2015-2016高二期末考试理科数学试卷题(含答案)

2015-2016学年第一学期宝安区期末调研测试卷高二 理科数学2016.1本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式x x x 2522>--的解集是( ) A ．{}15|-≤≥x x x 或 B ．{}15|-<>x x x 或 C ．{}51|<<-x xD ．{}51|≤≤-x x2．已知向量)0,1,1(),2,0,1(=-=，且k -+2与相互垂直，则k 值为（ ）A ．57B ．53C ．51D ．1 3．“22y x =”是“y x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若方程121:22=---m y m x E 表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()2,1B ．()+∞∞-,2()1,C ．)2,(-∞D ．),1(+∞5．在︒===∆45,22,32,B b a ABC 中，则角A 等于( ) A ．︒30 B ．︒60C．︒︒12060或D ．︒︒15030或6．已知8,,,121a a -成等差数列，4,,,,1321--b b b 成等比数列，那么221b a a ⋅的值为( ) A ．5 B ．5- C ．25-D ．25 7．若动点),(y x M 始终满足关系式8)2()2(2222=-++++y x y x ，则动点M 的轨迹方程为（ ）A ．1121622=+y x B ．1161222=+y x C ．1161222=-y x D ．1121622=-y x 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足n n S n -=+21-2，则=1a （ ） A ．4B ．2C ．0D ．2-9．已知,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，若ay x z +=的最大值为4，则a = （ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-10．在1,2,==∆c a ABC 中，则角C 的取值范围是( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π B ．⎪⎭⎫⎝⎛3,6ππ C ．⎪⎭⎫⎝⎛2,6ππ D ．]6,0(π 11．已知直线x y C k kx y l 4:12:2=++=与抛物线，若C l 与有且仅有一个公共点，则实数k 的取值集合为( )A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,1B ．{}0,1-C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,0,1D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,012．已知圆2221:b y x C =+与椭椭圆1:22222=+by a x C ，若在椭圆2C 上存在一点P ，使得由点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则椭圆2C 的离心率的取值范围是（ ） A ．]23,22[B ．)1,21[C ．)1,23[D ．)1,22[二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知命题xm x f m x R x p )-(3)(:q ;1,:2=>+∈∀指数函数命题是增函数.若“q ∧p ”为假命题且“q ∨p ”为真命题，则实数m 的取值范围为 .14．已知点N M ,分别是空间四面体OABC 的边BC OA 和的中点，P 为线段MN 的中点，若γμλ++=，则实数=++γμλ .15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,1++⋅=-=n n n S S a a ，则数列{}n a 的通项公式=n a ．16．已知双曲线149:22=-y x C ，点M 与曲线C 的焦点不重合，若点M 关于曲线C 的两个焦点的对称点分别为B A ,，且线段MN 的中点P 恰好在双曲线C 上，则=-||BN AN三、解答题：本大题6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分10分）设命题034:22<+-a ax x p （其中0>a ，R x ∈），命题065:2≥-+-x x q ，R x ∈.（1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数x x x g x x f 2)(,log )(22+==，数列{}n a 的前n 项和记为n S ，n b 为数列{}n b 的通项，n ∈N *.点),(),(n n S n n b 和分别在函数)()(x g x f 和的图象上．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令)(112-⋅=n n n b f a C ，求数列{}n C 的前n 项和T n ．19．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边（1）若ABC ∆面积,60,2,23︒===∆A c S ABC 求a 、b 的值； （2）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状．20．（本小题满分12分）已知直线l 过点)1,1(M ，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于B A ,点，O 为坐标原点．（1）当||||OB OA +取得最小值时，直线l 的方程； （2）当22||||MB MA +取得最小值时，直线l 的方程．21．（本小题满分12分）如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 的中点．（1）求证：11AD E B ⊥（2）若二面角11A E B A --的大小为30°，求AB 的长．22．（本小题满分12分）如图示，B A ,分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是||AF 与||FB 的等差中项，是||AF 与||FB 的等比中项.点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任一动点，过点A 作直线x l ⊥轴.以线段AF 为直径的圆交直线AP 于点M A 、，连接FM 交直线l 于点Q .（1）求椭圆C 的方程；（2）试问在x 轴上是否存在一个定点N ，使得直线PQ 必过该定点N ？若存在，求出N 点的坐标，若不存在，说明理由.宝安区2015-2016学年度第一学期期末调研考试试题MQABFOxyP⋅⋅l高 二 数 学（理科）选择题：B A C A C B B D A D C D一、填空题13) )2,1[∈m 14) 43 15) ⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=)2()1(1)1(1n n n n a n 16) 12三、解答题17[解] (1)当a ＝1时，由x 2－4x ＋3＜0，得1＜x ＜3，................1分即命题p 为真时有1＜x ＜3.命题q 为真时，32≤≤x ................2分 由p ∧q 为真命题知，p 与q 同时为真命题，则有2＜x ＜3.即实数x 的取值范围是(2,3)． ................4分 (2)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －3a )(x －a )＜0.又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ， ................6分 由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件知，q 是p 的充分不必要条件． 则有{32≤≤x }⊂{x |a ＜x ＜3a }． ................8分 所以⎩⎨⎧><332a a 解得1＜a<2.即实数a 的取值范围是(1,2)． ................10分18题解(1) nn n b b n 2log 2=⇒=………………. 2分)1(2)1(2212-+-=⇒+=-n n S n n S n n ………………. 4分故12+=n a n ………………. 6分(2)分分10)121121(218)12)(12(1+--=-+=n n n n C n故24121+-=n T n ……………. 12分 19.[解] 1）23sin 21==∆A bc S ABC ，2360sin 221=︒⋅∴b ，得1=b ………3分由余弦定理得：360cos 21221cos 222222=︒⋅⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， 所以3=a ………………………6分（2）由余弦定理得：2222222c b a acb c a c a =+⇒-+⋅=，所以︒=∠90C ……8分在ABC Rt ∆中，c a A =sin ，所以a cac b =⋅= ……………………10分所以ABC ∆是等腰直角三角形；……………………………12分20.[解] (1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)．……………….1分 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，……………….3分 所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b ))11(ba + ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab ＝4，……………….5分当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.……………….6分 (2)设直线l 的斜率为k ，则k <0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 则⎪⎭⎫⎝⎛-0,11k A ，B (0,1－k )， ……………….7分 所以|MA |2＋|MB |2＝2111⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k ＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4.当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时，上式等号成立 ……………….11分 ∴当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0.．……………….12分21[解] (1)证明：以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．………1分设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，)0,1,2(a E ，B 1(a,0,1)，AB 1→＝(a,0,1)，)0,1,2(a AE =.故AD 1→＝(0,1,1)，)1,1,2(1--=a E B …………….2分∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ……………….3分∴B 1E ⊥AD 1 .………….4分 (2)连结A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C . 确良 .……………….5分 又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1， ∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→＝(0,1,1)． .……………….6分 设AD 1→与n 所成的角为θ ，则cos θ＝n ·AD 1→|n ||AD 1→|＝－a2－a 2·1＋a 24＋a 2. .……………….8分∵二面角A ­B 1E ­A 1的大小为30°，∴|cos θ|＝cos 30°，即3a22·1＋5a 24＝32， ………………10分 解得a ＝2，即AB 的长为2. ………………12分 22.（1）由题意得AF a c =+，FB a c =-， ........................................................1分即2()()2a c a c a c a c ++-=⎧⎪⎨+⋅-=⎪⎩（）（）， ..........................................................................................2分解得：1,2==c a ，2223b a b ∴=-=， (3)分∴所求椭圆的方程为：13422=+y x . .......................................................................4分 (2)假设在x 轴上存在一个定点)0,(n N ，使得直线PQ 必过定点)0,(n N ............5分设动点),(00y x P ，由于P 点异于B 、A ， 故00≠y 且20±≠x 由点P 在椭圆上，故有4)4(31202222200x y b y a x -=⇒=+.......① (6)分又由（I ）知)0,1(),0,2(F A -，所以直线AP 的斜率200+=x y K AP . ............................7分又点M 是以线段AF 为直径的圆与直线AP 的交点，所以FM AP ⊥， 所以0211y x k k K k AP MF MF AP +-=-=⇒-=⋅， .................................8分所以直线FM 的方程：)1(20-+-=x y x y ................................................................9分 联立l FM 、的方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=2200x y x y ，得交点))2(3,2(00y x Q +- . 所以Q 、P 两点连线的斜率)2()2(32)2(3000200000++-=++-=x y x y x y x y k PQ ......② 将.①式代入②式，并整理得：04)2(3y x K PQ +-=.........................................................10分又N 、P 两点连线的斜率nx y k PN -=00若直线QP 必过定点)0,(n N ，则必有PN PQ K k =恒成立 即nx y y x -=+-00004)2(3 整理得：))(2(340020n x x y -+-=....③ ......................11分将.①式代入③式，得))(2(34)4(340020n x x x -+-=-⨯解得：2=n故直线PQ 过定点()20，. ....................................12分。