矩阵及其运算测试题
考研数学三(矩阵及其运算)-试卷1
考研数学三（矩阵及其运算）-试卷1(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A，B是n阶矩阵，则C=的伴随矩阵是（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：由于CC * =｜C｜E=｜A｜｜B｜E，因此应选(D)．另外，作为选择题不妨附加条件A，B可逆，那么3.设A，B，C是n阶矩阵，且ABC=E，则必有（分数：2.00）A.CBA=E．B.BCA=E．√C.BAC=E．D.ACB=E．解析：解析：由ABC=E知A(BC)=(BC)A=E，或(AB)C=C(AB)=E，可见(B)正确．由于乘法不一定能交换，故其余不恒成立．4.设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C=（分数：2.00）A.E．√B.-E．C.A．D.-A．解析：解析：由B-C=(E-A) -1 -A(E-A) -1 =(E-A)(E-A) -1 =E(或B-C=B-AB=E)．故选(A)．二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.已知n阶行列式｜A｜A｜的第k行代数余子式的和A k1 +A k2+…+A kn = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：若依次求每个代数余子式再求和，这很麻烦．我们知道，代数余子式与伴随矩阵A *有密切的联系，而A *与A -1又密不可分．对于A用分块技巧，很容易求出A -1．由于又因A * =｜A｜A -1，那么6.已知(A * ) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由AA * =｜A｜E，有7.已知 A -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：A= =5B -1，求B -1可用公式(2．8.设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=A-2B，(A+2E) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由AB=A-2B有AB+2B=A+2E-2E，得知(A+2E)(E-B)=2E，即(A+2E). (E-B)=E．故(A+2E)-1(E-B)．9.设B=(E+A) -1 (E-A)，则(E+B) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由于B+E=(E+A) -1 (E-A)+E=(E+A) -1 (E-A)+(E+A) -1 (E+A) =(E+A) -1 [(E-A)+(E+A)]=2(E+A)-1，故 (B+E) -1(E+A)．10.如A 3 =0，则(E+A+A 2 ) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：E-A）解析：解析：注意(E-A)(E+A+A 2 )=E-A 3 =E．11.设3阶方阵A，B满足A -1 BA=6A+BA．且B= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由题设知，A可逆．然后在题设关系式两端右乘A -1有：A -1 B=6E+B，在该式两端左乘A，得B=6A+AB．移项得(E-A)B=6A，则B=6(E-A) -1 A．于是由三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(矩阵及其运算)-试卷2
考研数学三（矩阵及其运算）-试卷2(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设n维行向量αA=E-ααT，B=E+2αTα，则AB=（分数：2.00）A.0．B.E．√C.-E．D.E+αTα．解析：解析：AB=(E-αTα)(E+2αTα)=E+2αTα-αTα-2αTααTα=E+αTα-2αT(ααT)α．注意ααT，故AB=E．应选(B)．3.设A是任一n阶矩阵，下列交换错误的是（分数：2.00）A.A * A=AA *．B.A m A p =A p A m．C.A T A=AA T．√D.(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)．解析：解析：因为AA * =A * A=｜A｜E， A m A p =A p A m =A m+p， (A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)=A 2 -E，所以(A)、(B)、(D)均正确．而AA T，故(C)不正确．4.设A，B，A+B，A -1 +B -1均为n阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =（分数：2.00）A.A+B．B.A -1 +B -1．C.A(A+B) -1 B．√D.(A+B) -1．解析：解析：(A -1 +B -1 ) -1 =(EA -1 +B -1 ) -1 =(B -1 BA -1 +B -1 ) -1 =[B -1 (BA -1 +AA -1 )] -1 =[B -1 (B+A)A -1 ] -1 =(A -1 ) -1 (B+A) -1 (B -1 ) -1 =A(A+B) -1 B．故应选(C)．5.设A，B均是n阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）或B=0．且B≠0．A｜=0或｜B｜=0．√A｜≠0且｜B｜≠0．解析：解析：A=≠0，但AB=0，所以(A)，(B)均不正确．又如AB≠0，但｜A｜=0且｜B｜=0．可见(D)不正确．由AB=0有｜AB｜=0，有｜A｜.｜B｜=0．故｜A｜=0或｜B｜=0．应选(C)．注意矩阵A≠0和行列式｜A｜≠0是两个不同的概念，不要混淆．6.设B=（分数：2.00）A.AP 1 P 2B.AP 1 P 3．√C.AP 3 P 1．D.AP 2 P 3．解析：解析：把矩阵A的第2列加至第1列，然后第1，3两列互换可得到矩阵B，表示矩阵A的第2列加至第1列，即AP 1，故应在(A)、(B)中选择．而P 3表示第1和3两列互换，所以选(B)．二、填空题(总题数：12，分数：24.00)7.若 A 2 = 1，A 3 = 2．（分数：2.00）填空项1:__________________8.若 A * = 1，(A * ) * = 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：解析：用定义．A 11 =-3，A 12 =6，A 13 =-3，A 21 =6，A 22 =-12， A 23 =6，A 31 =-3，A 32 =6， A 33 =-3，故因为r(A * )=1，A *的二阶子式全为0，故(A * ) * =0．9.设 A -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）10.设矩阵（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因B=(A+2E)(A+3E)，又=5B -1，故11.设A是n阶矩阵，满足A 2 -2A+E=0，则(A+2E) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由(A+2E)(A-4E)+9E=A 2 -2A+E=0有 (A+2E). (4E-A)=E． (A+2E) -1．12.若(A * ) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为(A * ) -113.若A -1(3A) * = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为(kA) * =k n-1 A *，故(3A) * =3 2 A *，又A * =｜A｜A -1，而从而(3A) * =9A *14.设x= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4或-5）解析：解析：A不可逆｜A｜=0x=4或x=-5．15.设A，B均为3阶矩阵，且满足AB=2A+B，其中B-2E｜= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：由AB-2A-B+2E=2E，有A(B-2E)-(B-2E)=2E，则(A-E)(B-2E)=2E．于是｜A-E｜.｜B-2E｜=｜2E｜=8，而｜A-E｜=-4，所以｜B-2E｜=-2．16.设A 2 -BA=E，其中B= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由于BA=A 2 -E，又A可逆，则有B=(A 2 -E)A -1 =A-A -1．故17.设XA=A T +X，其中X= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由XA-X=A T有X(A-E)=A T，因为A可逆，知X与A-E均可逆．故X=A T (A-E) -118.已知X满足A * X=A -1 +2X，其中A *是A的伴随矩阵，则X= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：左乘A并把AA *=｜A｜E代入得｜A｜X=E+2AX，移项得(｜A｜E-2A)X=E．故X=(｜A｜E-2A)-1．由｜A｜=4知X=(4E-2A) -1三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
矩阵及其运算练习题
第二章 矩阵及其运算 习题 2.1 矩阵及其运算 【基本题】
1 2 1 0 1 4 一、设 A= 3 1 4 ，B= 2 1 3 ，求 0 -1 2 1 2 1
(1) 2A-B； (2) 2A+3B； (3) 满足 A+X=2B 的 X.
9. 设 A, B, C 均为 n 阶方阵， 且 A 可逆， 则下列结论必成立的是 （ ） . (A) 若 AC=BC，则 A=B； (C) 若 BA=CA，则 B=C； (B) 若 BA=O，则 A=O 或 B=O； (D) 若 A1B CA1 ，则 B=C.
A B 10. 设 M ，其中设 A,B,C,D 为 n(n>1)阶方阵，则 MT=（ ）. C D A A C (A) ； (B) T B D B AT CT ； (C) T D B AT CT (D) T ； DT C BT . DT
（1）A T +B; （2）AB;
（3）BA.
二、将矩阵适当分块后计算
2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 2 2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 4 0 1 0 1 1 1 1 1 1 . 1 0 0 1
(3) 设 A 为 3 阶方阵且 A 3 ，求 3 A1 2 A ；
( 5A )1 ；
1 1 1 (4) 设 A1 1 2 1 ，求 ( A )1 ； 1 1 3
线性代数习题集
0 0 1 2 3 0 (5) 设 A 0 4 5 0 0 6
1 3 0 （ 2） 2 6 1 . 0 1 1
上海高二数学矩阵及其运算（有详细答案）精品
上海⾼⼆数学矩阵及其运算（有详细答案）精品上海版⾼⼆上数学矩阵及其运算⼀．初识矩阵（⼀）引⼊：引例1：已知向量()1,3OP =，如果把OP 的坐标排成⼀列，可简记为13??；引例2：2008我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128?? ?；引例3：将⽅程组231324244x y mz x y z x y nz ++=??-+=??+-=?中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441m n ??- ? ?-??；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ??- ? ?-??。
（⼆）矩阵的概念1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ??- ? ?-??这样的矩形数表叫做矩阵。
2、在矩阵中，⽔平⽅向排列的数组成的向量()12,,n a a a 称为⾏向量；垂直⽅向排列的数组成的向量12n b b b ??称为列向量；由m 个⾏向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵，m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ???为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128?? ?为33?阶矩阵，可记做33A ?。
有时矩阵也可⽤A 、B 等字母表⽰。
3、矩阵中的每⼀个数叫做矩阵的元素，在⼀个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）⾏第j （j n ≤）列数可⽤字母ij a 表⽰，如矩阵512128363836232128?? ?第3⾏第2个数为3221a =。
4、当⼀个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。
如000000??为⼀个23?阶零矩阵。
5、当⼀个矩阵的⾏数与列数相等时，这个矩阵称为⽅矩阵，简称⽅阵，⼀个⽅阵有n ⾏（列），可称此⽅阵为n 阶⽅阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ??- ? ?-??均为三阶⽅阵。
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
线性代数-矩阵及其运算习题
设
D−1 = X 11
X 21
n阶矩阵(i, j = 1,2),
X 12 ,其中 X ij 均为 X 22
D
⋅
D−1
=
A C
0 ⋅ X 11 B X 21
X 12 X 22
=
A X 11
A X 12
C X 11 + B X 21 C X 12 + B X 22
= E 0 (E是n阶单位阵) 0 E
典型例题
一、矩阵的运算 二、逆矩阵的运算及证明 三、矩阵的分块运算
一、矩阵的运算
例１ 计算
n − 1 − 1
n −1
n n−1
n n
− 1 2 n
−1 n
−1
−1
−1
n
−
1
n
n
n n n×n
解
n − 1 − 1 − 1 2
n −1
n n−1
−
n 1
n n
n
+ B,证明A可逆 ,并求其逆 .
三、(6分) 设n阶实方阵A ≠ O,且 A∗ = AT ,证明A 可逆. 四、(8分)解下列矩阵方程．
解
X = A−1 B X = BA−1 X = A−1C B−1
三、矩阵的分块运算
例５ 设A, B都是n阶可逆矩阵,证明D = A 0 C B
必为可逆矩阵 , 并求D的逆矩阵 .
证 因为det D = det A ⋅ det B ≠ 0( A, B均可逆,
det A ≠ 0,det B ≠ 0),所以D为可逆矩阵.
其中k是正整数. Ak Al = Ak + l , ( Ak )l = Akl ,
矩阵运算新练习题
（2 ）
( z 3.2)( z 2.6) H ( z) z 5 ( z 8.2)
9.假设描述系统的常微分方程为
y (t ) 13 y(t ) 4 y(t ) 5 y(t ) 2u(t )
(3)
请选择一组状态变量并将此方程在MATLAB工 作空间中表示出来，并求出系统的传递函数和零 极点模型。（提示：几阶微分方程就选几个状态 变量） 10.假设系统的状态空间方程为
6 8 0 A 5 3 2 1 4 3
1 4 2 2 1 2 和B 0 3 1
3 p ( x ) x 2 x 4的根 2.求多项式
3.已知多项式的根分别为1、2、3、4、5，试求此根 的多项式。 4.求多项式 p( x) x5 15x4 85x3 225x2 274x 120 在点x=9处的值。 2 3 2 q ( x ) 2 x x5 5.分别求多项式 p( x) 3x 2x x 8与 的导数及p( x)* q( x) 和 p( x) / q( x) 的导数，并求出p(2) 和 q(2)的值 6.求线性方程的解：要求分别用直接法和LU分解法 求线性方程的解。
11.假设系统由下面的传递函数矩阵给出，试将其输 入到MATLAB工作空间。 0.72 s
0.252e (1 3.3s)3 (1 1800 s) G ( s) 0.0435 3 (1 25.3 s ) (1 360 s)
线性代数课后习题答案第二章矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解)21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k. 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫.用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=θθθθc o s s i ns i n c o s *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθc o s s i ns i n c o s .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X ;解1111012112234311-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111.(4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1. 19.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B ,求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ,且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A ,所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E ,B =-8(A *-2E )-1A -1=-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21,1 ,21(d i a g 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ,且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060006603001010010000161.23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A ,而 01111||||||||==D C B A , 故 |||||||| D C B A DC B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4.解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A .29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====snE BC OBC OAC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛---O A B O O B A O 111.(2)1-⎪⎭⎫⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A .30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.。
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第二章 矩阵及其运算测试题
一、选择题
1.下列关于矩阵乘法交换性的结论中错误的是（ ）。
(A)若A 是可逆阵，则1A -与1A -可交换； (B)可逆矩阵必与初等矩阵可交换；
(C)任一n 阶矩阵与n cE 的乘法可交换，这里c 是常数； (D)初等矩阵与初等矩阵的乘法未必可交换。
2.设n (2n ≥)阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）
(A) 当A a =（0a ≠）时，B a =； (B)当A a =（0a ≠）时，B a =-； (C) 当0A ≠时，0B =； (D)当0A =时，0B =。
3.设A 、B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎛⎫=
⎪⎝⎭
，则*
C =( )。
(A) **00
A B ⎛⎫
⎪⎝⎭ (B) **||00
||A A B B ⎛⎫
⎪⎝⎭ (C) **||00||B A A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) **||||0
0||||A B A A B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
4.设A 、B 是n (2n ≥)阶方阵，则必有（ ）。
(A)A B A B +=+ (B)kA k A = (C)
A
A B B
=- (D) AB A B = 5.设4阶方阵 44(),()||,ij A a f x xE A ⨯==-其中E 是4阶单位矩阵，则()f x 中3
x 的系数为（ ）。
(A)11223344()a a a a -+++ (B)112233112244223344113344a a a a a a a a a a a a +++ (C) 11223344a a a a (D)11223344a a a a +++
6.设A 、B 、A B +、11A B --+均为n 阶可逆矩阵，则1()A B -+为( )。
(A) 11A B --+ (B) A B + (C) 111()A B ---+ (D)11111()B A B A -----+
7.若12312,,,,αααββ都是4维列向量，且4阶行列式
()()12311223,,,,,,,m n αααβααβα==
则4阶行列式()32112,,,(
)αααββ+=。
(A)m n + (B)mn (C)n m - (D)m n -
8.设A 、B 、C 均为可逆矩阵，且ABC E =，则必有( )。
(A)BCA E = (B)CBA E = (C)BAC E = (D)ACB E =
9.设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第1列加到第2列得到的矩阵记为B ，*A 、*B 分别为A 、B 的伴随矩阵，则( )。
(A)将*A 的第1列加到第2列得到*B ； (B)将*A 的第1行加到第2行得到*B ；
(C)将*A 的第2列乘以（-1）加到第1列得到*B ； (D)将*A 的第2行乘以（-1）加到第1行得到*B 。
10.设A 是n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，且A E +可逆。
下列各式中，哪一个不正确的（ ）。
(A)22()()()()A E A E A E A E +-=-+ (B)()()()()T T A E A E A E A E +-=-+ (C)11()()()()A E A E A E A E --+-=-+ (D)**()()()()A E A E A E A E +-=-+
二、填空：
1.设矩阵A 、B ，若AB 有意义，则A 、B 的行数和列数需满
足 ；[]21123⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦= ，431512325701⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
= 。
2.矩阵120132A ⎡⎤
=⎢
⎥-⎣⎦
的转置矩阵是 。
3.设矩阵4321A ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，B 1123B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1123-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,则2T AB A B -= ，
2T B A E -= 。
4.设矩阵A 是n 阶方阵，0,A a =≠则*A = 。
5.方阵A=111221
22a a a a ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
的伴随矩阵为*A = ，已知det()A A =,det(2)A = 。
6.设1225A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，则1A -= ，520
02
10
000120
011B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
-⎢⎥
⎣⎦
，则1B -= 。
7.设矩阵A 、B 均可逆，O A X B O ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，则1X -= 。
8.设100220345A -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，则*1()A -= 。
9.设300140003A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则1(2)A E --= 。
10.A 是3阶方阵，1
2
A =，则1*(3)2A A --= 。
三、计算题
1.已知11
(1,2,3),(1,,),,23
T A αβαβ===求n A 。
2.设100101010A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，证明当3n ≥时，恒有22n n A A A E -=+-，并求100A 。
3.1
P AP -=Λ，其中1411P --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1002-⎡⎤
Λ=⎢⎥
⎣⎦
，求11A 。
4.设210120001A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，求B 。
四、证明题
1.设矩阵A 、B 都是对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充要条件是AB BA =。
2.设0k A =（k 为正整数），证明：121()...k E A E A A A ---=++++。
3.设方阵A 满足，220A A E --=，
证明：A 及A+2E 都可逆，并求1A -及1(2)A E -+。