简易逻辑用语归纳及总结

第二讲 简易逻辑
一、命题：
1、定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句
例题1：以下哪个是命题（ ）
（1）01>-x ；（2）2+3=7；（3）107>；
（4）矩形难道不是平行四边形吗？（5）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根。

（6）这是一棵大树。

（7）他是一个好人。

关键词：能判断真假 陈述句
2、命题的形式：若p 则q 。

例题2：将下列命题改成若p 则q 的形式
（1）实数的平方是一个非负数。

（2）对顶角相等。

（3）已知y x ,为正整数，当1+=x y 时，2,3==x y 。

（4）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除。

（5）偶函数的图像关于y 轴对称。

3、命题的真假：首先是命题才能判断真假
例题3：以下命题哪个是真命题（ ）
（1）若整数a 是质数，则a 是奇数。

%质数也称素数
（2）当2=x 时，0232=+-x x 。

（3）当0232=+-x x 时，2=x 。

（4）若)(x f 是奇函数，则0)0(=f 。

（5）若0)0(=f ，则)(x f 是奇函数。

（6）若集合A 是集合B 的真子集，则集合A 是集合B 的子集。

（7）若集合A 是集合B 的子集，则集合A 是集合B 的真子集。

例题4：以下哪个命题是真命题（ ）
（1）设20π
<<x ，若1sin <x x ，则1sin 2<x x 。

（2）设b a ,为单位向量，若1||=⋅b a ，则b a =。

（3）空间中有四个点，若三个点在同一条直线上，则这四个点在同一个平面上。

（4）若)(x f 是一个幂函数，则)(x f 的图像不过第四象限。

4、四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题
原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 。

否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝
其中：原命题与逆否命题，逆命题与否命题互为逆否命题，且真假性一致。

例题5：写出下列命题的四种命题，并判断真假：
（1）若022=+y x ，则0==y x .
（2）若0=xy ，则y x ,中至少有一个为0
（3）相似三角形的对应角相等。

二、充分条件与必要条件
若q p ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（若p q ⇒，则q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件）
若p q q p ≠>⇒,，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要条件不充分。

（若q p p q ≠>⇒,，则q 是p 的充分不必要条件，p 是q 的必要不充分条件）
若q p ⇔，则p 是q 的充要条件，q 是p 的充要条件。

注：（1）小推大；（2）前充分后必要
★随堂训练：填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件：
（1）“3≠m ”是“3||≠m ”的 。

（2）“3>x ”是“0322>--x x ”的 。

（3）设N M ,是两个集合，则“φ≠⋃N M ”是“φ≠⋂N M ”的 。

（4）对于)(x f ，R x ∈，“|)(|x f y =的图像关于y 轴对称”是“)(x f y =是奇函数”的 。

（5）若b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记b a b a b a --+=22),(ϕ，
那么“0),(=b a ϕ”是“a 与b 互补”的 。

（6）“0≤a ”是“函数|)1(|)(x ax x f -=在),0(+∞内单调递增”的 。

（7）设R a ∈，则“1=a ”是“直线012:1=-+y ax l 与直线042:2=++y x l 平行”的 。

（8）“2
1=m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的 。

（9）“50<<x ”是“3|2|<-x ”的 。

（10）若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的 。

三、简单的逻辑联结词
1、符号及其真假性判断：
且：∧（q p ∧） 一假即假 类似集合中的交集
或：∨（q p ∨） 一真即真 类似集合中的并集
非：⌝（p ⌝
） 类似集合中的补集
例题6：0≠xy 是指（ ）
A.“00≠≠y x 且”
B.“00≠≠y x 或”
C.“y x ,至少有一个不为0”
D.“y x ,不都是0”
例题7：已知命题22:≤p ，命题21:>q ，则下列判断正确的是（ ）
A.q p ∨为真，q p ∧为真，p ⌝为假；
B.q p ∨为真，q p ∧为假，p ⌝为真；
C.q p ∨为假，q p ∧为假，p ⌝为假；
D.q p ∨为真，q p ∧为假，p ⌝为假； 2、命题的否定与否命题的区别：
例题8：写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.
（1）若x 、y 都是奇数，则x +y 是偶数；
（2）若xy =0，则x =0或y =0；
（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.
注：命题的否定是否定命题的结论，而否命题是否定命题的条件和结论。

例题9： 有A 、B 、C 三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.
A 盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，
B 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，
C 盒子上的纸条写的是“苹果不在A 盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？
四、全称量词与存在量词
1、全称量词：全称命题（任意、一切、所有、每一个。

） 恒成立问题
存在量词：特称命题（有~、存在） 存在问题
2、否定：∃↔∀，否定后面的
例题10：下列命题中的假命题是（ ）
A.02
,1>∈∀-x R x B.0)1(,2*>-∈∀x N x C.1lg ,<∈∃x R x D.2tan ,=∈∃x R x
例题11：已知命题,0)))(()((,,:121221≥--∈∀x x x f x f R x x p 则p ⌝是（ ）
A.0)))(()((,,121221≤--∈∃x x x f x f R x x
B.0)))(()((,,121221≤--∈∀x x x f x f R x x
C.0)))(()((,,121221<--∈∃x x x f x f R x x
D.0)))(()((,,121221<--∈∀x x x f x f R x x
例题12：已知命题“01,2≤+-∈∃ax ax R x ”是假命题，求实数a 的取值范围。

★高考真题演练：
（2015年理科3）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（ ）
（A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n
（2013年文科5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ）
A .p q ∧
B .p q ⌝∧
C .p q ∧⌝
D .p q ⌝∧⌝
（2014年文、理科14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.
（2014年理科9）不等式组124
x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题： 1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,
3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.
其中真命题是（ ）
A .2p ，3P
B .1p ，4p
C .1p ，2p
D .1p ，3P。