人教版高中数学必修5期末测试题
【人教版】高中数学必修五期末试卷(附答案)(1)
一、选择题1．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ） A ．32-B ．28-C ．2D ．32．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ） A ．254B ．499C ．14425D ．225493．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，且32x y +的最大值为10，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭5．在ABC ∆中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos20B C +=，4a =，则ABC ∆的面积为（ ）A．2+ B．4 C．6+D．8+6．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C所对的边，若1,a b ==B 是,A C 的等差中项，则角C =（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B．2C．4D．48．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．439．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）A ．6aB ．7aC ．8aD ．9a11．若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数)，则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为（ ） AB ．2C．D ．412．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．0B ．nC ．2nD ．3n二、填空题13．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.14．已知x ，y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.15．已知60A =︒，ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，sin sin B C +=bc 的值为______. 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22212b c a -=，则tan B =________.17．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，b =2ac +的最大值为______．18．已知0a >，0b >，若a ，1，b 依次成等差数列，则41a b+的最小值为________． 19．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，22n n n S a a =+，1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，则k 的最小值是__________．20．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，…，的特点是从三个数起，每一个数等于它前面两个数的和，则222212320482048a a a a a ++++是数列中的第______项．三、解答题21．现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为111623，，；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.(1)求X 1，X 2的概率分布和均值E (X 1)，E (X 2)； (2)当E (X 1)<E (X 2)时，求p 的取值范围. 22．已知函数2()()f x x ax a R =-∈. （1）若2a =，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若[1,)x ∈+∞时，2()2f x x ≥--恒成立，求a 的取值范围.23．将函数()sin f x x x =图象上所有点向右平移6π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式及单调递增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos 364B B ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，,6c g b π⎛⎫== ⎪⎝⎭ABC 的面积. 24．已知,,a b c 是ABC 的内角,,A B C 的对边，且5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+. （1）求角A 的大小；（2）若ABC的面积S c ==sin sin B C 的值 25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足222n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若232n nn a a b --=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n nS a 和2n a 的等差中项为1． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设41log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z y x =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).2．C解析：C 【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值. 【详解】 由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=221212534-=+， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.3．B解析：B 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值. 【详解】不等式组所表示的可行域如下图所示：易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得0a ≥，令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即max 3226210z a a =⨯+=+=，解得2a =.【点睛】本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.4．D解析：D 【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】 作出可行域如下：由221z x y =--得12zy x +=-， 平移直线12zy x +=-， 由平移可知当直线12zy x +=-，经过点C 时， 直线12zy x +=-的截距最小，此时z 取得最大值， 由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12zy x +=-，经过点A 时， 直线12zy y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值， 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．5．C解析：C 【分析】在ABC ∆中，()sin sin B A C +=，化简sin (sin cos )sin 0A B B C +-=可得4A π=，又sin cos20B C +=和34B C π+=，解得3B π=，512C π=，最后通过正弦定理求出1)c =，再根据三角形面积公式得到面积.【详解】由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=得：sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin 0A B A B A B A B A B A B ⋅+⋅-⋅-⋅=⋅-⋅=，∴sin cos A A =，又0()A π∈，，则4A π=，则34B C π+=，又3sin cos 2sin 22B C C π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，则3222B C k ππ=-+或222B C k ππ=-+，(0)B C π∈、，，则322B C π+=或22C B π-=，又34B C π+=，则取22C B π-=，得3B π=，512C π=，又4a =，根据正弦定理，sin 1)sin a Cc A ⋅==，∴1sin 62ABC S ac B ∆=⋅=+ 故选C. 【点睛】思路点睛：在三角形中，由于A B C π++=,根据诱导公式，()sin sin A B C +=，()sin sin A C B +=,()sin sin C B A +=，()cos cos A B C +=-,()cos cos A C B +=-,()cos cos C B A +=-等，以上常见结论需要非常熟练. 6．A解析：A 【详解】由题设可得060B =11sin sin 2A A =⇒=，则030A =或0150A =，但a b A B <⇔<，应选答案A ．7．D【分析】根据()22a b c =+-cos 1C C -=，结合三角函数的性质，求得C 的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解. 【详解】由()22a b c =+-，可得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，因为2222cos a b c ab C +-=，所以sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为0πC <<，则ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，解得π3C =， 所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222=+⨯=故选：D. 【点睛】 本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C 的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.8．A解析：A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ． 【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---， 故选：A ．本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．9．C解析：C 【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论． 【详解】解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为5396x =≈， 故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==．故选：C ． 【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．10．B解析：B 【分析】由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解. 【详解】33a 44a =,33a ∴()33444a d a d =+=+, 34d a ∴=-n a ∴3(3)a n d =+-⋅4(3)d n d =-+- (7)n d =- 70a ∴=,故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.11．C解析：C 【分析】 先由题设21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列{}2n x ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得2292010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可.【详解】解：由题设知：2212211111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数)， {}2n x ∴是等差数列， 2222221201812320182018()40362x x x x x x++++⋯+==， 222212018920104x x x x ∴+==+，2292010920102x x x x +(当且仅当92010x x =时取“等号“)， 2229201092010()2()8x x x x ∴++=，9201022x x ∴+(当且仅当92010x x =“等号“)，92010x x∴+的最大值为故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题.12．D解析：D 【分析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称， 设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑，则111ni n n i x x x x -==++∑，()()()1211124ni n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑，则111ni n n i y y y y -==++∑，()()()1211122n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.二、填空题13．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点解析：10 【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图： 由32z x y =+，则322z y x =-+， 平移直线322zy x =-+， 由图象可知当直线322zy x =-+， 经过点A 时，直线322z y x =-+， 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由20y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ， 此时322210max z =⨯+⨯=， 故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14．6【分析】作出不等式组所表示的平面区域结合图象确定目标函数的最优解即可得到答案【详解】由题意作出不等式组所表示的平面区域如图所示因为目标函数可化为直线当直线过点A 时此时目标函数在轴上的截距最大此时目解析：6 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案. 【详解】由题意，作出不等式组041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域，如图所示，因为目标函数2z x y =+，可化为直线2y x z =-+，当直线2y x z =-+过点A 时，此时目标函数在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 又由04x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(2,2)A ，所以目标函数2z x y =+的最大值为2226z =⨯+=. 故答案为：6.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．15．40【分析】首先根据正弦定理求并表示最后根据余弦定理求的值【详解】根据正弦定理可知根据余弦定理可知得解得：故答案为：40【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更适合或解析：40 【分析】首先根据正弦定理求2R ，并表示sin sin 22b c B C R R+=+，最后根据余弦定理求bc 的值. 【详解】14322sin 3a R R A =⇒==， 根据正弦定理可知1331322b c b c R R +=⇒+=， 根据余弦定理可知()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-， 得249133bc =-，解得：40bc =. 故答案为：40 【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．16．3【分析】由题意结合余弦定理得进而可得再由余弦定理即可求得利用平方关系求得进而求得【详解】由余弦定理可得即又所以所以所以所以所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用考查了同角三角函数解析：3 【分析】由题意结合余弦定理得3c =，进而可得a =，再由余弦定理即可求得cos B =，利用平方关系求得sin B =，进而求得sin tan 3cos B B B ==. 【详解】4A π=，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-即222b a c -=-，又22212b a c -=，所以2212c c =-，所以3c =， 222222145299a b c b b b =-=-=，所以3a b =，所以22222258cos 2b b ba cb B ac +-+-===，所以sin B ==， 所以sin tan 3cos BB B==， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用，考查了同角三角函数关系式，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.17．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中解析：【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值． 【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C π====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan 2ϕ=． 所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为： 【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．18．【分析】由a1b 依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b 依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定解析：92【分析】由a ，1，b 依次成等差数列，可得2a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算，即可求得答案． 【详解】0a >，0b >，且a ，1，b 依次成等差数列， ∴2a b +=，∴()41141141941(52222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4b a a b =，即43a =，23b =，取等号， 故14a b +的最小值为92． 故答案为：92． 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．19．【分析】首先利用与的关系式求数列的通项公式再利用裂项相消法求再利用的最值求的最小值【详解】当时解得或当两式相减后可得整理后得：所以数列是公差为1的等差数列即数列单调递增当时对任意的恒成立即的最小值是解析：13【分析】首先利用n S 与n a 的关系式，求数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求n T ，再利用n T 的最值求k 的最小值. 【详解】当1n =时，2111122S a a a =+=，解得10a =或11a =，0n a >，11a ∴=，当2n ≥，2211122n n nn n n S a a S a a ---⎧=+⎨=+⎩，两式相减后可得()()()221112n n n n n n S S a a a a ----=-+-，整理后得：()()1110n n n n a a a a --+--=，所以11n n a a --=，∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，即n a n =，()()112111221221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，2231111111...21222223221n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112121n n +=-+++ 111321n n +=-++， 数列{}n T 单调递增，当n →+∞时，13n T → 对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，()max n k T ∴>，即13k ≥,k 的最小值是13.故答案为：13【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.20．【分析】由题意可得进而可得然后再利用累加法即可求出结果【详解】由题意可知所以即所以……所以又所以∴所以是数列中的第项故答案为：【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用考查学生的计算能力属于中档题 解析：2049【分析】由题意可得21n n n a a a ++=+，进而可得21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅，然后再利用累加法，即可求出结果． 【详解】由题意可知21n n n a a a ++=+，所以()1211n n n n n a a a a a ++++⋅=⋅+，即21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅所以220482049204820482047a a a a a ⋅=+⋅，220472048204720472046a a a a a ⋅=+⋅，……223221·a a a a a ⋅=+，所以2222048204920482047221·a a a a a a a ⋅=++⋯++， 又21a a =所以2222204820492048204721a a a a a a ⋅=++⋯++∴2222123204820492048a a a a a a ++++=．所以222212320482048a a a a a ++++是数列中的第2049项.故答案为：2049 ． 【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）见解析（2）0<p <0.3 【解析】分析：（1）由题意可得随机变量X 1的分布列和期望；结合X ～B (2，p )可得随机变量X 2的分布列和期望．（2）由E (X 1)<E (X 2)可得关于p 的不等式，解不等式可得所求． 详解：(1)由题意得X 1的分布列为∴E (X 1)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13＝1.18. 由题设得X ～B (2，p )，即X 的分布列为22＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2 ＝－p 2－0.1p ＋1.3.(2)由E (X 1)<E (X 2)，得－p 2－0.1p ＋1.3>1.18， 整理得(p ＋0.4)(p －0.3)<0， 解得－0.4<p <0.3. 因为0<p <1， 所以0<p <0.3．即当E (X 1)<E (X 2)时，p 的取值范围是()0,0.3.点睛：(1)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X 的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求EX ，DX 即可．22．（1）{|1x x ≤-或3}x ≥；（2）(,4]-∞. 【解析】试题分析：（1）先对不等式移项并因式分解得()()310x x -+≥，再根据不等号方向得不等式解集，（2）先化简不等式，并分离12a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭，转化为求对应函数最值：()min a h x ≤，其中()12h x x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式求()h x 最值，即得a 的取值范围. 试题（1）若()2,3a f x =≥即()()2230,310x x x x --≥-+≥所以原不等式的解集为{|1x x ≤-或3}x ≥ （2）()22f x x ≥--即12a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭在[)1,x ∈+∞时恒成立，令()12h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，等价于()min a h x ≤在[)1,x ∈+∞时恒成立，又()124h x x x ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当1x x =即1x =等号成立，所以4a ≤. 故所求a 的取值范围是(],4-∞. 23．（1）()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈；（2）【分析】（1）由题可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤+≤+即可解得单调递增区间；（2）由题可得2c =，6B π=或2B π=，由余弦定理可求得a ，即可求出面积.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ()f x 图象向右平移6π个单位长度得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，横坐标缩短为原来的12 (纵坐标不变)得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象， 所以()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以()g x 的单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈ （2）由（1）知，62c g π⎛⎫⎪⎝⎭==，因为21sin cos cos 3664B B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+=+=，所以1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=±⎭+又因为()0,B π∈，所以7,666B πππ+=⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当1cos 62B π⎛⎫ ⎪⎝=⎭+时，,636B B πππ+==，此时由余弦定理可知，2422cos126a a π+-⨯⨯=，解得a =，所以12sin 26ABC S π=⨯⨯⨯=， 当1cos 62B π⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+时，2,632B B πππ+==，此时由勾股定理可得，a ==，所以122S =⨯⨯=△ABC 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的图象变换求三角函数的性质，以及解三角形的应用，解题的关键是根据图象变换正确得出变换后的解析式.24．（1）3A π=；（2）12. 【分析】 （1）由已知化简可得22cos 5cos 30A A +-=，解出1cos 2A =即可求出角A 的大小； （2）利用面积公式可求得b ，再利用余弦定理可求得a ，进而求出ABC 外接圆直径，得出所求.【详解】（1）5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+，25cos()22cos 1B C A ∴++=-，22cos 5cos 30A A ∴+-= 解得1cos 2A =或cos 3A =-（舍去）.0A π<<，所以3A π=. （2）313sin 223S bc π==，6bc∴=， 3,c b =∴= 由余弦定理得22212369,3a b c bc a =+-=+-==，由正弦定理得ABC外接圆直径2sin 2a R A === 2(2)sin sin 6R B C bc ==，所以1sin sin 2B C =. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正余弦定理进行化简.25．（1）1n a n =+；（2）12n n n T -=. 【分析】（1）根据222n n n S a a =+-可得211122n n n S a a +++=+-，两式作差证明{}n a 为等差数列，由此求解出{}n a 的通项公式；（2）先根据232n n n a a b --=求解出{}n b 的通项公式，然后采用错位相减法进行求和，由此求解出n T .【详解】（1）因为222n n n S a a =+-，所以211122n n n S a a +++=+-，所以两式作差有：221112n n n n n a a a a a +++=+--， 所以()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，且0n a >，所以10n n a a ++>，所以11n n a a +-=，所以{}n a 是公差为1的等差数列，且21111222S a a a ==+-，所以12a =或11a =-（舍），所以()2111n a n n =+⋅-=+；（2）因为232n n n a a b --=，所以122n n n b --=， 所以01211012...2222n n n T ---=++++，所以12311012...22222n nn T --=++++， 两式作差可得：012311111112+ (2222222)n n n n T ------=++++-， 所以11111222221212n n n n T --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭=---，所以11112221222n n n n n n T ---⎛⎫-⎛⎫=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】 思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列{}n a 的前n 项和n S 的求解步骤（错位相减法）：（1）先根据数列的通项公式写出数列n S 的一般形式：123...n n S a a a a =++++； （2）将（1）中的关于n S 等式的左右两边同时乘以等比数列的公比()1q ≠；（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；（4）利用等比数列的前n 项和公式以及相关计算求解出n S .26．（Ⅰ）2n n a =；（Ⅱ）22n n T n =+． 【分析】（Ⅰ）利用等差中项的定义得出n S 与n a 的关系，然后由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系，求出1a 其为等比数列，从而得通项公式；（Ⅱ）用裂项相消法求和n T ．【详解】解：（Ⅰ）因为n nS a 和2n a 的等差中项为1， 所以22n n nS a a +=，即22n n S a =-， 当2n 时，1122n n S a --=-．两式相减得1122n n n n S S a a ---=-，整理得12n n a a -=．在22n n S a =-中，令1n =得12a =，所以，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，因此1222n n n a -=⨯=．（Ⅱ）411log 2n n n b a ++==． 则114114(1)(2)12+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n n b b n n n n ． 所以11111111244233412222n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．。
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第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理Ⅰ 学习目标1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，则c 等于( ) (A)2(B)3(C)4(D)53．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)512 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么这个三角形是( )(A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3(B)1∶3∶2(C)1∶4∶9(D)1∶2∶3二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos B cos C ＝1－cos A ，则△ABC 形状是________三角形.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，B ＝60°，则c ＝________. 10．在△ABC 中，若tan A ＝2，B ＝45°，BC ＝5，则 AC ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝4，C ＝60°，试解△ABC . 12．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝4，AC ＝13.(1)求角B 的大小；(2)若D 是BC 的中点，求中线AD 的长.13．如图，△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，求角A 的大小.14．在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积.测试二 解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 等于( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π2．在△ABC 中，给出下列关系式： ①sin(A ＋B )＝sin C②cos(A ＋B )＝cos C ③2cos 2sinCB A =+ 其中正确的个数是( ) (A)0 (B)1(C)2 (D)33．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，sin A ＝32，sin(A ＋C )＝43，则b 等于( ) (A)4(B)38(C)6 (D)827 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，sin C ＝32，则此三角形的面积是( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)35．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，则此三角形的形状是( ) (A)直角三角形 (B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形 二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝19，则角C ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝4，cos A ＝53，则此三角形的面积为________. 9．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，C (4，4)，则cos A ＝________. 10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________. 三、解答题11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝3，b ＝4，C ＝60°.(1)求c ； (2)求sin B .12．设向量a ，b 满足a ·b ＝3，|a |＝3，|b |＝2.(1)求〈a ，b 〉； (2)求|a －b |.13．设△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，若BD ⊥OA 于D .(1)求高线BD 的长； (2)求△OAB 的面积.14．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，求证：C 为锐角.(提示：利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为△ABC 外接圆半径) Ⅱ 拓展训练题15．如图，两条直路OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX 、OY 上的A 、B 两点，| OA |＝3km ，| OB |＝1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿XO 方向，乙沿OY 方向. 问：(1)经过t 小时后，两人距离是多少(表示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且ca bC B +-=2cos cos . (1)求角B 的值；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积.第二章 数列测试三 数列Ⅰ 学习目标1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数. 2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{a n }的通项公式可以是( ) (A)a n ＝4n (B)a n ＝4n (C)a n ＝94(10n－1) (D)a n ＝4×11n2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( ) (A)30 (B)35 (C)36 (D)42 3．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则a 4等于( ) (A)4 (B)13 (C)28 (D)43 4．156是下列哪个数列中的一项( ) (A){n 2＋1} (B){n 2－1} (C){n 2＋n } (D){n 2＋n －1} 5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( ) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对 二、填空题6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：(1)n a ,,31,52,21,32,1Λ＝________；(2)0，1，0，1，0，…，a n ＝________.7．一个数列的通项公式是a n ＝122+n n .(1)它的前五项依次是________； (2)0.98是其中的第________项.8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则a 4＝________. 9．数列{a n }的通项公式为)12(3211-++++=n a n Λ(n ∈N *)，则a 3＝________.10．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－15n ＋3，则它的最小项是第________项. 三、解答题11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝14－3n .(1)写出数列{a n }的前6项； (2)当n ≥5时，证明a n ＜0.12．在数列{a n }中，已知a n ＝312-+n n (n ∈N *).(1)写出a 10，a n ＋1，2n a ； (2)7932是否是此数列中的项？若是，是第几项？ 13．已知函数xx x f 1)(-=，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋).(1)写出数列{a n }的前4项；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？测试四 等差数列Ⅰ 学习目标1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝a n －2，则a 100等于( ) (A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－1982．数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2008，那么n 等于( ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3．在等差数列{a n }中，若a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) (A)15 (B)30 (C)31 (D)644．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( )(A)n a b - (B)1+-n a b (C)1++n a b (D)2+-n ab 5．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) (A)S 4＜S 5 (B)S 4＝S 5 (C)S 6＜S 5 (D)S 6＝S 5 二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项是________.7．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝9，那么a 5＋a 6＝________. 8．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 17＝102，则a 9＝________.9．如果一个数列的前n 项和S n ＝3n 2＋2n ，那么它的第n 项a n ＝________.10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，设{a n }的前n 项和是S n ，则S 10＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．求数列{a n }的通项公式.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .13．数列{a n }是等差数列，且a 1＝50，d ＝－0.6．(1)从第几项开始a n ＜0；(2)写出数列的前n 项和公式S n ，并求S n 的最大值.Ⅲ 拓展训练题14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若3a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝90，求S 100． 测试五 等比数列Ⅰ 学习目标1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，则a 4等于( )(A)83 (B)24 (C)48 (D)542．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) (A)33 (B)72 (C)84 (D)189 3．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3等于( )(A)4(B)23 (C)916 (D)3 4．在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前四项和为( ) (A)81 (B)120 (C)168 (D)1925．若数列{a n }满足a n ＝a 1q n －1(q ＞1)，给出以下四个结论： ①{a n }是等比数列； ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列； ③{a n }是递增数列； ④{a n }可能是递减数列. 其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 二、填空题6．在等比数列{a n }中,a 1，a 10是方程3x 2＋7x －9＝0的两根，则a 4a 7＝________. 7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝6，那么a 5＋a 6＝________. 8．在等比数列{a n }中，若a 5＝9，q ＝21，则{a n }的前5项和为________. 9．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q ＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝6，a 5＝162.设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .12．在等比数列{a n }中，若a 2a 6＝36，a 3＋a 5＝15，求公比q .13．已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c .Ⅲ 拓展训练题14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列.a ij 表示位于第i 行第j 列的数，其中a 24＝1，a 42＝1，a 54＝5.(1)求q 的值；(2)求a ij 的计算公式.测试六 数列求和Ⅰ 学习目标1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 2．若数列{a n }是公差为21的等差数列，它的前100项和为145，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为( ) (A)60 (B)72.5 (C)85 (D)1203．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·2n (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则S 100等于( ) (A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200 4．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)12)(12(1n n 的前n 项和为( )(A)12+n n (B)122+n n (C)24+n n (D)12+n n 5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝a n ＋3(n ＝1，2，3，…)，则S 100等于( ) (A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950 二、填空题 6．nn +++++++++11341231121Λ＝________.7．数列{n ＋n 21}的前n 项和为________. 8．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 9．设n ∈N *，a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝________. 10．n n 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯Λ＝________. 三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝－11，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，求数列{|a n |}的前n 项和S n .12．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数n 都有f (1)＝n 2成立.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求13221111++++n n a a a a a a Λ.13．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝12141211-++++n Λ，求数列的前n 项和S n .Ⅲ 拓展训练题14．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n x n (x ∈R )，求数列{b n }的前n 项和公式.测试七 数列综合问题Ⅰ 基础训练题一、选择题1．等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于( ) (A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2 2．等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 3．如果a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差d ≠0，则( ) (A)a 1a 8＞a 4a 5 (B)a 1a 8＜a 4a 5 (C)a 1＋a 8＞a 4＋a 5 (D)a 1a 8＝a 4a 54．一给定函数y ＝f (x )的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是()5．已知数列{a n }满足a 1＝0，1331+-=+n n n a a a (n ∈N *)，则a 20等于( ) (A)0 (B)－3(C)3(D)23 二、填空题6．设数列{a n }的首项a 1＝41，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,,41,211为奇数为偶数n a n a a n nn 则a 2＝________，a 3＝________.7．已知等差数列{a n }的公差为2，前20项和等于150，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝________.8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________.10．在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意正整数n 等式3a n ＋1－a n ＝0成立，若b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，则{b n }的前n 项和为________. 三、解答题11．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求a 1＋a 3＋…＋a 2n －1的和.12．已知函数f (x )＝422+x (x ＞0)，设a 1＝1，a 21+n ·f (a n )＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪个值最大，并说明理由.Ⅲ 拓展训练题14．甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m .(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，…则称{a n }为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2)若“绝对差数列”{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，试求出通项a n ； (3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八 数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么a 5＋a 6等于( ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2．在50和350间所有末位数是1的整数和( ) (A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)48773．若a ，b ，c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定 4．在等差数列{a n }中，如果前5项的和为S 5＝20，那么a 3等于( ) (A)－2 (B)2 (C)－4 (D)45．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2007＋a 2008＞0，a 2007·a 2008＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( ) (A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015 二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________.7．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和S 20＝________. 8．数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S n ＝n 2－3n ＋1，则a n ＝________.9．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1074963a a a a a a ++++＝________.10．设数列{a n }是首项为1的正数数列，且(n ＋1)a 21+n －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________. 三、解答题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，求S 13.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数f (x )＝2x ＋1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设c n ＝S n ，求数列{c n }的前n 项和T n .13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n ＝3a n ＋2.(1)求证：数列{a n }成等比数列； (2)求通项公式a n .14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元. (1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？Ⅱ 拓展训练题 15．已知函数f (x )＝412-x (x ＜－2)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (－11+n a )(n ∈N *).(1)求a n ；(2)设b n ＝a 21+n ＋a 22+n ＋…＋a 212+n ，是否存在最小正整数m ，使对任意n ∈N *有b n ＜25m成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.16．已知f 是直角坐标系平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作Q ＝f (P ).设P 1(x 1，y 1)，P 2＝f (P 1)，P 3＝f (P 2)，…，P n ＝f (P n －1)，….如果存在一个圆，使所有的点P n (x n ，y n )(n ∈N *)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n (x n ，y n )的一个收敛圆.特别地，当P 1＝f (P 1)时，则称点P 1为映射f 下的不动点.若点P (x ，y )在映射f 下的象为点Q (－x ＋1，21y ). (1)求映射f 下不动点的坐标；(2)若P 1的坐标为(2，2)，求证：点P n (x n ，y n )(n ∈N *)存在一个半径为2的收敛圆.第三章 不等式测试九 不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小. 2．理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( ) (A)a ＞b ⇒a －c ＞b －c (B)a ＞b ⇒ac ＞bc (C)a ＞b ⇒a 2＞b 2 (D)a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 2．若－1＜α＜β＜1，则α－β 的取值范围是( ) (A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0) 3．设a ＞2，b ＞2，则ab 与a ＋b 的大小关系是( ) (A)ab ＞a ＋b (B)ab ＜a ＋b (C)ab ＝a ＋b (D)不能确定4．使不等式a ＞b 和ba 11>同时成立的条件是( ) (A)a ＞b ＞0 (B)a ＞0＞b (C)b ＞a ＞0 (D)b ＞0＞a 5．设1＜x ＜10，则下列不等关系正确的是( ) (A)lg 2x ＞lg x 2＞lg(lg x ) (B)lg 2x ＞lg(lg x )＞lg x 2 (C)lg x 2＞lg 2x ＞1g (lg x ) (D)lg x 2＞lg(lg x )＞lg 2x 二、填空题6．已知a ＜b ＜0，c ＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号： (1)(a －2)c ________(b －2)c ； (2)a c ________bc； (3)b －a ________|a |－|b |. 7．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a 、ab 、ab 2按从小到大排列为________. 8．已知60＜a ＜84，28＜b ＜33，则a －b 的取值范围是________；ba的取值范围是________. 9．已知a ，b ，c ∈R ，给出四个论断：①a ＞b ；②ac 2＞bc 2；③cbc a >；④a －c ＞b －c .以其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是________⇒________；________⇒________.(在“⇒”的两侧填上论断序号).10．设a ＞0，0＜b ＜1，则P ＝23+a b 与)2)(1(++=a a bQ 的大小关系是________.三、解答题11．若a ＞b ＞0，m ＞0，判断a b 与ma mb ++的大小关系并加以证明.12．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，b a q a b ba p +=+=,22.证明：p ＞q .注：解题时可参考公式x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2).Ⅲ 拓展训练题13．已知a ＞0，且a ≠1，设M ＝log a (a 3－a ＋1)，N ＝log a (a 2－a ＋1).求证：M ＞N .14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较a 5和b 5的大小.测试十 均值不等式Ⅰ 学习目标1．了解基本不等式的证明过程.2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则ab ( )(A)有最小值41 (B)有最小值21 (C)有最大值41 (D)有最大值21 2．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则( ) (A)2222b a ab ba +<<+ (B)2222b a ba ab +<+< (C)2222ba b a ab +<+<(D)2222ba ab b a +<<+ 3．若矩形的面积为a 2(a ＞0)，则其周长的最小值为( )(A)a (B)2a (C)3a(D)4a4．设a ，b ∈R ，且2a ＋b －2＝0，则4a ＋2b 的最小值是( ) (A)22(B)4(C)24(D)85．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) (A)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (B)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (C)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 (D)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 二、填空题6．若x ＞0，则变量xx 9+的最小值是________；取到最小值时，x ＝________. 7．函数y ＝142+x x(x ＞0)的最大值是________；取到最大值时，x ＝________. 8．已知a ＜0，则316-+a a 的最大值是________. 9．函数f (x )＝2log 2(x ＋2)－log 2x 的最小值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 成等比数列，则b 的取值范围是________. 三、解答题 11．四个互不相等的正数a ，b ，c ，d 成等比数列，判断2da +和bc 的大小关系并加以证明. 12．已知a ＞0，a ≠1，t ＞0，试比较21log a t 与21log +t a 的大小.Ⅲ 拓展训练题13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式a y x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 14．(1)用函数单调性的定义讨论函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性； a测试十一 一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2．会解简单的一元二次不等式.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( ) (A){x |x ＞－1，或x ＜－4} (B){x |－4＜x ＜－1} (C){x |x ＞4，或x ＜1}(D){x |1＜x ＜4}2．不等式－x 2＋x －2＞0的解集是( ) (A){x |x ＞1，或x ＜－2}(B){x |－2＜x ＜1} (C)R(D)∅3．不等式x 2＞a 2(a ＜0)的解集为( ) (A){x |x ＞±a }(B){x |－a ＜x ＜a } (C){x |x ＞－a ，或x ＜a }(D){x |x ＞a ，或x ＜－a } 4．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为}231|{<<-x x ，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )(A){x |－3＜x ＜21} (B){x |x ＜－3，或x ＞21} (C){x －2＜x ＜31}(D){x |x ＜－2，或x ＞31}5．若函数y ＝px 2－px －1(p ∈R )的图象永远在x 轴的下方，则p 的取值范围是( ) (A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0) 二、填空题6．不等式x 2＋x －12＜0的解集是________.7．不等式05213≤+-x x 的解集是________. 8．不等式|x 2－1|＜1的解集是________. 9．不等式0＜x 2－3x ＜4的解集是________. 10．已知关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1)x ＋1＜0的解集为非空集合｛x |a ＜x ＜a1}，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题11．求不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )的解集.12．k 在什么范围内取值时，方程组⎩⎨⎧=+-=-+0430222k y x x y x 有两组不同的实数解？Ⅲ 拓展训练题13．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}.(1)求实数a 的取值范围，使C ⊇(A ∩B )；(2)求实数a 的取值范围，使C ⊇(U A )∩(U B ).14．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋1＜0.测试十二 不等式的实际应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1．函数241xy -=的定义域是( )(A){x |－2＜x ＜2}(B){x |－2≤x ≤2} (C){x |x ＞2，或x ＜－2}(D){x |x ≥2，或x ≤－2}2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)的关系为p ＝300－2x ，生产x 件的成本r ＝500＋30x (元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x 满足( ) (A)55≤x ≤60 (B)60≤x ≤65 (C)65≤x ≤70 (D)70≤x ≤753．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r 的取值范围为( ) (A)2≤r ≤10 (B)8≤r ≤10 (C)2≤r ≤8 (D)0≤r ≤84．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) (A)2∈M ，0∈M (B)2∉M ，0∉M (C)2∈M ，0∉M (D)2∉M ，0∈M 二、填空题5．已知矩形的周长为36cm ，则其面积的最大值为________.6．不等式2x 2＋ax ＋2＞0的解集是R ，则实数a 的取值范围是________. 7．已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (x )＜3的解集为________.8．若不等式|x ＋1|≥kx 对任意x ∈R 均成立，则k 的取值范围是________. 三、解答题9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h 的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲乙两种车型的刹车距离s (km)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2．问交通事故的主要责任方是谁？Ⅲ 拓展训练题11．当x ∈[－1，3]时，不等式－x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围.12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm 的空白，上下留有都为6cm 的空白，中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知点A (2，0)，B (－1，3)及直线l ：x －2y ＝0，那么( ) (A)A ，B 都在l 上方 (B)A ，B 都在l 下方 (C)A 在l 上方，B 在l 下方 (D)A 在l 下方，B 在l 上方 2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2,0,0y x y x 所表示的平面区域的面积为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43．三条直线y ＝x ，y ＝－x ，y ＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥.2,,y x y x y(B)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤.2,,y x y x y(C)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.2,,y x y x y(D)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.2,,y x y x y4．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则z ＝2x ＋4y 的最小值是( )(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)105．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) (A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种 二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧<>00y x 所表示的平面区域内的点位于第________象限.7．若不等式|2x ＋y ＋m |＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m 的取值范围是________. 8．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,033,3,1y x y x 那么z ＝x －y 的取值范围是________.9．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,022,2,1y x y x 那么x y 的取值范围是________.10．方程|x |＋|y |≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：(1)3x ＋2y ＋6＞0 (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.01,2,1y x y x12．某实验室需购某种化工原料106kg ，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg ，价格为140元；另一种是每袋24kg ，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？Ⅲ 拓展训练题13．商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14．甲、乙两个粮库要向A ，B 两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A 镇需大米70吨，B 镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：问：(1)这两个粮库各运往A 、B 两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？测试十四 不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式中一定正确的是( ) (A)ac 2＞bc 2(B)ba 11< (C)a －c ＞b －c (D)|a |＞|b |2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+2,042,04y y x y x 表示的平面区域的面积是( )(A)23 (B)3 (C)4 (D)6 3．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2 (B)100m 2 (C)200m 2 (D)250m 2 4．设函数f (x )＝222x x x +-，若对x ＞0恒有xf (x )＋a ＞0成立，则实数a 的取值范围是( )(A)a ＜1－22(B)a ＜22－1(C)a ＞22－1(D)a ＞1－22 5．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0，则( ) (A)a ＞1 (B)a ＜－1 (C)－1＜a ＜1 (D)|a |＞1二、填空题6．已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a －b 的取值范围是________，ba的取值范围是________. 7．若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＋b ＝________.8．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 9．若函数f (x )＝1222--⋅+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为________.10．三个同学对问题“关于x 的不等式x 2＋25＋|x 3－5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.” 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是________. 三、解答题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | |x －1|＜6}，B ＝{x |128--x x ＞0}. (1)求A ∩B ； (2)求(U A )∪B .12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？Ⅱ 拓展训练题 13．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与ij a a 两数中至少有一个属于A .(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由； (2)证明：a 1＝1，且n nna a a a a a a =++++++---1121121ΛΛ.测试十五 必修5模块自我检测题一、选择题1．函数42-=x y 的定义域是( )(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞) 2．设a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a －b ＜0 (B)0＜ba＜1 (C)ab ＜2ba +(D)ab ＞a ＋b3．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤0,0,1y x y x 所表示的平面区域是W ，则下列各点中，在区域W 内的点是( )(A))31,21((B))31,21(-(C))31,21(-- (D))31,21(-4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a 1＋a 3＞0 (B)a 1a 3＞0 (C)S 1＋S 3＜0 (D)S 1S 3＜05．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶3∶2(B)1∶2∶3(C)2∶3∶1(D)3∶2∶16．已知等差数列{a n }的前20项和S 20＝340，则a 6＋a 9＋a 11＋a 16等于( ) (A)31 (B)34 (C)68 (D)70 7．已知正数x 、y 满足x ＋y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( ) (A)－4 (B)4 (C)－2 (D)28．如图，在限速为90km/h 的公路AB 旁有一测速站P ，已知点P 距测速区起点A 的距离为0.08 km ，距测速区终点B 的距离为0.05 km ，且∠APB ＝60°.现测得某辆汽车从A 点行驶到B 点所用的时间为3s ，则此车的速度介于( )(A)60～70km/h (B)70～80km/h (C)80～90km/h (D)90～100km/h 二、填空题9．不等式x (x －1)＜2的解集为________.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则cos(A ＋C )的值为________. 11．已知{a n }是公差为－2的等差数列，其前5项的和S 5＝0，那么a 1等于________. 12．在△ABC 中，BC ＝1，角C ＝120°，cos A ＝32，则AB ＝________.13．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥≥030420,0y x y x y x ，所表示的平面区域的面积是________；变量z ＝x ＋3y 的最大值是________.14．如图，n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列方阵，符号a ij (1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，i ，j ∈N )表示位于第i 行第j 列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q .若a 11＝21，a 24＝1，a 32＝41，则q ＝________；a ij ＝________.三、解答题15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6.(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＜0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为R ，求实数a 的取值范围.16．已知{a n }是等差数列，a 2＝5，a 5＝14.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{a n }的前n 项和S n ＝155，求n 的值.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A ，B 是锐角，c ＝10，且34cos cos ==a b B A . (1)证明角C ＝90°； (2)求△ABC 的面积.18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？用煤(吨)用电(千瓦)产值(万元)甲种产品 7 2 8 乙种产品351119．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos A ＝31.(1)求A CB 2cos 2sin 2++的值； (2)若a ＝3，求bc 的最大值.20．数列{a n }的前n 项和是S n ，a 1＝5，且a n ＝S n －1(n ＝2，3，4，…).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：⋅<++++531111321n a a a a Λ参考答案第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理一、选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，所以C ＝60°或C ＝120°， 当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形； 当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形. 5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==＝k ， 得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ，所以a ∶b ∶c ＝1∶3∶2. 二、填空题6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1， ∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 10．由tan A ＝2，得52sin =A ，根据正弦定理，得ABC B AC sin sin =，得AC ＝425. 三、解答题11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°. 12．(1)60°；(2)AD ＝7. 13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-，同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ， ∴A ＝45°.14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21-)＝10. 所以AB ＝10. (3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.测试二 解三角形全章综合练习1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 提示：5．化简(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由余弦定理，得cos A ＝212222=-+bc a c b ，所以∠A ＝60°.因为sin A ＝2sin B cos C ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C . 所以sin(B －C )＝0，故B ＝C . 故△ABC 是正三角形. 二、填空题6．30° 7．120° 8．524 9．55 10．3三、解答题11．(1)由余弦定理，得c ＝13；(2)由正弦定理，得sin B ＝13392. 12．(1)由a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉，得〈a ，b 〉＝60°；(2)由向量减法几何意义，知|a |，|b |，|a －b |可以组成三角形，所以|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝7，故|a －b |＝7.13．(1)如右图，由两点间距离公式，得29)02()05(22=-+-=OA ， 同理得232,145==AB OB . 由余弦定理，得,222cos 222=⨯⨯-+=AB OA OB AB OA A所以A ＝45°.故BD ＝AB ×sin A ＝229.(2)S △OAB ＝21·OA ·BD ＝21·29·229＝29. 14．由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，得C Rc B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===. 因为sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，所以222)2()2()2(R cR b R a >+， 即a 2＋b 2＞c 2. 所以cos C ＝abc b a 2222-+＞0， 由C ∈(0，π)，得角C 为锐角.15．(1)设t 小时后甲、乙分别到达P 、Q 点，如图，则|AP |＝4t ，|BQ |＝4t ，因为|OA |＝3，所以t ＝43h 时，P 与O 重合. 故当t ∈[0，43]时， |PQ |2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2×(3－4t )×(1＋4t )×cos60°； 当t ＞43h 时，|PQ |2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2×(4t －3)×(1＋4t )×cos120°. 故得|PQ |＝724482+-t t (t ≥0). (2)当t ＝h 4148224=⨯--时，两人距离最近，最近距离为2km . 16．(1)由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC . 所以等式c a b C B +-=2cos cos 可化为CR A R BR C B sin 2sin 22sin 2cos cos +⋅-=， 即CA BC B sin sin 2sin cos cos +-=， 2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－cos C ·sin B ，故2sin A cos B ＝－cos C sin B －sin C cos B ＝－sin(B ＋C )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 故cos B ＝－21， 所以B ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－2ac ×cos120°， 即a 2＋c 2＋ac ＝13 又a ＋c ＝4， 解得⎩⎨⎧==31c a ，或⎩⎨⎧==13c a .所以S △ABC ＝21ac sin B ＝21×1×3×23＝433.第二章 数列测试三 数列一、选择题1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题6．(1)12+=n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a -+=(或其他符合要求的答案)7．(1)2625,1716,109,54,21 (2)7 8．67 9．151 10．4提示：9．注意a n 的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.10．将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )＝2n 2－15n ＋3，利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11．(1)数列{a n }的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；(2)证明：∵n ≥5，∴－3n ＜－15，∴14－3n ＜－1， 故当n ≥5时，a n ＝14－3n ＜0.12．(1)31,313,31092421102-+=++==+n n a n n a a n n ； (2)7932是该数列的第15项. 13．(1)因为a n ＝n －n1，所以a 1＝0，a 2＝23，a 3＝38，a 4＝415；(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)11+-n ]－(n －n1)＝1＋)1(1+n n又因为n ∈N ＋，所以a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n .所以数列{a n }是递增数列.测试四 等差数列一、选择题1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 二、填空题6．a 4 7．13 8．6 9．6n －1 10．35 提示：10．方法一：求出前10项，再求和即可；方法二：当n 为奇数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝0，所以a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2m －1＝1(m ∈N *).当n 为偶数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝2，即a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 2m ＋2－a 2m ＝2(m ∈N *).。
【人教版】高中数学必修五期末模拟试卷(含答案)(1)
一、选择题1．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．72．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ） A ．254B ．499C ．14425D ．225493．设x ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）A ．5-B ．3C ．5-或3D ．5或3-4．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭5．在ABC 中，内角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，ABC，则a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（ ）A ．360sinnnπ︒ B ．360cosnnπ︒ C ．180cosnnπ︒ D ．90cosnnπ︒ 7．在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，若sin cos 0b A B =，且2b ac =，则a cb+ 的值为（ ）A．2BC ．2D ．48．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22tan tan B Cb c=，则ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形或直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形9．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-10．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（ ） A ．376B ．382C ．749D ．76611．已知1，1x ，2x ，7成等差数列，1，1y ，2y ，8成等比数列，点()11,M x y ，()22,N x y ，则直线MN 的方程是（ ）A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．70x y --=D ．70x y +-=12．已知函数()()31f x x x =-+，数列{}n a 中各项互不相等，记()()()12n n S f a f a f a =+++，给出两个命题：①若等差数列{}n a 满足55S =，则33a =；②若正项等比数列{}n a 满足33S =，则21a <；其中（ ）A ．①是假命题，②是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①②都是假命题D ．①②都是真命题二、填空题13．已知x ，y 满足条件1030,1x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则32z x y =-+的最小值为___________.14．在ABC 中，点M 是边BC的中点，AM =2BC =，则2AC AB +的最大值为___________.15．如图，在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D 且CD AD =.若3AC =，2BC =，则AB =________16．已知ABC 中，2,2BC AB AC ==，则ABC 面积的最大值为_____17．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．18．已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.19．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______.20．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________．三、解答题21．（1）已知x 、y 都是正数，若23x y +=，求11x y+的最小值； （2）当k 取何值时，不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立？ 22．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)23．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若角C 为23π，且()()()sin 2sin cos A C B C A B +=++．（1）求::a b c 的值；（2）若ABC 的内切圆的半径332r =，求ABC 的面积．24．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，221sin cos 22A B C +-=． （1）求角C ； （2）若2c =，4A π=，求ABC 的面积．25．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．26．若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列：1,2,3,4,5,；② 等比数列：11111,,,,24816--；（2）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z ＝3x ﹣2y 变形为y ＝32x ﹣2z，由024y x y =⎧⎨-=⎩，解得B （2，0）当此直线经过图中B 时，在y 轴的截距最大，z 最小， 所以z 的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.2．C解析：C 【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值. 【详解】 由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=221212534-=+， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.3．B解析：B 【分析】画出可行域，讨论当0a =时,当0a <时，当0a >时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的a 的值. 【详解】根据题中约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩可画出可行域如图所示，两直线交点坐标为：11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭， 当0a =时，z x ay =+无最小值； 当0a <时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，无最小值． 当0a >时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处有最小值：21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得3a =，故选B.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.4．D解析：D 【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】 作出可行域如下：由221z x y =--得12zy x +=-， 平移直线12zy x +=-， 由平移可知当直线12zy x +=-，经过点C 时， 直线12zy x +=-的截距最小，此时z 取得最大值， 由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12zy x +=-，经过点A 时， 直线12zy y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值，由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)故选：D ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．5．C解析：C 【分析】首先利用正弦定理表示为23b c =，再结合余弦定理求cos A 和sin A，并利用1sin 24ABCSbc A ==求a的值. 【详解】2sin 3sin B C =，由正弦定理可知23b c =， 14b c a -=，可得13,24c a b a ==，∴2221cos 24b c a A bc +-==-，sin A ==，1131sin 224244ABCSbc A a a ==⨯⨯⨯=，解得：4a =. 故选：C6．C解析：C 【分析】设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：180180sincosn n n nπ⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2180sinn n nπ⨯=，问题得解. 【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形， 由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：221360sin2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360sin 2n nπ≈⨯⨯， 此时1360sin 2n n n π⨯⨯=，即：180180sin cosn n n nπ⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2213602sin22r n r n π≈⨯⨯，整理得：13601802sin sin 22n n n nπ≈⨯⨯=⨯ 此时2180sinn n nπ⨯= 所以2180sin180cos nn n nnππ==⨯ 故选C 【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．7．C解析：C 【分析】利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可求得sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而确定3B π=；利用余弦定理构造方程可求得()24+=a c ac ，代入所求式子即可化简得到结果. 【详解】sin cos0b A B=，()sin sin cos sin sin 2sin sin 03B A A B A B B A B π⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 03B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，3B π∴=.()22222231cos 2222a c ac a cb ac ac B ac ac ac +-+-+-∴====，整理可得：()24+=a c ac ，2a cb+∴====. 故选：C . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理的应用等知识；解决此类问题的关键是能够通过正弦定理，将边的齐次式转化为角的关系，属于常考题型.8．A解析：A 【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2B C π+=，即可判断ABC ∆的形状．【详解】22tan tan B Cb c =， ∴22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b cb Bc C=，可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =，22B C ∴=，或22B C π+=，B C ∴=，或2B C π+=，ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．A解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===， 所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.10．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解8S 即可 【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯--83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项.11．B解析：B 【分析】本题先根据题意求出1x 、2x 、1y 、2y ，再写出点M 、N 的坐标并求MN k ，最后求直线MN 的方程即可. 【详解】解：∵1，1x ，2x ，7成等差数列，∴12121721x x x x +=+⎧⎨=+⎩，解得1235x x =⎧⎨=⎩，∵1，1y ，2y ，8成等比数列，∴12212181y y y y ⋅=⨯⎧⎨=⨯⎩，解得1224y y =⎧⎨=⎩ ∴点()3,2M ，()5,4N ，42153MN k -==- ∴直线MN 的方程：41(5)y x -=⨯-，即10x y --=.故选：B. 【点睛】本题考查等差中项，等比中项，根据两点求直线的一般式方程，是基础题.12．A解析：A 【分析】先确定函数()f x 对称性与单调性，再结合等差数列的等距性确定3a ；结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上，解不等式即得结果.【详解】因为()()()3311(1)1f x x x x x =-+=-+-+，而3y x x =+关于原点对称且在R 上单调递增，所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增， 先证明下面结论：若()g x 为奇函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123g()()()()0n a g a g a g a ++++=，则1230n a a a a ++++=.证明：若1230n a a a a ++++>，则当n 为偶数时，1211220n n n n a a a a a a -++=+==+>111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>同理21+122()()0,,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>与题意矛盾，当n 为奇数时，1211220n n n a a a a a -++=+==>类似可得12112()()0,()(),,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>，与题意矛盾同理可证1230n a a a a ++++<也不成立，因此1230n a a a a ++++=再引申结论：若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=，则123n a a a a na ++++=证明过程只需令()()g x f x a b =+-，再利用上面结论即得.①若等差数列{}n a 满足55S =，即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=，则123453555a a a a a a ++++=∴=， 31a ∴=，故①是假命题，②若正项等比数列{}n a 满足33S =， 即123()()()3f a f a f a ++= 因为数列{}n a 中各项互不相等，所以公比不为1，不妨设公比大于1，即123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<，因为1322a a a +>=∴2()1f a <，()3222111a a a -+<∴<故②是真命题 故选：A 【点睛】本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.二、填空题13．【分析】作出不等式组所表示的可行域平移直线根据直线在轴上的截距最小找到使得目标函数取得最小值时的最优解代入计算即可【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线当直线经过可行域的顶点时直线在解析：2-【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线3 2z x y=-+，根据直线32z x y=-+在y轴上的截距最小，找到使得目标函数32z x y=-+取得最小值时的最优解，代入计算即可.【详解】作出不等式组10301x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：平移直线32z x y=-+，当直线32z x y=-+经过可行域的顶点()2,1A时，直线32z x y=-+在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，即min32122z=-⨯+=-.故答案为：2-.【点睛】思路点睛：求线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法，根据目标函数所对应的直线在坐标轴上的截距取得最值来判断目标函数在何处取得最优解.14．【分析】用余弦定理表示出求出后利用余弦函数性质可得最大值【详解】记则在中同理在中可得∴设则其中是锐角显然存在使得∴的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理考查换元法求最值解题方法是用解析：10【分析】用余弦定理表示出,AC AB ，求出2AC AB +后利用余弦函数性质可得最大值． 【详解】记AMC α∠=，则AMB πα∠=-， 在AMC 中，2222cos 314AC AM MC AM MC ααα=+-⋅=+-=-，同理在AMB 中可得24AB α=+，∴228AB AC +=，设AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．则12cos )cos )2AC AB x x x x x x +=+=+=+)x θ=+，其中cosθθ==θ是锐角， 显然存在0(0,)22x ππθ=-∈，使得0sin()1x θ+=，∴2AC AB +的最大值为故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理，考查换元法求最值．解题方法是用余弦定理表示出,AB AC，得出228AB AC +=，利用三角换元法AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．这里注意标明x 的取值范围．在下面求最值时需确认最值能取到，然后结合三角函数的性质求最值．15．【分析】不妨令易知然后在中利用正弦定理求出的值最后在中利用正弦定理可求出的值【详解】解：在中角的平分线交于且设则即整理得所以：结合得即显然是锐角所以再由得：解得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理三角【分析】不妨令A α∠=，易知ACD BCD α∠==，3B πα∠=-，然后在ABC 中，利用正弦定理，求出sin α，cos α的值，最后在ABC 中，利用正弦定理，可求出AB 的值． 【详解】解：在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D ，且CD AD =． 设A α∠=，则ACD BCD α∠==，3B πα∠=-， ∴sin sin AC BCB A=∠∠，即32sin(3)sin παα=-，整理得2sin33sin αα=，所以：2(sin cos2cos sin 2)3sin ααααα+=， 结合sin 0α≠得222(2cos 12cos )3αα-+=，即258cos α=，显然α是锐角，所以cos αα=∴sin 22sin cos ααα==．再由ABC 得：2sin sin 2ABαα=，∴=解得10AB ．【点睛】本题考查正弦定理，三角恒等变换的知识方法在解题中的作用，属于中档题．16．【分析】设则根据面积公式得由余弦定理求得代入化简由三角形三边关系求得由二次函数的性质求得取得最大值【详解】解：设则根据面积公式得由余弦定理可得可得：由三角形三边关系有：且解得：故当时取得最大值故答案解析：43【分析】设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得ABC S ∆=，由余弦定理求得cos C 代入化简ABC S ∆=223x <<，由二次函数的性质求得ABC S ∆取得最大值． 【详解】解：设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得 1sin sin 12ABC S AC BC C x C x ∆=== 由余弦定理可得2224443cos 44x x x C x x+--==，可得：ABCS ∆==由三角形三边关系有：22x x +>，且22x x+>，解得：223x <<， 故当x =时，ABC S ∆取得最大值43， 故答案为：43． 【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．17．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然解析：16 【分析】作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．【详解】作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩表示的平面区域，如图所示：由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移， 当直线经过A 时，z 最大 由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.18．【分析】由参变量分离法得出对任意的恒成立利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】要使在区间上不等式恒成立只需恒成立设只需小于在区间上的最小值因为所以当时所以所 解析：(),1-∞-【分析】由参变量分离法得出231m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用二次函数的基本性质可求得函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立， 只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()y g x =在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()min 11g x g ==-， 所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-. 【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.19．【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为：【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题 解析：2【分析】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=， ()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+， 因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=， 故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下： （1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=； （3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =； （4）比较式子，求得结果.三、解答题21．（1）33+；（2）30k -<≤. 【分析】 （1）将代数式()123x y +与11x y+相乘，展开后利用基本不等式可求得11x y +的最小值； （2）分0k =和0k ≠两种情况讨论，结合题意可得出关于实数k 的不等式，由此可求得实数k 的取值范围. 【详解】（1）已知x 、y 都是正数且23x y +=，所以，()11111121233333x y x y y y x y x x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎝=+⎝+⎭⎭，当且仅当x =时，等号成立，因此，11x y +；（2）由于不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立. ①当0k =时，可得308-<，合乎题意； ②当0k ≠时，可得230k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<.综上所述，实数k 的取值范围是30k -<≤. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩；②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩. 22．(1)3. (2)5. 【解析】 试题分析：（1）求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 试题（1）设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为万元，则由,可得∵，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入−总支出， ∴二手车出售后,小张的年平均利润为，当且仅当时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 考点：根据实际问题选择函数类型, 基本不等式 23．（1）1:1:32）34. 【分析】（1）利用诱导公式可将已知等式化简得到sin sin A B =，知A B =，a b =，由正弦定理可知::sin :sin :sin a b c A B C =，由此可求得结果； （2）根据()12ABC S a b c r =++⋅△和1sin 2ABCS ab C =，根据（1）中3c a =，可构造方程求得a ，代入可得所求面积. 【详解】 （1）A B C π++=，()sin sin A C B ∴+=，()sin sin B C A +=，()cos cos A B C +=-，由()()()sin 2sin cos A C B C A B +=++得：2sin 2sin cos 2sin cos sin 3B A C A A π=-=-=，A B ∴=，a b =，2::sin :sin :sin sin:sin:sin1:1:663a b c A B C πππ∴=== （2）由（1）知：c =，()()1132222ABCSa b c r a ⎫=++⋅=⎪⎭，又21sin 2ABCSab C ==，(23222a⎫⎪⎝⎭∴=，解得：1a =，244ABCS a ∴==. 【点睛】关键点点睛：第二问求解三角形面积的关键是能够利用两种不同方式表示出所求三角形的面积，即()11sin 22S a b c r ab C =++⋅=，从而构造方程求得所需的边长. 24．（1）2C π=或3C π=；（2）33+或1． 【分析】（1）利用二倍角余弦公式可得22cos cos C C -=-，从而可得cos 0C =或1cos 2C =，即求.（2）由（1）知3C π=或2C π=，当3C π=时，利用正弦定理求出,a b ，再根据三角形的面积公式即可求解；当2C π=时，根据直角三角形即可求解.【详解】 （1）由221sincos 22A B C +-=，得222sin 2cos 12A BC +-=， 化简得222cos 12sin2A BC +-=-， 即()22cos cos C A B -=+，即22cos cos C C -=-，即()cos 2cos 10C C -=，解得cos 0C =或2cos 10C -=．即cos 0C =或1cos 2C =． 又0C π<<，所以2C π=或3C π=． （2）由（1）得3C π=或2C π=，当3C π=时，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得，sin sin c a A C =⋅=3， 2sinsin 34c b B C ππ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭ 22sin cos cos sin3434ππππ⎫=-⎪⎭12⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎦，故11sin 22ABC S ab C ===△当2C π=时，由2c =，4A π=，得4B π=，a b ==因此11122ABC S ab ===△．综上，ABC 的面积是33+或1． 25．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+. 【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a a n n+=+，得到{}n b 为等比数列， （2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n n a a n n +=+， 因为n n a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n n a n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得： 0121233333n n n S n --=++++-⋅13313nn n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+． 【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 26．（1）①不是跳跃数列；②是跳跃数列；（2）()()2,23,21-. 【分析】（1）①根据定义可直接判断其不是跳跃数列；②根据定义可直接判断其是跳跃数列； （2）根据条件分1n n a a +>和1n n a a +<两种情况求出n a 的取值范围，再求出首项1a 的取值范围.【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,，不满足()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，所以不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,24816--，满足()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，所以是跳跃数列；（2）由()2111955n n n n a a a a +-=--，得()()22211519195125n n n n n n a a a a a a ++-=----， ()()()22123195125n n n n n n a a a a a a +-=----.若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，此时2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，此时n a ⎛∈ ⎝⎭.若2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则21195n n a a +⎛-=∈ ⎝⎭，所以()12,2a ∈-；若53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(1a ∈，所以()()12,23,21a∈-.【点睛】求解等差等比的综合问题，需要分析清楚条件，根据条件描述的等差数列的性质还是等比数列的性质列式，然后再根据数列{}n a是等差或者等比数列，将式子表示为基本量1,a d 或者1,a q进行化简计算.。
高中数学必修5复习题及答案(A组)免费范文
篇一：高中数学必修5课后习题答案人教版高中数学必修5课后习题解答第一章解三角形1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P4） 1、（1）a?14，b?19，B?105?；（2）a?18cm，b?15cm，C?75?. 2、（1）A?65?，C?85?，c?22；或A?115?，C?35?，c?13；（2）B?41?，A?24?，a?24. 练习（P8） 1、（1）A?39.6?,B?58.2?,c?4.2 cm；（2）B?55.8?,C?81.9?,a?10.5 cm. 2、（1）A?43.5?,B?100.3?,C?36.2?；（2）A?24.7?,B?44.9?,C?110.4?. 习题1.1 A组（P10） 1、（1）a?38cm,b?39cm,B?80?；（2）a?38cm,b?56cm,C?90? 2、（1）A?114?,B?43?,a?35cm;A?20?,B?137?,a?13cm（2）B?35?,C?85?,c?17cm；（3）A?97?,B?58?,a?47cm;A?33?,B?122?,a?26cm； 3、（1）A?49?,B?24?,c?62cm；（2）A?59?,C?55?,b?62cm；（3）B?36?,C?38?,a?62cm；4、（1）A?36?,B?40?,C?104?；（2）A?48?,B?93?,C?39?；习题1.1 A组（P10）1、证明：如图1，设?ABC的外接圆的半径是R，①当?ABC时直角三角形时，?C?90?时，?ABC的外接圆的圆心O在Rt?ABC的斜边AB上.BCAC在Rt?ABC中，?sinA，?sinBABABab即?sinA，?sinB 2R2R所以a?2RsinA，b?2RsinB 又c?2R?2R?sin902RsinC （第1题图1）所以a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC②当?ABC时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O在三角形内（图2），作过O、B的直径A1B，连接AC， 1?90?，?BACBAC则?A1BC直角三角形，?ACB. 11在Rt?A1BC中，即BC?sin?BAC1， A1Ba?sin?BAC?sinA， 12R所以a?2RsinA，同理：b?2RsinB，c?2RsinC③当?ABC时钝角三角形时，不妨假设?A为钝角，它的外接圆的圆心O 在?ABC外（图3）（第1题图2）作过O、B的直径A1B，连接AC.1则?A1BC直角三角形，且?ACB?90?，?BAC?180?11在Rt?A1BC中，BC?2Rsin?BAC， 1即a?2Rsin(180?BAC)即a?2RsinA同理：b?2RsinB，c?2RsinC综上，对任意三角形?ABC，如果它的外接圆半径等于则a?2RsinA,b?2RsinB, c?2RsinC2、因为acosA?bcosB，所以sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B 因为0?2A,2B?2?，（第1题图3）所以2A?2B，或2A?2B，或2A?22B. 即A?B或A?B?所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到sin2A?sin2B后，也可以化为sin2A?sin2B?0 所以cos(A?B)sin(A?B)?0 A?B??2.?2，或A?B?0即A?B??2，或A?B，得到问题的结论.1．2应用举例练习（P13）1、在?ABS中，AB?32.2?0.5?16.1 n mile，?ABS?115?，根据正弦定理，得AS?ASAB?sin?ABSsin(6520?)?AB?sin?ABS16.1?sin115sin(6520?)∴S到直线AB的距离是d?AS?sin2016.1?sin115sin207.06（cm）. ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长1.89 m. 练习（P15）1、在?ABP中，?ABP?180?，?BPA?180(?)ABP?180(?)?(180?)在?ABP中，根据正弦定理，APAB?sin?ABPsin?APBAPa?sin(180?)sin(?)a?sin(?)AP?sin(?)asin?sin(?)所以，山高为h?APsinsin(?)2、在?ABC中，AC?65.3m，?BAC?25?2517?387?47??ABC?909025?2564?35?ACBC?sin?ABCsin?BAC?747AC?sin?BAC65.?3?sinBC?m 9.8?sin?ABCsin?6435井架的高约9.8m.200?sin38?sin29?3、山的高度为?382msin9?练习（P16） 1、约63.77?. 练习（P18） 1、（1）约168.52 cm2；（2）约121.75 cm2；（3）约425.39 cm2. 2、约4476.40 m2a2?b2?c2a2?c2?b2?c?3、右边?bcosC?ccosB?b?2ab2aca2?b2?c2a2?c2?b22a2?a左边? 【类似可以证明另外两个等式】 ?2a2a2a习题1.2 A组（P19）1、在?ABC中，BC?35?0.5?17.5 n mile，?ABC?14812622?根据正弦定理，14?8)?，1BAC?1801102248ACB?78(180ACBC?sin?ABCsin?BACBC?sin?ABC17.?5s?in22AC?8.8 2n milesin?BACsin?48货轮到达C点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile.3、在?BCD中，?BCD?301040?，?BDC?180?ADB?1804510125?1CD?3010 n mile3CDBD根据正弦定理， ?sin?CBDsin?BCD10BD?sin?(18040125?)sin40?根据正弦定理，10?sin?40sin1?5在?ABD中，?ADB?451055?，?BAD?1806010110??ABD?1801105515?ADBDABADBDAB根据正弦定理，，即sin?ABDsin?BADsin?ADBsin15?sin110?sin55?10?sin?40?sin1?5BD?sin1?5?10s?in40?6.8 4n mile AD?sin1?10si?n110?sin70BD?sin5?5?10sin40?sin55n mile 21.6 5sin1?10sin15?sin70如果一切正常，此船从C开始到B所需要的时间为：AD?AB6.8?421.6520?min ?6?01?0?60 86.983030即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达B岛. 4、约5821.71 m5、在?ABD中，AB?700 km，?ACB?1802135124?700ACBC根据正弦定理，sin124?sin35?sin21?700?sin?35700?sin21?AC?，BC?sin1?24sin124?700?sin?357?00s?in21AC?BC7?86.89 kmsin1?24si?n124所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离A处探照灯的距离是4801.53 m，飞机离B处探照灯的距离是4704.21 m，飞机的高度是约4574.23 m.1507、飞机在150秒内飞行的距离是d?1000?1000? m3600dx? 根据正弦定理，sin(8118.5?)sin18.5?这里x是飞机看到山顶的俯角为81?时飞机与山顶的距离.d?sin18.5??tan8114721.64 m 飞机与山顶的海拔的差是：x?tan81sin(8118.5?)山顶的海拔是20250?14721.64?5528 m8、在?ABT中，?ATB?21.418.62.8?，?ABT?9018.6?，AB?15 mABAT15?cos18.6?根据正弦定理，，即AT? ?sin2.8?cos18.6?sin2.8?15?cos18.6?塔的高度为AT?sin21.4?sin21.4106.19 msin2.8?326?189、AE97.8 km 60在?ACD中，根据余弦定理：AB?AC??101.235 根据正弦定理，（第9题）?sin?ACDsin?ADCAD?sin?ADC5?7si?n66sin 44?ACD?0.51AC101.2356?ACD?30.9??ACB?13330.9?6?10 2?在?ABC中，根据余弦定理：AB?245.93222AB?AC?B2C245.9?3101?.22352204sBAC?0.58co? 472?AB?AC2?245.?93101.235?BAC?54.21?在?ACE中，根据余弦定理：CE?90.75222AE2?EC?A2C97.8?90.?751012.235sAEC?0.42co? 542?AE?EC2?97?.890.75?AEC?64.82?0AEC?(1?8?0?7?5?)?7564.8?2 18?所以，飞机应该以南偏西10.18?的方向飞行，飞行距离约90.75 km.10、如图，在?ABCAC??37515.44 km222AB?AC?B2C6400?37515?2.44422200?0.692 ?BAC? 42?AB?AC2?640?037515.448，2 ?BAC?9043.?8 ?BAC?133.? 2所以，仰角为43.82?1111、（1）S?acsinB28?33?sin45326.68 cm222aca36（2）根据正弦定理：，c?sinCsin66.5?sinAsinCsinAsin32.8?11sin66.5?S?acsinB362sin(32.866.5?)?1082.58 cm222sin32.8?2（3）约为1597.94 cm122?12、nRsin.2na2?c2?b213、根据余弦定理：cosB?2acaa2所以ma?()2?c2?2c?cosB22a2a2?c2?b22?()?c?a?c? B22ac12212?()2[a2?4c2?2(a?c?2b)]?()[2(b?c2)?a2]222（第13题）篇二：人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案数学必修5试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由a1?1，d?3确定的等差数列?an?，当an?298时，序号n等于（）Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.?ABC中，若a?1,c?2,B?60?，则?ABC的面积为（） A．12B．2 C.1 D.3.在数列{an}中，a1=1，an?1?an?2，则a51的值为（）A．99 B．49 C．102 D． 101 4.已知x?0，函数y?4x?x的最小值是（） A．5 B．4C．8 D．6 5.在等比数列中，a11?2，q?12，a1n?32，则项数n为（） A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解集为R，那么（）A. a?0,0B. a?0,0C. a?0,0D. a?0,0?x?y?17.设x,y满足约束条件??y?x,则z?3x?y的最大值为（）y2A． 5B. 3C. 7 D. -88.在?ABC中,a?80,b?100,A?45?,则此三角形解的情况是（）A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC?2:3:4，那么cosC等于（）A.23 B.-2113 C.-3D.-410.一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（ A、63B、108 C、75 D、83）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11.在?ABC中，B?450,c?b?A＝_____________; 12.已知等差数列?an?的前三项为a?1,a?1,2a?3，则此数列的通项公式为______三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15(12分) 已知等比数列?an?中，a1?a3?10,a4?a6?16(14分)(1) 求不等式的解集：?x(2)求函数的定义域：y?17 (14分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2?0的两个根，且2cos(A?B)?1。
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第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理Ⅰ学习目标1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形 . Ⅱ基础训练题一、选择题1．在△ ABC 中，若BC＝2， AC＝ 2，B＝ 45°，则角 A 等于()(A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°2．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若a＝ 2， b＝ 3，cosC＝－1 ，则c 等于 () 4(A)2(B)3(C)4(D)53．在△ ABC 中，已知cos B 3,sin C2， AC＝ 2，那么边AB等于() 53(A) 5(B) 5(C) 20(D) 1243954．在△ ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知B＝ 30°， c＝ 150，b＝ 50 3 ，那么这个三角形是()(A)等边三角形(C)直角三角形5．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是(B)等腰三角形(D)等腰三角形或直角三角形a， b， c，假如 A∶ B∶ C＝ 1∶ 2∶3 ，那么a∶ b∶c 等于 ()(A)1∶ 2∶3(B)1∶ 3 ∶2(C)1∶ 4∶ 9(D)1∶2∶3二、填空题6．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若a＝ 2， B＝ 45°， C＝75°，则b＝________.7．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若a＝ 2， b＝ 2 3 ，c＝4，则A＝ ________.8．在△ ABC 中，三个内角A， B，C 的对边分别是a，b， c，若2cosBcosC＝ 1－cosA，则△ ABC形状是________三角形 .9．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若a＝ 3， b＝ 4，B＝ 60°，则c＝ ________.10．在△ ABC中，若tanA＝ 2， B＝ 45°， BC＝ 5 ，则AC＝________.三、解答题11．在△ ABC中，三个内角A，B， C 的对边分别是a， b， c，若a＝ 2， b＝ 4，C＝60°，试解△ABC.12．在△ ABC中，已知AB＝ 3， BC＝ 4，AC＝13 .(1)求角 B 的大小；(2)若 D 是 BC的中点，求中线AD 的长 .13．如图，△ OAB 的极点为 O(0， 0)， A(5， 2)和 B(－ 9， 8)，求角 A 的大小 .14．在△ ABC中，已知BC＝ a， AC＝ b，且 a，b 是方程 x2－ 2 3 x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角 C的度数；(2)求 AB 的长；(3)求△ ABC的面积 .测试二解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若 b2＋c2－ a2＝ bc，则角 A 等于 ()ππ2π5π(A)(B)(C)(D)63362．在△ ABC 中，给出以下关系式：① sin(A＋ B)＝ sinC②cos(A＋ B)＝ cosCA B C③ sin cos22此中正确的个数是 ()(A)0(B)1(C)2(D)3 3．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c.若 a＝ 3， sinA＝2， sin(A＋ C)＝3，则 b 等于 () 34(A)4(B) 8(C)6(D)27384．在△ ABC中，三个内角A， B，C 的对边分别是a， b，c，若 a＝ 3，b＝ 4，sinC＝2，则此三角形的面积是 () 3(A)8(B)6(C)4(D)35．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a，b， c，若 (a＋ b＋ c)(b＋ c－ a)＝ 3bc，且 sinA＝ 2sinBcosC，则此三角形的形状是 ()(A)直角三角形(B)正三角形(C)腰和底边不等的等腰三角形(D)等腰直角三角形二、填空题6．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若 a＝2， b＝ 2， B＝ 45°，则角 A＝ ________. 7．在△ ABC 中，三个内角A， B， C 的对边分别是a， b， c，若 a＝ 2， b＝ 3，c＝19 ，则角C＝________.8．在△ ABC中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若 b＝ 3，c＝4，cosA＝3，则此三角形的面积为 ________. 59．已知△ ABC的极点 A(1，0)， B(0， 2)， C(4， 4)，则 cosA＝ ________.10．已知△ ABC的三个内角A，B， C 知足 2B＝ A＋ C，且 AB＝ 1，BC＝ 4，那么边 BC上的中线AD 的长为 ________.三、解答题11．在△ ABC中， a， b， c 分别是角A， B， C 的对边，且a＝ 3， b＝4， C＝ 60° .(1)求 c；(2)求 sinB.12．设向量 a， b 知足 a· b＝ 3， | a| ＝ 3， | b| ＝2.(1)求〈 a， b 〉；(2)求| a－ b|.13．设△ OAB 的极点为O(0，0)， A(5， 2)和 B(－ 9， 8)，若 BD⊥ OA 于 D.(1)求高线 BD 的长；(2)求△ OAB 的面积 .14．在△ ABC中，若 sin2A＋ sin2B＞ sin2C，求证： C 为锐角 .(提示：利用正弦定理a b csin A sin B 2R ，此中 R 为△ ABC外接圆半径 )sin CⅡ拓展训练题15．如图，两条直路 OX与 OY 订交于 O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX、OY 上的 A、B 两点， | OA | ＝ 3km ，| OB | ＝ 1km，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿XO方向，乙沿OY方向 .问： (1)经过 t 小时后，两人距离是多少(表示为 t的函数 )(2)何时两人距离近来cosB b16．在△ ABC中， a， b， c 分别是角A， B， C 的对边，且.cosC2a c(1)求角 B 的值；(2)若 b＝13 ，a＋c＝4，求△ABC的面积.第二章数列测试三数列Ⅰ学 目1．认识数列的观点和几种 的表示方法(列表、 象、通 公式)，认识数列是一种特别的函数.2．理解数列的通 公式的含 ，由通 公式写出数列各.3．认识 推公式是 出数列的一种方法，能依据 推公式写出数列的前几.Ⅱ 基一、1．数列 {a }的前四 挨次是： 4， 44， 444， 4444 ，⋯ 数列 {a }的通 公式能够是 ()nn (A)a ＝ 4n(B)a ＝ 4 nnn4 (10 n －1)(D)an(C)a ＝n ＝4×1192．在有必定 律的数列0， 3， 8，15， 24， x ，48， 63，⋯⋯中， x 的 是 ()(A)30(B)35(C)36(D)423．数列 {a n } 足： a 1＝ 1，a n ＝ a n －1 ＋3n ， a 4 等于 ()(A)4(B)13(C)28(D)434．156 是以下哪个数列中的一()(A){n 2＋ 1}(B){n 2－ 1} (C){n 2＋ n}(D){n 2＋ n －1}5．若数列 {a }的通 公式 a ＝ 5－3n ， 数列 {a }是 ()n nn(A) 增数列 (B) 减数列(C)先减后增数列(D)以上都不二、填空6．数列的前 5 以下， 写出各数列的一个通 公式：2 1 2 1 ＝ ________；(1) 1, , , , , , a n3 2 5 3(2)0， 1， 0， 1， 0，⋯， a n ＝ ________.n 21 .7．一个数列的通 公式是 a n ＝n 2(1)它的前五 挨次是________；(2)是此中的第 ________ .8．在数列 {a n }中， a 1＝ 2，a n ＋ 1＝ 3a n ＋1 ， a 4＝ ________.9．数列 {a }的通 公式 a n1* )， a ＝________.(n ∈Nn1 23( 2n 1)3nn2－ 15n ＋ 3， 它的最小 是第________ .10．数列 {a }的通 公式 a ＝ 2n三、解答11．已知数列 {a n }的通 公式a n ＝14－ 3n.(1)写出数列 {a n }的前 6 ； (2)当 n ≥ 5 ， 明a n ＜0.nnn 2n 1 *).12．在数列 {a }中，已知a ＝3(n ∈ N(1)写出 a 10， a n ＋ 1， a n 2 ；(2)79 2是不是此数列中的 假如，是第几313．已知函数1 n ＋).f ( x) x， a ＝ f(n)(n ∈ Nx(1)写出数列 {a n }的前 4 ；(2)数列 {a n }是 增数列 是 减数列 什么测试四 等差数列Ⅰ 学 目1．理解等差数列的观点，掌握等差数列的通 公式，并能解决一些 .2．掌握等差数列的前n 和公式，并能 用公式解决一些 .3．能在详细的 情境中， 数列的等差关系，并能领会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ基 一、1．数列 {a } 足： a ＝ 3，a＝ a －2， a等于 ()n1n ＋ 1n100(A)98(B)－ 195 (C)－ 201 (D)－ 1982．数列 {a n }是首 a 1＝ 1，公差 d ＝ 3 的等差数列，假如 a n ＝ 2008 ，那么 n 等于 ( )(A)667(B)668 (C)669(D)6703．在等差数列 {a } 中，若 a ＋ a ＝ 16， a ＝ 1， a12的 是()n794(A)15(B)30(C)31(D)644．在 a 和 b(a ≠ b)之 插入 n 个数，使它 与a ，b 成等差数列， 数列的公差()(A)b a(B)ba (C)ba (D)ba nn 1n 1n25． 数列 {a n }是等差数列，且a 2 ＝－ 6， a 8＝ 6， S n 是数列 {a n }的前 n 和， ()(A)S ＜ S(B)S ＝ S(C)S ＜ S(D)S ＝ S45456565二、填空6．在等差数列 {a n } 中， a 2 与 a 6 的等差中 是 ________.7．在等差数列 {a n } 中，已知 a 1＋ a 2＝ 5， a 3＋ a 4＝ 9，那么 a 5＋ a 6＝ ________.8． 等差数列 {a } 的前 n 和是 S ，若 S ＝ 102， a ＝ ________.nn 1799．假如一个数列的前n2 ＋2n ，那么它的第n a nn 和 S ＝ 3n＝ ________.10．在数列 {a n }中，若 a 1 ＝1， a 2＝ 2， a n ＋ 2－ a n ＝ 1＋ (－1)n (n ∈ N *)， {a n }的前 n 和是 S n ， S 10＝ ________.三、解答11．已知数列 {a n }是等差数列，其前n 和 S n ，a 3＝ 7， S 4＝24．求数列 {a n }的通 公式 .12．等差数列 {a n }的前 n 和 S n ，已知 a 10＝ 30， a 20＝ 50.(1)求通 a n ；(2)若 S n ＝ 242，求 n.13．数列 {a n }是等差数列，且a 1＝ 50，d ＝－．(1)从第几 开始a n ＜0；(2)写出数列的前 n 和公式S n ，并求 S n 的最大 .Ⅲ 拓展14． 数列 {a n }的前 n 和 S n ，若 3a n ＋ 1＝3a n ＋ 2(n ∈ N * )， a 1＋ a 3＋ a 5＋⋯＋ a 99＝ 90，求 S 100．测试五 等比数列Ⅰ 学 目1．理解等比数列的观点，掌握等比数列的通 公式，并能解决一些.2．掌握等比数列的前 n 和公式，并能 用公式解决一些 .3．能在详细的 情境中， 数列的等比关系，并能领会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基 一、1．数列 {a } 足： a ＝ 3，a＝ 2an， a 等于 ()n1n ＋ 14(A)3(B)24(C)48(D)5482．在各 都 正数的等比数列{a n }中，首 a 1＝ 3，前三 和 21， a 3＋ a 4＋ a 5 等于 () (A)33(B)72(C)84(D)1893．在等比数列 {a n } 中，假如 a 6＝ 6，a 9＝ 9，那么 a 3 等于 ()(A)4 (B) 316(D)32(C)94．在等比数列 {a } 中，若 a ＝ 9， a ＝ 243， {a}的前四 和 ()n 2 5n(A)81(B)120(C)168(D)1925．若数列 n n1 n －1{a } 足 a＝ a q (q ＞ 1)， 出以下四个 ：① {a n }是等比数列；② {a n }可能是等差数列也可能是等比数列；③ {a n }是 增数列；④ {a n }可能是 减数列 .此中正确的 是 ( )(A)①③ (B)①④(C)②③(D)②④二、填空6．在等比数列 {a n } 中,a 1，a 10 是方程 3x 2＋ 7x －9 ＝0 的两根， a 4a 7＝ ________.7．在等比数列 {a } 中，已知 a ＋ a ＝ 3， a ＋ a ＝ 6，那么 a ＋ a＝ ________.n1 23 4 568．在等比数列 {a n } 中，若 a 5＝ 9， q ＝1， {a n }的前 5 和 ________.29．在 8 和27之 插入三个数，使 五个数成等比数列， 插入的三个数的乘 ________.3210． 等比数列 {a n }的公比 q ，前 n 和 S n ，若 S n ＋ 1， S n ，S n ＋ 2 成等差数列， q ＝ ________.三、解答11．已知数列 {a}是等比数列， a ＝6， a ＝162. 数列 {a }的前 n 和 S .n25nn(1)求数列 {a n }的通 公式； (2)若 S n ＝ 242，求 n.12．在等比数列 {a n }中，若 a 2a 6＝ 36， a 3＋ a 5＝ 15，求公比q.13．已知 数 a ， b ， c 成等差数列， a ＋ 1， b ＋ 1，c ＋ 4 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝ 15，求 a ， b ，c.Ⅲ 拓展14．在以下由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列 .a ij 表示位于第 i 行第 j 列的数，此中241， a 4254 5a ＝＝ 1 a＝816a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 ⋯ a 1j ⋯ a 21 a 22 a 23 a 24a 25⋯a 2j ⋯ a31 a 32aaa⋯a3j ⋯33 34 35 a41a42a a a ⋯ a 4j⋯434445⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯a i1 a i2a i3 a i4 a i5a ij⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)求 q 的 ；(2)求 a ij 的 算公式 .测试六 数列乞降Ⅰ 学 目1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分 的和 .2．会使用裂 相消法、 位相减法求数列的和.Ⅱ 基一、1．已知等比数列的公比2，且前 4 的和1，那么前 8 的和等于 ()(A)15(B)17(C)19(D)21n1的等差数列，它的前100 和 145， a 1 3599的 ()2．若数列 {a }是公差2＋ a ＋ a ＋⋯＋ a(A)60(B)(C)85(D)120nn n －1 *n100· 2n(n ∈ N等于 ()3．数列 {a }的通 公式a ＝ (－ 1))， 其前 n 和 S ，S (A)100(B)－ 100(C)200 (D)－ 2001 4．数列(2n1)(2n1)的前 n 和 ()(A)n (B)2n(C)n (D)2n2n 12n 14n 2n 15． 数列 {a }的前 n 和 S ， a ＝ 1， a ＝ 2，且 a＝a n ＋ 3(n ＝ 1， 2， 3，⋯ )， S 等于 ()nn12n ＋2100(A)7000 (B)7250(C)7500(D)14950二、填空6．1111＝ ________.213 243n 1n17．数列 {n ＋2n }的前 n 和 ________.8．数列 {a n } 足： a 1＝ 1，a n ＋ 1＝ 2a n ， a 12 ＋ a 22 ＋⋯＋ a n 2 ＝________.9． n ∈ N * ， a ∈ R ， 1＋ a ＋ a 2＋⋯＋ a n ＝ ________. 10． 11 2 1 31n1 ＝ ________.2 482n三、解答11．在数列 {a n }中， a 1＝－ 11， a n ＋1＝ a n ＋2(n ∈ N * )，求数列 {| a n |} 的前 n 和 S n .12．已知函数 f(x)＝ a 1x ＋ a 2x 2＋ a 3 x 3＋⋯＋ a n x n (n ∈ N * ， x ∈ R)，且 全部正整数n 都有 f(1)＝ n 2 建立 .(1)求数列 {a }的通 a ；nn(2)求11 1.a 2a 3a nan 1a 1a 21 11n 和 S n .13．在数列 {a n }中， a 1＝ 1，当 n ≥ 2 ， a n ＝ 142n 1 ，求数列的前2Ⅲ拓展14．已知数列 {a n }是等差数列，且a 1＝ 2， a 1＋ a 2＋ a 3＝ 12.(1)求数列 {a }的通 公式；n(2)令 b n n nn }的前 n 和公式 .＝ a x (x ∈ R)，求数列{b测试七数列综合问题Ⅰ基一、1．等差数列 {a n }中， a 1 ＝1，公差 d ≠0，假如 a 1， a 2， a 5 成等比数列，那么 d 等于 ( )(A)3(B)2(C)－ 2(D)2 或－ 22．等比数列 {a n}中， a n＞ 0，且 a2a 4＋ 2a3a5＋ a4 a6＝ 25， a3＋ a5等于 ()(A)5(B)10(C)15(D)203．假如 a ， a ， a，⋯， a各都是正数的等差数列，公差d≠ 0， ()1238(A)a1a8＞ a4a5(B)a1a8＜ a4 a5(C)a1＋ a8＞ a4＋ a5(D)a1a8＝ a4a54．一定函数y＝f(x)的象在以下中，并且随意a1∈ (0，1)，由关系式a n＋1＝ f(a n)获取的数列 {a n}足 a n＋1＞a n(n ∈N* )，函数的象是()5．已知数列 {a n}足 a1＝0，a n 1a n3) 3a n(n∈ N* )， a20等于 (1(A)0(B)－3(C) 33 (D)2二、填空11a n ,n为偶数,2a2＝________， a3＝ ________.6．数列 {a n}的首 a1＝，且 a n 14a n 1,n为奇数 . 47．已知等差数列 {a n}的公差2，前 20 和等于150，那么 a2＋ a4＋ a6＋⋯＋ a20＝ ________.8．某种菌的培育程中，每20分分裂一次 (一个分裂两个 )， 3 个小，种菌能够由1个生殖成________个 .9．在数列 {a n}中， a1＝ 2，a n＋1＝ a n＋3n(n∈ N* )， a n＝ ________.10．在数列 {a n}和 {b n}中， a1＝ 2，且随意正整数n 等式 3a n＋1－a n＝ 0建立，若 b n是 a n与 a n＋1的等差中， {b n}的前 n 和 ________.三、解答11．数列 {a n}的前 n 和 S n，已知 a n＝ 5S n－ 3(n∈ N* ).(1)求 a ， a ， a ；123(2)求数列 {a }的通公式；n(3)求 a 1＋ a3＋⋯＋ a2n－1的和 .12．已知函数 f(x)＝x22(x＞ 0)， a1＝ 1， a n21· f(a n)＝ 2(n∈ N* )，求数列 {a n}的通公式 . 413．等差数列 {a }的前 n 和 S ，已知 a ＝ 12， S＞0， S＜ 0.n n31213(1)求公差 d 的范；(2)指出 S1， S2，⋯， S12中哪个最大，并明原因 .Ⅲ拓展14．甲、乙两物体分从相距70m 的两地同相向运.甲第 1 分走2m，此后每分比前 1 分多走1m，乙每分走 5m.(1)甲、乙开始运后几分相遇(2)假如甲、乙抵达方起点后立刻折返，甲每分比前 1 分多走 1m ，乙每分走5m ，那么开始运几分 后第二次相遇15．在数列 {a n }中，若 a 1 ，a 2 是正整数，且a n ＝ | a n －1－ a n －2| ， n ＝ 3， 4， 5，⋯ 称 {a n } “ 差数列”.(1) 出一个前五 不 零的“ 差数列” (只需求写出前十)；(2)若“ 差数列”{a n }中， a 1＝ 3， a 2＝ 0， 求出通a n ；(3)* 明：任何“ 差数列”中 含有无 多个 零的.测试八 数列全章综合练习Ⅰ基一、1．在等差数列 {a } 中，已知 a ＋ a ＝ 4， a ＋ a ＝ 12，那么 a ＋ a 等于 ()n12 345 6(A)16(B)20(C)24 (D)362．在 50 和 350 所有末位数是1 的整数和 ()(A)5880(B)5539(C)5208(D)48773．若 a ， b ， c 成等比数列， 函数y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的 象与 x 的交点个数 ()(A)0 (B)1(C)2(D)不可以确立4．在等差数列 {a } 中，假如前 5 的和S ＝20，那么 a等于 ()n53(A)－ 2(B)2(C)－ 4(D)45．若 {a n }是等差数列， 首 a 1＞ 0，a 2007＋ a 2008＞ 0，a 2007·a 2008＜ 0， 使前 n 和 S n ＞ 0 建立的最大自然数n 是 ( )(A)4012 (B)4013 (C)4014(D)4015二、填空6．已知等比数列 {a n }中， a 3＝ 3， a 10＝ 384， 数列的通a n ＝________.7．等差数列 {a n }中， a 1 ＋ a 2 ＋ a 3＝－ 24， a 18＋ a 19＋ a 20＝ 78， 此数列前 20和 S 20＝ ________.n n n2－3n ＋ 1， a n ＝ ________.8．数列 {a }的前 n 和 S ，若 S ＝ n9．等差数列 {a n }中，公差 d ≠ 0，且 a 1，a 3， a 9 成等比数列，a 3 a 6 a 9 ＝ ________.a 4a 7a1010． 数列 {a n }是首 1 的正数数列，且 (n ＋ 1)a n 2 1 －na n 2 ＋ a n ＋ 1a n ＝ 0(n ∈N * )， 它的通 公式a n ＝ ________.三、解答11． 等差数列 {a n }的前 n 和 S n ，且 a 3 ＋ a 7－ a 10＝ 8， a 11－ a 4 ＝4 ，求 S 13. 12．已知数列 {a}中， a＝1，点 (a ， a* )在函数 f(x)＝ 2x ＋ 1 的 象上 .n1nn ＋ 1(1)求数列 {a n }的通 公式；(2)求数列 {a }的前 n 和 S ；nn(3) c ＝ S ，求数列 {cn }的前 n 和 T .nnn13．已知数列 {a }的前 n 和 S 足条件S ＝ 3a ＋2.nnn n (1)求 ：数列 {a n }成等比数列； (2)求通 公式 a n .14．某 企业今年初用98 万元 一艘 船，用于捕 ，第一年需各样 用12 万元，从第二年开始包含 修 在内，每年所需 用均比上一年增添 4 万元， 船每年捕 的 收入 50 万元.(1)写出 船前四年每年所需的 用(不包含 用 )；(2) 船捕 几年开始盈余(即 收入减去成本及所有 用 正)(3)若当盈余 达到最大 ， 船以8 万元 出，那么 船 企业 来的利润是多少万元Ⅱ 拓展15．已知函数 f(x)＝1(x＜－ 2)，数列 {a n}足 a1＝ 1， a n＝ f(－1)(n∈ N* ).x24a n1(1)求 a n；2 1＋ a22＋⋯＋ a2，能否存在最小正整数m，使随意 n∈ N*有 b m(2) b n＝ a n n 2 n 1n＜25建立若存在，求出 m 的，若不存在，明原因.16．已知 f 是直角坐系平面 xOy 到自己的一个映照，点P 在映照 f 下的象点 Q，作 Q＝ f(P).P1(x1， y1)， P2＝ f(P1)， P3＝ f(P2)，⋯， P n＝f(P n－1)，⋯ .假如存在一个，使所有的点P n(x n， y n )(n∈ N* )都在个内或上，那么称个点P n (x n，y n )的一个收 .特地，当 P1＝ f(P1)，称点P1映照 f 下的不点 .若点 P(x， y)在映照 f 下的象点 Q(－x＋ 1，1y).2(1)求映照 f 下不点的坐；(2)若 P 的坐 (2， 2)，求：点*)存在一个半径 2 的收 .P (x ， y )(n∈ N1n nn第三章 不等式测试九 不等式的观点与性质Ⅰ 学习目标1．认识平时生活中的不等关系和不等式(组 )的实质背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小.2．理解不等式的基天性质及其证明 .Ⅱ基础训练题一、选择题1．设 a ， b ， c ∈ R ，则以下命题为真命题的是( )(A)a ＞ b a － c ＞ b － c (B)a ＞ b ac ＞ bc(C)a ＞ ba 2＞b 2(D)a ＞ bac 2＞ bc 22．若－ 1＜＜＜ 1，则－的取值范围是 ()(A)(－2， 2)(B)(－2，－ 1)(C)(－ 1， 0)(D)(－ 2， 0) 3．设 a ＞ 2， b ＞2，则 ab 与 a ＋ b 的大小关系是 ()(A)ab ＞ a ＋ b(B)ab ＜ a ＋ b(C)ab ＝a ＋b(D)不可以确立4．使不等式 a ＞ b 和11同时建立的条件是 ()ab(A)a ＞ b ＞ 0 (B)a ＞ 0＞b(C)b ＞ a ＞ 0(D)b ＞ 0＞ a5．设 1＜ x ＜10，则以下不等关系正确的选项是()(A)lg 2x ＞ lgx 2＞ lg(lgx)(B)lg 2x ＞ lg(lgx)＞ lgx 2 (C)lgx 2＞ lg 2x ＞ 1g(lgx) (D)lgx 2＞ lg(lgx)＞ lg 2x二、填空题6．已知 a ＜ b ＜0 ，c ＜ 0，在以下空白处填上合适不等号或等号：(1)(a －2)c________(b － 2)c ；(2) c ________ c；(3)b － a________| a| － | b|.a b7．已知 a ＜ 0，－ 1＜ b ＜ 0，那么 a 、 ab 、 ab 2 按从小到大摆列为 ________.8．已知 60＜ a ＜84， 28＜ b ＜ 33，则 a － b 的取值范围是 ________； a的取值范围是 ________.b9．已知 a ，b ，c ∈ R ，给出四个论断：① a ＞ b ；② ac 2＞ bc 2；③ a b；④ a － c ＞b － c.以此中一个论断作条件，另一c c个论断作结论，写出你以为正确的两个命题是 ________ ________；________________.(在“”的双侧填 上论断序号 ).a32 与Qb ( a1)( a 2)10．设 a ＞ 0， 0＜b ＜ 1，则 P ＝ b的大小关系是 ________.三、解答题11．若 a ＞ b ＞ 0，m ＞ 0，判断 b 与bm的大小关系并加以证明 .aa ma 2b 212．设 a ＞ 0， b ＞0，且 a ≠ b ， p b a , q a b .证明： p ＞ q.注：解题时可参照公式 x 3＋y 3＝ (x ＋ y)(x 2 － xy ＋ y 2).Ⅲ 拓展训练题13．已知 a ＞ 0，且 a ≠ 1，设 M ＝ log a (a 3－a ＋ 1)， N ＝log a (a 2－ a ＋ 1).求证： M ＞ N.14．在等比数列 {a n }和等差数列 {b n }中,a 1＝ b 1＞ 0，a 3＝ b 3＞ 0， a 1≠ a 3，试比较 a 5 和 b 5 的大小 .测试十 均值不等式Ⅰ学习目标1 ．认识基本不等式的证明过程 .2 ．会用基本不等式解决简单的最大(小 )值问题 .Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知正数 a ， b 知足 a ＋ b ＝1，则 ab()(A)有最小值1(B)有最小值1(C)有最大值1(D)有最大值142 422．若 a ＞ 0， b ＞0，且 a ≠ b ，则 ()a ba 2b 2(B)aba ba 2b 2(A)ab2222(C)a 2b 2a b(D)a 2b 2aba b ab2 2223．若矩形的面积为 a 2(a ＞ 0)，则其周长的最小值为 ()(A)a(B)2a (C)3a(D)4a4．设 a ， b ∈ R ，且 2a ＋ b － 2＝0，则 4a ＋ 2b 的最小值是 ( )(A) 22(B)4(C) 4 2(D)85．假如正数 a ， b ， c ，d 知足 (A)ab ≤ c ＋ d ，且等号建即刻 (B)ab ≥ c ＋ d ，且等号建即刻 (C)ab ≤ c ＋d ，且等号建即刻(D)ab ≥c ＋ d ，且等号建即刻二、填空题a ＋b ＝ cd ＝ 4，那么 ( )a ，b ，c ，d 的取值独一a ，b ，c ，d 的取值独一 a ， b ，c ， d 的取值不独一a ，b ，c ，d 的取值不独一6．若 x ＞ 0，则变量 x9的最小值是 ________；取到最小值时， x ＝ ________.x4x 7．函数 y ＝ (x ＞ 0)的最大值是 ________；取到最大值时， x ＝ ________.x 218．已知 a ＜ 0，则 a16 的最大值是 ________. a 39．函数 f(x)＝ 2log 2(x ＋ 2)－ log 2 x 的最小值是 ________.10 ．已知 a ， b ， c ∈ R ， a ＋ b ＋ c ＝3 ，且 a ， b ，c 成等比数列，则 b 的取值范围是 ________. 三、解答题 11 ．四个互不相等的正数a ，b ，c ，d 成等比数列，判断a d 和 bc 的大小关系并加以证明 .212 ．已知 a ＞ 0，a ≠ 1， t ＞ 0，试比较1log a t 与log at 1的大小 .2 2Ⅲ拓展训练题13．若正数 x ， y 知足 x ＋ y ＝ 1，且不等式xy a 恒建立，求 a 的取值范围 .a 14．(1)用函数单一性的定义议论函数f(x)＝ x ＋(a ＞ 0)在 (0，＋∞ )上的单一性；xa (2)设函数 f(x)＝ x ＋(a ＞ 0)在(0， 2]上的最小值为g(a)，求 g(a)的分析式 .x测试十一 一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1．经过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 .2．会解简单的一元二次不等式 .Ⅱ基础训练题一、选择题1．不等式 5x ＋ 4＞－ x 2 的解集是 ()(A){x| x ＞－ 1，或 x ＜－ 4}(B){x| －4＜ x ＜－ 1 }(C){x| x ＞ 4，或 x ＜ 1 }(D){x|1 ＜ x ＜ 4}2．不等式－ x 2 ＋x － 2＞0 的解集是 ()(A){x| x ＞1 ，或 x ＜－ 2 } (B){x| －2＜ x ＜ 1} (C)R(D)3．不等式 x 2 ＞a 2(a ＜0)的解集为 ()(A){x| x ＞± a}(B){x| － a ＜ x ＜ a }(C){x| x ＞－ a ，或 x ＜ a }(D){x| x ＞a ，或 x ＜－ a}4．已知不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞ 0 的解集为 { x| 1 2} ，则不等式 cx 2＋ bx ＋ a ＜ 0 的解集是 ()x3(A){x| － 3＜ x ＜ 1 }(B){x| x ＜－ 3，或 x ＞1 }22 1}(D){x| x ＜－ 2，或 x ＞1(C){x － 2＜x ＜}335．若函数 y ＝px 2－ px －1(p ∈ R)的图象永久在 x 轴的下方，则 p 的取值范围是 ()(A)(－∞， 0) (B)(－4， 0](C)(－∞，－ 4)(D)[－ 4， 0)二、填空题6．不等式 x 2 ＋x － 12＜ 0 的解集是 ________. 7．不等式3x1 0 的解集是 ________.2 x58．不等式 | x 2－ 1| ＜ 1 的解集是 ________.9．不等式 0＜ x 2－ 3x ＜ 4 的解集是 ________.10．已知对于 x 的不等式 x 2－ (a ＋1)x ＋ 1＜ 0 的解集为非空会合｛ x| a ＜ x ＜1 }，则实数 a 的取值范围是 ________.aa三、解答题11．求不等式 x 2－ 2ax －3a 2＜0(a ∈ R)的解集 .12．k 在什么范围内取值时，方程组 x 2 y 2 2x 03x 4y k 有两组不一样的实数解Ⅲ 拓展训练题13．已知全集 U ＝ R ，会合 A ＝ {x| x 2－ x － 6＜ 0}， B ＝ {x| x 2＋ 2x － 8＞0}， C ＝ {x| x 2－ 4ax ＋ 3a 2＜ 0}.(1)务实数 a 的取值范围，使C (A ∩ B)； (2)务实数 a 的取值范围，使C( U A)∩ ( U B).14．设 a ∈ R ，解对于 x 的不等式 ax 2－ 2x ＋ 1＜ 0.测试十二 不等式的实质应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的有关知识解决简单的实质应用问题.Ⅱ基础训练题一、选择题1的定义域是 ()1．函数y4 x2(A){x| － 2＜ x＜ 2 }(B){x| －2≤ x≤ 2}(C){x| x＞ 2，或 x＜－ 2 }(D){x| x≥2，或 x≤－ 2 }2．某村办服饰厂生产某种风衣，月销售量x(件 )与售价 p(元 / 件 )的关系为 p ＝300－ 2x，生产 x 件的成本r＝ 500＋30x(元)，为使月赢利许多于 8600 元，则月产量 x 知足 ()(A)55≤ x≤ 60(B)60≤x≤ 65(C)65≤ x≤70(D)70≤x≤ 753．国家为了增强对烟酒生产管理，推行征收附带税政策.现知某种酒每瓶 70元，不征收附带税时，每年大概产销100 万瓶；若政府征收附带税，每销售100 元收税 r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附带税许多于 112万元，那么 r 的取值范围为 ()(A)2≤ r≤ 10(B)8≤ r≤10(C)2≤ r≤ 8(D)0≤ r≤ 84．若对于 x 的不等式 (1＋ k2)x≤ k4＋ 4 的解集是 M ，则对随意实常数k，总有 ()(A)2∈ M， 0∈ M(B)2M ， 0M(C)2∈M，0 M(D)2M，0∈M二、填空题5．已知矩形的周长为36cm，则其面积的最大值为 ________.6．不等式 2x2＋ ax＋ 2＞0 的解集是 R，则实数 a 的取值范围是 ________.7．已知函数 f(x)＝ x| x－ 2| ，则不等式f(x)＜ 3 的解集为 ________.8．若不等式 | x＋1| ≥ kx 对随意 x∈ R 均建立，则 k 的取值范围是 ________.三、解答题9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10．汽车内行驶过程中，因为惯性作用，刹车后还要持续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是剖析事故的一个主要要素，在一个限速为40km/h的弯道上，甲乙两车相向而行，发现状况不对同时刹车，但仍是相撞了，过后现场测得甲车刹车的距离略超出12m ，乙车的刹车距离略超出10m. 已知甲乙两种车型的刹车距离s(km)与车速 x(km/h) 之间分别有以下关系：s 甲＝＋， s 乙＝＋．问交通事故的主要责任方是谁Ⅲ拓展训练题11．当 x∈ [－ 1， 3]时，不等式－ x2＋ 2x＋ a＞ 0 恒建立，务实数 a 的取值范围 .12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形 )的左右两边留有宽为 4cm 的空白，上下留有都为 6cm 的空白，中间排版面积为2400cm2 .怎样选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小测试十三二元一次不等式 (组)与简单的线性规划问题Ⅰ学习目标1．认识二元一次不等式的几何意义，能用平面地区表示二元一次不等式组.2．会从实质情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ基础训练题一、选择题1．已知点 A(2， 0)， B(－ 1， 3)及直线 l： x－2y＝0，那么 ()(A)A， B 都在 l 上方(B)A， B 都在 l 下方(C)A 在 l 上方， B 在 l 下方(D)A 在 l 下方， B 在 l 上方x0,2．在平面直角坐标系中，不等式组y0,所表示的平面地区的面积为()x y2(A)1(B)2(C)3(D)43．三条直线 y＝ x， y＝－ x， y＝2围成一个三角形地区，表示该地区的不等式组是()y x,y x,y x,y x,(A) y x,(B) y x,(C) y x,(D)y x,y 2.y 2.y 2.y 2.x y 5 0,4．若 x， y 知足拘束条件x y0,则 z＝ 2x＋ 4y 的最小值是 ()x3,(A)－ 6(B)－ 10(C)5(D)105．某电脑用户计划使用不超出500 元的资本购置单价分别为60 元， 70元的单片软件和盒装磁盘.依据需要，软件起码买 3 片，磁盘起码买2 盒，则不一样的选购方式共有()(A)5 种(B)6 种(C)7 种(D)8 种二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组x0 所表示的平面地区内的点位于第________象限 .y07．若不等式 |2 x＋ y＋ m| ＜3表示的平面地区包含原点和点(－ 1， 1)，则 m 的取值范围是 ________.x1,8．已知点 P(x， y)的坐标知足条件y3,那么 z＝ x－ y 的取值范围是 ________.3 x y30,x1,那么y的取值范围是 ________.9．已知点 P(x， y)的坐标知足条件y2,2 x y2x 0,10．方程 | x| ＋ | y| ≤ 1 所确立的曲线围成关闭图形的面积是________.三、解答题11．画出以下不等式 (组 )表示的平面地区：x1,(1)3x＋ 2y＋ 6＞ 0(2)y2,x y 10.12．某实验室需购某种化工原料106kg，此刻市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg，价钱为 140 元；另一种是每袋 24kg，价钱为120 元.在知足需要的前提下，最少需要花销多少元Ⅲ拓展训练题13．商铺现有75 公斤奶糖和120 公斤硬糖，准备混淆在一同装成每袋装 250 克奶糖和750 克硬糖，每袋可盈余元；第二种每袋装500种应装多少袋，使所赢利润最大最大利润是多少1 公斤销售，有两种混淆方法：第一种每袋克奶糖和500 克硬糖，每袋可盈余元.问每一14．甲、乙两个粮库要向A， B 两镇运送大米，已知甲库可调出100 吨，乙库可调出80 吨，而 A 镇需大米70 吨，B 镇需大米110 吨，两个粮库到两镇的行程和运费以下表：行程 (千米 )运费 (元 /吨·千米)甲库乙库甲库乙库A 镇20151212B 镇2520108问： (1)这两个粮库各运往A、 B 两镇多少吨大米，才能使总运费最省此时总运费是多少(2)最不合理的调运方案是什么它给国家造成不应有的损失是多少测试十四不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．设a， b， c∈ R， a＞ b，则以下不等式中必定正确的选项是()(A)ac2＞ bc2(B) 11(C)a－ c＞ b－c(D)| a| ＞ | b|a bx y40,2．在平面直角坐标系中，不等式组2x y40, 表示的平面地区的面积是()y2(A) 3(B)3(C)4(D)6 23．某房地产企业要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的泊车场.若圆的半径为10m，则这个矩形的面积最大值是()(A)50m 2(B)100m2(C)200m2(D)250m 2x 2x 2，若对 x＞ 0 恒有 xf(x)＋ a＞ 0建立，则实数 a 的取值范围是 ()4．设函数 f(x)＝x2(A)a＜ 1－2 2(B)a＜ 2 2 －1(C)a＞ 2 2 －1(D)a＞ 1－ 225．设 a， b∈ R，且 b(a＋ b＋ 1)＜ 0， b(a＋ b－1)＜ 0，则 ()(A)a＞ 1(B)a＜－ 1(C)－ 1＜ a＜ 1(D)| a| ＞ 1二、填空题6．已知 1＜ a＜3， 2＜ b＜ 4，那么 2a－ b 的取值范围是 ________，a的取值范围是 ________. b7．若不等式 x2－ ax－ b＜0的解集为 {x|2 ＜ x＜ 3}，则 a＋ b＝ ________.＋，且 x＋4y＝ 1，则 xy 的最大值为 ________.8．已知 x，y∈ R9．若函数 f(x)＝2x22ax a1的定义域为 R，则 a 的取值范围为 ________.10．三个同学对问题“对于x 的不等式 x2＋ 25＋| x3－ 5x2| ≥ ax 在[1，12] 上恒建立，务实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路 .甲说：“只须不等式左侧的最小值不小于右侧的最大值.”乙：“把不等式形左含量x 的函数，右含常数，求函数的最.”丙：“把不等式两当作对于x 的函数，作出函数象.”参照上述解思路，你他所的的正确，即 a 的取范是 ________.三、解答11．已知全集 U＝ R，会合 A＝ {x| | x－1| ＜6 }， B＝ {x| x8＞ 0}.2x1(1)求 A∩ B；(2)求( U A)∪ B.12．某工厂用两种不一样原料生同一品，若采纳甲种原料，每吨成本1000 元，运500 元，可得品90 千克；若采纳乙种原料，每吨成本1500 元，运400 元，可得品100 千克 .今算每天原料成本不得超6000元，运不得超2000 元，此工厂每天采纳甲、乙两种原料各多少千克，才能使品的日量最大Ⅱ拓展12n12n i ja j两13．已知数集 A＝ {a a，⋯， a }(1 a＜ a ＜⋯＜ a n 2)拥有性 P随意的 j(1 n) a a与a i数中起码有一个属于 A.(1)分判断数集 {1， 3， 4}与{1， 2， 3， 6}能否拥有性 P，并明原因；1a1a2a na n.(2)明： a ＝ 1，且a11a21a n1测试十五必修 5 模块自我检测题一、选择题1．函数y x2 4 的定义域是()(A)(－2， 2)(B)(－∞，－ 2)∪ (2，＋∞ )(C)[－ 2，2](D)(－∞，－ 2]∪ [2，＋∞ )2．设 a＞ b＞ 0，则以下不等式中必定建立的是()(A)a－ b＜ 0(B)0＜a＜ 1 b(C)ab＜a b(D)ab＞ a＋ b 2x1,3．设不等式组y0, 所表示的平面地区是W，则以下各点中，在地区W 内的点是 () x y 0(A) (1,1)(B) (1,1)2323(C) (11)(D) (11) ,3,3 224．设等比数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，则以下不等式中必定建立的是()(A)a1＋ a3＞ 0(B)a1a3＞ 0(C)S1＋ S3＜ 0(D)S1S3＜ 05．在△ ABC 中，三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 A∶ B∶ C＝ 1∶ 2∶ 3，则 a∶ b∶ c 等于 ()(A)1∶ 3 ∶2(B)1∶ 2∶ 3(C)2∶ 3 ∶1(D)3∶ 2∶ 16．已知等差数列 {a n}的前 20 项和 S20＝ 340，则 a6＋a9＋ a11＋ a16等于 ()(A)31(B)34(C)68(D)707．已知正数 x、 y 知足 x＋ y＝ 4，则 log x＋log y 的最大值是 ()22(A)－ 4(B)4(C)－ 2(D)28．如图，在限速为 90km/h 的公路 AB 旁有一测速站P，已知点 P 距测速区起点 A 的距离为 0.08 km ，距测速区终点B 的距离为0.05 km，且∠ APB＝ 60° .现测得某辆汽车从 A 点行驶到 B 点所用的时间为3s，则此车的速度介于 ()(A)60～ 70km/h(B)70～ 80km/h(C)80～ 90km/h(D)90～100km/h二、填空题9．不等式 x(x－ 1)＜ 2 的解集为 ________.10．在△ ABC中，三个内角 A，B， C 成等差数列，则 cos(A＋ C)的值为 ________.11．已知 {a }是公差为－ 2 的等差数列，其前 5 项的和 S ＝0 ，那么 a 等于 ________.n5112．在△ ABC中， BC＝ 1，角 C＝120°， cosA＝2，则 AB＝________.3x0, y013．在平面直角坐标系中，不等式组2x y 4 0 ，所表示的平面地区的面积是________；变量 z＝x＋ 3y 的最大x y 30值是 ________.2a (1≤i ≤ n ，1≤ j ≤ n ， i ， j ∈ N)表示位于第 i 行第 j 列的正数 .已14．如 ， n (n ≥ 4)个正数排成 n 行 n 列方 ，符号ij知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q.若 a 11＝1，a 24＝ 1， a 32＝ 1 ，2 4q ＝ ________； a ij ＝ ________.三、解答15．已知函数f(x)＝ x 2＋ ax ＋6.(1)当 a ＝ 5 ，解不等式 f(x)＜ 0；(2)若不等式 f(x)＞ 0 的解集R ，求 数a 的取 范 .16．已知 {a n }是等差数列，a 2＝ 5， a 5＝ 14.(1)求{a n }的通 公式；n}的前 n n(2) {a 和 S ＝ 155，求 n 的 .17．在△ ABC 中， a ， b ， c 分 是角 A ，B ， C 的 ， A ， B 是 角， c ＝ 10，且cos Ab4 .cos B a3(1) 明角 C ＝ 90°； (2)求△ ABC 的面 .18．某厂生 甲、乙两种 品，生 两种 品每吨所需要的煤、 以及每吨 品的 以下表所示.若每天配厂的煤至多 56 吨，供 至多 45 千瓦， 厂怎样安排生 ，使得 厂日 最大用煤 (吨)用 (千瓦 )(万元 )甲种 品 7 2 8 乙种 品351119．在△ ABC 中， a ， b ， c 分 是角 A ， B ， C 的 ，且 cosA ＝1.3(1)求 sin 2 B C cos 2 A 的 ；2 (2)若 a ＝3 ，求 bc 的最大 .20．数列 {a n }的前 n 和是 S n ，a 1＝ 5，且 a n ＝ S n － 1(n ＝ 2， 3， 4，⋯ ).(1)求数列 {a n }的通 公式；1 1 11 3(2)求 ：a 2 a 3 a na 1 5参照答案第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理一、选择题1．B2．C3． B4． D5． B提示：4．由正弦定理，得sinC＝3，所以C＝60°或C＝ 120°，2当 C＝ 60°时，∵ B＝ 30°，∴ A＝90°，△ ABC是直角三角形；当 C＝ 120°时，∵ B＝ 30°，∴ A＝ 30°，△ ABC是等腰三角形 . 5．因为 A∶ B∶ C＝ 1∶ 2∶3，所以 A＝ 30°， B＝60°， C＝ 90°，由正弦定理a b c＝k，sin A sin B sin C得 a＝ k· sin30°＝1k， b＝k·sin60 °＝3k， c＝ k· sin90°＝ k，22所以 a∶ b∶c＝ 1∶3∶2.二、填空题6． 2 67． 30°8．等腰三角形9．33710． 5 2 324提示：8．∵ A＋ B＋C＝π，∴－ cosA＝ cos(B＋C).∴ 2cosBcosC＝ 1－ cosA＝ cos(B＋ C)＋ 1，∴2cosBcosC＝ cosBcosC－ sinBsinC＋ 1，∴ cos(B－C)＝ 1，∴ B－ C＝ 0，即 B ＝ C. 9．利用余弦定理 b2＝ a2＋ c2－ 2accosB.2AC BC 5 2 10．由 tan A＝ 2，得 sin A 5，依据正弦定理，得sin B sin A，得 AC＝ 4 .三、解答题11．c＝ 2 3， A＝ 30°， B＝ 90° .12．(1)60°； (2)AD＝7 .13．如右图，由两点间距离公式，得 OA＝ (50) 2( 20)229 ，同理得 OB145, AB232 .由余弦定理，得cosA＝ OA2AB 2OB2 2 ，2OAAB2∴A＝45°.14．(1)因为 2cos(A＋ B)＝ 1，所以 A＋ B＝60°，故 C＝ 120°.(2)由题意，得 a ＋ b ＝ 2 3 ， ab ＝ 2，又 AB 2＝c 2＝ a 2＋ b 2 －2abcosC ＝ (a ＋ b)2－ 2ab － 2abcosC＝ 12－ 4－4× ( 1)＝ 10.2所以 AB ＝10 .△ABC1 1·2·3 ＝ 3(3)S＝absi nC ＝2222测试二 解三角形全章综合练习1．B2．C3．D4．C5．B提示：5．化简 (a ＋ b ＋c)(b ＋ c － a)＝ 3bc ，得 b 2＋ c 2－ a 2＝bc ，由余弦定理，得 cosA ＝ b2c 2 a 21，所以∠ A ＝ 60° .2bc 2 因为 sinA ＝ 2sinBcosC ， A ＋ B ＋ C ＝180°，所以 sin(B ＋ C)＝ 2sinBcosC ，即 sinBcosC ＋ cosBsinC ＝ 2sinBcosC. 所以 sin(B － C)＝ 0，故 B ＝C. 故△ ABC 是正三角形 .二、填空题6．30°7． 120° 8． 249．510． 355三、解答题11．(1)由余弦定理，得c ＝ 13 ；(2)由正弦定理，得 sinB ＝239.1312．(1)由 a · b ＝ | a| ·| b| · cos 〈 a ， b 〉，得〈 a ， b 〉＝ 60°；(2)由向量减法几何意义，知 | a| ，| b| ， | a － b| 能够构成三角形，所以 | a － b| 2＝| a| 2＋ | b| 2－ 2| a| · | b| ·cos 〈a ， b 〉＝ 7，故 | a － b| ＝ 7 .13．(1)如右图，由两点间距离公式，得OA(50) 2 (2 0)229 ，同理得 OB145 , AB232 .由余弦定理，得OA 2 AB 2 OB 22 cos A 2OAAB,2所以 A ＝ 45° .故 BD ＝ AB × sinA ＝ 2 29 .△OAB1·OA · BD ＝ 1· 29 ·2 29 ＝29. (2)S＝2214．由正弦定理a b csin A sin B2R ，sin C得 asin A, b sin B, c sin C .2R2R 2R 因为 sin 2A ＋ sin 2B ＞ sin 2C ， 所以 ( a)2( b ) 2( c) 2 ， 2R2R2R即 a 2＋ b 2＞ c 2.所以 cosC ＝ a 2 b 2 c 22ab＞ 0，由 C ∈ (0，π )，得角 C 为锐角 .15．(1)设 t 小时后甲、乙分别抵达P 、 Q 点，如图，则 | AP| ＝ 4t ，| BQ| ＝4t ，因为 | OA| ＝ 3，所以 t ＝ h 时， P 与 O 重合 .4故当 t ∈ [0，]时，4| PQ| 2＝ (3－ 4t)2＋ (1＋ 4t)2 －2× (3－ 4t)×(1＋ 4t)× cos60°；当 t ＞h 时， | PQ| 2＝ (4t －3)2＋ (1＋ 4t)2－ 2× (4t － 3)× (1＋4t )× cos120° .4故得| PQ|＝48 224 t7(t ≥ 0).t(2)当 t ＝241h 时，两人距离近来，近来距离为 2km.2 48 416．(1)由正弦定理abcsin A sin B2 R ，sin C得 a ＝2RsinA ， b ＝ 2RsinB ， c ＝ 2RsinC. 所以等式cos Bb 可化为 cos B2 Rsin B，cos C2a ccosC2 2R sin A 2R sin C即 cos B sin B， cosC 2 sin A sin C2sinAcosB ＋sinCcosB ＝－ cosC · sinB ，故 2sinAcosB ＝－ cosCsinB －sinCcosB ＝－ sin(B ＋ C)，因为 A ＋ B ＋ C ＝π，所以 sinA ＝sin(B ＋ C)， 故 cosB ＝－ 1，2所以 B ＝ 120°.(2)由余弦定理，得 b 2＝ 13＝ a 2＋ c 2－ 2ac × cos120°，即 a 2＋ c 2 ＋ ac ＝ 13又 a ＋c ＝ 4，。
高中必修5数学期末测试卷及答案
人教数学A版必修 5 期末测试练习二选择题1．已知三角形的三边长分别是2m+3， 2m ＋2m,，2m +3m+3 且m ＞0,则这个三角形的最大角为（）A．1500 B．1350C．1200 D．9002．在△ABC 中，A＝60°，b＝1，S ABC ＝ 3 ，则sin aAbsin B（）A．8381B．2393C．2633D．2 73．已知△ABC 的三边长分别为a－2，a，a + 2，且它的最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积是（）A．154B．1543C．2143 35D． 342 ，则△ABC 一定是（）24．△ABC 中，a b ab 2 3S ABCA．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形2 x5．三角形的两边分别是 5 和3，它们夹角的余弦是方程5x 7 6 0 的根，则S=（）A．12 B．6C.．24 D．46．已知数列a n 的前n 项的积为 2n ，则这个数列的第 3 项与第5 项的和是（）.A 6116B3115C259D5672257．数列1, 1，2, 2，3, 3，4, 4，⋯的通项公式是（）.A 12n1 1n B212n 1 1 nn 1 14nD16nC n 1 18．一个项数是偶数的等差数列，奇数项的和与偶数项的和分别是24 与30，最后一项比首项多10.5，那么这个数列共有（）.A 18 项B 12 项C 10 项D 8 项2 ，且100 9、已知数列{a n} 的前n 项和S nan bnS ，则a12 a14 =（）25A、16 B 、4 C 、8 D 、不确定10、某人2004 年1 月31 日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2005 年1 月31 日取款时被银行扣除利息税（税率为20%），共计138.64 元，则该人存款的本金介于（）A、1 万元-2 万元 B 、2 万元-3 万元C、3 万元-4 万元 D 、4 万元-5 万元2 kx11．当x R时，不等式kx 1 0 恒成立，则k 之的取值范围是（）A．(0, ) B．0,C．0,4 D．（0，4）2 ab x b12．不等式ax ( 1) 0 的解集是x |1 x 2 ，则a 和b 的值为（）A．a b 1或a b 2B．1a 1,b 或a 2,b 121C．a ,b 1或a 1,b 22D．1a b 或a b 2213．以下四个命题中，正确的是（）A．原点与点（2，3）在直线2x y 3 0 同侧B．点（3，2）与点（2，3）在直线x y 0 同侧1C．原点与点（2，1）在直线y 3x 0 异侧21D．原点与点（2，l）在直线y 3x 0 同侧2a b14．已知a b 0，全集U＝R，A { x | ab x a} ，B { x |b x } ，则( U A) B2为（）A．{ x | b x ab}a bB．{x|ab x }2a bC．{x| b x }2a bD．{ x|x或x a}22 kx k215．设x1，x2 关于x的二次方程x 2 1 0 的两个实根，k 为实数，则2 2 x1 x2最小值为（）A．－2 B．－1 C．1 D．2填空题16、已知等差数列a n 的公差是－2，且S20 50 ，则__________17、已知等差数列a n 中，S4 1，S8 4 ，则a17 a18 a19 a20 .18、已知等差数列a n 共有n 项，且前 4 项的和是26，最后4 项的和是110，n 项的和是187，则n＝_____.19．若等差数列｛a n ｝中，当a r a s (r s) 时，数列｛a n ｝必定为常数列，然而在等比数列｛a n ｝中，对某些正整数r，s(r s），当a r a s 时，非常数数列｛a n ｝的一个例子是_________．解答题20．解不等式：2 x（1）x 5 5 1ax 1（2） 22 xx 8 1521、若a＞0,b ＞0, 且a+b=1, 求证：(1+ 1 )(1+a 1 ) ≥9 . b22、已知为奇函数，且满足，（1）求的函数式；（2）数列的前多少项之和为4094。
人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案
数学必修5试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由，确定的等差数列，当时，序号等于（）Ａ．99 Ｂ．100 Ｃ．96 Ｄ．1012.中，若，则的面积为（）A．B． C.1 D.3.在数列中，=1，，则的值为（）A．99 B．49 C．102 D． 1014.已知，函数的最小值是（）A．5 B．4 C．8 D．65.在等比数列中，，，，则项数为（）A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式的解集为，那么（）A. B. C. D.7.设满足约束条件,则的最大值为（）A． 5 B. 3 C. 7 D. -88.在中,,则此三角形解的情况是（）A.一解B.两解C.一解或两解D.无解9.在△ABC中，如果，那么cosC等于（）10.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A、63B、108C、75D、83二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11.在中，，那么A＝_____________;12.已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分) 已知等比数列中，，求其第4项及前5项和.16(14分)(1) 求不等式的解集：(2)求函数的定义域：17 (14分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。
求：(1)角C的度数；18(12分)若不等式的解集是，(1) 求的值；(2) 求不等式的解集.19（14分）如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为．求此时货轮与灯塔之间的距离．A20（ 14分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。
该公司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图。
【数学】2020高中数学人教A版必修5第二章数列章末测试题A
【关键字】数学【高考调研】2015年高中数学第二章数列章末测试题（A）新人教版必修5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知an＝cosnπ，则数列{an}是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列答案 D2．在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是( )A．82 B．107C．100 D．83答案 B3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于( )A．12 B．18C．24 D．42答案 C解析思路一：设公差为d，由题意得解得a1＝，d＝.则S6＝1＋15d＝24.思路二：S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，则2(S4－S2)＝S6－S4＋S2，所以S6＝3S4－3S2＝24.4．数列{an}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a3…an＝n2，则a3＋a5＝( )A. B.C. D.答案 A5．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )A．4 B．5C．6 D．7答案 C解析由等差数列的性质可知a2、a5、a8也成等差数列，故a5＝＝6，故选C.6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝( )A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln nC．2＋n ln n D．1＋n＋ln n答案 A解析依题意得an＋1－an＝ln，则有a2－a1＝ln，a3－a2＝ln，a4－a3＝ln ，…，an－an－1＝ln ，叠加得an－a1＝ln(···…·)＝ln n，故an＝2＋ln n，选A.7．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n 项和，则使得Sn达到最大值的n是( )A．21 B．20C．19 D．18答案 B解析∵a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，∴3＝105,4＝99，即a3＝35，a4＝33.∴a1＝39，d＝－2，得an＝41－2n.令an＝0且an＋1<0，n∈N*，则有n＝20.故选B.8．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )A．6 B．7C．8 D．9答案 A解析设等差数列{an}的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴a5＝－3，∴d＝＝2，∴a6＝－1＜0，a7＝1＞0，故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.9．等比数列{an}的前n项和为Sn，且1,2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( ) A．7 B．8C．15 D．16答案 C解析由1＋a3＝2⇒4＋q2＝4q⇒q＝2，则S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.10．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝( )A．2n＋1－1 B．2n－1C．2n－1 D．2n＋1答案 B11．含2n＋1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )A.2n＋1nB.n＋1nC.n－1nD.n＋12n答案 B12．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，那么此数列的第10项为( )A.1210 B.129 C.110D.15答案 D 解析 ∵a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，∴{a n ·a n －1a n －1－a n}为常数列．∴a n ·a n －1a n －1－a n ＝a 2·a 1a 1－a 2＝2，∴a n ·a n －1＝2a n －1－2a n .∴1a n －1a n －1＝12，∴{1a n }为等差数列，1a 1＝12，d ＝12. ∴1a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2.∴a n ＝2n ，∴a 10＝15. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －9解析 由题意得a 23＝a 1a 4，所以(a 1＋6)2＝a 1(a 1＋9)，解得a 1＝－12.所以a 2＝－12＋3＝－9.14．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是________． 答案n 22－n2＋3(n ≥3)解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1(n ≥3)行的最后一个数n －11＋n －12＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋3(n ≥3)．15．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4解析 ⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ②，①－②，得3a 3＝a 4－a 3,4a 3＝a 4，q ＝a 4a 3＝4.16．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.答案 4 解析 ∵a 1＝19，∴a 2＝a 1＋a 1＝29，a 4＝a 2＋a 2＝49，a 8＝a 4＋a 4＝89.∴a 36＝a 18＋a 18＝2a 18＝2(a 9＋a 9)＝4a 9＝4(a 1＋a 8)＝4(19＋89)＝4.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 2为方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两实数根，求此数列的通项公式．答案 a n ＝2＋(n －1)×2＝2n18．(12分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d .a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26. 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2， 整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7. 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.19．(12分)某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的13？答案 (1)1 458辆 (2)2011年底20．(12分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1,1,2，…，求数列{c n }的前10项的和．解析 ∵c 1＝a 1＋b 1，即1＝a 1＋0，∴a 1＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，a 3＋b 3＝c 3，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1， ①q 2＋2d ＝2. ②②－2×①，得q 2－2q ＝0. 又∵q ≠0，∴q ＝2，d ＝－1.c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 10＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10)＝a 11－q 101－q ＋10b 1＋10×92d＝210－1＋45·(－1)＝978.21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 解析 (1)b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2＝1＋1－－12n －11－－12＝1＋23[1－(－12)n －1]＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．22．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项； (2)求{nS n }的前n 项和T n . 解析 (1)a n ＝12n ，n ＝1,2，…(2)∵{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，∴S n ＝121－12n1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n2n . 则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n )－(12＋222＋…＋n2n )， ①T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－(122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1)，② ①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－(12＋122＋…＋12n )＋n 2n ＋1 ＝nn ＋14－121－12n 1－12＋n2n ＋1，即T n ＝n n ＋12＋12n －1＋n2n －2.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
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期末测试题
考试时间：90分钟 试卷满分：100分
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15
B ．18
C ．19
D ．23
2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列
D ．首项为1的等比数列
3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5
B ．13
C ．13
D ．37
5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4
B ．8
C ．15
D ．31
6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c
tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t
b t
a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N
C ．M ＝N
D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化
8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝
n
21
D ．a n ＝1＋log 2n
9．如果a ＜b ＜0，那么( )． A ．a －b ＞0
B ．ac ＜bc
C ．
a 1＞b
1 D ．a 2＜b 2
10．我们用以下程序框图来描述求解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的过程．令a ＝2，b ＝4，若c ∈(0，1)，则输出区间的形式为( )．
A ．M
B ．N
C ．P
D ．∅
11．等差数列{a n }中，已知a 1＝31
，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 的值为( )．
A ．50
B ．49
C ．48
D ．47
开始
输入a ,b ,c
计算△＝b 2－4ac
判断△≥0?
计算
a
b x a
b x 2221∆+-=
∆--=
结束
判断x 1≠x 2?
输出区间
N ＝(-∞，x 1)∪(x 2，+∞)
输出区间
M ＝(-∞，-a b 2)∪(－a
b
2，+∞) 输出区间 P (-∞，+∞)
是
否
是
否
12．设集合A ＝{(x ,y )｜x ，y ，1―x ―y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )．
O
x
0.5
0.5
y
x
0.50.5
y
x
0.5
0.5
y x
0.5
0.5
y O
O O
A
B
C
D
13．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 4＋a 5＞0，a 4·a 5＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 的值为( )．
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k ＝( )． A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上． 15．已知x 是4和16的等差中项，则x ＝ ． 16．一元二次不等式x 2＜x ＋6的解集为 ．
17．函数f (x )＝x (1－x )，x ∈(0，1)的最大值为 ．
18．在数列{a n }中，其前n 项和S n ＝3·2n ＋k ，若数列{a n }是等比数列，则常数k 的值为 ．
三、解答题：本大题共3小题，共28分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且B C
sin sin ＝5
3． (1)求AC ； (2)求∠A ．
20．某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4 800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．
(1)求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；
(2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
21．已知等差数列{a n}的前n项的和记为S n．如果a4＝－12，a8＝－4．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)求S n的最小值及其相应的n的值；
a，…，构成一个新的数列{b n}，
(3)从数列{a n}中依次取出a1，a2，a4，a8，…，1
2n－
求{b n}的前n项和．
期末测试
参考答案
一、选择题 1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．A 8．D
9．C
10．B
11．A
12．A
13．D
14．B
二、填空题 15．10． 16．(－2，3)． 17．
4
1． 18．－3． 三、解答题
19．解：（1）由正弦定理得
B A
C sin ＝C AB sin ⇒AC AB ＝B
C sin sin ＝53⇒AC ＝33
5⨯＝5．
（2）由余弦定理得
cos A ＝AC AB BC AC AB ⋅-+2222＝53249259⨯⨯-+＝2
1
-，所以∠A ＝120°．
20．解：（1）设水池的底面积为S 1，池壁面积为S 2，则有S 1＝3
800
4 ＝1 600(平方米)．
池底长方形宽为x 600
1米，则
S 2＝6x ＋6×x 6001＝6(x ＋x 600
1)．
（2）设总造价为y ，则 y ＝150×1 600＋120×6(x ＋
x
600
1)≥240 000＋57 600＝297 600．
当且仅当x ＝
x
600
1,即x ＝40时取等号． 所以x ＝40时,总造价最低为297 600元．
答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为297 600元． 21．解：（1）设公差为d ，由题意，
⎩⎨⎧ ⇔ ⎩⎨⎧ 解得⎩⎨⎧
所以a n ＝2n －20．
（2）由数列{a n }的通项公式可知， 当n ≤9时，a n ＜0， 当n ＝10时，a n ＝0， 当n ≥11时，a n ＞0．
所以当n ＝9或n ＝10时，S n 取得最小值为S 9＝S 10＝－90． （3）记数列{b n }的前n 项和为T n ，由题意可知 b n ＝12-n a ＝2×2n －
1－20＝2n －20． 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝(21－20)＋(22－20)＋(23－20)＋…＋(2n －20) ＝(21＋22＋23＋…＋2n )－20n
＝21221--+n －20n
＝2n +1－20n －2．
a 4＝－12
a 8＝－4 a 1＋3d ＝－12 a 1＋7d ＝－4
d ＝2
a 1＝－18。