新高二数学上期末试卷(及答案)
2023-2024学年江苏省扬州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．π4B．π3C．3π4D．2π32．在等比数列{a n}中，a1＝2，a3＝8，则a5＝（）A．14B．16C．28D．323．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则当t＝5s时该质点的瞬时速度为（）A．10m/s B．11m/s C．13m/s D．28m/s4．已知双曲线C：x 24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，则m＝（）A．3B．6C．32D．945．已知k为实数，则直线l：kx﹣y+k﹣1＝0与圆x2+y2＝4的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定6．已知M是椭圆x23+y2=1上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（）A．2B．92C．3√22D．√3−√27．已知定义在R上的可导函数f（x），其导函数为f′（x），若2f（x）+f′（x）＞0，且f（1）＝e，则不等式e2x f（x）﹣e3＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，e）8．在△ABC中，已知D为边BC上一点，CD＝λDB，∠BAD=π4．若tan∠ACB的最大值为2，则常数λ的值为（）A．√10−34B．√10+34C．√10+14D．√10−14二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要9．已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（）A．若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行B．若l1，l2平行，则l1，l2的斜率相等C．若l1，l2的斜率乘积等于﹣1，则l1，l2垂直D ．若l 1，l 2垂直，则l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1 10．椭圆C 1：y 225+x 29=1与双曲线C 2：x 29+k −y 27−k=1（﹣9＜k ＜7）（ ）A ．有相同的焦点B ．有相等的焦距C ．有相同的对称中心D ．可能存在相同的顶点11．已知函数f(x)=lnxx，下列说法中正确的有（ ） A ．函数f （x ）的极大值为1eB ．函数f （x ）在点（1，0）处的切线方程为y ＝x ﹣1C ．20232024＜20242023D ．若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝x α无交点，则α的取值范围是(1e−1，+∞)12．已知无穷数列{a n }，a 1＝1．性质s ：∀m ，n ∈N *，a m +n ＞a m +a n ；性质t ：∀m ，n ∈N *，2≤m ＜n ，a m ﹣1+a n +1＞a m +a n ，下列说法中正确的有（ ） A ．若a n ＝3﹣2n ，则{a n }具有性质s B ．若a n ＝n 2，则{a n }具有性质t C ．若{a n }具有性质s ，则a n ≥nD ．若等比数列{a n }既满足性质s 又满足性质t ，则其公比的取值范围为（2，+∞） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．写出过点（1，2）的被圆C ：x 2+y 2＝4所截的弦长为2√3的直线方程 .（写出一条直线即可） 14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝2cos （x ﹣1），则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 ．15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为 ． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为√a 2−b 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过F 1，则椭圆C 的离心率为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1，b 2＝2，b 3＝4，a 8＝b 4．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n﹣b n，求数列{c n}的前n项和．18．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+n+1（n∈N*）．设b n＝a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=14(log2b n)2−1，数列{c n}的前n项和为T n，证明：13≤T n＜12．20．（12分）已知点A（4，0），P是圆C：x2+y2＝4上的一动点，点Q（x，y）是线段AP的中点．（1）求点Q的轨迹方程；（2）已知M，N是直线l：x﹣y+2＝0上两个动点，且MN＝6．若∠MQN恒为锐角，求线段MN中点G的横坐标取值范围．21．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点A（1，﹣2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线P A交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣alnx﹣be．（e＝2.71828…是自然对数的底数）（1）若a＝﹣1，b＝1，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＝b＝0，证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞12x2+x+1成立；（3）若b＝1，试讨论函数f（x）的零点个数，并说明理由．2023-2024学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．π4B．π3C．3π4D．2π3解：直线x+y﹣1＝0的斜率为﹣1，则直线的倾斜角为3π4．故选：C．2．在等比数列{a n}中，a1＝2，a3＝8，则a5＝（）A．14B．16C．28D．32解：设等比数列{a n}的公比为q，a1＝2，a3＝8，则q2=a3a1=82=4，故a5=a3q2=8×4=32．故选：D．3．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则当t＝5s时该质点的瞬时速度为（）A．10m/s B．11m/s C．13m/s D．28m/s解：位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则S'（t）＝2t，当t＝5时，S'（5）＝2×5＝10m/s．故选：A．4．已知双曲线C：x 24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，则m＝（）A．3B．6C．32D．94解：由已知可得m＞0，且双曲线的焦点在x轴上，a＝2，b=√m，又双曲线的渐近线为y＝±ba=±√m2x，双曲线C：x24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，即√m2=34，m=94，故选：D．5．已知k为实数，则直线l：kx﹣y+k﹣1＝0与圆x2+y2＝4的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定解：由kx﹣y+k﹣1＝0，得k（x+1）﹣（y+1）＝0，因为k 为实数，所以{x +1=0y +1=0，解得{x =−1y =−1，所以直线l 恒过定点（﹣1，﹣1），因为（﹣1）2+（﹣1）2＝2＜4，所以定点在圆内，所以直线与圆相交． 故选：A ． 6．已知M 是椭圆x 23+y 2=1上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（ ）A ．2B ．92C ．3√22D ．√3−√2解：设M （√3cos θ，sin θ），θ∈[0，2π），设A 为椭圆的上顶点，则A （0，1）， 所以|MA |=√(√3cosθ)2+(sinθ−1)2=√4−2(sinθ+12)2+2×14，当sin θ=−12时，|MA |max =3√22．故选：C ．7．已知定义在R 上的可导函数f （x ），其导函数为f ′（x ），若2f （x ）+f ′（x ）＞0，且f （1）＝e ，则不等式e 2x f （x ）﹣e 3＞0的解集为（ ） A ．（1，+∞）B ．（e ，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，e ）解：构造函数g （x ）＝e 2x f （x ），该函数的定义域为R ， 则g '（x ）＝2e 2x f （x ）+e 2x f '（x ）＝e 2x [2f （x ）+f '（x ）]＞0， 所以函数g （x ）在R 上为增函数，且g （1）＝e 2f （1）＝e 3，由e 2x f （x ）﹣e 3＞0，可得e 2x f （x ）＞e 3，即g （x ）＞g （1），解得x ＞1， 所以不等式e 2x f （x ）﹣e 3＞0的解集为（1，+∞）． 故选：A ．8．在△ABC 中，已知D 为边BC 上一点，CD ＝λDB ，∠BAD =π4．若tan ∠ACB 的最大值为2，则常数λ的值为（ ） A ．√10−34B ．√10+34C ．√10+14D ．√10−14解：令BD ＝2，则CD ＝λDB ＝2λ且0≤λ≤1， 则△ABD 外接圆半径为r =BD2sin∠BAD =√2，若B （﹣1，0），D （1，0），△ABD 的外接圆方程为（x ﹣m ）2+（y ﹣n ）2＝2，所以{(m +1)2+n 2=2(m −1)2+n 2=2⇒⇒{m =0n =±1，令圆心（m ，n ）为（0，1）， 即点A 在圆x 2+（y ﹣1）2＝2被BD 分割的优弧上运动，如图，要使tan ∠ACB 最大，只需AC 与圆相切，易知C （1+2λ，0）， 则|AC|=√(1+2λ)2+1−2=2√λ(λ+1)， 而|BC |＝2（λ+1），由圆的性质有∠DAC ＝∠B ， 在△ABC 中，|AC|sin∠B=|BC|sin(∠B+π4)，∠ACB =π−(2∠B +π4)=3π4−2∠B ，显然 ∠B ＜3π8，由tan ∠ACB =tan(3π4−2∠B)=2，则1+tan2∠B tan2∠B−1=2⇒tan2∠B =3， 所以2tan∠B 1−tan 2∠B=3⇒3tan 2∠B +2tan∠B −3=0，可得tan ∠B =√10−13（负值舍），故sin ∠B =10−1√20−2√10cos∠B =3√20−2√10，而√λsin∠B =√λ+1sin(∠B+π4)，所以√λsin∠B=√2(λ+1)sin∠B+cos∠B ⇒λsin 2∠B =2(λ+1)1+2sin∠Bcos∠B，整理得11−2√10=7+2√10，则λ=104(√10−1)=√10−14．故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 9．已知l 1，l 2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ） A ．若l 1，l 2斜率相等，则l 1，l 2平行 B ．若l 1，l 2平行，则l 1，l 2的斜率相等C ．若l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1，则l 1，l 2垂直D ．若l 1，l 2垂直，则l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1 解：l 1，l 2斜率相等，则l 1，l 2平行，故A 正确； l 1，l 2平行，该两条直线斜率可能不存在，故B 错误；l1，l2的斜率乘积等于﹣1，则l1，l2垂直，故C正确；l1，l2垂直，则l1，l2的斜率可能不存在，故D错误．故选：AC．10．椭圆C1：y225+x29=1与双曲线C2：x29+k−y27−k=1（﹣9＜k＜7）（）A．有相同的焦点B．有相等的焦距C．有相同的对称中心D．可能存在相同的顶点解：椭圆C1：y225+x29=1的焦点为（0，±4），焦距为8，对称中心为坐标原点，左右顶点为（±3，0），上下顶点为（0，±5），双曲线C2：x29+k −y27−k=1（﹣9＜k＜7）的焦点在x轴上，焦距为8，对称中心为坐标原点，当k＝0时，双曲线C2的顶点为（±3，0），综上，椭圆C1与双曲线C2的焦点不同，焦距相同，对称中心相同，顶点可能相同．故选：BCD．11．已知函数f(x)=lnxx，下列说法中正确的有（）A．函数f（x）的极大值为1 eB．函数f（x）在点（1，0）处的切线方程为y＝x﹣1C．20232024＜20242023D．若曲线y＝f（x）与曲线y＝xα无交点，则α的取值范围是(1e−1，+∞)解：易知函数f(x)=lnxx的定义域为（0，+∞），则f′(x)=1−lnxx2，令f′（x）＝0可得x＝e，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，可得f（x）在（0，e）上单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，可得f（x）在（e，+∞）上单调递减，对于A，由单调性可得f（x）在x＝处取得极大值f(e)=1e，即A正确；对于B，易知切线斜率为k=f′(1)=1−ln112=1，所以切线方程为y＝x﹣1，即B正确；对于C，利用f(x)=lnxx的单调性可得f（2023）＞f（2024），即ln20232023＞ln20242024，也即2024ln2023＞2023ln2024，可得ln20232024＞ln20242023，所以20232024＞20242023，即C错误；对于D，若曲线y＝f（x）与曲线y＝xα无交点，即方程lnxx=xα没有实数根，也即xα+1﹣lnx＝0无解，令g（x）＝xα+1﹣lnx，则g′(x)=(α+1)xα−1x=(α+1)xα+1−1x，若α+1≤0，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，不妨取α＝﹣2，则g（x）＝x﹣1﹣lnx，易知g（1）＝1﹣ln1＞0，g（e2）＝e﹣2﹣lne2＝e﹣2﹣2＜0，此时g（x）在（1，e2）上有解，不合题意，若α+1＞0，令g′（x）＝0，解得x=(1α+1)1α+1，所以当0＜x＜(1α+1)1α+1时，g′（x）＜0，此时g（x）在0＜x＜(1α+1)1α+1时单调递减，当x＞(1α+1)1α+1时，g′（x）＞0，此时g（x）在x＞(1α+1)1α+1时单调递增，此时g（x）在x=(1α+1)1α+1处取得极小值，也是最小值，即g(x)min=g((1α+1)1α+1)=1α+1−1α+1ln(1α+1)=1α+1(1−ln(1α+1))=1α+1(1+ln(α+1))，依题意可得g(x)min=1α+1(1+ln(α+1))＞0，所以1+ln（α+1）＞0即可，解得α＞1e−1，即α的取值范围是(1e−1，+∞)，所以D正确．故选：ABD．12．已知无穷数列{a n}，a1＝1．性质s：∀m，n∈N*，a m+n＞a m+a n；性质t：∀m，n∈N*，2≤m＜n，a m﹣1+a n+1＞a m+a n，下列说法中正确的有（）A．若a n＝3﹣2n，则{a n}具有性质sB．若a n＝n2，则{a n}具有性质tC．若{a n}具有性质s，则a n≥nD．若等比数列{a n}既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为（2，+∞）解：由a n＝3﹣2n，可得a m+n﹣a m﹣a n＝3﹣2（m+n）﹣3+2m﹣3+2n＝﹣3＜0，即有a m+n＜a m+a n，故A错误；由a n＝n2，可得∀m，n∈N*，2≤m＜n，a m﹣1+a n+1﹣a m﹣a n＝（m﹣1）2+（n+1）2﹣m2﹣n2＝2n﹣2m+2＞0，即a m﹣1+a n+1＞a m+a n，故B正确；若{a n}具有性质s，可得a1+n＞a1+a n＝1+a n，则a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a n﹣a n﹣1）≥1+1+...+1＝n，故C正确；若等比数列{a n}既满足性质s又满足性质t，设公比为q，则q m+n﹣1＞q m﹣1+q n﹣1，令m＝n＝1，可得q＞2， 又1q m+1qn＜12m+12n≤12+12=1恒成立，又q ＞2时，∀m ，n ∈N *，2≤m ＜n ，可得q m ﹣2+q n ﹣q m ﹣1﹣q n ﹣1＝（q ﹣1）（q n ﹣1﹣q m ﹣2）＞0恒成立， 即有a m ﹣1+a n +1＞a m +a n ，故其公比的取值范围是（2，+∞），故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．写出过点（1，2）的被圆C ：x 2+y 2＝4所截的弦长为2√3的直线方程 x ＝1（或3x ﹣4y +5＝0） .（写出一条直线即可）解：设圆心到直线的距离为d ，由圆的弦长公式得：2√4−d 2=2√3，所以d ＝1，当直线的斜率不存在时，直线方程为：x ＝1，此时圆心到直线的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：y ﹣2＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k +2＝0， 则d =|−k+2|√k +1=1，解得k =34，所以直线l 的方程为：34x −y −34+2=0，即3x ﹣4y +5＝0，所以直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y +5＝0． 故答案为：x ＝1（或3x ﹣4y +5＝0）．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝2cos （x ﹣1），则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 2 ． 解：f （x ）＝2cos （x ﹣1），则f '（x ）＝﹣2sin （x ﹣1），f ''（x ）＝﹣2cos （x ﹣1）， 故f '（1）＝﹣2sin0＝0，f ''（1）＝﹣2， 故K =|f″(1)|[1+(f′(1))2]32=2．故答案为：2．15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为 56 ．解：设该数列的第6项为x ，对前6项作差可得，3，6，10，15，x ﹣35，对该算式继续作差可得，3，4，5，x ﹣50， 则x ﹣50＝6，解得x ＝56． 故答案为：56． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为√a 2−b 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过F 1，则椭圆C 的离心率为 √55． 解：由椭圆的方程可得F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 因为√a 2−b 2=bc ，由题意可设直线AB 过椭圆的下顶点A （0，﹣b ）， 由题意可设直线AB 的方程为y =bc（x ﹣c ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =bc (x −c)x 2a 2+y 2b2=1，整理可得（a 2+c 2）x 2﹣2a 2cx ＝0，解得x B =2a 2c a 2+c 2，y B =b 3a 2+c 2，即B （2a 2c a 2+c 2，b 3a 2+c2），因为以AB 为直径的圆过F 1，所以F 1A →•F 1B →=0， 即（c ，﹣b ）•（2a 2c a 2+c 2+c ，b 3a 2+c 2）＝0，整理可得2a 2c 2a 2+c2+c 2=b4a 2+c 2，而b 2＝a 2﹣c 2，所以2a 2c 2+a 2c 2+c 4＝a 4﹣2a 2c 2+c 4，即a 2＝5c 2， 所以椭圆的离心率e =c a =1√5=√55． 故答案为：√55． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1，b 2＝2，b 3＝4，a 8＝b 4． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n ＝a n ﹣b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：（1）设等比数列{b n }的公比为q ， 由b 2＝2，b 3＝4 可得q =b 3b 2=2，b n =b 2q n−2=2⋅2n−2=2n−1， 设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 1＝b 1＝1，a 8＝b 4＝8．所以d =a 8−a 18−1=8−18−1=1，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×1＝n，所以a n＝n，b n=2n−1．（2）c n=a n−b n=n−2n−1，所以数列{c n} 的前n项和为：c1+c2+…+c n＝（1﹣1）+（2﹣2）+…+（n﹣2n）＝（1+2+3+…+n）﹣（1+2+22+…+2n）=n(n+1)2−1−2n1−2=n2+n2−2n+1．18．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．解：（1）由f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b，得f'（x）＝6x2﹣2ax+12，因为f（x）在x＝2处取极小值5，所以f（2）＝24﹣4a+12＝0，解得a＝9，此时f'（x）＝6x2﹣18x+12x＝6（x﹣1）（x﹣2），所以f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以f（x）在x＝2时取极小值，符合题意，所以a＝9，f（x）＝2x3﹣9x2+12x+b．又f（2）＝4+b＝5，所以b＝1，所以a＝9，b＝1．（2）f（x）＝2x3﹣9x2+12x+1，所以f'（x）＝6（x﹣1）（x﹣2），f（x）和f'（x）随着x的变化情况如下表所示．所以x∈[0，3]时，f（x）min＝f（0）＝1．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+n+1（n∈N*）．设b n＝a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=14(log2b n)2−1，数列{c n}的前n项和为T n，证明：13≤T n＜12．解：（1）∵S n+1=2S n+n+1(n∈N∗)①，∴S n＝2S n﹣1+n（n≥2）②，由①﹣②得：a n+1＝2a n+1（n≥2），∴a n +1+1＝2（a n +1）（n ≥2），即b n +1＝2b n （n ≥2）， 在①中令n ＝1，得S 2＝2S 1+2，即a 1+a 2＝2a 1+2， 而a 1＝1，故a 2＝3，则a 2+1＝2（a 1+1），即b 2＝2b 1， 又∵b 1＝2≠0，∴b n+1b n=2(n ∈N ∗)，∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =2n ；（2）证明：∵b n =2n ， ∴c n =14(log 2b n )2−1=14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， ∴T n =12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)＜12，又∵c n =14n 2−1＞0，∴T n ≥c 1=13，∴13≤T n ＜12． 20．（12分）已知点A （4，0），P 是圆C ：x 2+y 2＝4上的一动点，点Q （x ，y ）是线段AP 的中点． （1）求点Q 的轨迹方程；（2）已知M ，N 是直线l ：x ﹣y +2＝0上两个动点，且MN ＝6．若∠MQN 恒为锐角，求线段MN 中点G 的横坐标取值范围． 解：（1）设P （x ′，y ′），则由题意得{x =x′+42y =y′2，即{x ′=2x −4y′=2y ， 因为点P 在圆C ：x 2+y 2＝4上，所以x ′2+y ′2＝4，即（2x ﹣4）2+（2y ）2＝4， 所以点Q 的轨迹方程为（x ﹣2）2+y 2＝1． （2）设G （a ，b ），则b ＝a +2，当P 在圆C 上运动时，∠MQN 恒为锐角，等价于以MN 中点G 为圆心，3为半径的圆与圆：（x ﹣2）2+y 2＝1外离． 所以√(a −2)2+b 2＞3+1，解得a ＜﹣2或a ＞2，所以线段MN 中点G 的横坐标取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．21．（12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点A （1，﹣2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线P A交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．（1）解：设抛物线C的标准方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝﹣2py（p＞0），将A坐标代入y2＝2px，得p＝2，所以y2＝4x；将A坐标代入x2＝﹣2py，得p=14，所以x2=−12y，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或x2=−12 y．（2）证明：由抛物线C开口向右得标准方程为y2＝4x，准线l：x＝﹣1，设P（﹣1，m），Q（﹣1，﹣m），（m≠±2），则l AP：y+2=m+2−2(x−1)，即x=−2m+2y+m−2m+2，由{y+2=m+2−2(x−1)y2=4x，得y2+8m+2y−4(m−2)m+2=0，所以y M⋅y A=−4(m−2)m+2，所以y M=2(m−2)m+2，x M=−2m+2y M+m−2m+2=(m−2m+2)2，所以M(m−2m+2)2，2(m−2)m+2)，用﹣m代m，得N(m+2m−2)2，2(m+2)m−2)，则k MN=m2−4 m2+4，所以l MN：y−2(m−2)m+2=m2−4m2+4[x−(m−2m+2)2]，化简得l MN：y=m2−4m2+4(x+1)，所以直线MN过定点（﹣1，0）．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣alnx﹣be．（e＝2.71828…是自然对数的底数）（1）若a＝﹣1，b＝1，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＝b＝0，证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞12x2+x+1成立；（3）若b＝1，试讨论函数f（x）的零点个数，并说明理由．解：（1）当a＝﹣1，b＝1时，f（x）＝e x+lnx﹣e（x＞0），则f′(x)=e x+1x＞0对x＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝0，∴f（x）＞0的解集为（1，+∞）．（2）证明：当a＝b＝0时，令m(x)=f(x)−12x2−x−1=e x−12x2−x−1(x＞0)，则m'（x）＝e x﹣x﹣1，令n（x）＝m（x），则n'（x）＝e x﹣1＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，∴n（x）在（0，+∞）上单调递增，又n（0）＝0，∴n（x）＞n（0）＝0，即m'（x）＞0，∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，又m（0）＝0，∴m（x）＞m（0）＝0，∴对任意x∈（0，+∞），f(x)＞12x2+x+1成立．（3）当b＝1时，f（x）＝e x﹣alnx﹣e（x＞0），则f′(x)=e x−ax=xe x−ax，①当a≤0时，f（x）＞0对x＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝0，∴f（x）仅有1个零点；②当a＞0时，令g（x）＝f（x），g′(x)=e x+ax2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，令h（x）＝xe x﹣a，（x＞0），则h（0）＝﹣a＜0，h（a）＝a（e a﹣1）＞0，又∵h（x）＝xe x﹣a在（0，+∞）上单调递增，∴存在唯一x0∈（0，a），使得h（x0）＝0，即f'（x0）＝0，当x∈（0，x0）时，f'（x0）＜0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时，f'（x0）＞0，∴f（x）在（x0，+∞）上单调递增，∴f（x）极小值＝f（x0），若x0＝1，则f（x）极小值＝f（1）＝0，∴f（x）仅有1个零点，此时a=x0e x0=e，若0＜x0＜1，则f（x）在（x0，+∞）上递增且f（1）＝0，∴f（x）在（x0，+∞）上仅有1个零点，且f（x0）＜f（1）＝0．当x∈（0，x0）时，f（x）＝e x﹣alnx﹣e＞﹣alnx﹣e，∴f(e−ea)＞0，∵a＞0，∴0＜e−ea＜1，又x∈[x0，1）时，f（x）＜0，e−ea∈(0，x0)，∴f（x）在（0，x0）上仅有一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上共有两个零点，此时a=x0e x0∈(0，e)，若x0＞1，则f（x）在（0，x0）上递减且f（1）＝0，∴f（x）在（0，x0）上仅有1个零点，且f（x0）＜f（1）＝0，当x∈（x0，+∞）时，由（2）可知，e x＞12x2+x+1＞x，两边取对数得x＞lnx，又e x＞12x2+x+1＞12x2，∴f(x)=e x−alnx−e＞12x2−ax−e，不妨取x1=max{2x0，a+√a2+2e}，则x1∈（x0，+∞）且f（x1）＞0，又∵f（x0）＜0，∴f（x）在（x0，+∞）上仅有1个零点．∴f（x）在（0，+∞）上共有两个零点，此时a=x0e x0∈(e，+∞)．综上，当a≤0或a＝e时，函数f（x）有1个零点；当a＞0且a≠e时，函数f（x）有2个零点．。
2023-2024学年浙江省杭州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x 2﹣5x +4≥0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{2，3}C ．{1，4}D ．{0，1，4}2．已知（2+i ）z ＝i ，i 为虚数单位，则|z |＝（ ） A ．15B ．13C ．√55D ．√533．已知平面向量a →=(2，0)，b →=(−1，1)，且（m a →−b →）∥（a →+b →），则m ＝（ ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．1±√324．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)左，右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若双曲线左支上存在点P 使得|PF 2|=32c −2a ，则离心率的取值范围为（ ）A ．[6，+∞）B ．（1，6]C ．[2，+∞）D ．[4，+∞）5．已知2cos 2θ﹣cos θ＝1，θ∈（0，π），则|sin θ|＝（ ） A ．0B ．12C ．√32或0 D ．√326．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x 较大时，1+12+13+⋯+1x=lnx +γ（x ∈N *，常数γ＝0.557…）．利用以上公式，可以估算1101+1102+⋯+1300的值为（ ） A ．ln 30B ．ln 3C ．﹣ln 3D ．﹣ln 307．已知α，β∈(0，π2)，则“cos(α−β)＜14”是“cosα+sinβ＜14”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知圆C ：x 2﹣2x +y 2＝0与直线l ：y ＝mx +2m （m ＞0），过l 上任意一点P 向圆C 引切线，切点为A 和B ，若线段AB 长度的最小值为√2，则实数m 的值为（ ） A ．2√77B ．√77C ．√142D ．√147二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．椭圆y 22+x 2=1的焦点坐标为（ ） A ．（﹣1，0），（1，0）B ．（0，﹣1），（0，1）C ．（−√3，0），（√3，0）D ．(0，−√3)，(0，√3) 2．抛物线y 2＝x 的准线方程是（ ）A ．x =−12B ．x =−14C ．y =−12D ．y =−143．直线3x +√3y +1=0的倾斜角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°4．已知点P 与A （0，2），B （﹣1，0）共线，则点P 的坐标可以为（ ）A ．（1，﹣1）B ．（1，4）C ．(−12，−1)D ．（﹣2，1） 5．已知P 为椭圆C ：x 24+y 2b 2=1上的动点，A （﹣1，0），B （1，0），且|P A |+|PB |＝4，则b 2＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，则“CB ⊥BB 1”是“CB ⊥AB “的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点P （﹣2，3，1）到x 轴的距离为（ ）A ．2B ．3C ．√5D ．√10 8．已知双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的左右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F ，以A 1F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点P ，Q ．若线段PF 的垂直平分线过A 2，则b 2的数值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．910．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且∠A ＝60°，E ，F 分别为棱AB ，DC 中点．将△BCF 和△ADE 分别沿BF ，DE 折叠，若满足AC ∥平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（ ）A ．[√3，2√3）B ．[√3，2√3]C ．[2，2√3)D ．[2，2√3]二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷含答案
海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。
2023-2024学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．43．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．46．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：x 2m−1+y 2=m ，则下列说法正确的有（ ）A ．若m ＞1，则C 是椭圆B ．若m ＞2，则C 是椭圆C ．若m ＜0，则C 是双曲线D ．若m ＜1，则C 是双曲线10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝pa n +q （p ，q ∈R ，n ∈N *），设{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的有（ ）A ．若p ＝﹣1，q ＝3，则a 10＝2B ．若p ＝﹣1，q ＝3，则S 10＝30C ．若p ＝2，q ＝1，则a 10＝1024D ．若p ＝2，q ＝1，则S 10＝203611．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程 ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 ．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 ． 16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：由于直线l ：x +√3y +1＝0的斜率为−√33，故它的倾斜角为5π6，故选：D ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（ ） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．4解：设双曲线C 的右焦点为F '， 由双曲线的对称性可知，|BF |＝|AF '|，所以由双曲线的定义知|AF |﹣|BF |＝|AF |﹣|AF '|＝2a ＝4． 故选：D ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：由共面向量的充要条件可得：对于A 选项，b →=12（b →+c →）+12（b →−c →），所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面；对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面； 对于D 选项，a →+b →+c →=(a →+b →)+c →，所以三个向量共面； 故选：C ．4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：根据题意，{a n }是等比数列，设其公比为q ，若a 2a 4＝a 3，则有a 32=a 3，又由a 3＞0，则a 3＝1，又由a 4a 5＝8，则（a 3q ）（a 3q 2）＝q 3＝8，解可得q ＝2，所以a 1=a 3q 2=14． 故选：A ．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：直线l ：mx +y ﹣m ＝0过定点A （1，0），圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0化为圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，可知圆的圆心M （2，1），半径R ＝2， 因为点A （1，0）在圆M 内，如图， 由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时， 弦长最短为2√R 2−|MA|2=2√4−2=2√2． 故选：C ．6．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）解：对于A ，P 0P →=（2，0，﹣2），n →⋅P 0P →=1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A 在平面α内； 对于B ，P 0P →=（﹣3，3，1），n →⋅P 0P →=1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B 不在平面α内； 对于C ，P 0P →=（﹣4，2，2），n →⋅P 0P →=1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C 在平面α内； 对于D ，P 0P →=（1，﹣6，5），n →⋅P 0P →=1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D 在平面α内． 故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：根据题意，可知点A （﹣1，0）位于圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9的内部， 所以圆P 与圆C 内切，且圆P 在圆C 的内部，作出圆C 过切点Q 的半径CQ ，则根据两圆内切的关系，得到点P 在CQ 上， 因为QC ＝PQ +PC ＝3，且P A ＝PQ ，所以P A +PC ＝3，根据AP +PC ＝3＞AC ＝2，可知点P 轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．故选：B ．8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35解：不妨设R 1＝3，R 2＝5，CD ＝m ，则AB ＝3m ，MB ＝R 2﹣AB ＝5﹣3m ，OM ＝R 1﹣MB ＝3m ﹣2， 所以MD ＝R 2＝OM +OC +CD ＝3m ﹣2+R 1+m ＝4m +1＝5⇒m ＝1，所以a ﹣c ＝OC ＝R 1＝3①，2a ＝AC ＝MA +OM +OC ＝R 2+3m ﹣2+R 1＝9②，联立①②解得a=92，c=32，所以椭圆离心率e=ca=13．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x2m−1+y2=m，则下列说法正确的有（）A．若m＞1，则C是椭圆B．若m＞2，则C是椭圆C．若m＜0，则C是双曲线D．若m＜1，则C是双曲线解：当m＞1时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，若m＝2，曲线为圆，故A错误；当m＞2时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，曲线为椭圆，故B正确；当m＜0时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，此时m（m﹣1）＞0，m＜0，曲线为双曲线，故C正确；当m＜1时，若m＝0，曲线C：x2m−1+y2=m化为y2﹣x2＝0，即y＝±x，曲线为两条直线，故D错误．故选：BC．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝pa n+q（p，q∈R，n∈N*），设{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的有（）A．若p＝﹣1，q＝3，则a10＝2B．若p＝﹣1，q＝3，则S10＝30C．若p＝2，q＝1，则a10＝1024D．若p＝2，q＝1，则S10＝2036解：对于选项AB，若p＝﹣1，q＝3，则a n+1+a n＝3，a n+2+a n+1＝3，两式相减可得a n+2＝a n，∴{a n}为周期2的周期数列，a1＝1，a2＝2，则a10＝a2＝2，故A正确；S10＝5（a1+a2）＝5×3＝15，故B错误；对于CD，若p＝2，q＝1，则a n+1＝2a n+1，可得a n+1+1＝2（a n+1），∵a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，则a n=2n−1，∴a10=210−1=1023，故C错误；S10=2(1−210)1−2−10=2036，故D正确．故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（ ）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°， E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，对于A ，由题意知△A 1AB ≌△A 1AD ，∴A 1D ＝A 1B ， 设AC ∩BD ＝O ，O 为BD 中点，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1， ∵A 1E ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥BD ，故A 正确；对于B ，∵A 1E →=−23AA 1→+AB →+AD →，∴A 1E →⋅AA 1→=(−23AA 1→+AB →+AD →)⋅AA 1→−23AA 1→2+AB →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→=−23+12+12=13≠0，∴A 1E →与AA 1→不垂直，即A 1E →与BB 1→不垂直，∴A 1E 与平面BDD 1B 1不垂直，故B 错误； 对于C ，BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=−AB →+AA 1→+AD →， ∴|BD 1→|2=|−AB →+AA 1→+AD →|2=(AB →)2+(AA 1→)2+(AD →)2−2AB →⋅AA 1→−2AB →⋅AD →+2AA →1⋅AD →=3−2×12−2×12+2×12=2⇒BD 1=√2，故C 正确对于D ，由A 知BD ⊥平面A 1ACC 1，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角即为直线BD 1与BD 所成角的余角， BD →=AD →−AB →，∵|BD →|=1，BD →⋅BD 1→=(AD →−AB →)⋅(−AB →+AA →1+AD →)=1 ∴|cos〈BD →，BD 1→〉|=|BD →⋅BD 1→|BD →|⋅|BD 1→||=11×√2=√22，∴直线BD 1与BD 所成角为π4，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4，故D 正确．故选：ACD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（ ） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切 B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12，0），p ＝1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=4y 1y 2=−4，得：y 1y 2=−1=−p 2，故直线AB 过焦点F ，点T 和点F 重合，选项D 正确； 由抛物线的性质得|AF |＝x 1+12，|BF |＝x 2+12，|AB |＝x 1+x 2+1，线段AB 的中点M 到准线的距离为|AF|+|BF|2=x 1+x 2+12=|AB|2，所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切，选项A 正确； |AB |≥2p ＝2，故选项B 正确； 设直线AB 的倾斜角为θ，则S △AOB =p 22sinθ=12sinθ≥12，选项C 错误． （或当AB 为通径时，S △AOB =p 22=12＜34，故选项C 错误）． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： x 24+y 2=1（答案不唯一） ．解：根据题意，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点，如图：假设A 、C 在x 轴上，B 、D 在y 轴上，∠BCD ＝60°， 由菱形的性质，∠BCA ＝30°，又由菱形ABCD 的边长为2，则OB ＝1，则BC ＝2，OC =√3， 即b ＝1，c =√3，则a 2＝b 2+c 2＝4， 故该椭圆的一个方程为x 24+y 2=1．故答案为：x 24+y 2=1（答案不唯一）．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 √5 ．解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），由抛物线的定义知d ＝|PF |，所以d ﹣|P A |＝|PF |﹣|P A |≤|AF |=√(2−1)2+(2−0)2=√5， 当点P 位于射线F A 与抛物线交点时，取最大值√5．答案为：√5．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 π3．解：作出示意图形，如下图所示，向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，结合O 1A ∥O 2C ，得∠BO 2C ＝60°， 所以△BO 2C 为等边三角形，设点A 在圆O 2所在平面内的射影为D ，连接AD 、BD ， 则AD 与O 1O 2平行且相等，且D 为O 2C 中点，∠BAD （或其补角）就是异面直线AB 与直线O 1O 2所成角， Rt △BCD 中，BD =√42−22=2√3， 在Rt △ADB 中，AD ＝O 1O 2＝2，得tan ∠BAD =BD AD =√3，所以∠BAD =π3， 即直线AB 与直线O 1O 2所成角为π3．故答案为：π3．16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 59 ． 解：a n ＝[log 2（2n +1）]，可得a 2k−1=[log 2（2k +1）]＝k ，a 2k =[log 2(2k+1+1)]=k +1， 故2k ﹣1≤n ＜2k 时，a n ＝k ，共2k ﹣2k ﹣1＝2k﹣1项，其和为k •2k ﹣1＝（k ﹣1）•2k ﹣（k ﹣2）•2k ﹣1，S 2k −1=0⋅21−(−1)⋅20+1⋅22−0⋅21+⋅⋅⋅+(k −1)⋅2k −(k −2)⋅2k−1=(k −1)⋅2k +1， 则S 63＝（6﹣1）×26+1＝321＞300，又32≤n ≤63时，a n ＝6，故S 60＝303，S 59＝297， 因此，所求正整数n 的最大值为59． 故答案为：59．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程； （2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程． 解：（1）根据B （2，0），D （0，1），可得BD 的中点为E(1，12)．由A （﹣1，﹣1）、B （2，0），得k AB =0+12+1=13， 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，得k CD =k AB =13，而直线l ⊥CD ，可知直线l 的斜率为−113=−3，所以直线l 的方程为y −12=−3(x −1)，整理得6x +2y ﹣7＝0． （2）设C （m ，n ），根据A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）， 可得BC →=(m −2，n)，AD →=(1，2)，结合BC →=AD →，得{m −2=1n =2，，m ＝3，n ＝2，即C （3，2），根据k BD =1−00−2=−12，k BC =2−03−2=2，得k BD •k BC ＝﹣1，即BC ⊥BD ， 所以点C 到BD 的距离为BC =√(3−2)2+(2−0)2=√5，因此，以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）因为4S n ＝（2n +1）a n +1． 令n ＝1得a 1＝1， 因为4S n ＝（2n +1）a n +1，所以4S n ﹣1＝（2n ﹣1）a n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得4a n ＝（2n +1）a n ﹣（2n ﹣1）a n ﹣1（n ≥2），即（2n ﹣3）a n ＝（2n ﹣1）a n ﹣1． 所以a n a n−1=2n−12n−3（n ≥2）， 所以a 2a 1⋅a 3a 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n a n−1=31⋅53⋅⋅⋅2n−12n−3，即a na 1=2n −1， 所以当n ≥2时，a n ＝2n ﹣1， 又a 1＝1，所以a n ＝2n ﹣1． （2）由（1）可得b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =12[(11−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ． （1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．解：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵∠BAC ＝90°，∴AB ，AC ，AA 1两两垂直， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB ＝AC ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0）， 设AA 1＝a （a ＞0），则A 1（0，0，a ），B 1（2，0，a ），C 1（0，2，a ）， 设AF ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），则E （2﹣λ，0，0），F （0，λ，0）， ∴B 1F →=(−2，λ，−a)，C 1E →=(2−λ，−2，−a)，∵B 1F ⊥C 1E ，∴B 1F →⋅C 1E →=0，即2λ﹣4﹣2λ+a 2＝0，解得：a ＝2， 即该直三棱柱的高为2；（2）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面AEF ， 又∠BAC ＝90°，由（1）知AA 1＝2，AE ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），∴V A 1−AEF =13S △AEF ⋅AA 1=13λ⋅(2−λ)≤13，当且仅当λ＝1时取“＝”，即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大， 此时E （1，0，0），F （0，1，0），A 1（0，0，2）， ∴A 1E →=(1，0，−2)，A 1F →=(0，1，−2)，设平面A 1EF 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)， 则{A 1E →⋅n 1→=0A 1F →⋅m 1→=0，即{x −2z =0y −2z =0，取z ＝1，则n 1→=(2，2，1)， 又平面ACC 1A 1的一个法向量为n 2→=(1，0，0)，所以|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=23×1=23， 因为平面A 1EF 与平面ACC 1A 1的夹角θ为锐角，所以cosθ=23．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3． （1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．解：（1）由题意2c =4√3，所以c =2√3=√a 2−b 2，又因为a ＝2b ，所以a ＝4，b ＝2， 所以C 的标准方程为x 216+y 24=1．（2）设直线l ：y =12x +m （m ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3）．将y =12x +m 代入C ：x 216+y 24=1中，化简整理得x 2+2mx +2m 2﹣8＝0，于是有{Δ=32−4m 2＞0，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−8，所以|AB|=√1+(12)2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−8)=√5√8−m 2， 因为点O 关于l 的对称点为P ，所以{y 3−0x 3−0=−2，y 3+02=12⋅x 3+02+m ，解得{x 3=−45my 3=85m，即P(−45m ，85m)， 因为P 在C 上，所以(−45m)216+(85m)24=1，解得m 2=2517． 又因为点O 到直线l 的距离d =|m|√1+(12)=2√5， 所以由对称性得S 四边形OAPB =2S △OAB =|AB|⋅d =√5√8−m 2⋅√5=2|m|√8−m 2=25√17×√8−2517=1017√111．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）． （1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．解：（1）将n ＝2，3代入a n +1＝a n +1+cos n π，得a 2＝1，a 3＝3， 令n ＝2k ，2k ﹣1，得a 2k +1＝a 2k +2，a 2k ＝a 2k ﹣1，所以a 2k +1＝a 2k ﹣1+2，又a 1＝1，从而a 2k ﹣1＝1+2（k ﹣1）＝2k ﹣1， 所以a 2k ＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，从而a n ={n ，n 为奇数，n −1，n 为偶数.；（2）：由b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，又b 2＝2，b 2k +2＝3b 2k ， 所以{b 2k }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以b 2k =2⋅3k−1，所以b n ={n ，n =2k −1(k ∈N ∗)，2⋅3n2−1，n =2k(k ∈N ∗)， 因为S 2m ＝2S 2m ﹣1，所以b 2m ＝S 2m ﹣1．因为S 2m ﹣1＝b 1+b 2+•+b 2m ﹣1＝（b 1+b 3+•+b 2m ﹣1）+（b 2+b 4+•+b 2m ﹣2） =m(1+2m−1)2+2(3m−1−1)3−1=3m−1+m 2−1，所以2•3m ﹣1＝3m ﹣1+m 2﹣1，即3m ﹣1＝m 2﹣1当m ＝1时，3m ﹣1＝m 2﹣1无解；当m ＞1时，因为(m+1)2−13m−m 2−13m−1=−2m 2+2m+33m＜0，所以当且仅当m ＝2时，m 2−13m−1取最大值1，即3m ﹣1＝m 2﹣1的解为m ＝2．综上所述，满足题意的m 的值为2．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ． （1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．解：（1）因为F （2，0），所以a 2+（a 2+2）＝4，所以a 2＝1， 所以圆O 的半径r ＝1，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k （x ﹣2）（k ≠0），当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d ＝r ，即√1+k 2=1，解得k =±√33，由{y =k(x −2)，x 2−y 23=0，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2＝0，即2x 2+x ﹣1＝0，解得x D ＝﹣1，x E =12， 所以|DE|=√1+k 2|x D −x E |=√3．（2）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =k(x −2)，x 2−y 23=1，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2+3＝0， 此时k ≠0，Δ＞0，x 1x 2=4k 2+3k 2−3＜0，解得0＜k 2＜3，且{x 1+x 2=4k 2k 2−3=4+12k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3=4+15k 2−3，所以x 1x 2=54(x 1+x 2)−1， 因为A 1（﹣1，0），A 2（1，0），所以A 1Q ：y =y 2x 2+1(x +1)，A 2P ：y =y1x 1−1(x −1)，联立A 1Q ，A 2P 方程，消去y 得x+1x−1=(x 2+1)y 1(x 1−1)y 2=k(x 2+1)(x 1−2)k(x 1−1)(x 2−2)=x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2．所以x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2=54(x 1+x 2)−1+x 1−2x 2−254(x 1+x 2)−1−x 2−2x 1+2=94x 1−34x 2−3−34x 1+14x 2+1=−3，即x+1x−1=−3，所以x =12．将x=12代入A2P方程，得y=−y12(x1−1)，即S(12，−y12(x1−1))．因为x1＜﹣1，所以(−y12(x1−1))2=3(x12−1)4(x1−1)2=3(x1+1)4(x1−1)=34[1+2x1−1]∈(0，34)，所以(12)2+(−y12(x1−1))2＜1，即直线A1Q，A2P的交点S在圆O内．。
2023-2024学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为 ． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于 ．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 ．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
2023-2024学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系O−xyz 中，点(1,1,2)到坐标原点O 的距离为( )A.2B.3C.6D.112.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为( )A. 4 B. 5C. 9D. 203.椭圆x 29+y 24=1的长轴长是( )A. 2B. 3C. 4D. 64.已知在10件产品中有2件次品，现从这10件产品中任取3件，用X 表示取得次品的件数，则P(X =1)=( )A. C 12C 310B. C 12C 28C 310C. C 23C 18C 310D. C 12C 13C 3105.圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x−3)2+y 2=9的位置关系是( )A. 外切B. 内含C. 相交D. 外离6.已知m =(1,2,4)，n =(2,1,x)分别为直线a ，b 的一个方向向量，且a ⊥b ，则x =( )A. 1B. −1C. 2D. −27.设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则小明正点到达目的地的概率为( )A. 0.78B. 0.82C. 0.87D. 0.498.已知点P(3,4)，A ，B 是圆C ：x 2+y 2=4上的两个动点，且满足|AB|=2，M 为线段AB 的中点，则|PM|的最大值为( )A. 5−3B. 5+3C. 3D. 7二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某服装公司对1−5月份的服装销量进行了统计，结果如下： 月份编号x12345销量y(万件)5096142185227若y 与x 线性相关，其线性回归方程为y =bx +7.1，则下列说法正确的是( )A. 线性回归方程必过(3,140)B. b=44.3C. 相关系数r<0D. 6月份的服装销量一定为272.9万件10.某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X～N(3.5,0.25)，则下列结论正确的是( )A. 该正态分布的均值为3.5B. P(X>3.5)=12C. P(4<X≤4.5)≥12D. P(X>4.5)=P(X≤3)11.已知双曲线M：x24−y29=1，则下列说法正确的是( )A. M的离心率e=132B. M的渐近线方程为3x±2y=0C. M的焦距为6D. M的焦点到渐近线的距离为312.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点，则下列选项正确的是( )A. 直线FC1与直线AE平行B. 直线FC1与底面ABCD所成的角为30°C. 直线FC1与直线AE的距离为2305D. 直线FC1到平面AB1E的距离为23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年安徽省宣城市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．设不同的直线l 1：2x ﹣my ﹣1＝0，l 2：x ﹣2y +1＝0，若l 1∥l 2，则m 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．42．数列{a n }满足a n+1=11−a n ，a 1＝3，则a 2024＝（ ） A ．−52B ．23C ．−12D ．33．直线l 过圆C ：（x +3）2+y 2＝4的圆心，并且与直线x +y +2＝0垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．x +y ﹣2＝0B ．x ﹣y +2＝0C ．x +y ﹣3＝0D ．x ﹣y +3＝04．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则FG →=（ ） A ．13AB →−23AC →−12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→5．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 3＝4，a 4+a 5+a 6＝8，则S 9S 6=（ ） A ．2B ．73C ．53D ．376．已知直线l 经过点A （﹣1，1，1）和点B （1，﹣1，1），下列点P 在直线l 上的是（ ） A ．P （3，﹣3，1） B ．P （﹣2，3，1） C ．P （1，﹣3，1） D ．P （3，3，1）7．如图，在两条异面直线a ，b 上分别取点A '，E 和点A ，F ，使AA '⊥a ，且AA '⊥b ．已知AA '＝6，A ′E ＝3，AF ＝4，EF ＝7，则异面直线a ，b 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π28．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将△ABC 的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan A +3tan B +2tan C ＝0，则椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．√33C ．23D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(−2√2，0)，F 2(2√2，0)，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为x 2﹣y 2＝4，则条件p 可以是（ ） A ．实轴长为4 B ．双曲线C 为等轴双曲线 C ．离心率为√22D ．渐近线方程为y ＝±x10．已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0．则下列命题中正确的有（ ）A ．直线l 恒过定点（3，1）B ．圆C 被y 轴截得的弦长为4 C ．直线l 与圆C 恒相离D ．直线l 被圆C 截得最短弦长时，直线l 的方程为2x ﹣y ﹣5＝0 11．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3=152，则（ ） A ．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣4 B ．数列{a n }的公差为−12C ．数列{a n }的前n 项和为S n =−n 2+13n4D ．数列{|a n |}的前20项和为56 12．已知四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则（ ）A ．侧棱CC 1上一点E ，满足C 1E C 1C =13，则A 1B ∥面AD 1EB ．若E 为CC 1的中点，过A ，D 1，E 的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为3：5C ．DA →+BB 1→+12DC →=DA 1→D ．设DB 1与面AD 1C 的交点为O ，则DOOB 1=21三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 77−S 33=4，则a 5﹣a 3＝ ．14．圆x 2+y 2＝1与圆（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝25的公共弦长等于 ．15．在空间直角坐标系中，已知向量u →=(1，1，1)，点P 0（1，1，1），点P （x ，y ，z ）．若平面α经过点P 0，且以u →为法向量，P 是平面α内的任意一点，则点P 的坐标满足的关系式为 ． 16．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆O ：x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则|MF |+2|NF |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n +2＝2a n +1﹣a n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{2a n a n+1}的前n 项和S n ． 18．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1＝2，∠ABC ＝90°，M 是BC 的中点． （1）求证：A 1B ∥面AMC 1； （2）求点A 1到平面AMC 1的距离．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点E 满足|EF 1|﹣|EF 2|＝2，记E 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）若过点F 2的直线l 与C 交于M 、N 两点，且MF 2→=2F 2N →，求直线l 的方程．20．（12分）如图，在五面体ABCDE 中，已知AC ⊥BD ，AC ⊥BC ，ED ∥AC ，且AC ＝BC ＝2ED ＝2，DC =DB =√3．（1）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（2）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39，若存在，求BFBC的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知正项数列{a n}中，√a1+√a2+⋯+√a n=n(n+1)2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n={√a n，n为奇数n⋅2√a n，n为偶数，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0）分别是椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1⊥F1F2时，|PF2|＝3|PF1|．（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C的上下顶点分别为A，B，过点（0，3）且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，证明：直线BM与AN的交点G在定直线上，并求出该定直线的方程．2023-2024学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．设不同的直线l 1：2x ﹣my ﹣1＝0，l 2：x ﹣2y +1＝0，若l 1∥l 2，则m 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4解：因为两条直线平行，所以21=−m −2≠−11，解得m ＝4．故选：D ．2．数列{a n }满足a n+1=11−a n，a 1＝3，则a 2024＝（ ） A ．−52B ．23C ．−12D ．3解：由题可知，a 2=11−a 1=11−3=−12，a 3=11−a 2=11−(−12)=23，a 4=11−a 3=11−23=3=a 1， ∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，∴a 2024=a 2+3×674=a 2=−12．故选：C ．3．直线l 过圆C ：（x +3）2+y 2＝4的圆心，并且与直线x +y +2＝0垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．x +y ﹣2＝0B ．x ﹣y +2＝0C ．x +y ﹣3＝0D ．x ﹣y +3＝0解：由（x +3）2+y 2＝4可知圆心为（﹣3，0）， 又因为直线l 与直线x +y +2＝0垂直， 所以直线l 的斜率为k ＝1， 由点斜式得直线l ：y ﹣0＝x +3， 化简得直线l 的方程是x ﹣y +3＝0． 故选：D ．4．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，AG →=2GE →，则FG →=（ ） A ．13AB →−23AC →−12AA 1→B ．13AB →+23AC →+12AA 1→C ．−23AB →+13AC →−12AA 1→D ．−13AB →+23AC →+12AA 1→解：如图所示：由于AG →=2GE →，故FG →−FA →=2(FE →−FG →)，整理得3FG →=2FE →+FA →；故FG →=13AB →−23AC →−12AA 1→．故选：A ．5．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 3＝4，a 4+a 5+a 6＝8，则S 9S 6=（ ） A ．2B ．73C ．53D ．37解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若S 3＝4，则有a 4+a 5+a 6＝q 3（a 1+a 2+a 3）＝q 3×S 3＝8，变形可得q 3＝2，则S 9S 6=a 1(1−q 9)1−q a 1(1−q 6)1−q=1−q 91−q 6=73． 故选：B ．6．已知直线l 经过点A （﹣1，1，1）和点B （1，﹣1，1），下列点P 在直线l 上的是（ ） A ．P （3，﹣3，1） B ．P （﹣2，3，1） C ．P （1，﹣3，1） D ．P （3，3，1） 解：点A （﹣1，1，1），点B （1，﹣1，1），则AB →=(2，−2，0)，对于A ，AP →=(4，−4，0)，则AP →=2AB →，且有公共点A ，故点P 在直线l 上，故A 正确； 对于B ，AP →=（﹣1，2，0），不存在实数λ，使得AP →=λAB →，故点P 不在直线l 上，故B 错误； 对于C ，AP →=（2，﹣4，0），不存在实数λ，使得AP →=λAB →，故点P 不在直线l 上，故C 错误； 对于D ，AP →=（4，2，0），不存在实数λ，使得AP →=λAB →，故点P 不在直线l 上，故D 错误． 故选：A ．7．如图，在两条异面直线a ，b 上分别取点A '，E 和点A ，F ，使AA '⊥a ，且AA '⊥b ．已知AA '＝6，A ′E ＝3，AF ＝4，EF ＝7，则异面直线a ，b 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：如图，过点A 作直线a ′∥a ，过点E 作EB ∥AA ′，交直线a 于点B ，连接BF ，由AA ′⊥a ，a ′∥a ，得AA ′⊥a ′，结合AA ′⊥b ，且a ′、b 是平面ABF 内的相交直线，可得AA ′⊥平面ABF ，而EB ∥AA ′，所以EB ⊥平面ABF ，结合BF ⊂平面ABF ，可得EB ⊥BF ． 根据题意得BE ＝AA ′＝6，EF ＝7，在Rt △EBF 中，FB =√EF 2−BE 2=√13， 设异面直线a 、b 所成的角为θ，则∠BAF ＝θ，由AB ＝A ′E ＝3，根据余弦定理得cosθ=AB 2+AF 2−FB 22AB×AF =9+16−1324=12，结合0＜θ＜π2，可得θ=π3，即异面直线a 、b 所成的角为π3．故选：C ．8．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将△ABC 的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan A +3tan B +2tan C ＝0，则椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．√33C ．23D ．√63解：因为3tan A +3tan B +2tan C ＝0可得3sinA cosA +3sinB cosB =2×sin(A+B)cos(A+B)，即3(sinAcosB+sinBcosA)cosAcosB=2×sin(A+B)cos(A+B)，而在三角形中，sin A cos B +cos A sin B ＝sin （A +B ）≠0，所以上式可得3cos （A +B ）﹣2cos A cos B ＝0 而cos （A +B ）＝cos A cos B ﹣sin A sin B ，所以可得cos A cos B ＝3sin A sin B ，即tan A •tan B =13，由题意可得A （﹣a ，0），B （a ，0），设C （x 0，y 0），可得x02a2+y02b2=1，由双曲线的对称性设C在第一象限，如图所示：在△ACD中，tan A=y0x0+a，在△ABD中，tan B=y0a−x0，所以tan A•tan B=y0x0+a•y0a−x0=y02a2−x02=b2(1−x02a2)a2−x02=b2a2，所以可得b2a2=13，所以离心率e=ca=√1−b2a2=√1−13=√63．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知双曲线C的两个焦点分别为F1(−2√2，0)，F2(2√2，0)，且满足条件p，可以解得双曲线C的方程为x2﹣y2＝4，则条件p可以是（）A．实轴长为4B．双曲线C为等轴双曲线C．离心率为√22D．渐近线方程为y＝±x解：设该双曲线标准方程为x2a2−y2b2=1，则c=2√2，对于A选项，若实轴长为4，则a＝2，∴b2＝c2﹣a2＝4，符合题意；对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a＝b，又c=2√2，a2+b2＝c2＝8，可解得a2＝b2＝4，符合题意；对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D选项，若渐近线方程为y＝±x，则a＝b，结合a2+b2＝c2＝8，可解得a2＝b2＝4，符合题意，故选：ABD．10．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0．则下列命题中正确的有（）A．直线l恒过定点（3，1）B．圆C被y轴截得的弦长为4C．直线l与圆C恒相离D．直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为2x﹣y﹣5＝0解：将直线l的方程整理为（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）＝0，令{x+y−4=02x+y−7=0，解得{x=3y=1，则无论m 为何值，直线l 过定点D （3，1），故A 正确；令x ＝0，则（y ﹣2）2＝24，解得y =2±2√6，故圆C 被y 轴截得的弦长为4√6，故B 错误； 因为（3﹣1）2+（1﹣2）2＝5＜25，所以点D 在圆C 的内部，直线l 与圆C 相交，故C 错误；圆心C （1，2），半径为5，|CD|=√5，当截得的弦长最短时，l ⊥CD ，k CD =−12，则直线l 的斜率为2，此时直线l 的方程为y ﹣1＝2（x ﹣3），即2x ﹣y ﹣5＝0，故D 正确． 故选：AD ．11．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3=152，则（ ） A ．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣4 B ．数列{a n }的公差为−12C ．数列{a n }的前n 项和为S n =−n 2+13n4D ．数列{|a n |}的前20项和为56 解：由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 3=a 1+2d =2S 3=3a 1+3×22d =152，化简整理，得{a 1+2d =22a 1+2d =5，解得{a 1=3d =−12，故选项B 正确； ∴a n ＝3−12•（n ﹣1）=−12n +72，故选项A 错误；S n ＝3n +n(n−1)2•（−12）=−n 2+13n4，故选项C 正确； ∵令a n ＞0，即−12n +72＞0，解得n ＜7，令a n ＝0，即−12n +72=0，解得n ＝7，令a n ＜0，即−12n +72＜0，解得n ＞7，∴|a n |={a n ，n ≤7−a n ，n ＞7，∴数列{|a n |}的前20项和为：|a 1|+|a 2|+…+|a 20| ＝a 1+a 2+…+a 7﹣a 8﹣a 9﹣…﹣a 20 ＝a 1+a 2+…+a 7﹣（a 8+a 9+…+a 20） ＝S 7﹣（S 20﹣S 7） ＝2S 7﹣S 20＝2×−72+13×74−−202+13×204＝56，故选项D 正确．故选：BCD ．12．已知四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则（ ）A ．侧棱CC 1上一点E ，满足C 1EC 1C =13，则A 1B ∥面AD 1EB ．若E 为CC 1的中点，过A ，D 1，E 的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为3：5C ．DA →+BB 1→+12DC →=DA 1→D ．设DB 1与面AD 1C 的交点为O ，则DOOB 1=21解：对于A ，连结D 1E ，并延长交DC 于F ，CF ＝4，连AF 交BC 于G 点，则G 为BC 中点，连D 1G ， 由四棱台的结构可知A 1D 1∥AD ，AD ∥BC ，所以A 1D 1∥BG ，A 1D 1＝BG ， 所以四边形A 1BGD 1为平行四边形，A 1B ∥D 1G ，又因为A 1B ⊄平面AD 1E ，D 1G ⊂平面AD 1E ，所以A 1B ∥面AD 1E ，选项A 正确； 对于B ，设四棱台的高为h ，若E 为CC 1中点，则CF ＝2，CG =13CB ，V 多面体ACDD 1EG =V 三棱锥D 1−AEF −V 三棱锥E ﹣CGF =13×12×4×6•h −13×12×43×2•12h =349h ， V 四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1=13(16+4+8)⋅ℎ=283ℎ，所以V 上=283ℎ−349ℎ=509ℎ，所以V 小V 大=1725，选项B 错误；对于C ，DA →+BB 1→+12DC →=DA →+BA →+AA 1→+A 1B 1→+12DC →=DA →+BA →+AA 1→+DC →=DA →+AA 1→=DA 1→，选项C 正确；对于D ，连接AC 、BD 交于点P ，连接D 1P ，B 1D 1，由四棱台的结构特征可得B 1D 1∥BP ，B 1D 1＝BP ， 所以四边形BPD 1B 1为平行四边形，所以BB 1∥D 1P又BB 1⊄平面AD 1C ，D 1P ⊂平面AD 1C ，所以BB 1∥平面AD 1C ， 所以V B 1−AD 1C =V B−AD 1C =V D 1−ABC ，V D−AD 1C =V D 1−ADC ，所以V D 1−ABC =V D 1−ADC ，所以点D 、B 1到平面AD 1C 的距离相等，设直线DB 1与面AD 1C 所成角为θ，则sinθ=ℎDDO =ℎB 1OB 1，所以DO ＝OB 1，选项D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 77−S 33=4，则a 5﹣a 3＝ 4 ．解：因为等差数列{a n }中，S n n=a 1+(n−1)d2，又S 77−S 33=4，所以a 1+3d ﹣a 1﹣d ＝2d ＝4，即d ＝2，则a 5﹣a 3＝2d ＝4．故答案为：4．14．圆x 2+y 2＝1与圆（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝25的公共弦长等于 √2 ． 解：圆x 2+y 2＝1与圆（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝25的方程相减得：x +y ﹣1＝0， 由圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0），半径r 为1， 且圆心（0，0）到直线x +y ﹣1＝0的距离d =1√2，则公共弦长为2√1−12=√2．故答案为：√2．15．在空间直角坐标系中，已知向量u →=(1，1，1)，点P 0（1，1，1），点P （x ，y ，z ）．若平面α经过点P 0，且以u →为法向量，P 是平面α内的任意一点，则点P 的坐标满足的关系式为 x +y +z ﹣3＝0 ． 解：根据题意，点P 0（1，1，1），点P （x ，y ，z ）．P 0P →=（x ﹣1，y ﹣1，z ﹣1），平面α经过点P 0，且以u →为法向量，则有u →•P 0P →=1×（x ﹣1）+1×（y ﹣1）+1×（z ﹣1）＝x +y +z ﹣3＝0．故点P 的坐标满足的关系式为x +y +z ﹣3＝0． 故答案为：x +y +z ﹣3＝0．16．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆O ：x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则|MF |+2|NF |的最小值为 3+2√2 ．解：由抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆O ：x 2+y 2＝5交于A ，B 两点，且|AB |＝4，得到第一象限交点（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，所以22＝2p，解得p＝2，所以C：y2＝4x，则F（1，0），设直线l：x＝my+1，与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以|MN|=√1+m2|y1−y2|=√1+m2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=4(1+m2)，由抛物线的定义，1|MF|+1|NF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=m(y1+y2)+4(y1y2)216+m(y1+y2)+3=4m2+44m2+4=1，所以|MF|+2|NF|＝（|MF|+2|NF|）（1|MF|+1|NF|）＝3+2|NF||MF|+|MF||NF|≥3+2√2，当且仅当|MF|=1+√2，|NF|=1+√22时等号成立．故答案为：3+2√2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，a n+2＝2a n+1﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{2a n a n+1}的前n项和S n．解：（1）因为a n+2＝2a n+1﹣a n，所以a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n，故数列{a n}为等差数列，设数列{a n}的公差为d，又因为a1＝1，a2＝3，即1+d＝3，解得公差d＝2，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）记b n=2a n a n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，S n=b1+b2+b3+⋯+b n=(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)=1−12n+1=2n2n+1．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1＝2，∠ABC＝90°，M是BC的中点．（1）求证：A1B∥面AMC1；（2）求点A1到平面AMC1的距离．解：（1）证明：连接A 1C ，交AC 1于O ，连接OM ， 在△A 1BC 中，OM 是三角形 A 1BC 的中位线， ∴OM ∥A 1B ，又∵OM ⊂平面 AMC 1，∴A 1B ∥平面 AMC 1． （2）∵ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，且∠ABC ＝90°， ∴BA ，BC ，BB 1 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），C （，2，0，0），A （0，2，0），M （1，0，0），C （2，0，1），B 1（0，0，1），A 1（0，2，1），设平面AMC 1的法向量为 n →=(x ，y ，z)，AA 1→=(0，0，1)，AM →=(1，−2，0)，C 1M →=(−1，0，−1)， ∴{n →⋅C 1M →=x −2y =0n →⋅AM →=−x −z =0，令x ＝2，得n →=(2，1，−2)，AA 1→=(0，0，1)，设点A 1到平面AMC 1的距离为d ， 则点A 1到平面AMC 1的距离为d =|AA 1→⋅n →||n →|=|0×2+0×1+1×(−2)|√4+1+4=23． 19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（﹣2，0），F 2（2，0），点E 满足|EF 1|﹣|EF 2|＝2，记E 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）若过点F 2的直线l 与C 交于M 、N 两点，且MF 2→=2F 2N →，求直线l 的方程． 解：（1）因为|EF 1|﹣|EF 2|＝2， 又F 1（﹣2，0），F 2（2，0），所以点E 的轨迹是F 1，F 2为焦点的双曲线右支， 此时2c ＝4，2a ＝2，解得a ＝1，c ＝1，则b 2＝c 2﹣a 2＝3， 故C 的方程为x 2−y 23=1(x ≥1)； （2）易知直线l 的斜率不为0，不妨设直线l 的方程为x ＝my +2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =my +2x 2−y 23=1，消去x 并整理得（3m 2﹣1）y 2+12my +9＝0，此时3m 2﹣1≠0， 由韦达定理得y 1+y 2=−12m 3m 2−1，y 1y 2=93m 2−1， 因为MF 2→=2F 2N →，所以（2﹣x 1，﹣y 1）＝2（x 2﹣2，y 2），解得﹣y 1＝2y 2， 所以y 2=12m 3m 2−1且−2y 22=93m 2−1， 即−2×144m 2(3m 2−1)2=93m 2−1，解得m =±√3535． 故直线l 的方程为35x ±√35y −70=0．20．（12分）如图，在五面体ABCDE 中，已知AC ⊥BD ，AC ⊥BC ，ED ∥AC ，且AC ＝BC ＝2ED ＝2，DC =DB =√3．（1）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（2）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39，若存在，求BFBC的值；若不存在，说明理由．（1）证明：∵AC ⊥BD ，AC ⊥BC ，BC ∩BD ＝B ，∴AC ⊥平面BCD ， ∵ACC 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ， 取BC 的中点O ，AB 的中点H ，连接OD 、OH 、EH ， ∵BD ＝CD ，∴DO ⊥BC ，又DO ⊂平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD ，平面BCD ∩平面ABC ＝BC ，∴DO ⊥平面ABC ，又OH ∥AC ，OH =12AC ，DE ∥AC ，DE =12AC ，∴OH ∥DE 且OH ＝DE ，∴四边形OHED 为平行四边形，∴EH ∥OD ， ∵DO ⊥面ABC ，∴EH ⊥平面ABC ， 又∵EH ⊂面ABE ，∴平面ABC ⊥平面ABC ． （2）解：∵AC ⊥BC ，OH ∥AC ，则OH ⊥BC ， ∵OD ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，OH 、OB 、OD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A （2，﹣1，0）、B （0，1，0）、C （0，﹣1，0）、E(1，0，√2)、H （1，0，0）， HE →=(0，0，√2)，AB →=(−2，2，0)，设平面ABE 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m ⋅HE →=√2z 1=0m →⋅AB →=−2x 1+2y 1=0，取x 1＝1，则y 1＝1，z 1＝0，可得平面ABE 的法向量为m →=(1，1，0)， 设在线段BC 上存在点F （0，t ，0）（﹣1≤t ≤1）， 使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39， 设平面AEF 的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)， AF →=(−2，t +1，0），AE →=(−1，1，√2)， 由{n →⋅AF →=−2x 2+(t +1)y 2=0AE →=−x 2+y 2+√2z 2=0，取x 2=√2(t +1），y 2＝2√2，z 2＝t ﹣1，可得平面AEF 的法向量为n →=(√2(t +1)，2√2，t −1)， 由题意可得|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√2(t+3)|√2⋅√(3t +2t+11=5√39，整理可得3t 2﹣7t +2＝0，解得t =13或t ＝2（舍去），∴F(0，13，0)，则BF =23，∴BF BC =13，综上所述：在线段BC 上存在点F ，满足BFBC =13，使得平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值等于5√39． 21．（12分）已知正项数列{a n }中，√a 1+√a 2+⋯+√a n =n(n+1)2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记b n ={√a n ，n 为奇数n ⋅2√a n ，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）因为√a 1+√a 2+⋯+√a n =n(n+1)2， 所以√a 1+√a 2+...+√a n−1=n(n−1)2（n ≥2）， 两式相减有√a n =n(n ≥2)，即a n =n 2(n ≥2)， 因为√a 1+√a 2+⋯+√a n =n(n−1)2， 令n ＝1有√a 1=1， 所以a 1＝1，满足上式， 所以a n =n 2(n ∈N ∗)；（2）由（1）得b n ={n ，n 为奇数n ⋅2n，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝1+2×22+3+4×24+…+（n ﹣1）+n •2n ＝[1+3+…（n ﹣1）]+（2×22+4×2++…+n •2n ）， 令A ＝1+3+…+（n ﹣1），则A =n2(1+n−1)2=n 24； 令B ＝2×22+4×24+⋯+n •2n ，所以4B ＝2×24+4×26+⋯+n •2n +2， 两式相减得，﹣3B ＝2×22+2×24+2×26+…+2•2n﹣n •2n +2=8−8⋅2n−3−n ⋅2n+2，所以B =89−89⋅2n +n 3⋅2n+2， 所以T n ＝A +B =n 24+89+12n−89•2n；当n 为奇数时，T n ＝T n ﹣1+b n =(n−1)24+89+12n−209•2n ﹣1+n =(n+1)24+89+3n−59•2n +1；所以T n ={(n+1)24+89+3n−59⋅2n+1，n 为奇数n 24+89+12n−89⋅2n，n 为偶数．22．（12分）已知F 1（﹣2，0），F 2（2，0）分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，当PF 1⊥F 1F 2时，|PF 2|＝3|PF 1|． （1）求椭圆C 的方程；（2）记椭圆C 的上下顶点分别为A ，B ，过点（0，3）且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程． （1）解：易知|PF 1|+|PF 2|＝2a ， 因为|PF 2|＝3|PF 1|，所以|PF 1|=a 2，|PF 2|=3a2，①因为PF 1⊥F 1F 2，所以|PF 1|2+|F 1F 2|2=|PF 2|2，② 联立①②， 解得a 2＝8， 则b 2＝a 2﹣c 2＝4， 故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1；（2）证明：由（1）知A （0，2），B （0，﹣2），直线MN 的方程为y ＝kx +3， 不妨设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y =kx +3x 28+y 24=1，消去y 并整理得（1+2k 2）x 2+12kx +10＝0，此时Δ＝64k 2﹣40＞0， 由韦达定理得x 1+x 2=−12k 1+2k 2，x 1x 2=101+2k2， 因为直线AN 的方程为y −2=y 2−2x 2x ，直线BM 的方程为y +2=y 1+2x 1x ， 联立{y −2=y 2−2x 2xy +2=y 1+2x 1x，此时y−2y+2=(y 2−2)x 1(y 1+2)x 2=(kx 2+3−2)x 1(kx 1+3+2)x 2=kx 1x 2+x 1kx 1x 2+5x 2=kx 1x 2+x 1+x 2−x 2kx 1x 2+5x 2=kx 1x 2+(x 1+x 2)−x 2kx 1x 2+5x 2，因为x 1+x 2=−12k 1+2k 2，x 1x 2=101+2k2， 所以k101+2k 2+(−12k1+2k 2)−x 2k 101+2k 2+5x 2=−15，解得y =43，故直线BM 与AM 的交点G 在定直线y =43上．。
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新高二数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A ．B ．C ．D ．3．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08154．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．-25．执行如图的程序框图，那么输出的S 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．16．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．23B ．34C ．25D ．137．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 8．我国古代数学著作《九章算术》中，有这样一道题目：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”下图是源于其思想的一个程序框图，若输出的3S =（单位：升），则输入的k =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．129．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF =2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A ．B ．C ．D ．10．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A ．13B ．512C ．12D ．71211．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12C ．1D ．3212．下表是某两个相关变量x ，y 的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中t 的值为（ ） x 3 4 5 6 y2.5t44.5A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5二、填空题13．根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．14．已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．15．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值满足关系式y=-2x+4，则这样的x 值___个．16．一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，若输出的y 值为1，则输入的实数x 的值为________.17．某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为10人，则样本容量为________．18．对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据(,)i i x y （1,2,3,,10i =），其回归直线方程是3ˆ2ˆybx =+，且121012103()30x x x y y y +++=+++=，则b =______.19．取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪出的两段的长都不小于1米（记为事件A ）的概率为________ 20．执行如图所示的程序框图，若1ln 2a =，22b e =，ln 22c =（其中e 是自然对数的底），则输出的结果是__________．三、解答题21．A B 两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：(1)试估计B 班的学生人数；(2)从A 班和B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量X .规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记1X =-；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记X 0=；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记1X =.求随机变量X 的分布列及数学期望.(3)再从A 、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明）22．随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争.吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务.在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示.（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收人薪资高于8000元的城市的概率；（2）若从月平均收入薪资与月平均期望薪资之差高于1000元的城市中随机选择2座城市，求这2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低于8000元的概率.23．某校学生会开展了一次关于“垃圾分类”问卷调查的实践活动，组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了共50名居民进行问卷调查.调查结束后，学生会对问卷结果进行了统计，并将其中一个问题“是否知道垃圾分类方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：年龄（岁）[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数m n141286知道的人数348732（1）求上表中的,m n的值，并补全右图所示的的频率直方图；（2）在被调查的居民中，若从年龄在[10,20),[20,30)的居民中各随机选取1人参加垃圾分类知识讲座，求选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率.24．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1： 年份x20112012 2013 2014 2015 储蓄存款y （千亿元）567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2010,5t x z y =-=-得到下表2： 时间代号t 1 2 3 4 5 z1235（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑） 25．一个盒子中有5只同型号的灯泡，其中有3只一等品，2只二等品，现在从中依次取出2只，设每只灯泡被取到的可能性都相同，请用“列举法”解答下列问题： （Ⅰ）求第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品的概率； （Ⅱ）求至少有一次取到二等品的概率.26．东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[20,70]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中x 的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x 和中位数m （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会. ①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数： 年龄 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]人数②若从年龄在[30,50)的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[30,40)的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ， 平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.2．C解析：C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率． 【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体， ∴基本事件总数n ＝27， 在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上， 且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P =故选：C 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．A解析：A 【解析】分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果.详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为10002050= 所以抽取的第40个数为1520(401)795+⨯-=选A.点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.4．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合流程图运行程序，考查5i >是否成立来决定输出的数值即可. 【详解】结合流程图可知程序运行过程如下： 首先初始化数据：1,2i S ==，此时不满足5i >，执行循环：111,122S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,13S i i S=-=-=+=； 此时不满足5i >，执行循环：112,14S i i S=-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,152S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,16S i i S=-=-=+=； 此时满足5i >，输出1S =-. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题.5．B解析：B 【解析】由题意可得：初如值S=2,k=2015, S=-1,k=2016<2018 S=12,k=2017<2018 2,2018S k ==输出2,选C.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选：C 【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．7．C【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键8．D解析：D 【解析】 【分析】计算出每次循环时各变量的值并与3S =比较后可得对应的k 的值. 【详解】1n =，S k =； 2n =，22k kS k =-=； 3n =，263k k k S =-=； 4n =，33124k k kS =-==，所以12k =. 故选：Ｄ. 【点睛】本题以数学文化为背景考虑流程图，此类问题应该根据流程图计算每次循环时各变量的值，从而可得程序终止的条件、输出的结果等，本题属于中档题.9．B解析：B 【解析】由题意可得，设,求得，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率，即可求解.【详解】由题意可得，设,可得,在中，由余弦定理得，所以，，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是，故选B.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型，以及余弦定理的应用，其中解答中认真审题、把在大等边三角形中随机取一点，取自小等边三角形的概率转化为面积比的几何概型是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．A解析：A【解析】设2名男生记为A1,A2,2名女生记为B1,B2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,共有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),(A2,A1),(B1,A1),(B2,A1),(B1,A2),(B2,A2),(B2,B1)12种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2)4种情况,则发生的概率为P=41 123=,故选：A. 11．D 解析：D 【解析】【分析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a ab a bSb a a b⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，由此计算可得结论.【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a b S b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，可得2tan cos 43ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112⎛⎫=⊗- ⎪⎝⎭， 因为112>-， 所以，113111222⎛⎫⎛⎫⊗-=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选D. 【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.12．A解析：A 【解析】 【分析】计算得到 4.5x =，114t y +=，代入回归方程计算得到答案. 【详解】3456 4.54x +++==， 2.54 4.51144t t y ++++==，中心点(),x y 过ˆ0.70.35yx =+， 即114.50.70.354t +=⨯+，解得3t =. 故选：A . 【点睛】本题考查了回归方程的相关问题，意在考查学生的计算能力.二、填空题13．【解析】【分析】将所有的基本事件全部列举出来确定基本事件的总数并确定所求事件所包含的基本事件数然后利用古典概型的概率公式求出答案【详解】所有的基本事件有：（甲乙丙）（乙甲丙）（丙甲乙）（甲乙丙）（甲解析：16【解析】【分析】将所有的基本事件全部列举出来，确定基本事件的总数，并确定所求事件所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求出答案． 【详解】所有的基本事件有：（甲、乙丙）、（乙，甲丙）、（丙、甲乙）、（甲乙、丙）、（甲丙、乙）、（乙丙、甲）（其中前面的表示派往大武口区调研的专家），共6个， 因此，所求的事件的概率为16，故答案为16． 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解决这类问题的关键在于确定基本事件的数目，一般利用枚举法和数状图法来列举，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题．14．【解析】由题意可知2次检测结束的概率为3次检测结束的概率为则恰好检测四次停止的概率为解析：35【解析】由题意可知，2次检测结束的概率为22225110A p A ==，3次检测结束的概率为31123232335310A C C A p A +==， 则恰好检测四次停止的概率为231331110105p p p =--=--=. 15．2【解析】【分析】分析程序中各变量各语句的作用再根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值并输出【详解】该题考查的是有关程序框图的问题在解题的过程中注意对框图进行分析明确框图的作用解析：2 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数2,224,251,5x x y x x x x⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩的函数值，并输出.【详解】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意对框图进行分析，明确框图的作用，根据题意，建立相应的等量关系式，求得结果.根据题意，可知该程序的作用是计算分段函数2,224,251,5x x y x x x x⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩的函数值， 依题意得2224x x x ≤⎧⎨=-+⎩或252424x x x <≤⎧⎨-=-+⎩或5124x x x>⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得1x =-±x 的值有两个， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意分析框图的作用，之后建立相应的等量关系式，求得结果，从而得到满足条件的x 的个数.16．3【解析】【分析】执行该算法后输出y ＝令y ＝1求出对应x 值即可【详解】执行如图所示的算法知该算法输出y ＝当x≥1时令y ＝x2﹣2x ﹣2＝1解得x ＝3或x ＝﹣1（不合题意舍去）；当x ＜1时令y ＝＝1此解析：3 【解析】 【分析】执行该算法后输出y ＝222,11,11x x x x x x ⎧--≥⎪⎨+<⎪-⎩，令y ＝1求出对应x 值即可．【详解】执行如图所示的算法知，该算法输出y ＝222,11,11x x x x x x ⎧--≥⎪⎨+<⎪-⎩当x ≥1时，令y ＝x 2﹣2x ﹣2＝1，解得x ＝3或x ＝﹣1（不合题意，舍去）； 当x ＜1时，令y ＝11x x +-＝1，此方程无解； 综上，则输入的实数x 的值为3． 故答案为3． 【点睛】本题考查算法与应用问题，考查分段函数的应用问题，是基础题．17．20【解析】青年职工中年职工老年职工三层之比为所以样本容量为故答案为20点睛：本题主要考查了分层抽样方法及其应用分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配这是分层抽样的最主要的特点首先各确定分层解析：20 【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为5:3:2，所以样本容量为102012=，故答案为20.点睛：本题主要考查了分层抽样方法及其应用，分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点，首先各确定分层抽样的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力．18．【解析】【分析】由题意求得样本中心点代入回归直线方程即可求出的值【详解】由已知代入回归直线方程可得：解得故答案为【点睛】本题考查了线性回归方程求出横坐标和纵坐标的平均数写出样本中心点将其代入线性回归解析：16- 【解析】 【分析】由题意求得样本中心点，代入回归直线方程即可求出b 的值 【详解】 由已知，()12101210330x x x y y y +++=+++=()12101310x x x x ∴=⨯+++=()12101110y y y y =⨯+++=代入回归直线方程可得：3132b =+ 解得16b =-故答案为16- 【点睛】本题考查了线性回归方程，求出横坐标和纵坐标的平均数，写出样本中心点，将其代入线性回归方程即可求出结果19．13【解析】试题分析：记两段的长都不小于1m 为事件A 则只能在中间1m 的绳子上剪断剪得两段的长都不小于1m 所以事件A 发生的概率P （A ）=考点：几何概型 解析：【解析】试题分析：记“两段的长都不小于1m”为事件A ，则只能在中间1m 的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m ， 所以事件A 发生的概率 P （A ）=考点：几何概型20．（注：填也得分）【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知该程序的功能是输出三个数的大小之中位于中间的数的数值再根据指数函数与对数函数的性质得到即可得到输出结果详解：由题意执行如图所示的程序框图可知该解析：ln 22（注：填c 也得分）. 【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值，再根据指数函数与对数函数的性质，得到b c a <<，即可得到输出结果.详解：由题意，执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值， 因为212ln 2,,ln 22a b c e ===，则221ln 21132ln 2e <<<<，即b c a <<， 所以此时输出ln 22c =. 点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．三、解答题21．（1）35，（2）随机变量X 的分布列： X -1 0 1P27221 1321()3E X =（3）10μμ> 【解析】 【分析】(1)由题意可知，抽出的13名学生中，来自B 班的学生有7名，根据分层抽样方法，能求出B 班的学生人数(2)由题意可知X 的可能取值为：1,0,1- ，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和期望(3)利用数学期望的性质能得出10μμ> 【详解】（1）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B 班的学生有7名， 根据分层抽样方法可得：B 班的学生人数估计为7653513⨯= (2)X 的可能取值为：1,0,1-()1221677P X =-==⨯，()4206721P X ===⨯， ()()()13111021P X P X P X ==-=--==则随机变量X 的分布列：101721213EX =-⨯+⨯+⨯=(3) 10μμ> 【点睛】本题考查的是离散型随机变量得分布列及期望，在解题的时候关键是要把概率求正确. 22．（1）715（2）25【解析】 【分析】（1）记事件A 为该生选中月平均收入薪资高于8000元的城市，利用古典概型可得概率()P A ；（2）记2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低于8000元为事件B ，利用古典概型可得概率()P B . 【详解】（1）设该生选中月平均收入薪资高于8000元的城市为事件A ， 15座城市中月平均收入薪资高于8000元的有7个， 所以7()15P A =. （2）月平均收入薪资和月平均期望薪资之差高于1000元的城市有6个， 其中月平均期望薪资高于8000元的有3个，记为1A ，2A ，3A ； 月平均期望薪资低于8000元的有3个，记为1B ，2B ，3B ，选取两座城市所有的可能为：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B 23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，31A B ，32A B ，33A B ，12B B ，13B B ，23B B ，共15种，设2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低于8000元为事件B ， 所以62()155P B ==. 【点睛】本题考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于基础题. 23．（1）m =4，n =6，图见解析 （2）512【解析】 【分析】（1）首先分别求出[10,20)和[20,30)的频率，再计算,m n 即可，根据,m n 的值即可补全频率分布直方图.（2）首先列出年龄在[10,20)，[20,30)的居民中各随机选取1人的所有基本事件，再找到其中仅有一人不知道垃圾分类方法的基本事件个数，由古典概型公式即可求出概率. 【详解】（1）年龄在[10,20)的频数500.084m =⨯=， 年龄在[20,30)的频数为500.126n =⨯=. 频率直方图如图所示：（2）记年龄在区间[10,20)的居民为1234,,,a A A A （其中居民1a 不知道垃圾分类方法）； 年龄在区间[20,30)的居民为123456,,,,,b b B B B B （其中居民12,b b 不知道垃圾分类方法）. 从年龄在[10,20)，[20,30)的居民中各随机选取1人的所有基本事件有：()11,a b ，()12,a b ，()13,a B ，()14,a B ，()15,a B ，()16,a B ，()21,A b ，()22,A b ，()23,A B ，()24,A B ，()25,A B ，()26,A B ，()31,A b ，()32,A b ，()33,A B ，()34,A B ，()35,A B ，()36,A B ，()41,A b ，()42,A b ，()43,A B ，()44,A B ，()45,A B ，()46,A B ，共24个基本事件，其中仅有一人不知道垃圾分类方法的基本事件共有10个， 所以，选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率1052412P ==.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质，同时考查了列举法求基本事件个数和古典概型，属于中档题.24．（Ⅰ） 1.2 1.4=-z t （Ⅱ）预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元 【解析】试题分析：（Ⅰ）由表中的数据分别计算x ，y 的平均数，利用回归直线必过样本中心点即可写出线性回归方程；（Ⅱ）t=x ﹣2010，z=y ﹣5，代入z=1.2t ﹣1.4得到：y ﹣5=1.2（x ﹣2010）﹣1.4，即y=1.2x ﹣2408.4，计算x=2020时，的值即可． 试题解析： （Ⅰ）4553 2.2 1.255ˆ59b -⨯⨯==-⨯， 2.23 1.21ˆ.4a z bt =-=-⨯=-（Ⅱ）2010,5t x z y =-=-，代入得到：()5 1.22010 1.4y x -=--，即 1.22408.4y x =-1.220202408.415.6y ∴=⨯-=，∴ 预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15．6千亿元点睛：求解回归方程问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x ，y )点，可能所有的样本数据点都不在直线上．（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)． 25．（Ⅰ）310；（Ⅱ）710. 【解析】 【分析】列举出所有的基本事件,共有20个, （I ）从中查出第一次取到二等品,且第二次取到的是一等品的基本事件数共有6个,利用古典概型的概率公式可得结果；（II ）事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”,“取到的全是一等品”包括了6个事件，“至少有一次取到二等品”取法有14种, 利用古典概型的概率公式可得结果. 【详解】（I ）令3只一等品灯泡分别为,,a b c ；2只二等品灯泡分别为,X Y . 从中取出2只灯泡，所有的取法有20种，分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a X a Y b a b c b X b Y c a ，，(),c X ，(),c Y ，(),X a ，(),X b ，(),X c ，(),X Y ，(),Y a ，(),Y b ，(),Y c ，(),Y X第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品取法有6种， 分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,X a X b X c Y a Y b Y c ，故概率是632010=； （II ）事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”， “取到的全是一等品”包括了6种分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c b a b c c a c b ， 故“至少有一次取到二等品”取法有14种,事件“至少有一次取到二等品”的概率是1472010=. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 ，(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.26．（1）0.025x=，平均数x 为52，中位数为53.75m =（2）①见解析②35【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积之和为1可得x ，用区间中点值代替可计算均值，中位数把频率分布直方图中小矩形面积等分．（2）①分层抽样，是按比例抽取人数；②年龄在[30,40)有2人，在[40,50)有4人，设在[30,40)的是1a ，2a ，在[40,50)的是1234b , b , b , b ，可用列举法列举出选2人的所有可能，然后可计算出概率． 【详解】（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积之和为1， 得0.025x=在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数为：250.05350.1450.2550.4650.452⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=设中位数为m ，由0.050.10.2(50)0.040.5m +++-⨯=，解得53.75m =.（2）①每组应各抽取人数如下表：。