高二数学期末试卷(理科)
高二数学(理科)期末试卷
高二数学(理科)期末试卷
本文档为高二数学(理科)期末试卷的题目和答案。
试卷题目包
括选择题、填空题、计算题和证明题。
试卷内容涵盖了高二数学课
程的各个知识点。
选择题部分包括了多项选择题和单项选择题，考察了学生对数
学概念和定理的理解和应用能力。
填空题部分要求学生填写正确的数值或表达式，考察了学生对
问题的分析和解决能力。
计算题部分要求学生进行具体的计算操作，涉及到数值运算、
代数运算、几何运算等，考察了学生对运算方法和计算规则的掌握。
证明题部分要求学生运用已学的数学理论和方法进行推导和证明，考察了学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
试卷内容难度适中，旨在检测学生对高二数学知识的掌握程度
和应用能力。
根据试卷得分，可以评估学生的数学水平，并作出针
对性的教学调整。
希望本次期末试卷能够促进学生对数学学科的兴趣和研究动力，帮助他们提升数学能力和解决问题的能力。
对于学生来说，认真复课堂内容和做好试卷的备考是取得好成
绩的关键。
希望学生们抓住这次机会，全力以赴，取得优秀的成绩。
祝愿每位学生都能在高二数学(理科)期末试卷中取得好成绩！。
高二数学期末考试试题(理科)
高二数学期末考试试题（理科）湖北省黄冈中学_年秋季高二数学期末考试试题(理科)一.选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若a, b∈R,则a+b_gt;1是a+b_gt;1成立的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．给出下列命题:①经过不同的三点有且只有一个平面;②平行于同一平面的两条直线互相平行;③分别和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线;④若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等.其中真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．33．若P为双曲线的右支上一点,且P到右焦点的距离为4,则P到左准线的距离为( )A．3 B．6C． D．104．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,B1C∩BC1=O,若,则等于( )A．1 B．2 C．3 D．5．对于向量,下列命题中正确的是( )A．,则 B．C． D．共面6．抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )A． B． C．D．07．设为不重合的平面,为不重合的直线,给出下列四个命题:①;②若;③若; ④若.其中是真命题的是( )A．① B．①③ C．②③D．①④8．若双曲线与直线无交点,则离心率的取值范围是( )A． B． C． D．9．已知关于t的二次方程在内有两个实根,那么点P(_, y)的集合的平面区域的形状图大致是( )10．已知实数_, y满足,若的最小值是,则k的值为( )A． B． C．D．111．E.F是椭圆的左.右焦点,是椭圆的一条准线,点P在上,则∠EPF的最大值是( )A．30° B．60°C．45° D．90°12．如图,点M是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点,过点M的直线与直线AB.A1D1分别交于E.F两点,则线段EF的长为( )A． B．3 C．D．4选择题答题卡<table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=left width=583style=‘width:437.4pt;border-collapse:co。
(完整版)高二数学理科期末试卷
高二数学（上）期末考一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式0322<--x x 的解集是（ ）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()3,-∞-Y ()+∞,1D ．()1,-∞-Y ()+∞,32. 已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若//αβ，则λ的值是（ ） A ．103-B ．6-C ．6D ．1033．已知, , a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是( ) A. ab ac > B. ()0c b a -< C. 22cb ab < D. ()0ac a c ->4. 已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是( ) A ．511 B ．1023 C ．1533 D ．30695. 下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题6. 设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ） A.1 B.25C.2D.57. 已知向量)0,1,1(=→a ，)2,0,1(-=→b ，且→→+b a k 与→→-b a 2互相垂直，则k 的值是（ ） A. 1 B.51 C. 53 D. 57 8. 若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则a b +的最小值为( )A ．3 B ． 3C ．43D ．8-9．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为︒60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．[]2,1B ．()2,1C ．()+∞,2D ． [)+∞,210.若抛物线24y x =的焦点是F ,准线是l ,则经过点F 、M （4，4）且与l 相切的圆共有（ ）． A.4个 B.2个 C.1个 D.0个二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.11．等差数列{}n a 中，若34512,a a a ++=则71a a += .12. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则z x y =+的最小值是 .13. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 . 14. 点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是 . 15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项积为n T ，并满足条件011,01,110099100991<-->->a a a a a ，给出下列结论：（1）10<<q ； （2）1198<T ；（3）110199<a a ；（4）使1<n T 成立的最小自然数n 等于199，其中正确的编号为 （写出所有正确的编号） 三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，⑴求12,a a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式。
高二数学下学期期末考试理科试题含答案
第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()134i z i -=+，则z =（ ）A.52B.2C. D.52.设集合{}419A x x =-≥，03x B xx ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂等于（ ）A.(3,2]--B.5(3,2]0,2⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C.5(,2],2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.5(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.二项式(52x +的展开式中，3x 的系数为（ ）A.80B.40C.20D.104.由直线2y x =及曲线24y x x =-围成的封闭图形的面积为（ ） A.1B.43C.83D.45.已知命题:p 若0x >，则sin x x <，命题 :q 函数2()2xf x x =-有两个零点，则下列说法正确的是（ ）①p q ∧为真命题；②p q ⌝∨⌝为真命题；③p q ∨为真命题；④p q ⌝∨为真命题 A.①②B.①④C.②③D.①③④6.函数3()1f x ax x =++有极值的一个充分不必要条件是（ ） A.1a <- B.1a <C.0a <D.0a >7.为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：但是统计员不小心丢失了一个数据（用m 代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为0.760.4y x =+，则m 的值等于（ ）A.8.60B.8.80C.9.25D.9.528.2020年全国高中生健美操大赛，某市高中生代表队运动员由2名男生和3名女生共5名同学组成，这5名同学站成一排合影留念，则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列种数共有（ ） A.36B.54种C.72种D.144种9.《易经》是中国传统文化中的精髓.下图是易经先天八卦图（记忆口诀：乾三连、坤六断、巽下断、震仰盂、坎中满、离中虚、艮覆碗、兑上缺），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，已知每卦都含有阳线和阴线，则这两卦的六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（ ）A.13B.514C.314D.1510.观察下列算式：311=3235=+ 337911=++ 3413151719=+++若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n =（ ） A.42B.43C.44D.4511.如图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘中心，盘面分为A ，B ，C 三个区域，每次转动转盘时，指针最终都会随机停留在A ，B ，C 中的某一个区域，且指针停留在区域A ，B 的概率分别是p 和1206p p ⎛⎫<<⎪⎝⎭.每次转动转盘时，指针停留在区域A ，B ，C 分别获得积分10，5，0.设某人转动转盘3次获得总积分为5的概率为()f p ，则()f p 的最大值点0p 的值为（ ）A.17B.18C.19D.11012.定义在(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，已知2(1)f e =，且()2()f x f x '>，则不等式24(2)xe f x e -<的解集为（ ）A.(1,4)B.(2,1)-C.(1,)+∞D.(0,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“0x ∃<，220x x -->”的否定是“______”. 14.曲线1ln y x x=-在1x =处的切线在y 轴上的截距为______. 15.我国在2020年11月1日零时开始展开第七次全国人口普查，甲、乙等5名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只去一个社区，则不同的安排方法共有______种.16.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲、乙在每局中获胜的概率均为12，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共打了ξ局，则ξ的方差()D ξ=______.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++. （1）当9m =时，解关于x 的不等式()()f x g x >；（2）若()()f x g x >对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 18.（本小题满分12分）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A ，B ，C 三种样式，且每个盲盒只装一个.（1）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占23；而在未购买者当中，男生女生各占50%.请根据以上信息填写下表，并判断是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关?附：)22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：（2）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表：由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1，3周数据进行检验.①请用4，5，6周的数据求出）关于x 的线性回归方程y bx a =+；（注：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠? 19.（本小题满分12分）在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩（单位：环），并把所得数据制成了如下所示的频数分布表； （1）求抽取的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z 服从正态分布()2,N μσ（其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2 1.61s =），且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人?（3）已知样本中成绩在[9,10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E ξ. [附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=， 1.27≈，结果取整数部分]20.（本小题满分12分） 已知()23x x f e x e =--. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的值域；（3）若函数1()g x f kx x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在定义域上是增函数，求实数k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）随着5G 通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为35，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐.（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.22.（本小题满分12分）已知2()sin sin xxf x x e xe x ax a x =--+. （1）当()f x 有两个零点时，求a 的取值范围； （2）当1a =，0x >时，设()()sin f x g x x x=-，求证：()ln g x x x ≥+.六安一中2020~2021学年第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：二、填空题：13.0x ∀<，220x x --≤ 14.-315.240 16.114三、解答题：17.解：（1）当9m =时，由()()f x g x >，得341x x -++>，4349x x x <-⎧⎨--->⎩或43349x x x -≤≤⎧⎨-++>⎩或3349x x x >⎧⎨-++>⎩ 解得，5x <-或x 无解或4x >， 故不等式的解集为(,5)(4,)x ∈-∞-⋃+∞.（2）因为()()f x g x >恒成立，即|3||4|x x m ->-++恒成立， 所以|3||4|m x x <-++恒成立，所以min (|3||4|)m x x <-++， 因为|3||4||(3)(4)|7x x x x -++≥--+=（当43x -≤≤时取等号）所以min (|3||4|)7x x -++=，所以实数m 的取值范围是(,7)-∞. 18.解：（1）则2 4.714 3.8411109060140K =≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“购买该款盲盒与性别有关”. （2）①由数据，求得5x =，27y =，由公式求得222(45)(2527)(55)(2627)(65)(3027)5ˆ(45)(55)(65)2b--+--+--==-+-+-， 5ˆˆ27514.52ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.514.5yx =+. ②当1x =时，ˆ 2.5114.517y=⨯+=，|1716|2-<； 同样，当3x =时，ˆ 2.5314.522y=⨯+=，|2223|2-<. 所以，所得到的线性回归方程是可靠的.19.解：（1）由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数4.50.055.50.186.50.287.50.268.50.179.50.067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知~(7,1.61)Z N ，10.6827(8.27)0.158652P Z -∴≥==∴在这2000名学员中，合格的有：20000.15865317⨯≈人（3）由已知得ξ的可能取值为1，2，31242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===， ξ∴的分布列为：1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=（人）20.解：（1）令x e t =，(0)t >，则ln x t =，由()23x x f e x e =--，得()ln 23f t t t =--， 所以函数()f x 的解析式为()ln 23f x x x =--.（2）依题意知函数的定义域是(0,)+∞，且1()2f x x'=-， 令()0f x '>，得102x <<，令()0f x '<，得12x >，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 所以max 1()ln 242f x f ⎛⎫==--⎪⎝⎭；又因为0x →，()f x →-∞， 所以函数()f x 的值域为(,ln 24]-∞--.（3）因为12()ln 3g x f kx x kx x x ⎛⎫=-=---- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上是增函数， 所以212()0g x k x x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立， 则只需2min 12k x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，而221211112488x x x ⎛⎫-+=--≥- ⎪⎝⎭（当4x =时取等号），所以实数k 的取值范围为1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21.解：（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A ，则21302333311113()C 115222210P A C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X ，X 可取0，1，2，3.则3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 030333343(0)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；121333441(1)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 212333189(2)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；30333327(3)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以随机变量X 的分布列如下：343441189279()0123100010001000100010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或39()31010E X =⨯=） 22.解：（1）由题知，()()(sin )x f x xe a x x =--有两个零点，sin 0x x -=时，0x =故当0x xe a -=有一个非零实根设()x h x xe =，得()(1)xh x x e '=+，()h x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.又1(1)h e-=-，(0)0h =，0x >时，(0)0h >；0x <时，(0)0h <. 所以，a 的取值范围是1a e=-或0a >. （2）由题，()()1sin x f x g x xe x x==--法一：()1ln ln x x xe x x xe -≥+=，令0x t xe =>，令()ln 1(0)H t t t t =-->11()1t H t t t -'=-=()H x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ()(1)0H x H ∴≥=.1ln x xe x x ∴-≥+法二：要证1ln x xe x x -≥+成立故设()ln 1xM x xe x x =---，1()(1)xM x x e x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，(0)x >， 令1()x N x e x =-，则21()0x N x e x'=+>，()N x ∴在(0,)+∞上单调递增又1202N ⎛⎫=<⎪⎝⎭，(1)10N e =->， 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00N x =.001x e x ∴=，00ln x x =-，()M x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.()0min 0000[()]ln 10x M x M x x e x x ∴==---=.1ln x xe x x ∴-≥+。
(完整版)高二数学第一学期期末考试试卷理科
高二数学试题一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．抛物线22y x =的准线方程为( )A ．12y =-B ．18y =-C ．12x =-D ．18x =- 2．给出四个条件：①22ac bc >;②a b c c>;③22a b >;>其中能分别成为a >b 的充分条件的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．33．圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=对称,则ab 的最大值为 ( )A ．1B ．12C ．14D ．不存在 4．如图,已知点M(m,n )在直线l :A x +B y +C=0(AB ≠0)的右下方,则A m +B n +C 的值 ( ) A ．与A 同号,与B 同号 B ．与A 同号,与B 异号C ．与A 异号,与B 异号D ．与A 异号,与B 同号5．如图,在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=30°,AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ,则以A 、B 为焦点,且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ( )A．1C．．3 6．直线x -y -1=0与实轴在y 轴上的双曲线22(0)x y m m -=≠的交点在以原点为中心,边长为2且各边分别平行于坐标轴的正方形内部,则m 的取值范围为 ( )A ．0<m <1B ．m <0C ．-1<m <0D ．m <-17．直线cos 20x α-=的倾斜角的范围是 ( )A ．[,]66ππ-B ．[0,]6πC ．5[0,][,)66πππUD ．5[,]66ππ8．已知点A(1,2),过点(5,-2)且斜率为k 的直线与抛物线y 2=4x 交于B 、C 两点,那么△ABC( ) A ．是锐角三角形 B ．是钝角三角形 C ．是直角三角形 D ．的形状与k 值有关9．设 12F F 、是双曲线22214x y b-=的两个焦点,点P 在双曲线上,且1290F PF ∠=o ,△12F PF 的面积为1,则正数b 的值为 ( )AB ．2 C．1 10．若不等式2222x x a y y ++≥--对一切实数x y ，恒成立,则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥2D ．a ≤211．已知A 、B 分别为椭圆2212y x +=的左、右顶点,P 是椭圆上第一象限的任一点,若∠PAB=α,∠PBA=β,则必有 ( )A ．2tan α+cot β=0B ．2tan α-cot β=0C ．tan α+2cot β=0D ．tan α-2cot β=0BAEDC12．已知平面上点P ∈22{(,)|(2cos )(2sin )16,}x y x y R ααα-+-=∈,则满足条件的点P 在平面上所形成图形的面积是 ( ) A ．36π B ．32π C ．16π D ．4π 二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．将答案填在题中的横线上． 13．不等式2212x x --<的解集是 ．14．圆22420x y x y c +--+=与y 轴交于A 、B 两点,圆心为P ,若90APB ∠=o,则c 的值为 ．15．设2z x y =+,式中,x y 满足约束条件220,1.x y x y +≥⎧⎨+≤⎩ 则z 的最小值是 ,最大值是 ．16．已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,P 是双曲线上任意一点,若221||||PF PF 的最小值为8a ,则此双曲线的离心率e 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题,共74分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知正数a,b 满足a +b =1,且n ∈N*,求证：112n n n n a b a b++++≥．18． (本小题满分12分)已知P (2,0),Q (8,0),点M 到点P 的距离是它到点Q 的距离的21,求点M 的轨迹方程,并求轨迹上的点到直线l ：2x －y －55＝0的最小距离．19．(本小题满分12分)已知过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点,若以9(,0)2P 为圆心的圆恰好过A 、B 点,求直线l 的方程.20．(本小题满分12分)设双曲线C ：2221(0)x y a a-=>与直线l ：1x y +=相交于两个不同的点A 、B.(I)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(II)设直线l 与y 轴的交点为P,且512PA PB =u u u r u u u r,求a的值.21．(本小题满分12分)某电器商场拟举办家电促销活动,活动前准备从厂家分批购入每台价格为2000元的某品牌空调共3600台,每批都购入x 台,且每批均付运费400元．整个活动期间所付储存该空调的全部保管费是购买一批空调所付货款的120．现商场有专项资金22000元准备用于支付该空调的全部运费及活动期间的全部保管费．问这笔专项资金是否够用？如果不够用,至少还需要多少资金？22.．(本小题满分1４分)有对称中心的曲线叫做有心曲线,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线. 过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径,（为研究方便,不妨设直径所在直线的斜率存在）.定理：过圆)0(,222>=+r r y x 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值－1.（Ⅰ）写出该定理在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中的推广,并加以证明；（Ⅱ）写出该定理在双曲线中)0,0(12222>>=-b a by a x 的推广；你能从上述结论得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论.参考答案一、选择题1．B ．抛物线标准方程为212x y =,准线方程为18y =-. 2．C ．①④能分别成为a >b 的充分条件.3．C ．由圆的对称性知圆心(-1,2)在直线上,∴-2a -2b +2=0,即a +b =1,故21()24a b ab +≤=. 4．B ．结合图形信息知,0,0,ABC A⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩,又原点O 与点M 在直线L 的异侧,∴()0C Am Bn C ++<,故A m+B n +C 与B 、C 异号,与A 同号.5．A ．设AB=2c ,则AE=BD=c ,AD=BE=3c ,椭圆离心率为=,双曲线离=故离心率的倒数和为3.6．C ．由2210,x y x y m --=⎧⎨-=⎩得交点坐标为(m +12,m -12),解不等式组111,2111,2m m +⎧-≤≤⎪⎪⎨-⎪-≤≤⎪⎩,得-1<m <1.又双曲线焦点在y 轴上,知m <0,故-1<m <0. 7．C ．设倾斜角为θ,则tan [θ=,故50,或66ππθθπ≤≤≤<. 8．C ．由24,(5)2,y x y k x ⎧=⎨=--⎩得242080ky y k ---=,设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则12124208,k y y y y k k++==-,记121222,11BA CA y y k k x x --==--,则1212121222221212121212216162()42()41()21616()11164BA CA y y y y y y y y k k k y y y y y y k k x x x x k ---++-++⋅====-+-+-++-+.故BA ⊥CA . 9．D ．设PF 1=m ,PF 2=n ,则由题设知2224,4(4),2,m n m n b mn -=⎧⎪+=+⎨⎪=⎩解得b=1.10．C ．由22(1)(1)2x y a +++≥-恒成立知,20a -≤,即a ≥2. 11．D ．考虑极端位置,当P 点落在上顶点时,有tan αβ==,显然有tan α-2cot β=0成立.12．B ．P 点是以(2cos α,2sin α)为圆心,4为半径的圆周上的点,而当α在R 上变化时,点(2cos α,2sin α)又是以(0,0)为圆心,2为半径的圆周上的点,故当圆心在半径为2的圆周上变化时,P 点的轨迹形成一个内圆半径为2,外圆半径为6的圆环.故面积为36π-4π=32π. 二、填空题13．{x |―1<x <3,且x ≠1}.14．－3.圆的标准方程为22(2)(1)5x y c -+-=-,在等腰直角三角形PAB 中,由P 到y 轴的距离为2,知半径r =22,解5-c =8,得c =-3.15．2-如图,作出约束条件确定的可行域,在A 点处有最小值,在B 点处有最大值.16．(1,3].222211111||(2||)4||48||||||PF a PF a PF a a PF PF PF +==++≥,当|PF 1|=2a 时取等号.因此应有c -a ≤2a ,即e =ca ≤3,又e >1,故1<e ≤3.三、解答题17.证明：∵a 、b 为正数且a +b =1,∴原不等式等价于）（112))((+++≤++n n n n b a b a b a ． ))(()(2))((1111n n n n n n n n n n a b b a b a ab b a b a b a b a --=--+=+-++++++当a ≥b 时,a －b ≥0,a n ≥b n ,即b n －a n ≤0,∴(a －b )( b n －a n )≤0, 当a ＜b 时,a －b ＜0,a n ＜b n ,即b n －a n ＞0,∴(a －b )( b n －a n )＜0,因此）（－112))((+++++n n n n b a b a b a ≤0即）（112))((+++≤++n n n n b a b a b a∴原不等式成立．18. 解：设),(y x M ,则依条件得21)0()8()0()2(2222=-+--+-y x y x 两边平方,整理得2216x y +=,这就是所求的轨迹方程.设圆：2216x y +=的圆心O 到直线l ：2x －y －55＝0的距离为d ,则5d ==故圆上的点到直线l ：2x －y －55＝0的最小距离为d -4=1.19. 解：由题设,直线l 的斜率必存在且不为0,设斜率为k ,则l 的方程为：(1)6y k x =+-由2(1)64y k x y x =+-⎧⎨=⎩消去y 得222[2(6)4](6)0k x k k x k +--+-= △222[2(6)4]4(6)0k k k k =---->解得33k <<+且0k ≠.设1122(,),(,)A x y B x y ,则2211224,4y x y x ==,12242(6)k k x x k--+=, 由题意知AP BP =,得2222112299()()22x y x y -+=-+,∴22121299()()44022x x x x ---+-=,即1212()(5)0x x x x -+-=,Θ12x x ≠,∴125x x +=,∴242(6)5k k k --=,解得2k =或27k =-2(3舍去)7-<,∴所求的直线方程为24y x =-.(注：另可利用AB 的中点,及垂径分弦定理求解)20. 解：（I ）由C 与l 相交于两个不同的点,故知方程组2221,1.x y ax y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解.消去y 并整理得2222(1)220a x a x a -+-= ①24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪∴⎨+->⎪⎩解得01a a <<≠.双曲线的离心率e ==0a <<Q a ≠1 e e ∴>≠即离心率e的取值范围是)+∞U . （II ）设1122(,),(,),(0,1)A x y B x y P ,5,12PA PB =u u u r u u u r Q 11225(,1)(,1).12x y x y ∴-=-由此得12512x x =.由于12,x x 都是方程①的根,且210a -≠,∴212221222121a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪⋅=-⎪-⎩⇒222222217212152121a x a ax a ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩ ∴2221751212x x =, ∴20x =(舍）或2175x =,∴222289160a a -=- 由0a >,所以1713a =. 21. 解：设该空调的全部运费及活动期间的全部保管费共y 元,则由题意,得36001400(2000)20y x x =⨯+⨯3600400100x x ⨯=+36004100()100x x⨯=+≥⋅＝24000．当且仅当36004x x⨯=,即x =120时取等号． ∴当x =120时,y 最小,且min 24000y =．24000－22000=2000(元) ,答：这笔专项资金不够用,至少还需要2000元资金．22. 解：（Ⅰ）设直径的两个端点分别为A 、B ,由椭圆的对称性可得,A 、B 关于中心O （0,0）对称,所以A 、B 点的坐标分别为A （),11y x ,B （),11y x --.P （),y x 上椭圆12222=+by a x 上任意一点,显然||||||||11y y x x ≠≠,因为A 、B 、P 三点都在椭圆上,所以有222122122212211b a y a x b b y a x =+=+, ① 22222222221b a y a x b b y a x =+=+, ②. 而2122121111x x y y k k x x y y k x x y y k PB PA PBPA --=⋅++=--=, 由①－②得：22222211()()0,b x x a y y -+-=22212221y y b x x a-∴=--. 所以该定理在椭圆中的推广为：过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值22ab -.（Ⅱ）该定理在双曲线中的推广为：过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值.22a b该定理在有心圆锥曲线中的推广应为：过有心圆锥曲线)0(122≠=+AB By Ax 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值－.BA。
高二数学下学期期末考试理科试题(解析版)
由于直线 过原点，且倾斜角为 ，故其极坐标方程为 .
（2）由 得 ，
设 , 对应的极径分别为 ，则 ， ，
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知集合 ， .
（1）若 ， ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，且 ，求实数 取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先求出 ，再根据包含关系可得关于 的不等式组，从而求实数 的取值范围，注意对 是否为空集分类讨论；
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧( q)为假命题， q为假命题．
故选B.
【点睛】(1)本题主要考查命题的真假和复合命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
8.甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为
【详解】依题意，产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64），得 ，
，
质量在区间 内的产品估计有 件.
故选A.
【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线的对称性，属于基础题．
11.2021年广东新高考将实行 模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( )
公园
甲
乙
丙
丁
获得签名人数
45
60
30
15
高二数学(理科)期末考试参考答案
期末考试高二数学(理科)参考答案二、填空题（每小题4分，共20分）11．． 13. 丙 14．2315. 1 三、 解答题（本大题共5小题，共50分）16.解：(Ⅰ) 连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF . ……………3分 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . ……………5分(Ⅱ)由AC ＝CB AB 得，AC ⊥BC . ……………6分 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，1CA ＝(2,0,2)， 1(2,2,1)AE =--． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1CD 的一个法向量，则10,0,n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,220.x y x z +=⎧⎨+=⎩可取n ＝(1，－1，－1)．……………8分 设1A E 与平面A 1CD 所成角为θ，则111||3,|.sin |c ||||os A E n A E n A E n θ⋅===<>⋅ ………10分17. 解：命题P ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，则“a ＝0”，或“a >0且a 2－4a <0”．解得0≤a <4. ………3分命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则Δ＝1－4a ≥0，得a ≤14. ………5分因为P ∧q 为假命题，P ∨q 为真命题，则P ，q 有且仅有一个为真命题，故p ⌝∧q 为真命题，或P ∧q ⌝为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧ a <0或a ≥4a ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4a >14. ………7分解得a <0或14<a <4. 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(14，4)．………8分18.解：（Ⅰ）由(3,9)C ，知(3,9)A -，设211(,)B x x ，222(,)D x x ；由题意知，过点C 的切线斜率存在，故设切线的方程为9(3)y k x -=-联立229(3)390.y k x x kx k y x -=-⎧⇒-+-=⎨=⎩22()4(39)0(6)0 6.k k k k ∆=---=⇒-=⇒=从而 6.BD k k == ………3分 从而设直线BD 的方程为6y x m =+22660.y x mx x m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ 则126,x x += 12x x m =- 又因为90BAD ∠=; 所以221212121212991(3)(3)13()9 1.33AB ADx x k k x x x x x x x x --⋅=-⇒⋅=--=-⇒-++=-++即36918.m m --⨯+=-⇒=- 故直线BD 的方程为68.y x =- ………6分 （Ⅱ）解方程2680x x -+=，可得 (2,4)B ，(4,16)D所以||BD == ………7分点A 到BD 的距离为1d ；点C 到BD 的距离为2d12d d +==………9分12ABCD 11=||()36.22S BD d d ⋅+=⨯=四边形 ………10分另解, 四边形ABCD 面积ACD ACB S S S ∆∆=+ 1116(75)36222D C B C AC y y AC y y =⨯⨯-+⨯⨯-=⨯⨯+=.19. 解：（Ⅰ）证明：在图1中，由△ABC 是等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 的三等分点，点G 为BC 边的中点，则DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，DE ∥BC .在图2中，因为DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，AF ∩FG ＝F ，所以DE ⊥平面AFG .又DE ∥BC ，所以BC ⊥平面AFG . ………5分 (Ⅱ)解：因为平面AED ⊥平面BCDE ，平面AED ∩平面BCDE ＝DE ，AF ⊥DE ， 所以，AF ⊥ 平面BCDE 又因为DE ⊥GF ，所以F A ，FD ，FG 两两垂直． ………6分 以点F 为坐标原点，分别以FG ，FD ，F A 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系F －xyz .则A (0，0，23)，B (3，－3，0)，E (0，－2，0)， 所以AB →＝(3，－3，－23)，BE →＝(－3，1，0)． 设平面ABE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧3x －3y －23z ＝0，－3x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝3，z ＝－1，则n ＝(1，3，－1)． ………8分 显然m ＝(1，0，0)为平面ADE 的一个法向量，所以 cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝55. ………9分由图形可知二面角B －AE －D 为钝角， 所以，二面角B －AE －D 的余弦值为－55. ………10分20．（Ⅰ）解：设动圆圆心(,)P x y ，半径为r.,PA r PB r PA PB AB ==⇒+=>= ………3分故点P 的轨迹为椭圆，2a a c c ===⇒= 22223,32 1.a b a c ==-=-=故圆心P 的轨迹方程为22 1.3x y += ………6分 (Ⅱ)假设存在实数k ，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(13)1290.k x kx +++= 由22(12)36(13)0k k ∆=-+>得21.k > ………7分 设直线2y kx =+与椭圆交于1122(,),(,),C x y D x y 则1221221213913k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩① ………8分 由以CD 为直径的圆过坐标原点O ，知121200.OC OD OC OD x x y y ⊥⇒⋅=⇒+= ………9分而212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，212121212(1)2()40.x x y y k x x k x x +=++++=②将①代入②整理可求得2133k = ………11分21313k =>，其值满足0∆>.故k = ………12分。
高二第一学期期末数学试卷(理科含答案)
高二第一学期期末数学试卷(理科)第I 卷(选择题,共60分)12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求)1.设集合Sx/ x2 ,T x/x 23x 4 0 , 则(C R ) T()A. (-2 , 1]B.(-,-4] C. (-,1]D.[1,+ )2.已知△ ABC 中，a=4,b= 4 3 ,A= 30°,则等于()A. 30°B.30°或 1500 C. 60° D.600 或 12003.在厶 ABC 中,若a=7,b=8, COSC13 ,则最大角的余弦是()14A 11 1 1 A.B.c.-D.56 784.若x>0,则函数 1y x -()xA.有最大值-2B. 有最小值-2C.有最大值2 D.有最小值25.等比数列a n 的各项均为正数，且a s a e 玄4玄7 18，则 log ：1log? L9.2<m<6是“方程1为椭圆方程”的A.充分不必要条件 •必要不充分条件A.5B.9C. .45 log3D.10Inx,则 p 为A. x R,e x 0Inx 。
B. x R x ,e Inx C. X 。
R ,e“ Inx 0 D. x R x,e Inxr r r7.向量a(2,4, x), b (2, y,2),若 a 6且a b , 贝U x + y 的值为 A. - 3 B . 1 n C . 3或1D .3或16.设命题P ：对x R ,e x2x 2 8.已知双曲线— 4b 21的右焦点与抛物线 y 212x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等 于A. ,5B.4.2C.322D. 5、选择题(本大题共 log ：10C.充要条件 D •既不充分也不必要条件1 5310.已知 f x ax 2 bx,且满足: 1 f(1) 3, 1 f( 1)1，则f(2)的取值范围是()A.[0,12]B.[2,10]C.[0,10]D.[2,12]11.已知F ,,F 2是双曲线E:2y b 2则E 的离心率为 A. 2 B. 12.已知点F 1,F 2是椭圆x2y 2()灵D.22的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点， 那么uur PF 1 UU LUPF 2的最小值1的左，右焦点，点M 在E 上，MF i 与X 轴垂直，sin MF 2F 1 C.()A.0B.2C.1D. 第 、填空题(本大题共13.已知函数y x 卷(非选择题，共90分) 4小题， *x 1 II 每题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 1),当x=a 时，y 取得最小值b ，则a b 等于 14.若满足约束条件2x 15.若直线|的方向向量a 正弦值等于 则z x 2y 的最大值为 (1,1,1)，平面&的一个法向量n (2, 1,1)，则直线l 与平面所成角的16.设直线nx (n 1)y &(n N *)与两坐标轴围成的三角形面积为a n ，则a 1 a 2L a 20仃 三、解答题(本题共6小题共70 分, 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 17.(本小题满分10分)已知命题P: C 2 c,和命题q: 2x R,x 4cx 1 0,且 p q 为真，p q 为假，求实数c 的取值范围。
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高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ⌝”、“q ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、“a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 （ ）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或85、已知空间四边形OABC 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+6、抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（ ）A.5或54 或 C. D.5或538、若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤1 B ．a ≤3 C ．a ≥1 D ．a ≥39、已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为 （ ）A ．55B ．555C ．553 D ．51110、已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定11、已知P 是椭圆192522=+y x 上的一点，O 是坐标原点，F 是椭圆的左焦点且),(21OF OP OQ +=4||=OQ ，则点P 到该椭圆左准线的距离为（ ） A.6 B.4 C.3 D.25高二数学期末考试卷（理科）答题卷一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）12、命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否定是13、若双曲线 4422=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于A 、B 两点，若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是 .14、若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=． 其中真命题的序号为 _________．三、解答题（本大题共6小题，共55分）16、（本题满分8分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．17、（本题满分8分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，试用向量法求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦值。
A 118、（本题满分8分）（1）已知双曲线的一条渐近线方程是x y 23-=，焦距为132，求此双曲线的标准方程；（2）求以双曲线191622=-x y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程。
19、（本题满分10分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .20、（本题满分10分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，|AD |＝3，|AB |＝4，|BC |＝ 3 ，曲线段DE 上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等．（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程； （2）过C 能否作一条直线与曲线段DE 相交，且所得弦以C 为中点，如果能，求该弦所在的直线 的方程；若不能，说明理由．21、（本题满分11分）若直线l ：0=++c my x 与抛物线x y 22=交于A 、B 两点，O 点是坐标原点。
(1)当m=－1,c=－2时，求证：OA⊥OB；(2)若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标。
(3)当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。
高二数学（理科）参考答案：1、C2、C3、A4、C5、B6、B7、B8、D9、C 10、A第19题图11、D12、01,2≠+-∈∀x x R x 13、18 14、56 15、②③16、p :0<m <31 q :0< m <15 p 真q 假，则空集；p 假q 真，则1531<≤m故m 的取值范围为1531<≤m17、如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），B A 1＝（0，1，－1） 设1n 、2n 分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量， 由 011=⋅B A n 可解得1n ＝（1，1，1）0111=⋅C A n易知2n ＝（0，0，1）， 所以，212121,cos n n n n ⋅=33所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦值为33。
18、（1）19422=-y x 或14922=-x y ；（2）125922=+y x . 19、如图，建立空间直角坐标系O —xyz .（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA =（1，－1，2），1CB =（0，1，2），1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB 30101||||1111=⋅CB BA CB BA .（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），zy xD 1A 1D B 1C 1C BAB A 1=（－1，1，－2）， M C 1=（21,21，0）.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M .20、（1）以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系，则A （－2，0），B （2，0），C （2， 3 ），D （－2，3）．依题意，曲线段DE 是以A 、B 为焦点的椭圆的一部分．12,2,4|)||(|212===+=b c BD AD a ∴所求方程为)320,42(1121622≤≤≤≤-=+y x y x （2）设这样的弦存在，其方程为：22(2),(2)11612x y y k x y k x =-=-++=即将其代入得2222(34)16)16360k x k x k ++-+--=设弦的端点为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由12122,4,4,2x x x x k +=+===知解得∴弦MN 所在直线方程为2y x =-+验证得知，这时(0,(4,0)M N 适合条件．故这样的直线存在，其方程为2y x =-+ 21、解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由⎩⎨⎧==++202x y c my x 得0222=++c my y 可知y 1+y 2=－2m y 1y 2=2c ∴x 1+x 2=2m 2—2c x 1x 2= c 2, (1) 当m =－1,c =－2时，x 1x 2 +y 1y 2=0 所以OA ⊥OB.(2) 当OA ⊥OB 时，x 1x 2 +y 1y 2=0 于是c 2+2c=0 ∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l ：02=-+my x 过定点(2,0).(3) 由题意AB 的中点D(就是△OAB 外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。
),(2m c m D --而(m 2—c+21)2－[(m 2—c)2+m 2 ]=c -41由(2)知c=－2 ∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB 的外接圆与抛物线的准线相离。