】本题考查集合的包含关系的判断及其应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．7．（3分）（2013秋•武侯区校级期末）已知集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1}，若Q⊆P，那么a的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0，1或﹣1【分析】先化简P，再根据Q⊆P分情况对参数的取值进行讨论，即可求出参数a的取值集合．【解答】解：∵P={x|x2=1}={1，﹣1}，Q={x|ax=1}，Q⊆P，∴当Q是空集时，有a=0显然成立；当Q={1}时，有a=1，符合题意；当Q={﹣1}时，有a=﹣1，符合题意；故满足条件的a的值为1，﹣1，0．故选D．【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是根据包含关系的定义对集合Q 的情况进行正确分类，本题求解中有一易错点，就是忘记讨论Q是空集的情况，分类讨论时一定注意不要漏掉情况．8．（3分）（2013秋•武侯区校级期末）设集合S={x|x＞1，x＜﹣1}，T={x|a＜x＜a+8}，若S∪T=R，则a的取值范围是（）A．﹣7＜a＜﹣1 B．﹣7≤a≤﹣1 C．a≤﹣7或a≥﹣1 D．a＜﹣7或a＞﹣1【分析】由S与T，根据两集合的并集为R列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．【解答】解：∵S={x|x＞1或x＜﹣1}，T={x|a＜x＜a+8}，且S∪T=R，∴a＜﹣1，a+8＞1，解得：﹣7＜a＜﹣1，故选A【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．9．（3分）（1999•广东）如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩∁I S D．（M∩P）∪∁I S【分析】观察阴影部分所表示的集合中元素的特点，它具有在集合P和M中，不在集合S 中，利用集合元素的含义即可解决．【解答】解：依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈C I S，所以阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩C I S，故选：C．【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题．10．（3分）（2004•山东）设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是（）A．（∁I A）∪B=I B．（∁I A）∪（∁I B）=I C．A∩（∁I B）=∅D．（∁I A）∩（∁I B）=∁I B【分析】先画出文氏图，据图判断各答案的正确性，或者利用特殊元素法．【解答】解一：∵A、B、I满足A⊆B⊆I，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A、C、D都是正确的，故选B．解二：设非空集合A、B、I分别为A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}且满足A⊆B⊆I．根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D都是正确的，故选B．【点评】本题体现数形结合的数学思想和特殊值的方法．二、填空题：11．（3分）（2013秋•武侯区校级期末）已知三个元素3，x，x2﹣2x构成一个集合，则实数x应满足的条件为x≠3且x≠0且x≠﹣1．【分析】本题根据集合中元素的互异性，得到相应的不等式关系式，解不等式，可得到本题的结论．【解答】解：∵根据集合中元素的互异性，∴，∴x≠3且x≠0且x≠﹣1．故答案：x≠3且x≠0且x≠﹣1．【点评】本题考查了集合中元素的互异性，本题思维量小，属于基础题．12．（3分）（2013秋•武侯区校级期末）满足{a，b}⊊A⊆{a，b，c，d，e}的集合A有7个．【分析】集合A一定要含有a、b两个元素，且至少要多一个，多的元素只能从c、d、e中选，推出集合A可以是下面7个集合．【解答】解：A可以为{c，a，b}，{a，b，d}，{a，b，e}，{c，a，b，d}，{c，a，b，e}，{a，b，d，e}，{c，a，b，d，e}个数为7．故答案为：7．【点评】子集包括真子集和它本身，集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个，真子集2n﹣1个．13．（3分）（2013秋•武侯区校级期末）设集合A={x|x+m≥0}，B={x|﹣2＜x＜4}，全集U=R，且（∁U A）∩B=∅，求实数m的取值范围为m≥2．【分析】把集合A化简后，求其补集，然后根据（∁U A）∩B=∅选取m的取值范围．【解答】解：集合A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m}，全集U=R，所以C U A={x|x＜﹣m}，又B={x|﹣2＜x＜4}，且（∁U A）∩B=∅，所以有﹣m≤﹣2，所以m≥2．故答案为m≥2．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是熟练交、并、补集的概念，同时注意端点值得选取，属易错题．14．（3分）（2013秋•武侯区校级期末）若f（x）=ax2﹣，且f[f（）]=﹣，则a= 0或．【分析】直接利用函数的解析式，由里及外推出方程，求解即可．【解答】解：∵f（x）=ax2﹣，∴f（）=2a﹣，∴f[f（）]=a（2a﹣）2﹣=﹣．∴a=0或．故答案为：0或．【点评】本题考查函数的零点，方程的根的求法，函数值的求解，考查计算能力．三、解答题：15．（2013秋•武侯区校级期末）已知集合A={a﹣2，2a2+5a，12}且﹣3∈A，求a．【分析】由于﹣3∈A则a﹣2=﹣3或2a2+5a=﹣3，求出a的值然后再代入再根据集合中元素的互异性对a进行取舍．【解答】解：∵﹣3∈A∴﹣3=a﹣2或﹣3=2a2+5a∴a=﹣1或a=﹣∴当a=﹣1时，a﹣2=﹣3，2a2+5a=﹣3，不符合集合中元素的互异性，故a=﹣1应舍去当a=﹣时，a﹣2=﹣，2a2+5a=﹣3，满足∴a=﹣【点评】本题主要考察了集合中元素的互异性，属常考题型，较难．解题的关键是求出a 的值后要回代到集合中利用集合中元素的互异性进行检验！16．（2013秋•武侯区校级期末）实数集A满足条件：若a∈A，则（a≠1）．求证：①若2∈A，则A中必还有另外两个元素；②集合A不可能是单元素集．【分析】①根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；②可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；【解答】证明：①若a∈A，则．又∵2∈A，∴∵﹣1∈A，∴．∵，∴．∴A中另外两个元素为﹣1，②若A为单元素集，则，即a2﹣a+1=0，方程无解．∴，∴A不可能为单元素集．【点评】此题主要考查集合与元素之间的关系，注意集合内元素的互异性，是一道基础题．17．（2013秋•武侯区校级期末）若集合M={x|x2+x﹣6=0}，N={x|ax﹣1=0}，且N⊆M，求实数a的值．【分析】先求出集合M的元素，然后根据N⊆M，讨论集合N的可能性，最后分别求出每一种情形下a的取值即可．【解答】解：∵M={x|x2+x﹣6=0}，N={x|ax﹣1=0}且N⊆M∴M={﹣3，2}N=∅或{﹣3}或{2}N=∅时，a=0N={﹣3}时，a=N={2}时，a=【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，本题体现了分类讨论的思想方法，属于基础题．18．（2013秋•武侯区校级期末）设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，其中x ∈R，若B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】先求集合A，利用B⊆A，建立不等关系，进行求解即可．【解答】解：A={x|x2+4x=0}={0，﹣4}，∵B⊆A．①若B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，得a＜﹣1；②若B={0}，则，解得a=﹣1；③B={﹣4}时，则，此时方程组无解．④B={0，﹣4}，，解得a=1．综上所述实数a=1 或a≤﹣1．【点评】本题主要考查利用集合关系求参数的应用，注意分类讨论，利用一元二次方程根的个数和判别式之间的关系是解决本题的关键．19．（2013秋•武侯区校级期末）设集合A={（x，y）|2x+y=1，x，y∈R}，B={（x，y）|a2x+2y=a，x，y∈R}，若A∩B=∅，求a的值．【分析】由A∩B=∅，可得两直线无交点，即方程组无解．而由方程组可得（4﹣a2）x=2﹣a．再由（4﹣a2）x=2﹣a无解，可得，由此解得a的值．【解答】解：由于集合A、B的元素都是点，A∩B的元素是两直线的公共点．由A∩B=∅，可得两直线无交点，即方程组无解．而由方程组可得（4﹣a2）x=2﹣a．由题意可得（4﹣a2）x=2﹣a无解，∴，解得a=﹣2．【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，求两条直线的交点个数问题，体现了等价转化的思想，属于基础题．20．（2013秋•武侯区校级期末）已知全集U=R，集合A=．求：（1）A∩B；（2）（∁U B）∪P；（3）（A∩B）∩（∁U P）．【分析】（1）根据交集概念直接求解；（2）先求集合B在实数集中的补集，再与P取并；（3）求出集合P在实数集中的补集，然后与（1）中求出的A∩B取交集．【解答】解：（1）因为A={x|﹣4≤x＜2}，B={x|﹣1＜x≤3}，所以，A∩B={x|﹣1＜x＜2}；（2）因为U=R，所以C U B={x|x≤﹣1，或x＞3}，又P={x|x≤0或x}，所以（C U B）∪P={x|x≤0或x}，（3）因为P={x|x≤0或x}，所以C U P={x|0＜x＜}，又A∩B={x|﹣1＜x＜2}，所以（A∩B）∩（C U P）={x|0＜x＜2}．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是熟练交、并、补集的概念，属基础题．参与本试卷答题和审题的老师有：炫晨；王老师；zlzhan；qiss；ywg2058；sllwyn；yhx01248；caoqz；sxs123；蔡华侨；小张老师；minqi5；maths（排名不分先后）菁优网2016年11月14日第11页（共11页）。

2018-2019学年四川省广安市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2018-2019学年四川省广安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择題（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．（5分）已知空间直角坐标系中A（2，﹣1，﹣2），B（3，2，1），则|AB|＝（（）A．B．C．D．2．（5分）直线的倾斜角大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．（5分）以x＝1为准线的抛物线的标准方程为（）A．y2＝2x B．y2＝﹣2x C．y2＝4x D．y2＝﹣4x 4．（5分）“若x＜1，则x2﹣3x+2＞0”的否命题是（）A．若x≥1，则x2﹣3x+2≤0B．若x＜l，则x2﹣3x+2≤0C．若x≥1，则x2﹣3x+2＞0D．若x2﹣3x+2≤0，则x≥15．（5分）已知直线l：x+ay+1＝0与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则a为（）A．﹣B．C．D．﹣6．（5分）设某高中的学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.67x ﹣60.9，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该高中某学生身高为170cm，则可断定其体重必为53kgD．若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加0.67kg7．（5分）“2＜m＜6”是“方程+＝1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）组成一个样本，得到如图所示的茎叶图．若甲、乙两种棉花纤维的平均长度分别用，表示，标准差分别用s1，s2表示，则（）A．＞，s 1＞s2B．＞，s1＜s2C．＜，s 1＞s2D．＜，s1＜s29．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．16B．18C．48D．14310．（5分）小华和小明两人约定在7：30到8：30之间在“思源广场”会面，并约定先到者等候另一人30分钟，过时离去，则两人能会面的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F（0，﹣6），点A（﹣，0），点P为双曲线第二象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为（）A．16B．7+3C．14+D．1812．（5分）已知A，B是以F为焦点的抛物线y2＝4x上两点，且满足＝5，则弦AB 中点到准线距离为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）把二进制数10011（2）转化为十进制的数为．14．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则它的右焦点到它的渐近线的距离是．15．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，抛物线y2＝4cx（c2＝a2﹣b2且c＞b）与椭圆C在第一象限的交点为P，若cos∠PF1F2＝，则椭圆C的离心率为．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知直线l1：kx﹣2y+k﹣8＝0（k∈R），l2：2x+y+1＝0．（Ⅰ）若l1∥l2，求l1，l2间的距离；（Ⅱ）求证：直线l1必过第三象限．18．（12分）已知命题p：实数m满m2﹣2am﹣3a2＜0，其中a＞0；命题q：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣10＝0的内部．（Ⅰ）当a＝1，p∧q为真时，求m的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．19．（12分）已知线段AB的端点B在圆C1：x2+（y﹣4）2＝16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，（Ⅰ）试求M点的轨迹C2方程；（Ⅱ）若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长．20．（12分）随着2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮广安某社团调查了广安某校300名学生每天诵读诗词的时间（所有学生诵读时间都在两小时内，并按时间（单位：分钟）将学生分成六个组：[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），[100，120]经统计得到了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生每天诵读诗词的时间的平均数和中位数．（Ⅱ）若两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x﹣y|＞60，则这两个同学组成一个“Team”，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Team”的概率．21．（12分）已知椭圆C：+y2＝1（a＞0），过椭圆C右顶点和上顶点的直线l与圆x2+y2＝相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2＝2，证明：直线AB过定点．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2．（Ⅰ）求l的直角坐标方程和C的直角坐标方程；（Ⅱ）若l和C相交于A，B两点，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝|2x﹣4|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞g（x）的解集．（Ⅱ）若存在x∈R，使得不等式2f（x+1）+g（x）＜ax+1成立，求实数a的取值范围．2018-2019学年四川省广安市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择題（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．【解答】解：∵空间直角坐标系中A（2，﹣1，﹣2），B（3，2，1），∴|AB|＝＝．故选：B．2．【解答】解：由题意，直线的斜率为k＝，即直线倾斜角的正切值是又倾斜角大于或等于0°且小于180°，故直线的倾斜角为30°，故选：A．3．【解答】解：以x＝1为准线的抛物线，开口向左，可得p＝2，所以抛物线的标准方程为：y2＝﹣4x．故选：D．4．【解答】解：若p则q的否命题为若￢p则￢q，即命题的否命题为：若x≥1，则x2﹣3x+2≤0，故选：A．5．【解答】解：根据题意，直线l：x+ay+1＝0与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则有＝1，解可得：a＝﹣；故选：D．6．【解答】解：根据y与x的线性回归方程为＝0.67x﹣60.9，则b＝0.67＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该高中某学生身高为170cm，则可预测其体重必为53kg，C错误；若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加0.67kg，D正确．∴不正确的结论是C．故选：C．7．【解答】解：若方程+＝1为椭圆方程，则，解得：2＜m＜6，且m≠4，故“2＜m＜6”是“方程+＝1为椭圆方程”的必要不充分条件，故选：B．8．【解答】解：由茎叶图得：甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方，∴＜，s 1＞s2．故选：C．9．【解答】解：初始值n＝3，x＝3，程序运行过程如下表所示：v＝1i＝2，v＝1×3+2＝5i＝1，v＝5×3+1＝16i＝0，v＝16×3+0＝48i＝﹣1，不满足条件，跳出循环，输出v的值为48．故选：C．10．【解答】解：设记7：30为0，则8：30记为60，设小华到达“思源广场”为x时刻，小明小华到达“思源广场”为y时刻，则0≤x≤60，0≤y≤60，记“两人能会面”为事件A，则事件A：|x﹣y|≤30，由图知：两人能会面的概率是：＝＝，故选：B．11．【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F（0，﹣6），可得，c＝＝6，a＝2，b＝4．双曲线方程为，设双曲线的上焦点为F'（0，6），则|PF|＝|PF'|+4，△P AF的周长为|PF|+|P A|+|AF|＝|PF'|+2a+|P A|+AF，当P点在第二象限时，|PF'|+|P A|的最小值为|AF'|＝7，故△P AF的周长的最小值为14+4＝18．故选：D．12．【解答】解：设BF＝m，由抛物线的定义知AA1＝5m，BB1＝m，∴△ABC中，AC＝4m，AB＝6m，kAB＝，直线AB方程为y＝（x﹣1），与抛物线方程联立消y得5x2﹣26x+5＝0，所以AB中点到准线距离为+1＝+1＝．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：10011（2）＝1+1×2+1×24＝19故答案为：1914．【解答】解：双曲线x2﹣y2＝1，可得a＝1，b＝1，c＝，则右焦点（1，0）到它的渐近线y＝x的距离为d＝＝．故答案为：．15．【解答】解：∵命题“∃x0∈R，x+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0”是真命题，即对应的判别式△＝（a﹣1）2﹣4≤0，即（a﹣1）2≤4，∴﹣2≤a﹣1≤2，即﹣1≤a≤3，故答案为：[﹣1，3]．16．【解答】解：抛物线y2＝4cx的焦点为F2（c，0），如下图所示，作抛物线的准线l，则直线l过点F1，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，由抛物线的定义知|PE|＝|PF2|，易知，PE∥x轴，则∠EPF1＝∠PF1F2，所以，＝，设|PF1|＝5t（t＞0），则|PF2|＝4t，由椭圆定义可知，2a＝|PF1|+|PF2|＝9t，在△PF1F2中，由余弦定理可得，整理得，解得，或．∵c＞b，则c2＞b2＝a2﹣c2，可得离心率．当时，离心率为，合乎题意；当时，离心率为，不合乎题意．综上所述，椭圆C的离心率为．故答案为：．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（Ⅰ）若l1∥l2，直线l1：kx﹣2y+k﹣8＝0（k∈R），l2：2x+y+1＝0，则有＝≠，求得k＝﹣4，故直线l1即：2x+y+6＝0，故l1，l2间的距离为＝．（Ⅱ）证明：直线l1：kx﹣2y+k﹣8＝0（k∈R），即k（x+1）﹣2y﹣8＝0，必经过直线x+1＝0和直线﹣2y﹣8＝0的交点（﹣1，﹣4），而点（﹣1，﹣4）在第三象限，直线l1必过第三象限．18．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，命题p：m2﹣2m﹣3＜0，﹣1＜m＜3，命题q：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣10＝0的内部，∴m2﹣4＜0，∴﹣2＜m＜2，∵p∧q为真，∴m的取值范围为（﹣1，3）∩（﹣2，2）＝（﹣1，2）；（Ⅱ）命题p：（m﹣3a）（m+a）＜0，∵a＞0，∴﹣a＜m＜3a，设A＝（﹣a，3a）命题q：﹣2＜m＜2，设B＝（﹣2，2）∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴￢p⇒￢q，￢q推不出￢p，∴q⇒p，p推不出q，∴B⊊A，∴，∴a≥2，∴a的取值范围为[2，+∞）．19．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），B（x′，y′），则由题意可得：，解得：，∵点B在圆C1：x2+（y﹣4）2＝16上，∴（x′）2+（y′﹣4）2＝16，∴（2x﹣4）2+（2y﹣4）2＝16，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．∴轨迹C2方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4；（Ⅱ）由方程组，解得直线CD的方程为x﹣y﹣1＝0，圆C1的圆心C1（0，4）到直线CD的距离为，圆C1的半径为4，∴线段CD的长为．20．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（a+a+6a+8a+3a+a）×20＝1，解得a＝0.0025．该校学生每天诵读诗词的时间的平均数为：0.05×10+0.05×30+0.3×50+0.4×70+0.15×90+0.05×110＝64．[0，60）的频率为：0.05+0.05+0.3＝0.4，[60，80）的频率为：0.4，∴估计该校学生每天诵读诗词的时间的中位数为：60+＝65．（Ⅱ）从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，则从每天诵读时间小于20分钟的学生中抽取：5×＝1人，从每天诵读时间大于或等于80分钟的所有学生中抽取：5×＝4人，现从这5人中随机选取2人，基本事件总数n＝＝10，两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x﹣y|＞60，则这两个同学组成一个“Team”，选取的两人能组成一个“Team”包含的基本事件个数m＝＝4．∴选取的两人能组成一个“Team”的概率p＝＝＝．21．【解答】解：（1）椭圆C的右顶点（a，0），上顶点（0，1），设直线l的方程为：+y＝1，化为：x+ay﹣a＝0，∵直线l与圆x2+y2＝相切，∴＝，a＞0，解得a＝．∴椭圆C的方程为．（2）当直线AB的斜率不存在时，设A（x0，y0），则B（x0，﹣y0），由k1+k2＝2得，得x0＝﹣1．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+m（m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），，得，∴，即，由m≠1，（1﹣k）（m+1）＝﹣km⇒k＝m+1，即y＝kx+m＝（m+1）x+m⇒m（x+1）＝y﹣x，故直线AB过定点（﹣1，﹣1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴l的直角坐标方程为+＝0，∵曲线C的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2，即ρ2+ρ2sin2θ＝2，∴C的直角坐标方程为x2+y2+y2＝2，即＝1．（2）联立，得7x2+12x+4＝0，△＝144﹣4×7×4＝32＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴|AB|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）由|x﹣1|＞|2x﹣4|，得：x2﹣2x+1＞4x2﹣16x+16，解得：＜x＜3，故不等式的解集是（，3）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得不等式2f（x+1）+g（x）＜ax+1成立，即存在x∈R，使得2|x|+|2x﹣4|＜ax+1成立，当x＜0时，﹣4x+4＜ax+1即a＜﹣4在（﹣∞，0）上有解，故a＜﹣4，当x＝0时，4＜1不成立，当0＜x≤2时，4＜ax+1即a＞在（0，2]上有解，故a＞，当x＞2时，4x﹣4＜ax+1即a＞4﹣在（2，+∞）上有解，故a＞，综上，a＞或a＜﹣4．。

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2014-2015年四川省雅安市高二第一学期数学期末试卷(理科)及解析

17．（12 分）已知圆 C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4 与直线 l：x+y﹣3=0，且直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 （Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）当 a＞0 时，求过点（3，5）且与圆 C 相切的直线方程． 18．（12 分）已知函数：f（x）=ax2+x﹣a﹣1，a∈R，g（x）=﹣2x2﹣3x﹣2a （1）当 a=2 时，解不等式 f（x）＞0；（2）若 f（x）＞g（x）对一切 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围． 19．（12 分）如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC=30°，BM⊥AC 交 AC 于点 M，EA⊥平面 ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明 EM⊥BF；（2）请在图中作出平面 ABC 与平面 BEF 的交线（不要求证明）（3）求平面 BEF 和平面 ABC 所成的锐二面角的正切值．
8．（5 分）设 x，y 满足约束条件：
，则 z=2x﹣y 的最小值为（
A．6
B．﹣6
C． +
D．﹣7 =1 恒有公共点，则实数
9．（5 分）已知对 k∈R，直线 y﹣kx﹣1=0 与椭圆 m 的取值范围是（ A．（0，1） C．[1，5）∪（5，+∞））
B．（0，5） D．[1，5）
10．（5 分）在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（ A． π B． π C．（6﹣2 ）π D． π ）
A．长方体 3．（5 分）与椭圆 A． C．
B．球
C．圆锥
D．圆柱））
+y2=1 共焦点且过点 P（2，1）的双曲线方程是（ B． D．） ≥2

河北省邯郸市永年二中高二数学上学期期末试卷理(含解析)-人教版高二全册数学试题

某某省某某市永年二中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞02．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜3．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．4．（5分）抛物线y=﹣的准线方程为（）A．x=B．y=C．x=D．y=5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．146．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值X围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．8．（5分）若不等式x2+px+q＜0的解集为（﹣）则不等式qx2+px+1＞0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣）D．R9．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．y=±4x D．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（）A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：411．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．812．（5分）已知命题p：△ABC所对应的三个角为A，B，C．A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件；命题q：函数的最小值为1；则下列四个命题中正确的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为．14．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则通项公式a n=．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=．16．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式≤0恒成立，则m的最大值为．三、解答题17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）已知p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1≤m2（m＞0）；若￢p是￢q的必要非充分条件，某某数m的取值X围．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．20．（12分）已知二次函数．f（x）=x2+（2a﹣1）x+1﹣2a（1）判断命题：“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”的真假，并写出判断过程（2）若y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点．某某数a的X围．21．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．22．（12分）已知圆A：（x+2）2+y2=，圆B：（x﹣2）2+y2=，动圆P与圆A、圆B均外切．（Ⅰ）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求|MN|的最小值．某某省某某市永年二中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0考点：命题的否定．分析：根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．解答：解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选D．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的转化．注意：全称命题的否定是特称命题．2．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．3．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：结合已知，根据正弦定理，可求AC解答：解：根据正弦定理，，则故选B点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题4．（5分）抛物线y=﹣的准线方程为（）A．x=B．y=C．x=D．y=考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线方程化为标准方程，求出p，即可得到抛物线的准线方程．解答：解：抛物线方程y=﹣，可化为x2=﹣6y，∴2p=6，∴=，∴抛物线的准线方程为y=．故选B．点评：本题考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，将抛物线方程化为标准方程是关键．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．14考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6解答：解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C．点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．6．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n}”不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}”为递增数列的既不充分也不必要条件，故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值X围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的X围解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义8．（5分）若不等式x2+px+q＜0的解集为（﹣）则不等式qx2+px+1＞0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣）D．R考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由条件可得，﹣，是方程x2+px+q=0的两个实根，运用韦达定理求出p，q，再由二次不等式的解法，即可得到．解答：解：由条件可得，﹣，是方程x2+px+q=0的两个实根，则﹣=﹣p，且=q，即p=，q=﹣，则不等式qx2+px+1＞0，即为﹣x2+x+1＞0，即为x2﹣x﹣6＜0，解得，﹣2＜x＜3．故选B．点评：本题考查二次不等式的解法，考查韦达定理和运用，考查运算能力，属于中档题．9．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．y=±4x D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用离心率公式，令c=t，a=2t，则b==t，再由渐近线方程，即可得到结论．解答：解：双曲线的离心率为，则=，令c=t，a=2t，则b==t，则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=±2x，故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（）A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：4考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由题意可得三边即 a、a﹣1、a﹣2，由余弦定理可得 cosA=，再由3b=20acosA，可得 cosA=，从而可得=，由此解得a=6，可得三边长，根据sinA：sinB：sinC=a：b：c，求得结果．解答：解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为a、a﹣1、a﹣2．由余弦定理可得 cosA===，又3b=20acosA，可得 cosA==．故有=，解得a=6，故三边分别为6，5，4．由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a﹣1）：（ a﹣2）=6：5：4，故选D．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出a=6是解题的关键，属于中档题．11．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：由新定义得到数列{b n}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．解答：解：依题意可得b n+1=qb n，则数列{b n}为等比数列．又，则b50=2．∴，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故选：B．点评：本题是新定义题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．12．（5分）已知命题p：△ABC所对应的三个角为A，B，C．A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件；命题q：函数的最小值为1；则下列四个命题中正确的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：利用三角恒等变换证明在△ABC中，A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件；利用基本不等式求函数的最小值，证明命题q为真命题，再根据复合命题真值表依次判断可得答案．解答：解：∵在△ABC中，cos2B＞cos2A⇔1﹣2sin2B＞1﹣2sin2A⇔sin2B＜sin2A⇔sinA＞sinB⇔A＞B故A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件，即命题p为真命题；∵x∈（0，），∴函数y=+tanx+2﹣1≥2﹣1=1，∴命题q为真命题；由复合命题真值表知，p∧q为真命题；p∧（￢q）为假命题；￢p∧q为假命题；￢p∧￢q 为假命题，故选A．点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查基本不等式的应用及充要条件的判定，解题的关键是判断命题p，q的真假．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（y≠0）．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．解答：解：（1）∵△ABC的两顶点A（﹣4，0），B（4，0），周长为18，∴AB=8，BC+AC=10，∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∵2a=10，2c=8，∴b=3，所以椭圆的标准方程是（y≠0）．故答案为：（y≠0）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是2015届高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法，注意椭圆的定义的应用．14．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则通项公式a n=，n∈N*．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设，代入4a2=4a1+a3，能求出结果．解答：解：设，代入4a2=4a1+a3，解得q=2，∴，n∈N*．故答案为：，n∈N*．点评：本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．解答：解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为：2点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式≤0恒成立，则m的最大值为16．考点：函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：依题意，得m≤（+）（3a+b）=9+++1恒成立，构造函数g（a，b）=9+++1，利用基本不等式可求得g（a，b）min=16，从而可求m的最大值．解答：解：∵不等式≤0恒成立，∴≤+，又a＞0，b＞0，∴m≤（+）（3a+b）=9+++1恒成立，令g（a，b）=9+++1，则m≤g（a，b）min，∵g（a，b）=9+++1≥10+2=16（当且仅当a=b时取“=”），∴g（a，b）min=16，∴m≤16，∴m的最大值为16，故答案为：16．点评：本题考查函数恒成立问题，考查构造函数的思想与等价转换的思想的综合应用，突出考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．考点：正弦定理；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．解答：解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，∴sinA﹣cosA=1，整理得：2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去），则A=；（2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC的面积为，∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）已知p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1≤m2（m＞0）；若￢p是￢q的必要非充分条件，某某数m的取值X围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由命题p成立得x的X围为A，由命题q成立求得x的X围为B，由题意可得A⊊B，可得关于m的不等关系式，由此求得实数m的取值X围．解答：解：由p：﹣2≤x≤10，记A={x|p}={x|﹣2≤x≤10}．由q：x2﹣2x+1≤m2即x2﹣2x+（1﹣m2）≤0（m＞0），得 1﹣m≤x≤1+m．…（6分）记B={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即 p⇒q，且 q不能推出 p，∴A⊊B．…（8分）要使A⊊B，又m＞0，则只需，…（11分）∴m≥9，故所某某数m的取值X围是[9，+∞）．…（12分）点评：本题主要考查分式不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由a n=s n﹣s n﹣1可求通项，进而可求b n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和解答：解：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，故a n=4n﹣1，又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2T n=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n∴=（4n﹣1）•2n=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．20．（12分）已知二次函数．f（x）=x2+（2a﹣1）x+1﹣2a（1）判断命题：“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”的真假，并写出判断过程（2）若y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点．某某数a的X围．考点：命题的真假判断与应用；二次函数的性质；函数的零点．专题：计算题．分析：（1）“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”是真命题．依题意：x2+（2a﹣1）x﹣2a=0有实根，△=（2a﹣1）2+8a=（2a+1）2≥0对于任意的a∈R（R 为实数集）恒成立，得到f（x）=1必有实根．（2）依题意：要使y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点，只须，由此能求出实数a的X围．解答：（本大题12分）解：（1）“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”是真命题；…（3分）依题意：f（x）=1有实根，即x2+（2a﹣1）x﹣2a=0有实根∵△=（2a﹣1）2+8a=（2a+1）2≥0对于任意的a∈R（R为实数集）恒成立即x2+（2a﹣1）x﹣2a=0必有实根，从而f（x）=1必有实根…（6分）（2）依题意：要使y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点只须…（9分）即…（10分）解得：．（多带一个等号扣1分）…（12分）点评：本题考查命题的真假判断，某某数a的取值X围，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．考点：数列的求和．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据求得a 1，进而根据4S n=（a n+1）2和4S n﹣1=（a n﹣1+1）2（n≥2）两式相减整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，进而可得a n﹣a n﹣1=2判断出数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．求得其通项公式．（Ⅱ）把（1）中求得的a n代入中，即可求得b n，进而可用裂项法进行求和，得T n=根据使原式得证．解答：解：（Ⅰ）∵，∴a1=1．∵a n＞0，，∴4S n=（a n+1）2．①∴4S n﹣1=（a n﹣1+1）2（n≥2）．②①﹣②，得4a n=a n2+2a n﹣a n﹣12﹣2a n﹣1，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，而a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2）．故数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n=2n﹣1．（Ⅱ）．T n=b1+b2++b n==．点评：本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和问题是2015届高考中常考的题目，所以我们平时的时候应注意多积累数列求和的方法．22．（12分）已知圆A：（x+2）2+y2=，圆B：（x﹣2）2+y2=，动圆P与圆A、圆B均外切．（Ⅰ）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（Ⅰ）设椭圆P的半径为r，则|PA|﹣|PB|=2，从而得到点P的轨迹是以A，B为焦点、实轴长为2的双曲线的右支，由此能求出动圆P的圆心的轨迹C的方程．（Ⅱ）设MN的方程为x=my+2，代入双曲线方程，得（3m2﹣1）y2+12my+9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出|MN|的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆P的半径为r，则|PA|=r+，|PB|=r+，∴|PA|﹣|PB|=2，故点P的轨迹是以A，B为焦点、实轴长为2的双曲线的右支，∴动圆P的圆心的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设MN的方程为x=my+2，代入双曲线方程，得（3m2﹣1）y2+12my+9=0，由，解得﹣，设M（x1，y1），N（x2，y2），则|MN|=|y1﹣y2|==，当m2=0时，|MN|min=2（4﹣1）=6．点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查弦的最小值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．。

2014-2021学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(理科) Word版含解析

2022-2021学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），则与点A关于原点对称的点A1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1，1）B．（﹣2，1，﹣1）C．（2，﹣1，1）D．（﹣2，﹣1，﹣1）2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）A．10 B．21 C．35 D．463．已知点A（﹣1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．4．依据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（）A．4 B． 6 C．8 D．105．经过点（2，1），且倾斜角为135°的直线方程为（）A．x+y﹣3=0 B．x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y=06．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（）A．相交B．相离C．外切D．内含7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1与B1C 的交点，记=，=，=，则=（）A．++B．++C．++D．﹣﹣8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则在下列条件中，确定能得到l⊥m的是（）A．α∩β=l，m与α，β所成角相等B．α⊥β，l⊥α，m∥βC．l，m与平面α所成角之和为90°D．α∥β，l⊥α，m∥β9．已知直线l：xsinα﹣ycosα=1，其中α为常数且α∈[0，2π）．有以下结论：①直线l的倾斜角为α；②无论α为何值，直线l总与确定圆相切；③若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；④若P（x，y）是直线l上的任意一点，则x2+y2≥1．其中正确结论的个数为（）A．1 B． 2 C． 3 D． 410．在Rt△ABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD ﹣A（如图②）．若折叠后A，B两点间的距离为d，则下列说法正确的是（）A．当CD为Rt△ABC的中线时，d取得最小值B．当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值C．当CD为Rt△ABC的高线时，d取得最小值D．当D在Rt△ABC的AB边上移动时，d为定值二、填空题（每小题5分，共25分）11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段PQ的长度为．12．某单位有1200名职工，其中年龄在50岁以上的有500人，35～50岁的400人，20～35岁的300人．为了解该单位职工的身体健康状况，现接受分层抽样的方法，从1200名职工抽取一个容量为60的样本，则在35～50岁年龄段应抽取的人数为．13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中，与A1B所在的直线异面而且夹角为60°的直线有条．15．记空间向量=，=，=，其中，，均为单位向量．若⊥，且与，的夹角均为θ，θ∈[0，π]．有以下结论：①⊥（﹣）；②直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；③若向量+所在直线与平面ABC垂直，则θ=60°；④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，若向量与++夹角的余弦值为，则动点P 的轨迹为圆．其中，正确的结论有（写出全部正确结论的序号）．三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2022秋•成都期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N ，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，求证：（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD1B1；（Ⅱ）MN⊥AC．17．（12分）（2022秋•成都期末）某校要调查高中二班级男生的身高状况，现从全班级男生中随机抽取一个容量为100的样本．样本数据统计如表，对应的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）用样本估量总体，若该校高中二班级男生共有1000人，求该班级中男生身高不低于170cm的人数．身高（单位：cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）[180，185）[185，190）人数 2 8 15 20 25 18 10 218．（12分）（2022秋•成都期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，向量，，两两垂直，||=1，||=2，E，F分别为棱BB1，BC的中点，且•=0．（Ⅰ）求向量的模；（Ⅱ）求直线AA1与平面A1EF所成角的正弦值．19．（12分）（2022秋•成都期末）已知直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，l2：x+2y+1=0，l3：y=x﹣2是三条不同的直线，其中m∈R．（Ⅰ）求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；（Ⅱ）若l2，l3的交点为圆心，2为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值．20．（13分）（2022秋•成都期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD 为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD上一点，且PD=3PE．（Ⅰ）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．21．（14分）（2022秋•成都期末）已知点P（0，2），设直线l：y=kx+b（k，b∈R）与圆C：x2+y2=4相交于异于点P的A，B两点．（Ⅰ）若•=0，求b的值；（Ⅱ）若|AB|=2，且直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k的值；（Ⅲ）当|PA|•|PB|=4时，是否存在确定圆M，使得直线l与圆M相切？若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由．2022-2021学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），则与点A关于原点对称的点A1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1，1）B．（﹣2，1，﹣1）C．（2，﹣1，1）D．（﹣2，﹣1，﹣1）考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：利用关于原点对称的点的特点即可得出．解答：解：与点A关于原点对称的点A1的坐标为（﹣2，﹣1，1），故选：A．点评：本题考查了关于原点对称的点的特点，属于基础题．2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）A．10 B．21 C．35 D．46考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：通过样本数据的茎叶图直接读出即可．解答：解：通过样本数据的茎叶图发觉，有3个数据是35，最多，故选：C．点评：本题考查了样本数据的众数，考查了茎叶图，是一道基础题．3．已知点A（﹣1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：直接由两点坐标求得直线AB的斜率，再由两直线平行斜率相等得答案．解答：解：∵A（﹣1，2），B（1，3），∴，又直线l与直线AB平行，则直线l 的斜率为．故选：D．点评：本题考查了由直线上的两点的坐标求直线的斜率公式，是基础的计算题．4．依据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（）A．4 B． 6 C．8 D．10考点：选择结构．专题：算法和程序框图．分析：执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，将x=2代入即可求值．解答：解：执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，故当x=2时，y=2×（2+1）=6．故选：B．点评：本题主要考查了程序与算法，正确理解程序的功能是解题的关键，属于基础题．5．经过点（2，1），且倾斜角为135°的直线方程为（）A．x+y﹣3=0 B．x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y=0考点：直线的点斜式方程．专题：直线与圆．分析：由直线的倾斜角求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程得答案．解答：解：∵直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率k=tan135°=﹣1．又直线过点（2，1），由直线的点斜式可得直线方程为y﹣1=﹣1×（x﹣2），即x+y﹣3=0．。

成都市2014-2015学年度高二上期期末学业质量监测数学(理)答案

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高二数学试题(含答案)

A C
B1E BC1
B
又 EF BC1 ，所以 BC1 平面 B1EF ，即 B1F BC1 ，
所以 B1FE 就是平面 A1BC1 与平面 B1BC1 所成的锐二面角的平面角。…………8 分
在 B1EF 中， B1EF 90 0 ， B1E
2 2
，
B1 F
1
2 3
,
sin B1FE
从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到
组号
分组
频数
数据分组及频数分布和频率分布直方图
1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计
[0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) 100
河北容城中学 2014～2015 学年度题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）只有一个答案符合题目要求，多选、不选或错选均不得分. 1. 一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是
A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都不中靶
④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分 ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 16. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 、F 分别为 BB1、CC1 的中点，那么异面直线 AE 与
D1F 所成角的余弦值为____________.
三．解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分）. 17. (本小题满分 10 分)
B1
2
（2）设向量 n (x, y, z) 且 n 平面 A1BC1
于是 n A1B 且 n A1C1 ，即 n A1B 0 且 n A1C1 0 ，

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A． + +
B． +
+ C． +
+
D． ﹣
﹣
考点：空间向量的加减法．专题：空间向量及应用．分析：利用向量三角形法则、平行四边形法则即可得出．解答：解：，，， ∴ = + = ．故选：C．点评：本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则，属于基础题． 8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则在下列条件中，一定能得到l⊥m的是（） A． α∩β=l，m与α，β所成角相等 B． α⊥β，l⊥α，m∥β C． l，m与平面α所成角之和为90° D． α∥β，l⊥α，m∥β 考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用面面垂直和面面平行的性质定理对选项分别分析选择．解答：解：对于A，α∩β=l，m与α，β所成角相等，当m∥α，β时， m∥l，得不到l⊥m；对于B，α⊥β，l⊥α，得到l∥β或者l⊂β，又m∥β，所以l与m不一定垂
A． 10 B． 21 C． 35 D． 46 考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：通过样本数据的茎叶图直接读出即可．解答：解：通过样本数据的茎叶图发现，有3个数据是35，最多，
故选：C．点评：本题考查了样本数据的众数，考查了茎叶图，是一道基础题． 3．已知点A（﹣1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l 的斜率为（） A． ﹣2 B． 2 C． ﹣ D．
6．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（） A．相交 B．相离 C．外切 D．内含 7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1与B1C的交点，记 = ， = ， = ，则 =（）
17．（12分）（2014秋•成都期末）某校要调查高中二年级男生的身高情况，现从全年级男生中随机抽取一个容量为100的样本．样本数据统计如表，对应的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a，b的值；
（2）用样本估计总体，若该校高中二年级男生共有1000人，求该年级中男生身高不低于170cm的人数．身高（单位：cm） [150，155） [155，160） [160，165） [165，170） [170，175） [175，180） [180，185） [185，190）人数 2 8 15 20 25 18 10 2
+ 的夹角； ③若向量 + 所在直线与平面ABC垂直，则θ=60°； ④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，若向量与 + + 夹角的余弦值为，则动点P的轨迹为圆．其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分）（2014秋•成都期末）如图，在正方体ABCD﹣ A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，求证：（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD1B1；（Ⅱ）MN⊥AC．
A． + +
B． +
+ C． +
+
D． ﹣
﹣
8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则在下列条件中，一定能得到l⊥m的是（） A． α∩β=l，m与α，β所成角相等 B． α⊥β，l⊥α，m∥β C． l，m与平面α所成角之和为90° D． α∥β，l⊥α，m∥β 9．已知直线l：xsinα﹣ycosα=1，其中α为常数且α∈[0，2π）．有以下结论： ①直线l的倾斜角为α； ②无论α为何值，直线l总与一定圆相切； ③若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1； ④若P（x，y）是直线l上的任意一点，则x2+y2≥1．
分析：把圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R与 r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，由d＞R+r得到两圆的位置关系为相离．解答：解：由圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，化为（x+1）2+（y﹣ 2）2=4，圆心C1（﹣1，2），R=2 圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，圆心C2（3，﹣1），r=1， ∴两圆心间的距离d= =5＞2+1， ∴圆C1和圆C2的位置关系是相离．故选：B．点评：此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定方法为：0≤d＜R﹣r，两圆内含；d=R﹣r，两圆内切；R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；d=R+r时，两圆外切；d＞R+r 时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）． 7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1与B1C的交点，记 = ， = ， = ，则 =（）
2015年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科解析版）
一、选择题（每小题5分，共50分） 1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），则与点A关于原点对称的点A1的坐标为（） A．（﹣2，﹣1，1） B．（﹣2，1，﹣1） C．（2，﹣1，1） D．（﹣2，﹣1，﹣1） 2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）
21．（14分）（2014秋•成都期末）已知点P（0，2），设直线l： y=kx+b（k，b∈R）与圆C：x2+y2=4相交于异于点P的A，B两点．（Ⅰ）若 • =0，求b的值；（Ⅱ）若|AB|=2 ，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为
，求直线l的斜率k的值；（Ⅲ）当|PA|•|PB|=4时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切？若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由．
其中正确结论的个数为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 10．在Rt△ABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线 CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A（如图②）．若折叠后A，B两点间的距离为d，则下列说法正确的是（）
A．当CD为Rt△ABC的中线时，d取得最小值 B．当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值 C．当CD为Rt△ABC的高线时，d取得最小值 D．当D在Rt△ABC的AB边上移动时，d为定值二、填空题（每小题5分，共25分） 11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，3， 4），则线段PQ的长度为． 12．某单位有1200名职工，其中年龄在50岁以上的有500人，35～50岁的400人，20～35岁的300人．为了解该单位职工的身体健康状况，现采用分层抽样的方法，从1200名职工抽取一个容量为60的样本，则在35～ 50岁年龄段应抽取的人数为． 13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为．
A． 4 B． 6 C． 8 D． 10
考点：选择结构．专题：算法和程序框图．分析：执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y= 的值，将x=2代入即可求值．解答：解：执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y= 的值，故当x=2时，y=2×（2+1）=6．故选：B．点评：本题主要考查了程序与算法，正确理解程序的功能是解题的关键，属于基础题． 5．经过点（2，1），且倾斜角为135°的直线方程为（） A． x+y﹣3=0 B． x﹣y﹣1=0 C． 2x﹣y﹣3=0 D． x﹣2y=0 考点：直线的点斜式方程．专题：直线与圆．分析：由直线的倾斜角求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程得答案．解答：解：∵直线的倾斜角为135°， ∴直线的斜率k=tan135°=﹣1．又直线过点（2，1），由直线的点斜式可得直线方程为y﹣1=﹣1×（x﹣2），即x+y﹣3=0．故选：A．点评：本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了直线的点斜式方程，是基础题． 6．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（） A．相交 B．相离 C．外切 D．内含考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．
A． 10 B． 21 C． 35 D． 46 3．已知点A（﹣1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l 的斜率为（） A． ﹣2 B． 2 C． ﹣ D． 4．根据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（）
A． 4 B． 6 C． 8 D． 10 5．经过点（2，1），且倾斜角为135°的直线方程为（） A． x+y﹣3=0 B． x﹣y﹣1=0 C． 2x﹣y﹣3=0 D． x﹣2y=0
2014-2015学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共50分） 1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），则与点A关于原点对称的点A1的坐标为（） A．（﹣2，﹣1，1） B．（﹣2，1，﹣1） C．（2，﹣1，1） D．（﹣2，﹣1，﹣1）考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：利用关于原点对称的点的特点即可得出．解答：解：与点A关于原点对称的点A1的坐标为（﹣2，﹣1，1），故选：A．点评：本题考查了关于原点对称的点的特点，属于基础题． 2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）
14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中，与 A1B所在的直线异面而且夹角为60°的直线有条．
15．记空间向量 = ， = ， = ，其中，，均为单位向量．若 ⊥ ，且与，的夹角均为θ，θ∈[0，π]．有以下结论： ① ⊥（ ﹣ ）； ②直线OC与平面OAB所成角等于向量与