函数小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
2021年高考数学三轮冲刺小题练习12《函数与方程》(含答案详解)
2021年高考数学三轮冲刺小题练习12《函数与方程》一、选择题1.设a ，b ，c 均为正数，且2a =log 0.5a ，(0.5)b =log 0.5b ，(0.5)c=log 2c ，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c 2.已知函数f(x)=|2x -2|+b 的两个零点分别为x 1,x 2(x 1>x 2),则下列结论正确的是( ) A.1<x 1<2,x 1+x 2<2 B.1<x 1<2,x 1+x 2<1 C.x 1>1,x 1+x 2<2 D.x 1>1,x 1+x 2<13.已知函数f(x)=2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f(x 0)=0，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－3)∪(1，＋∞)B.(－∞，－3)C.(－3,1)D.(1，＋∞)4.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧3|x －1|，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0，若关于x 的方程[f(x)]2＋(a －1)f(x)－a=0有7个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.[1,2]B.(1,2)C.(－2，－1)D.[－2，－1] 5.下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A.y=log 12xB.y=2x －1C.y=x 2－12D.y=－x 36.函数f(x)=ln(x ＋1)－1x的一个零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)7.函数f(x)=x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A.(2，＋∞)B.[2，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，1038.已知a ，b ，c ，d 都是常数，a>b ，c>d.若f(x)=2 021－(x －a)(x －b)的零点为c ，d ，’则下列不等式正确的是( )A.a>c>b>dB.a>b>c>dC.c>d>a>bD.c>a>b>d9.定义在R 上的奇函数f(x)满足条件f(1＋x)=f(1－x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，若函数g(x)=|f(x)|－ae －|x|在区间[－2 018,2 018]上有4 032个零点，则实数a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(e ，e 3)C.(e ，e 2)D.(1，e 3)10.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，xln x ，x ＞0，g(x)=kx －1，若方程f(x)－g(x)=0在x ∈(－2，e)时有3个实根，则k 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e ，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 11.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(2－x)=f(x)，且当x ∈[1,2]时，f(x)=ln x －x ＋1，若函数g(x)=f(x)＋mx 有7个零点，则实数m 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26B.⎝⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，1－ln 28 12.已知函数f(x)=－2x 2＋1，函数g(x)=⎩⎨⎧≤>+0,20),1(log 2x x x x ，则函数y=|f(x)|－g(x)的零点的个数为( )A.3B.4C.5D.613.定义在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，π上的函数f(x)满足f(x)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1时，f(x)=ln x ， 若函数g(x)=f(x)－ax 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，π上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ln ππ，0 B.[－πln π，0] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1e ，ln ππ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e π，－1π 14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x<0时，f(x)=(x ＋1)e x.则对任意的m ∈R ，函数F(x)=f[f(x)]－m 的零点至多有( )A.3个B.4个C.6个D.9个 二、填空题 15.设函数f(x)=(1)若a=1,则f(x)的最小值为 ;(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 .16.已知函数f(x)=1＋x －x 22＋x 33，g(x)=1－x ＋x 22－x33，设函数F(x)=f(x －4)·g(x ＋3)，且函数F(x)的零点均在区间[a ，b](a<b ，a ，b ∈Z)内，则b －a 的最小值为_______.17.对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b=⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b ＜1.设f(x)=(x 2－1)⊗(4＋x)，若函数g(x)=f(x)＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是 .18.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧|lg －x |，x<0，x 2－6x ＋4，x ≥0，若关于x 的方程f 2(x)－bf(x)＋1=0有8个不同的实数根，则实数b 的取值范围是________.19.设a ，b ∈R ，若函数f(x)=x ＋ax＋b 在区间(1,2)上有两个不同的零点，则f(1)的取值范围为________.20.设函数f(x)=若f(x)恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 .答案解析1.答案为：A ；解析：法一：分别作出四个函数y=(0.5)x ，y=log 0.5x ，y=2x，y=log 2x 的图象， 由图象知：a<b<c ，故选A.法二：∵a>0，∴2a>1，∴log0.5a>1，∴0<a<12.∵b>0，∴0<(0.5)b<1，∴0<log 0.5b<1，∴12<b<1.∵(0.5)c>0，∴log 2c>0，∴c>1，∴0<a<12<b<1<c ，故选A.]2.答案为：A ；解析：函数f(x)=|2x-2|+b 有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b 的图象有两个交点,交点的横坐标就是x 1,x 2(x 2<x 1),在同一坐标系中画出y=|2x -2|与y=-b 的图象(如图), 可知1<x 1<2.当y=-b=2时,x 1=2,两个函数图象只有一个交点,当y=-b<2时,由图可知x 1+x 2<2. 3.答案为：A ；解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0， 解得a<－3或a>1，故选A.] 4.答案为：C ；解析：函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧3|x －1|，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0的图象如图：关于x 的方程[f(x)]2＋(a －1)f(x)－a=0有7个不等的实数根，即[f(x)＋a][f(x)－1]=0有7个不等的实数根，易知f(x)=1有3个不等的实数根， ∴f(x)=－a 必须有4个不相等的实数根，由函数f(x)的图象可知－a ∈(1,2)， ∴a ∈(－2，－1).故选C. 5.答案为：B ；解析：函数y=log 12x 在定义域上单调递减，y=x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y=－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求.对于y=2x－1，当x=0∈(－1,1)时，y=0且y=2x－1在R 上单调递增，故选B.6.答案为：B ；解析：∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)=ln2－1＜0，f(2)=ln3－12＞0，∴f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B. 7.答案为：D ；解析：由题意知方程ax=x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a=x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t=x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103. 8.答案为：D ；解析：f(x)=2 021－(x －a)(x －b)=－x 2＋(a ＋b)x －ab ＋2 021， 又f(a)=f(b)=2 021，c ，d 为函数f(x)的零点，且a>b ，c>d ， 所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象， 如图所示，由图可知c>a>b>d ，故选D.]9.答案为：B ；解析：f(x)满足条件f(1＋x)=f(1－x)且为奇函数，则f(x)的图象关于x=1对称， 且f(x)=f(2－x)，f(x)=－f(－x)，∴－f(－x)=f(2－x)，即－f(x)=f(2＋x)， ∴f(x ＋4)=f(x)，∴f(x)的周期为4.令m(x)=|f(x)|，n(x)=ae －|x|，画出m(x)、n(x)的图象如图，可知m(x)与n(x)为偶函数，且要使m(x)与n(x)图象有交点，需a ＞0， 由题意知要满足g(x)在区间[－2 018，2 018]上有4 032个零点，只需m(x)与n(x)的图象在[0,4]上有两个交点，则⎩⎪⎨⎪⎧m 1＜n 1，m 3＞n 3，可得e ＜a ＜e 3，故选B. 10.答案为：D ；解析：由题意得f(0)=0，g(0)=－1，则x=0不是方程f(x)－g(x)=0的实数根，又f(x)－g(x)=0，所以f(x)－kx ＋1=0，即k=f x ＋1x(x ≠0).令h(x)=fx ＋1x ，则h(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ＋4，x ＜0，ln x ＋1x，x ＞0，故方程f(x)－g(x)=0在x ∈(－2，e)时有3个实数根，即直线y=k 与h(x)的图象在x ∈(－2，e)上有3个交点. 函数h(x)在(－2，e)上的图象如图所示，可得k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.故选D.] 11.答案为：A ；解析：(数形结合思想)函数g(x)=f(x)＋mx 有7个零点， 即函数y=f(x)的图象与y=－mx 的图象有7个交点.当x ∈[1,2]时，f(x)=ln x －x ＋1，f ′(x)=1x －1=1－xx≤0，此时f(x)单调递减，且f(1)=0，f(2)=ln 2－1.由f(2－x)=f(x)知函数图象关于x=1对称， 而f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f(x)=f[－(2－x)]=f(x －2)， 故f(x ＋2)=f(x)，即f(x)是周期为2的函数.易知m ≠0，当－m<0时，作出函数y=f(x)与y=－mx 的图象，如图所示.则要使函数y=f(x)的图象与y=－mx 的图象有7个交点，需有⎩⎪⎨⎪⎧－8m<f8－6m>f 6，即⎩⎪⎨⎪⎧－8m<ln 2－1－6m>ln 2－1，解得1－ln 28<m<1－ln 26.同理，当－m>0时，可得ln 2－16<m<ln 2－18.综上所述，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26.]12.答案为：C ；解析：(数形结合思想)函数y=|f(x)|－g(x)的零点的个数，即|f(x)|－g(x)=0的根的个数，可得|f(x)|=g(x)，画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图所示，观察函数的图象，知它们的交点为5个，即函数的零点个数为5，选C.13.答案为：B ；解析：令x ∈[1，π]，则1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1，因为f(x)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1时， f(x)=ln x ，所以f(x)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =－ln x ，则f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1，－ln x ，x ∈[1，π]，在坐标系中画出函数f(x)的图象如图：因为函数g(x)=f(x)－ax 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，π上有零点， 所以直线y=ax 与函数f(x)的图象有交点，由图得，当a 取满足题意的最小值时，直线y=ax 与f(x)的图象相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1π，－ln π，此时－ln π=a π⇒a=－πln π， 由图可得，实数a 的取值范围是[－πln π，0].故选B.] 14.答案为：A ；解析：当x<0时，f ′(x)=(x ＋2)e x，由此可知f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，f(－2)=－e －2，f(－1)=0，且当x →0时，f(x)→1.又因为f(x)是定义在R 上的奇函数，故f(0)=0.而当x ∈(－∞，－1)时，f(x)<0， 所以f(x)的图象的草图如图所示.令t=f(x)，则F(x)=0⇔f(t)=m ， 由图可知，当t ∈(－1,1)时，方程f(x)=t 至多有3个根， 当t ∉(－1,1)时，方程f(x)=t 没有根，而对任意m ∈R ，方程f(t)=m 至多有一个根t ∈(－1,1)， 从而函数F(x)=f[f(x)]－m 的零点至多有3个.故选A.]15.答案为：(1)-1 (2)≤a<1或a ≥2；解析:(1)当a=1时,f(x)=当x<1时,f(x)=2x -1为增函数,f(x)>-1, 当x>1时,f(x)=4(x-1)(x-2)=4(x 2-3x+2)=-1,当1<x<时,函数单调递减,当x>时,函数单调递增, 故当x=时,f(x)min =f()=-1,(2)设h(x)=2x -a,x<1,g(x)=4(x-a)(x-2a),x ≥1, 令h(x)=0,则2x =a,因为x<1,所以0<2x <2, 即当0<a<2时,函数h(x)有一个零点;令g(x)=0,易知函数g(x)的零点与x=a,x=2a 有关. 当a ≤0时,g(x)无零点;当a>0时,若2a<1时,即0<a<时,g(x)无零点. 若a<1≤2a 时,即≤a<1时,g(x)有一个零点. 若a ≥1时,g(x)有两个零点,综上所述,可知当≤a<1或a ≥2时,函数f(x)恰有2个零点.16.答案为：6；解析：因为函数f(x)=1＋x －x 22＋x 33，f ′(x)=1－x ＋x 2>0，所以g(x)在R 上单调递增.而f(0)=1>0，f(－1)=1－1－12－13<0，所以函数f(x)在区间(－1,0)内有零点.所以函数f(x －4)在[3,4]上有一个零点，函数g(x)=1－x ＋x 22－x33，g ′(x)=－1＋x －x 2<0.所以g(x)在R 上单调递减，而g(1)=1－1＋12－13>0，g(2)=1－2＋2－83<0.所以函数g(x)在区间(1,2)内有零点.所以函数g(x ＋3)在[－2，－1]上有一个零点.函数F(x)=f(x －4)·g(x ＋3)， 所以函数F(x)的零点在区间[－2,4]内，则b －a 的最小值为6.] 17.答案为：[－2,1)；解析：解不等式x 2－1－(4＋x)≥1，得x ≤－2或x ≥3，所以f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈－∞，－2]∪[3，＋∞，x 2－1，x ∈－2，3.函数g(x)=f(x)＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点转化为函数f(x)的图象和直线y=－k 恰有三个不同的交点.作出函数f(x)的图象如图所示，所以－1＜－k ≤2，故－2≤k ＜1.18.答案为：⎝⎛⎦⎥⎤2，174；解析：令t=f(x)，则方程f 2(x)－bf(x)＋1=0可化为t 2－bt ＋1=0. 如图所示.作出函数f(x)的图象和直线y=t.根据图象可知， 当t>4或t=0时，方程t=f(x)有3个不同的实数根； 当0<t ≤4时，方程t=f(x)有4个不同的实数根； 当－5<t<0时，方程t=f(x)有2个不同的实数根； 当t=－5时，方程t=f(x)有1个实数根； 当t<－5时，方程t=f(x)无实数根.由方程f 2(x)－bf(x)＋1=0有8个不同的实数根可知，方程t 2－bt ＋1=0有两个不等的实数根存在，且都在区间(0,4]内.令g(t)=t 2－bt ＋1，有⎩⎪⎨⎪⎧g 0＝1>0，g 4＝17－4b ≥0，Δ＝b 2－4>0，0<b 2<4，解得b ∈⎝⎛⎦⎥⎤2，174.19.答案为：(0,1)；解析：函数f(x)=x ＋ax＋b 在区间(1,2)上有两个不同的零点，即方程x 2＋bx ＋a=0在区间(1,2)上两个不相等的实根，即⎩⎪⎨⎪⎧1<－b2<2，b 2－4a>0，1＋a ＋b>0，4＋2b ＋a>0，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧－4<b<－2，b 2>4a ，1＋a ＋b>0，4＋2b ＋a>0，如图，阴影部分为数对(a ，b)所表示的区域，目标函数z=f(1)=a ＋b ＋1，z=a ＋b ＋1过点(1，－2)时，z=0， z=a ＋b ＋1过点(4，－4)时，z=1，所以f(1)的取值范围为(0,1). 20.答案为：[,]∪[3,+∞)解析:若x<1时,函数h(x)=3x -a 有一个零点,则0<a<3, 而此时函数g(x)=π(x-3a)(x-2a)只有一个零点,所以解得≤a<,若x<1时,函数h(x)=3x -a 没有零点,则a ≤0或a ≥3, 函数g(x)=π(x-3a)(x-2a)必有两个零点,所以a ≥3,综上,a ∈[,)∪[3,+∞).。
2023届高考数学重点专题三轮冲刺双空题小题压轴练(解析版)
双空题小题压轴练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)1.(2023秋·广东清远·高三统考期末)设函数f x =-x 2+4x ,x ≤4,log 2x -4 ,x >4, 若关于x 的方程f x =t 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3x 4-4x 3+x 4 =，2+x 1 2-x 2 +4x 3+14x 4的最小值为.【答案】 -15 15【分析】画出f x 的图象，结合图象求得x 1，x 2，x 3，x 4的关系式，根据基本不等式求得正确答案.【详解】画出f x 的图象如下图所示.由图可知x 1+x 2=4，其中x 2>2>x 1>0.因为-log 2x 3-4 =log 2x 4-4 ，即x 3-4 x 4-4 =1，整理得x 3x 4-4x 3+x 4 =-15.且x 4>5>x 3>4，所以2+x 1 2-x 2 =-2+x 1 -2+x 2 ≥-2+x 1-2+x 222=-4，当且仅当2+x 1=-2+x 2,x 1=2-2,x 2=2+2时等号成立，此时t =2，又因为4x 3+14x 4=4x 3-4 +14x 4-4 +17≥24x 3-4 ⋅14x 4-4 +17=19，当且仅当4x 3-4 =14x 4-4 ,x 3=174,x 4=8时等号成立，此时t =2.所以2+x 1 2-x 2 +4x 3+14x 4的最小值为-4+19=15.故答案为：-15；15【点睛】解决含有绝对值的对数函数的问题，可结合函数图象来进行研究.求解最值问题，可考虑利用基本不等式或二次函数的性质来进行求解.二次函数的图象具有对称性.2.(2023春·广东惠州·高三校考阶段练习)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，过其焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点(点P 在第一象限)，PF =3FQ ，则直线l 的斜率为若FQ =1，点A 为抛物线C 上的动点，且点A 在直线l 的左上方，则△APQ 面积的最大值为.【答案】33【分析】空1：设直线l 的方程为x -p2=my ，联立抛物线方程得到韦达定理式，根据线段比例关系得到两交点纵坐标关系，联立即可解出斜率；空2：根据三角形底为弦长PQ，若面积最大，则高最大，则点A到直线l的距离最大，则转化为直线与抛物线相切的问题.【详解】设直线l的方程为x-p2=my，P x1,y1，Q x2,y2，联立抛物线方程y2=2px p>0得y2-2pmy-p2=0，故y1+y2=2pm①，y1y2=-p2②，∵|PF|=3|FQ|，则y1=-3y2，代入②式得-3y22=-p2，解得y2=±33p，∵P在第一象限，故Q在第四象限，故y1>0,y2<0，故y2=-33p，y1=3p，则y1+y2=3p-33p=2pm，解得m=33，故直线l的斜率k=3，∵y22=2px2，即13p2=2px2，则x2=16p，若|FQ|=1，则|FQ|=16p+p2=1，则p=32，故抛物线方程为y2=3x，此时y1=332，x1=94，x2=16p=14，而PQ=x1+x2+p=14+94+32=4，若要△APQ的面积最大，则只需将直线沿着左上方平移直至与抛物线相切，此时切点位置即为A点位置，故设切线方程为：x-t=33y，t<33，将切线方程与抛物线方程联立得y2-3y-3t=0，则Δ=3+12t=0，解得t=-14，此时切线方程为：x-33y+14=0，直线l的方程为x-33y-34=0，则两直线的距离d=14+341+13=32，此时△APQ面积最大值为12×4×32=3.故答案为：3；3.【点睛】结论点睛：设抛物线方程为y2=2px p>0，若倾斜角为α直线l经过焦点F交抛物线于P x1,y1,Q x2,y2，则有以下结论：(1)x1x2=p24；(2)y1y2=-p2；(3)PQ=2psin2α=x1+x2+p.3.(2023·广东深圳·统考一模)设a>0，A2a,0，B0,2，O为坐标原点，则以OA为弦，且与AB相切于点A的圆的标准方程为；若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P(该点称为直角△OAB 的Brocard 点)，则点P 横坐标x 的最大值为．【答案】 x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 445##0.8【分析】以OA 为弦的圆的圆心记作D ，易得圆心在线段OA 的垂直平分线，且通过DA ⊥AB 可得k DA =a ，得到直线DA 的方程即可求出圆的方程；先求出以OB 为直径的⊙C ，然后两圆进行相减得到公共弦方程y =aa 2+1x ，代入⊙C 可得点P 横坐标x =2a 2+1a+a a 2+1，然后用对勾函数即可求得最值【详解】以OA 为弦的圆的圆心记作D ，且圆心在线段OA 的垂直平分线x =a 上，⊙D 与直线AB 相切于A ，则DA ⊥AB ，由k AB =2-00-2a =-1a可得k DA =a ，所以直线DA 为y =a x -2a ，将x =a 代入直线DA 可得圆心为D a ,-a 2 ，r D =AD =2a -a2+0+a 2 2=a 2+a 4，所以所求的圆的标准方程为x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 4①；以OB 为直径的圆的圆心C 0,1 ，半径为1，则⊙C 的方程为x 2+y -1 2=1②，①-②可得-2ax +2a 2+1 y =0，即y =aa 2+1x 为⊙C 与⊙D 的公共弦所在直线的方程，将y =a a 2+1x 代入⊙C 可得1+aa 2+12x 2-2a a 2+1x =0，因为交点P 在第一象限，所以x ≠0，所以x =2a 2+1a+aa 2+1，令m =a 2+1a =a +1a ≥2，(当且仅当a =1时取等号)则1m =aa 2+1所以交点P 的横坐标x =2m +1m ,m ≥2由对勾函数可得y =m +1m 在2,+∞ 内单调递增，所以当m =2时，y =m +1m取得最小值，为52，所以交点P 的横坐标的最大值为x =252=45故答案为：x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 4；45【点睛】关键点睛：本题的关键是求出交点P 的横坐标x =2a 2+1a+a a 2+1后，利用换元法、构造函数法，结合对勾函数的单调性进行解题.4.(2023秋·广东·高三校联考阶段练习)数学家康托(Cantor )在线段上构造了一个不可数点集--康托三分集.将闭区间0,1 均分为三段，去掉中间的区间段13,23，余下的区间段长度为a 1；再将余下的两个区间0,13，23,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为a 2.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，余下的区间集合即为康托三分集，记数列a n 表示第n 次操作后余下的区间段长度.(1)a 4=；(2)若∀n ∈N *，都有n 2a n ≤λa 4恒成立，则实数λ的取值范围是.【答案】1681； 503,+∞ .【分析】由题意直接求出a 1，a 2，a 3，a 4.归纳出数列a n 为等比数列，求出a n =23n.利用分离常数法得到λ≥n 2⋅23n -4.记g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗ ，判断出单调性，求出g 5 =503最大，即可求出λ的取值范围.【详解】由题意可知：a 1=23，a 2=a 1×23=232，a 3=a 2×23=233，a 4=a 3×23=234.所以a 4=1681.所以数列a n 为首项a 1=23，公比q =23的等比数列，所以a n =a 1×q n -1=23n.因为∀n ∈N *，都有n 2a n ≤λa 4恒成立，且a 4=1681，所以λ≥n 2⋅23n⋅8116=n 2⋅23n -4恒成立，只需λ≥n 2⋅23n -4max记g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗ ，显然，g n >0.所以g n +1g n =n +1 2⋅23 n +1-4n 2⋅23n -4=2n +1 23n2.令g n +1 g n ≤1，即2n +1 23n2≤1，即n 2-4n -2≥0，解得：n ≥2+6.因为n ∈N ∗，所以n ≥2+6，可以取包含5以后的所有正整数，即n ≥5以后g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗递减.而g 1 =12⋅231-4=278,g 2 =22⋅232-4=9,g 3 =32⋅233-4=812,g 4 =42⋅234-4=16,g 5 =52⋅235-4=503，所以g 1 <g 2 <g 3 <g 4 <g 5 .综上所述：当n =5时，g 5 =503最大.所以λ≥503，所以实数λ的取值范围是503,+∞ .故答案为：1681；503,+∞.【点睛】求数列最值的方法：(1)利用函数单调性求出最值；(2)利用数列的性质求出最大项或最小项.5.(2023·广东湛江·统考一模)已知函数f x =2x +1，记f 2x =f f x =22x +1 +1=4x +3为函数f x 的2次迭代函数，f 3x =f f f x =42x +1 +3=8x +7为函数f x 的3次迭代函数，⋯，依次类推，f nx =f f f ⋅⋅⋅f x ⋅⋅⋅ n 个为函数f x 的n 次迭代函数，则f nx =；f 10032 除以17的余数是．【答案】 2n x +1 -1 0【分析】第一空，根据题意结合等比数列的前n 项和公式即可推出f nx 的表达式；第二空，将f 10032 化为33×17-125-1，利用二项式定理展开，化简即可求得答案.【详解】由题意，f nx =2nx +2n -1+2n -2+⋅⋅⋅+20=2nx +1-2n1-2=2n x +1 -1，所以f 10032 =33×2100-1=33×1625-1=33×17-1 25-1=33C 25251725-C 24251724+C 23251723-C 22251722+⋯+C 12517-1 -1=33C 25251725-C 24251724+C 23251723-C 22251722+⋯+C 12517 -34=1733C 25251724-C 24251723+C 23251722-C 22251721+⋯+C 125 -2又33C 25251724-C 24251723+C 23251722-C 22251721+⋯+C 125 -2为正整数，所以f 10032 除以17的余数为0，故答案为：2n x +1 -1;0【点睛】关键点睛：解答本题中函数迭代问题，要结合题设找到迭代规律，即可求出函数表达式，解决余数问题的关键在于将f 10032 利用二项式定理展开化简转化为17的倍数的形式，即可求得答案.6.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模)如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与双曲线x 2m 2-y 2n 2=1m >0,n >0 有公共焦点F 1-c ,0 ，F 2c ,0 c >0 ，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，点P 为两曲线的一个公共点，且∠F 1PF 2=60°，则1e 21+3e 22=；I 为△F 1PF 2的内心，F 1,I ,G 三点共线，且GP ⋅IP =0，x 轴上点A ,B 满足AI =λIP ，BG =μGP ，则λ2+μ2的最小值为．【答案】 4 1+32【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出PF 1 ,PF 2 ，在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；第二空：由I 为△F 1PF 2的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出λ =e 1及μ =e 2，代入λ2+μ2中利用基本不等式求最值即可.【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为F 1F 2 =2c ，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨设点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义：PF 1 -PF 2 =2m ，由椭圆的定义：PF 1 +PF 2 =2a ，可得：PF 1 =m +a ,PF 2 =a -m ，又∠F 1PF 2=60°，由余弦定理得：PF 12+PF 2 2-PF 1 ⋅PF 2 =FF 2 2=4c 2，即m +a 2+a -m 2-m +a ⋅a -m =4c 2，整理得：a 2+3m 2=4c 2，所以：a 2c 2+3m 2c 2=4⇒1e 21+3e 22=4；②I 为△F 1PF 2的内心，所以IF 2为∠PF 1F 2的角平分线，则有PF 1 AF 1=IP AI，同理：PF 2AF 2=IP AI，所以PF 1 AF 1 =PF 2 AF 2=IP AI，所以IP AI=PF 1 +PF 2 AF 1 +AF 2=2a 2c =1e 1，即AI =e 1IP ，因为AI =λIP，所以AI =λ IP ，故λ =e 1，I 为△F 1PF 2的内心，F 1,I ,G 三点共线，即F 1G 为∠PF 1B 的角平分线，则有GB PG=BF 2 PF 2=BF 1 PF 1，又BF 2 ≠BF 1 ，所以BGPG =BF 1 -BF 2PF 1 -PF 2=2c2m =e 2，即BG =e 2GP ，因为BG =μGP ，所以BG =μ GP ，故μ =e 2，所以λ2+μ2=e 21+e 22=14e 21+e 22 1e 21+3e 22=141+3+3e 21e 22+e 22e 21≥144+23e 21e 22⋅e 22e 21=1+32，当且仅当3e 21e 22=e 22e 21⇒e 2=3e 1时，等号成立，所以λ2+μ2的最小值为1+32，故答案为：4，1+32.【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，(1)直接法：由题意知道a ,c 利用公式求解即可；(2)一般间接法：由题意知道a ,b 或b ,c 利用a ,b ,c 的关系式求出a ,c ，在利用公式计算即可；(3)齐次式方程法：建立关于离心率e 的方程求解.7.(2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试)侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，⋯，往里第n 个正方形为A n B n C n D n ．那么第7个正方形的周长是，至少需要前个正方形的面积之和超过2．(参考数据：lg2=0.301，lg3=0.477)．【答案】5007294【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n 项和公式进行求解.【详解】因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，且外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，所以A 2B 1=23，B 2B 1=13,由勾股定理有：A 2B 2=A 2B 1+B 1B 2=232+132=53，设第n 个正方形A n B n C n D n 的边长为l n ，则l 1=1，l 2=23l 12+13l 1 2=53l 1，⋯⋯，l n =23l n -12+13l n -1 2=53l n -1，所以l n =53n -1l 1=53n -1，所以第7个正方形的周长是4l 7=4×536=4×5336=4×125729=500729，第n 个正方形的面积为ln 2=532n -2=59n -1，则第1个正方形的面积为l 12=59=1，则第2个正方形的面积为l 22=591=59，则第3个正方形的面积为l 32=59 2，⋯⋯则第n 个正方形的面积为l n 2=59n -1，前n 个正方形的面积之和为S n =1+591+⋯+59n -1=1-59 n1-59=941-59n，当n =1时，S 1=941-591=1，当n =2时，S 2=941-592=149，当n =3时，S 3=941-593=15181，当n =4时，S 4=941-594=1484729>2，所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2．故答案为：500729，4.8.(2023春·云南曲靖·高三宣威市第三中学校考阶段练习)△ABC 中，AB =AC =3,BC =2，沿BC 将△ABC 折起到△PBC 位置，P 点不在△ABC 面内，当三棱锥P -ABC 的体积最大时，三棱锥P -ABC 的外接球半径是；当PA =2时，三棱锥P -ABC 的外接球表面积是.【答案】654 15815π【分析】根据图形，得出面ABC 外接圆的半径为r ，而后利用勾股定理求出三棱锥P -ABC 的外接球半径；结合余弦定理，二倍角公式以及同角关系，求出OE ，再由勾股定理得出R 2，进而求出三棱锥P -ABC 的外接球表面积.【详解】由题知，取BC 中点D ，连接AD ，PD ，设△ABC 的外接圆的圆心为E ，△PBC 的外接圆的圆心为F ，三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，连接OE ，OF 如图所示，要使三棱锥P -ABC 的体积最大时，即要使得点P 到平面ABC 的距离最大，只有当平面ABC ⊥平面PBC 时，体积最大，即点P 到BC 的距离最大，三棱锥体积最大.此时，四边形OEDF 是正方形，假设△ABC 外接圆的半径为r ，则在△BDE 中，由勾股定理得：r 2-1+r =AD =22，解得r =928，所以OE =DF =DE =r 2-1=728，∴R =OE 2+r 2=654.当PA =2时，由上述可知，结合余弦定理cos ∠EDF =8+8-22×22×22=78，由二倍角公式cos ∠ODE =154，∴tan ∠ODE =1515，∴OE =1515×728=730120，∴R 2=OE 2+r 2，∴三棱锥P -ABC 的外接球表面积为S =4πR 2=158π15.故答案为：654；158π15.9.(2023春·云南·高三校联考开学考试)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点M ，N 的距离之比为定值λ(λ≠1,λ>0)的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0),N (4,0)，点P 满足|PM ||PN |=12．则点P 的轨迹方程为；在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，且SA =3,BC =6,AC =2AB ，该三棱锥体积的最大值为．【答案】 (x +4)2+y 2=16 12【分析】利用求点的轨迹方程的步骤及两点间的距离公式即可求解；根据已知条件及阿波罗尼斯圆的特点，结合棱锥的体积公式即可求解.【详解】设P (x ,y ),|PM ||PN |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，所以x 2+8x +y 2=0，即(x +4)2+y 2=16，所以点P 的轨迹方程为(x +4)2+y 2=16；三棱锥的高为SA =3，当底面△ABC 的面积最大值时，三棱锥的体积最大，BC =6，AC =2AB ，取BC 靠近B 的一个三等分点为坐标原点O ，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，不妨取B (-2,0),C (4,0)，由题设定义可知A (x ,y )的轨迹方程为(x +4)2+y 2=16，所以A 在圆(x +4)2+y 2=16的最高点处(-4,4)，S △ABC =12×6×4=12，此时，V S -ABC max =13×3×12=12．故答案为：(x +4)2+y 2=16；12.【点睛】解决此题的关键是第一空主要利用求点的轨迹方程的步骤即可；第二空要使该三棱锥体积的最大值，只需要将问题转化为求底面△ABC 的面积最大值，再利用阿波罗尼斯圆的特点即可.10.(2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知抛物线E ：x 2=2py p >0 的焦点为F ，现有不同的三点A ，B ，C 在抛物线E 上，且AF +BF +CF =0，AF +BF +CF=12，则p 的值是；若过点P 1,-2 的直线PM ，PN 分别与抛物线E 相切于点M ，N ，则MN =.【答案】 4172##8.5【分析】根据向量的坐标运算化简可得y A +y B +y C =32p ，再利用抛物线的定义求出p ，根据切线的方程可求出直线MN 的方程，根据直线过焦点利用弦长公式y 1+y 2+p 求解.【详解】设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ),F 0,p2，则AF +BF +CF =-x A -x B -x C ,p 2-y A +p 2-y B +p2-y C =0,∴p 2-y A +p 2-y B +p 2-y C =0，即y A +y B +y C =32p ，又AF +BF +CF =y A +p 2+y B +p 2+y C +p 2=32p +32p =3p =12，解得p =4.设M (x 1,y 2),N (x 2,y 2)，由x 2=8y 可得y =x4，则k PM =x 14,k PN =x 24，所以直线PM 的方程为y -y 1=x14(x -x 1),即x 1x =4(y +y 1)①，同理直线PN 的方程为x 2x =4(y +y 2)②由直线均过点P 可得x 1=4(-2+y 1)，x 2=4(-2+y 2)，即直线MN 的方程为x =4(-2+y )，过焦点F (0,2)，联立x 2=8y x =4(-2+y ) ，消元得2y 2-9y +8=0，所以y 1+y 2=92，∴MN =y 1+y 2+p =92+4=172，故答案为：4；17211.(2023·安徽淮北·统考一模)已知双曲线C ：x 22-y 26=λ过点5,3 ，则其方程为，设F 1，F 2分别为双曲线C 的左右焦点，E 为右顶点，过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(其中点A 在第一象限)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME -NE 的取值范围是．【答案】 x 24-y 212=1 -433,433【分析】①将点代入方程中求出λ，即可得答案；②据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆与x 轴切于双曲线的右顶点E ，设直线AB 的倾斜角为θ，可用θ表示ME -NE ，根据A ,B 两点都在右支上得到θ的范围，利用θ的范围可求得ME -NE 的取值范围【详解】①由双曲线C ：x 22-y 26=λ过点5,3 ，所以52-36=λ⇒λ=2所以方程为x 24-y 212=1②如图：设△AF 1F 2的内切圆与AF 1,AF 2,F 1F 2分别切于H ,D ,G ，所以|AH |=|AD |,|HF 1|=|GF 1|,|DF 2|=|GF 2|，所以|AF 1|-|AF 2|=|AH |+|HF 1|-|AD |-|DF 2|=|HF 1|-|DF 2|=|GF 1|-|GF 2|=2a ，又|GF 1|+|GF 2|=2c ，所以|GF 1|=a +c ,|GF 2|=c -a ，又|EF 1|=a +c ,|EF 2|=c -a ，所以G 与E (a ,0)重合，所以M 的横坐标为a ，同理可得N 的横坐标也为a ，设直线AB 的倾斜角为θ.则∠EF 2M =π-θ2，∠EF 2N =θ2，|ME |-|NE |=c -a tan π-θ2-c -a tanθ2=c -a ⋅sin π2-θ2 cos π2-θ2 -sin θ2cos θ2=c -a ⋅cos θ2sin θ2-sin θ2cos θ2 =(c -a )⋅cos 2θ2-sin 2θ2sin θ2⋅cos θ2=c -a 2cos θsin θ，当θ=π2时，|ME |-|NE |=0，当θ≠π2时，由题知，a =2.c =4.ba=3.因为A ,B 两点在双曲线的右支上，∴π3<θ<2π3，且θ≠π2，所以tan θ<-3或tan θ>3，∴-33<1tan θ<33.且1tan θ≠0，ME -NE =4-2 ⋅2tan θ=4tan θ∈-433,0 ∪0,433，综上所述，|ME |-|NE |∈-433,433.故①答案为：x 24-y 212=1;-433,433【点睛】关键点点睛：第一问相对简单，代点求出即可；第二问难度较大，主要根据圆的切线长定理和双曲线的定义推出△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆与x 轴同时切于双曲线的右顶点E ,并将ME -NE 用直线AB 的倾斜角θ表示出来是解题关键.12.(2023春·重庆·高三统考开学考试)定义：若A ，B ，C ，D 为球面上四点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则把以EF 为直径的球称为AB ，CD 的“伴随球”.已知A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上四点，AB =CD =23，则AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围为；若A ，B ，C ，D 不共面，则四面体ABCD 体积的最大值为.【答案】 0,2 4【分析】设O 为A ,B ,C ,D 所在球面的球心，则由题可知E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，据此即可求出EF 范围；根据V A -BCD =2V A -CDE =23S △CDE⋅d (d 为点A 到平面CDE 距离，)，求出S △CDE ,d 的最大值即可得体积最大值.【详解】设O 为A ,B ,C ,D 所在球面的球心，∴OA =OC =2.∵AB =CD =23，且E ,F 分别是AB ,CD 的中点，∴OE ⊥AB ，OE ⊥CD ，且AE =CF =3，∴OE =OF =1，则E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，若以EF 为直径作球，则0<EF ≤OE +OF =2，即AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围是(0，2]；∵E 是AB 中点，∴V A -BCD =2V A -CDE =23S △CDE⋅d ，d 为点A 到平面CDE 距离，d ≤AE =3，又S △CDE =12CD ⋅h ，h 为点E 到CD 距离，h ≤EF ≤2，∴V A -BCD ≤23×23×22×3=4，当且仅当E ,O ，F 三点共线，且AB ⊥CD 时，等号成立.故答案为：(0，2]；4.【点睛】本题关键是根据已知条件确定E 和F 的轨迹，数形结合可得EF 的范围；根据E 是AB 中点，则A 与B 到平面CDE 的距离相等，据此将三棱锥A -BCD 的体积转化为三棱锥A -CDE 体积的2倍，再数形结合即可求得最值.对空间想象能力的要求很高，属于难题.13.(2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，准线交x 轴于点D ，过点F 作倾斜角为θ(θ为锐角)的直线交抛物线于A ，B 两点，如图，把平面ADF 沿x 轴折起，使平面ADF ⊥平面BDF ，则三棱锥A -BDF 体积为；若θ∈π6,π3，则异面直线AD ，BF 所成角的余弦值取值范围为．【答案】4377,155【分析】根据抛物线焦点弦的性质可得AF =p 1-cos θ，BF =p1+cos θ，进而根据面面垂直即可求三棱锥的高，进而利用体积公式即可求解，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角就可求解异面直线的夹角.【详解】过B 作BM ⊥x ,BN ⊥准线，垂足为M ,N ,在Rt △BMF 中，MF =BF cos θ，又BN =BF =DF -MF =p -BF cos θ⇒BF =p 1+cos θ，MB =BF sin θ=p sin θ1+cos θ同理可得，AF =p1-cos θ过A 作AH ⊥x 于H ,由于平面ADF ⊥平面BDF ，且交线为DF ，AH ⊂平面ADF ,所以AH ⊥平面BDF ,且AH =AF sin θ=p sin θ1-cos θ，故三棱锥的体积为13S △BDF AF =13×12DF BM AH =16p p sin θ1+cos θp sin θ1-cos θ=p 36=86=43，AD =p 1-cos θ 2+p sin θ1-cos θ2=p 1-cos θ1+sin 2θ，BF =p1+cos θ且MB =p sin θ1+cos θ，FH =p cos θ1-cos θ，所以建立如图所示的空间直角坐标系，B p 2-p cos θ1+cos θ,-p sin θ1+cos θ,0 ,A p 2+p cos θ1-cos θ,0,p sin θ1-cos θ，p =2即B 1-cos θ1+cos θ,-2sin θ1+cos θ,0 ,A 1+cos θ1-cos θ,0,2sin θ1-cos θ ，D -1,0,0 ,F 1,0,0 ,DA =21-cos θ,0,2sin θ1-cos θ ,BF =2cos θ1+cos θ,2sin θ1+cos θ,0 ,DA ⋅BF =21+cos θ 2cos θ1-cos θ =4cos θsin 2θ所以cos DA ,BF =DA ⋅BFDA BF =4cos θsin 2θp 1-cos θ1+sin 2θp 1+cos θ=cos θ1+sin 2θ=1-sin 2θ1+sin 2θ=-1+21+sin 2θ，当θ∈π6,π3时，sin θ∈12,32 ⇒sin 2θ∈14,34 ⇒1+sin 2θ∈54,74 ，所以cos DA ,BF =-1+21+sin 2θ∈77,155 ，由于DA ,BF为锐角，所以异面直线AD ，BF 所成角的角等于DA ,BF ，故异面直线AD ，BF 所成角的余弦值取值范围为77,155故答案为：43，77,155【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用14.(2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知数列a n 满足：①a 1=5；②a n +1=a n +2,n 为奇数3a n +2,n 为偶数 .则a n 的通项公式a n =；设S n 为a n 的前n 项和，则S 2023=.(结果用指数幂表示)【答案】 a n =3n +32-4,n 为奇数 3n +22-2,n 为偶数2×31013-6079【分析】当n 为奇数时令n =2k -1,k ∈N *可得a 2k =a 2k -1+2，当n 为偶数时令n =2k ,k ∈N *，可得a 2k +1+4=3a 2k -1+4 ，即可得到a 2k -1+4 是以9为首项，3为公比的等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.【详解】当n 为奇数时a n +1=a n +2，令n =2k -1,k ∈N *，则a 2k =a 2k -1+2，当n 为偶数时a n +1=3a n +2，令n =2k ,k ∈N *，则a 2k +1=3a 2k +2=3a 2k -1+2 +2=3a 2k -1+8，则a 2k +1+4=3a 2k -1+4 ，当k=1时a1+4=9，所以a2k-1+4是以9为首项，3为公比的等比数列，所以a2k-1+4=9×3k-1=3k+1，所以a2k-1=3k+1-4，则a2k=a2k-1+2=3k+1-4+2=3k+1-2，当n为奇数时，由n=2k-1,k∈N*，则k=n+12，所以a n=3n+12+1-4=3n+32-4，当n为偶数时，由n=2k,k∈N*，则k=n2，所以a n=3n2+1-2=3n+22-2，所以a n=3n+32-4,n为奇数3n+22-2,n为偶数，所以S2023=a1+a3+⋯+a2023+a2+a4+⋯+a2022=32+33+⋯+31013-4×1012+32+33+⋯+31012-2×1011=321-310121-3-4×1012+321-310111-3-2×1011=2×31013-6079故答案为：a n=3n+32-4,n为奇数3n+22-2,n为偶数，2×31013-607915.(2023秋·河北张家口·高三统考期末)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4，c=3b，则△ABC面积的最大值是；若r，R分别为△ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的范围为．【答案】 3；34,2 .【分析】对于第一空，利用余弦定理表示出cos A，再表示出sin A，再利用S△ABC=12bc sin A可得答案；对于第二空，利用r=2S△ABCabc，R=12⋅asin A可得答案.【详解】因a，b，c在三角形中，则由三角形三边关系可得c+b=4b>4c-b=2b<4⇒1<b<2，又利用余弦定理有：cos A=b2+c2-a22bc =10b2-166b2，又cos2A+sin2A=1，sin A>0，则sin A=1-cos2A=1-100b4+256-320b236b4=4-b4+5b2-43b2.得S△ABC=12bc sin A=2-b4+5b2-4=2-b2-522+94≤3，当且仅当b2=52，即b=102时取等号.则△ABC面积的最大值是3；对于第二空，因S△ABC=12a+b+cr，则r=2S△ABCa+b+c=bc sin A4+4b=3b2sin A4+4b，又asin A=2R⇒R=a2sin A=2sin A，则rR=6b24+4b=32⋅b21+b=32⋅1+b-121+b=32b+1+1b+1-2，因1<b<2，则2<b+1<3.令f x =x+1x，其中x∈2,3，因f x =x2-1x2>0，则f x 在2,3上单调递增，故52<b+1+1b+1<103，得rR∈34,2.故答案为：3；3 4 ,2.16.(2023秋·河北保定·高三统考期末)定义在R上的两个函数f x 和g x ，已知f x +g1-x=3，g x +f x-3=3．若y=g x 图象关于点1,0对称，则f0 =，g1 +g2 +g3 +⋯+g1000=．【答案】 3 0【分析】①根据题意，利用方程法得到f x =f-2-x，通过赋值得到f0 =f-2，根据y=g x 的图象关于点1,0对称得到g1-x+g1+x=0，即可得到f x -g1+x=3，再利用方程法得到f x +f x-2=6，令x=0，得到f0 +f-2=6，然后求f0 即可；②利用方程法得到g x =-g x-2，整理可得g x =g x-4，得到4是g x 的一个周期，然后根据g x =-g x-2得到g1 +g2 +g3 +g4 =0，最后再利用周期求g1 +g2 +g3 +⋯+g1000即可.【详解】由g x +f x-3=3可得g1-x+f-2-x=3，又f x +g1-x=3，所以f x =f-2-x，令x=0，所以f0 =f-2；因为y=g x 的图象关于点1,0对称，所以g1-x+g1+x=0，又f x +g1-x=3，所以f x -g1+x=3，因为g x +f x-3=3，所以g1+x+f x-2=3，f x +f x-2=6，令x=0，所以f0 +f-2=6，则f0 =3；因为f x -g1+x=3，所以f x-3-g x-2=3，又g x +f x-3=3，所以g x =-g x-2，g x-2=-g x-4，则g x =g x-4，4是g x 的一个周期，因为g3 =-g1 ，g4 =-g2 ，所以g1 +g2 +g3 +g4 =0，因为g x 周期是4，所以g1 +g2 +g3 +⋯+g1000=0.故答案为：3，0.17.(2023秋·江苏·高三统考期末)已知数列a n､b n满足b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k其中k∈N*，b n 是公比为q的等比数列，则a n+1a n=(用q表示)；若a2+b2=24，则a5=.【答案】 q2 1024【分析】根据已知得出a k=b2k-1，则a n+1a n=b2n+1b2n-1，即可得出a n+1a n=q2，根据已知得出a2=b3，可得到b1q1+q=24，根据已知得出a3=b2,b5=a3，结合条件即得.【详解】∵n=2k-1时，b n=a n+12，即a k=b2k-1，k∈N*，则a n+1a n=b2n+1b2n-1，∵b n是公比为q的等比数列，∴b2n+1b2n-1=q2，即a n+1a n=q2；∵q2>0，∴a n中的项同号，∵n=2k时，b n=a n+1，∴a n+1≥0，则a n中的项都为正，即a n>0，∴b n=a n+12>0，∴q>0，∵b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k，∴a2=b3，∴a2+b2=b2+b3=24，∴b1q1+q=24，∵b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k，∴a3=b2,b5=a3，∴b22=b5，即b21q2=b1q4，∴b1=q2，∴q31+q=24,q4-16+q3-8=0，解得q=2，∴a5=b24=q10=1024.故答案为：q 2；1024.18.(2023秋·山东潍坊·高三统考期中)在△ABC 中，点D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍，且AD =λAC ，则实数λ的取值范围为；若△ABC 的面积为1，当BC 最短时，λ=.【答案】 0,43 2105##2510【分析】过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，由题设易得BD =2DC 、AC =EC 、△ADB ∼△EDC ，在△ACE 中应用三边关系求λ的取值范围，若∠BAD =∠CAD =θ∈0,π2，由三角形面积公式得b 2sin2θ=1，且AE =2AC ⋅cos θ得cos θ=3λ4，进而可得b 2=83λ16-9λ2，应用余弦定理得到BC 关于λ的表达式，结合其范围求BC 最小时λ对应值即可.【详解】由△ABD 面积是△ADC 面积的2倍，即BD =2DC ，如上图，过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，又AD 平分∠BAC ，所以∠BAE =∠CAE =∠AEC ，即AC =EC ，且△ADB ∼△EDC ，故ED AD=CD BD =12，若AC =EC =b ，又AD =λAC ，则AD =λb 且λ>0，ED =λb2，△ACE 中，AC +EC =2b >AE =3λb 2，可得λ<43，故0<λ<43；由角平分线性质知：S △ABD S △ACD =ABAC =2，则AB =2AC =2b ，若∠BAD =∠CAD =θ∈0,π2 ，则S △ABC =12AB ⋅AC sin2θ=b 2sin2θ=1，又AE =2AC ⋅cos θ，即3λb 2=2b cos θ，则cos θ=3λ4，故sin θ=16-9λ24，所以b 2sin2θ=2b 2sin θcos θ=3λb 216-9λ8=1，可得b 2=83λ16-9λ2，由BC 2=5b 2-4b 2cos2θ=9b 2-8b 2cos 2θ=12(2-λ2)λ16-9λ2=12⋅(λ2-2)2-9(λ2-2)2-20(λ2-2)-4，令t =1λ2-2∈-92,-12 ，则BC 2=12⋅1-9-20t-4t 2=12-141t+522-16，所以t =-52时BC 2min =12×14=3，即BC min =3，此时λ2=85，即λ=2105.故答案为：0<λ<43，2105.【点睛】关键点点睛：注意过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，应用三角形三边关系求参数范围，根据已知条件得到BC 关于λ的表达式是求最值的关键.19.(2023秋·山东德州·高三统考期末)如图所示，已知F 1、F 2分别为双曲线x 24-y 212=1的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，则∠AF 2O 的取值范围为；记△AF 1F 2的内切圆O 1的面积为S 1，△BF 1F 2的内切圆O 2的面积为S 2，则S 1+S 2的取值范围是．【答案】π3,2π3 8π,403π【分析】分析可知直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为x =my +4，将直线AB 的方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理结合已知条件求出m 的取值范围，可求得∠AF 2O 的取值范围；设圆O 1切AF 1、AF 2、F 1F 2分别于点M 、N 、G ，分析可知直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3，推导出圆O 1、圆O 2的半径r 1、r 2满足r 1r 2=4，求得r 1∈233,23 ，利用双勾函数的单调性可求得S 1+S 2的取值范围.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，在双曲线x 24-y 212=1中，a =2，b =23，则c =a 2+b 2=4，故点F 24,0 ，若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与双曲线交于该双曲线的两个实轴的端点，不合乎题意，所以，直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为x =my +4，设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，联立x =my +43x 2-y 2=12可得3m 2-1 y 2+24my +36=0，由题意可得3m 2-1≠0Δ=242m 2-4×36×3m 2-1 >0 ，解得m 2≠13，由韦达定理可得y 1+y 2=-24m 3m 2-1，y 1y 2=363m 2-1，x 1+x 2=m y 1+y 2 +8=-24m 23m 2-1+8=-83m 2-1>0，可得m 2<13，x 1x 2=my 1+4 my 2+4 =m 2y 1y 2+4m y 1+y 2 +16=-12m 2+163m 2-1>0，可得m 2<13，所以，-33<m <33，且α∈0,π 当-33<m <0时，tan α=1m ∈-∞,-3 ，此时α∈π2,2π3，当m =0时，AB ⊥x 轴，此时α=π2，当0<m <33时，tan α=1m ∈3,+∞ ，此时α∈π3,π2 ，综上，π3<α<2π3，不妨设点A 在第一象限，则∠AF 2O =α∈π3,2π3；设圆O 1切AF 1、AF 2、F 1F 2分别于点M 、N 、G ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，可知直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3，由切线长定理可得AM =AN ，F 1M =F 1G ，F 2G =F 2N ，所以，AF 2 +F 1F 2 -AF 1 =AN +F 2N +F 1G +F 2G -AM +F 1M =F 2N +F 2G =2F 2G =2c -2a ，则F 2G =c -a =2，所以点G 的横坐标为4-2=2.故点O 1的横坐标也为2，同理可知点O 2的横坐标为2，故O 1O 2⊥x 轴，故圆O 1和圆O 2均与x 轴相切于G 2,0 ，圆O 1和圆O 2两圆外切.在△O 1O 2F 2中，∠O 1F 2O 2=∠O 1F 2G +∠O 2F 2G =12∠AF 2F 1+∠BF 2F 1 =90°，O 1O 2⊥F 2G ，∴∠GO 1F 2=∠F 2O 1O 2，∠O 1GF 2=∠O 1F 2O 2=90°，所以，△O 1GF 2∽△O 1F 2O 2，所以，O 1G O 1F 2=O 1F 2 O 1O 2，则O 1F 2 2=O 1G ⋅O 1O 2 ，所以F 2G 2=O 1F 2 2-O 1G 2=O 1G ⋅O 1O 2 -O 1G 2=O 1G ⋅O 2G ，即c -a 2=r 1⋅r 2，则r 1⋅r 2=4，由直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3 ，可知∠AF 2F 1的取值范围为π3,2π3，则∠O 1F 2F 1=12∠AF 2F 1∈π6,π3，故r 1=F 2G ⋅tan ∠O 1F 2F 1=2tan ∠O 1F 2F 1∈233,23，则S 1+S 2=πr 21+r 22 =πr 21+16r 21，其中r 1∈233,23 ，令f x =x +16x ，其中x ∈43,12 ，则f x 在43,4 单调递减，在4,12 单调递增.因为f 4 =8，f 43=f 12 =403，则当x ∈43,12 时，f x ∈8,403 ，故S 1+S 2=πr 21+16r 21∈8π,40π3 .故答案为：π3,2π3；8π,40π3.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.20.(2023春·山东滨州·高三山东省北镇中学校考阶段练习)如图所示，一个平面内任意两两相交但不重合的若干条直线，直线的条数与这些直线将平面所划分的区域个数满足如下关系：1条直线至多可划分的平面区域个数为2；2条直线至多可划分的平面区域个数为4；3条直线至多可划分的平面区域个数为7；4条直线至多可划分的平面区域个数为11；一般的，n n ∈N * 条直线至多可划分的平面区域个数为；在一个平面内，对于任意两两相交但不重合的若干个圆，类比上述研究过程，可归纳出：n 个圆至多可划分的平面区域个数为.【答案】 n 2+n +22n 2-n +2【分析】根据当直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，推导出a n =a n -1+n n ≥2 ，利用累加法求得a n ；利用类比的方法可求得n 个圆至多可划分的平面区域个数.【详解】当这些直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，已知a 1=2,a 2=4，当n ≥2时，因为第n 条直线l 与前n -1条直线至多新增n -1个交点，且新增的这n -1个交点均在l 上，按沿l 的方向向量方向排布将这n -1个交点依次记为A 1,A 2,⋯，A n -1，对于线段A m -1A m m ∈N * ，且2≤m ≤n -1 ，和以A 1和A n -1为端点且不经过A 2,A 3⋯,A n -2的两条射线，均能将前n -1条直线所划分的区域一分为二，故将新增n 个区域，故a n =a n -1+n n ≥2 ，故a n =a 1+a 2-a 1 +a 3-a 2 +⋯+a n -a n -1 =2+2+3+⋯+n =1+n n +1 2=n 2+n +22，故n 条直线至多将平面划分的区域个数为n 2+n +22；同理，当这些圆两两相交，且任意三个圆均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 个圆可划分的平面区域个数为b n ，已知b 1=2,b 2=4，当n ≥2时，因为第n 个圆C 与前n -1个圆至多新增2n -1 个交点，且新增的这2n -2个交点均在C 上，按沿C 的逆时针方向排布将这2n -2个交点依次记为B 1,B 2,⋯,B 2n -2，对于弧B k -1Bk (k ∈N *，且2≤k ≤2n -2)，和弧B 2n -2B 1，每一段弧均能将前n -1个圆所划分的区域一分为二，故将新增2n -2个区域，故有b n =b n -1+2n -2n ≥2 ，故b n =b 1+b 2 -b 1 +b 3-b 2 +⋯+b n -b n -1=2+2+4+⋯+2n -2 =2+n n -1 =n 2-n +2，故n 个圆至多可划分的平面区域个数为n 2-n +2.故答案为：n 2+n +22;n 2-n +2.【点睛】关键点点睛：确定当直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，关键点就是要推导出当增加一条直线时新增的区域个数，从而得到a n =a n -1+n n ≥2 .21.(2023·山东青岛·统考一模)设函数f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足f 0 =1，f 1 =0，对任意的x ，y ∈Z 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则f 3 =；f 12+22+⋅⋅⋅+20232f 12+f 22 +⋅⋅⋅+f 20232=．【答案】 011011【分析】由f x +y +f x -y =2f x f y 结合已知函数值，通过代入特殊值计算f 3 ；推导出函数f x 周期T =4，通过已知函数值，分析f 12+22+⋅⋅⋅+20232 f 12 +f 22 +⋅⋅⋅+f 20232中自变量的数据特征求值.【详解】令x =y =1，f (2)+f (0)=2f 2(1)，∴f 2 =-1，。
数列小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
数列小题大做一、单选题1．（2021·吉林省实验模拟预测（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若73a =，4516a a +=，则10S =（ ）A ．60B ．80C ．90D ．100【答案】A 【分析】由题意，利用等差数列通项公式将两式化为基本量1,a d 的关系式，计算1,a d ，然后代入等差数列前n 项和公式计算. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，所以7163a a d =+=，4512716+=+=a a a d ，联立得,1a 15d 2==-，所以101091015(2)602⨯=⨯+⨯-=S . 故选：A2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A 【分析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 故选：A.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ） A ．2n –1 B ．2–21–n C ．2–2n –1 D ．21–n –1【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n nn n n S a ---==-.故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C 【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列， 设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C 【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.7．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列{}n a 满足)111,N 1nn na a n a *+=∈+.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 【答案】A 【分析】 显然可知，10032S >，利用倒数法得到21111124n n n n a a a a +⎛⎫==-⎪⎪⎭，再放缩可得112n n a a +<，由累加法可得24(1)n a n ≥+，进而由11n n na a +=+113n n a n a n ++≤+，然后利用累乘法求得6(1)(2)n a n n ≤++，最后根据裂项相消法即可得到1003S <，从而得解．【详解】 因为)111,N 1nn n a a n a *+==∈+，所以0n a >，10032S >． 由2111111241n n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⇒==-⎪⎪+⎭ 21111122n n n n a a a a ++⎛⎫∴<⎪⎪⎭112n n a a +<11122nn n a -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)3111n n n n n n a n a a a n n a n ++∴≥∴=≤=+++++ 113n n a n a n ++∴≤+， 由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<． 故选：A ． 【点睛】1,n n a a +24(1)n a n ≥+，由题目条件可知要证100S 小于某数，从而通过局部放缩得到1,n n a a +的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n ≤++，最后由裂项相消法求得1003S <．8．（2021年北京市高考数学试题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n 可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到n 的最大值． 【详解】若要使n 尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为，则，，所以11n ≤. 对于，，取数列各项为(1,2,10)n =⋯，1125a =,则1211100a a a ++⋅⋅⋅+=， 所以n 的最大值为11． 故选：C ．9．（2020年北京市高考数学试卷）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）．A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.10．（2021·四川·内江市教育科学研究所一模（文））已知函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，数列{}n a 为等差数列．若20a >，则()1f a +()()23f a f a +的值（ ） A ．恒为0 B ．恒为正数C ．恒为负数D ．可正可负【答案】C 【分析】根据函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，得到()00f =，0x >时，()0f x <，0x <时，()0f x >求解.【详解】因为函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()0f x <，当0x <时，()0f x >， 因为数列{}n a 为等差数列，且20a >， 所以()20f a <，13220a a a +=>， 则13a a >-，所以()()13f a f a <-，即()()130f a f a +<， 所以()1f a +()()230f a f a +<， 故选：C11．（2019年浙江省高考数学试卷）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->【答案】A 【分析】若数列{}n a 为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确. 【详解】若数列{}n a 为常数列，则1n a a a ==，由21n n a a b +=+，可设方程20x x b -+= 选项A ：12b =时，2112n n a a +=+，2102x x -+=， 1210∆=-=-<，故此时{}n a 不为常数列，222112n n n n a a a +=+=+≥， 且2211122a a =+≥，792a a ∴≥≥21091610a a >≥>，故选项A 正确； 选项B ：14b =时，2114n n a a +=+，2104x x -+=，则该方程的解为12x =， 即当12a =时，数列{}n a 为常数列，12n a =， 则101102a =<，故选项B 错误； 选项C ：2b =-时，212n n a a +=-，220x x --=该方程的解为1x =-或2，即当1a =-或2时，数列{}n a 为常数列，1n a =-或2，同样不满足1010a >，则选项C 也错误；选项D ：4b =-时，214n n a a +=-，240x x --=该方程的解为117x ±=同理可知，此时的常数列{}n a 也不能使1010a >， 则选项D 错误. 故选：A. 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.12．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））数列{}n a 的通项cos sin 33n n n a n n ππ22⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其前n 项和为n S ，则S 18为（ ）A ．173B ．174C ．175D ．176【答案】B 【分析】化简n a 可得22cos3n n a n π=，讨论n 取不同值时n a 的通项公式，并项求和. 【详解】22222cos sin cos sin cos33333n n n n n n a n n n n πππππ22⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3n k =()k N *∈ 时，()233k a k =；31n k =-()k N *∈时，()231312k k a --=-；32n k =-()k N *∈时，()232322k k a --=-()()()223212333231592223k k kk k a a a k k ----++-=-+=-所以()()18166530912669174222S +⨯=+++-⨯=⨯-= 故选：B二、填空题13．（2020年浙江省高考数学试卷）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是________． 【答案】10 【分析】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出． 【详解】 因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===． 即312313610S a a a =++=++=． 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．14．（2020年江苏省高考数学试卷）设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4 【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q-==-+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭， 通过对比系数可知111212211dd a q b q⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.故答案为：4 【点睛】11本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.15．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，且236,14S S ==，则数列2211log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2021项和为___________. 【答案】20212022【分析】根据等比数列的通项公式及前n 项和公式得到方程组，求出1a 和q ，即可得到n a ，从而得到2211log log n n a a +⋅，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】解：因233212118,6a S S a q S a a q =-===+=，所以211143a q a a q =+，所以23440q q --=，得2q 或23-（舍去），所以12a =，故2n n a =. 因为2211111log log (1)1n n a a n n n n +==-⋅++， 所以20211111112021112232021202220222022T =-+-++-=-=. 故答案为：2021202216．（2021·上海嘉定·一模）已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ，{}*2,n B x x n ==∈N ，将A B 中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列{}n a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得1000n S >成立的最小的n 的值为_____________.【答案】36【分析】由题可得2n 为数列{}n a 的12n n -+项，且利用分组求和可得1112422n n n n S --++=+-，通过计算即得.【详解】由题意，对于数列{}n a 的项2n ，其前面的项1，3，5，…，21n A -∈，共有12n -项，232,2,2,,2n B ⋅⋅⋅∈，共有n 项，所以2n 为数列{}n a 的12n n -+项，且()()()()112112211221221222422n n n n n n S ---++⎡⎤=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-++++=+-⎣⎦.可算得612638-+=（项），3864a =，381150S =，试卷第12页，共12页因为3763a =，3661a =，3559a =，所以371086S =，361023S =，35962S =， 因此所求n 的最小值为36.故答案为：36.13。
计数原理小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
计数原理小题大做一、单选题1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种【答案】C 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.2．（2020年北京市高考数学试卷）在5(2)x 的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5- B ．5C ．10-D ．10【答案】C 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】)52x 展开式的通项公式为：()()55215522r rrrrr r T Cx C x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23 D ．45【答案】C 【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解. 【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+. 故选：C.4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35【答案】C 【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C.点睛:对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r 不同.5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷参考版））用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24B ．48C ．60D ．72【答案】D 【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为44372A =，故选D.【考点】排列、组合【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．518B ．49 C ．59D ．79【答案】C 【详解】标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是115425989C C =⨯ ,选C. 【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.7．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80 B ．-40C ．40D ．80【答案】C 【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得： 当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=， 则33x y 的系数为804040-=. 故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.8．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种【答案】C 【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C 【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.9．（2021·云南红河·模拟预测（理））有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同种颜色的花，则不同的种花方式共有（ ）A ．96种B ．72种C ．48种D ．24种【答案】A 【分析】如图，由题意可知②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，从而可求得结果 【详解】依题意可知，将区域标号如图.用4种颜色的花卉完成栽种，需要②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，故有44496A ⨯=种.故选：A10．（2021·全国全国·模拟预测）如图为并排的4块地，现对4种不同的农作物进行种植试验，要求每块地种植1种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且4块地全部种上农作物，则至少同时种植3种不同农作物的种植方法种数为（ ） ① ② ③ ④A ．24B ．80C ．72D ．96【答案】D 【分析】先分同时种植4种农作物和3种农作物两种情况，再按排列或组合及计数原理进行求解. 【详解】至少同时种植3种不同农作物可分两种情况：第一种，种植4种农作物，有44A 24=种不同的种植方法；第二种，种植3种农作物，则有2块不相邻的地种植同一种农作物，有①③、②④、①④这三种情况，每一种情况都有111432C C C 24=种不同的种植方法．则至少同时种植3种不同农作物的种植方法有2432496+⨯=种． 故选：D.11．（2021·河北衡水中学模拟预测）在2020中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机．若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（ ） A ．51种 B ．224种 C ．240种 D ．336种【答案】C 【分析】按中方选一架飞机或俄方选一架飞机分类讨论，每类再分步选择即可得． 【详解】不同的选法有：1120201154365436C C C C C C C 54311013660180C 240+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=（种）．故选：C ．12．（2021·广东·模拟预测）甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到,,A B C 三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求,,A B C 三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（ ） A ．14种 B ．11种C ．8种D ．5种【答案】B 【分析】根据分类计数法进行分类讨论，然后进行求和. 【详解】 解：由题意得：以C 路口为分类标准：C 路口执勤分得人口数情况有2种，两个人或一个人 C 路口执勤分得人口数为2个，丙、丁在C 路口，那么甲、乙只能在A B 、路口执勤； C 路口执勤分得人口数为1个，丙或丁在C 路口，具体情况如下： 丙在C 路口：A（丁）B（甲乙）C（丙）；A（甲丁）B（乙）C（丙）；A（乙丁）B（甲）C（丙）；丁在C路口：A（甲乙）B（丙）C（丁）；A（丙）B（甲乙）C（丁）；A（甲丙）B（乙）C（丁）；A（乙）B（甲丙）C（丁）；A（乙丙）B（甲）C（丁）；A（甲）B（乙丙）C（丁）；.所以一共有2+3+6=11种选法.故选：B.二、填空题13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】16【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C=种选法，从6名学生中任意选3人有3620C=种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））已知(13)n x+的展开式中含有2x项的系数是54，则n=_____________.【答案】4 【分析】利用通项公式即可得出． 【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1r n =（3x ）r ＝3r r nx r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2． ∴223n=54，可得2n =6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 【答案】1080 【详解】41345454A C C A 1080+=【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.三、双空题16．（2021年浙江省高考数学试题）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.【答案】5; 10. 【分析】根据二项展开式定理，分别求出43,(1(4))x x -+的展开式，即可得出结论. 【详解】332(1)331x x x x -=-+-， 4432(1)4641x x x x x +=++++，所以12145,363a a =+==-+=， 34347,110a a =+==-+=，所以23410a a a ++=. 故答案为：5,10.试卷第10页，共1页。
(整理版)高考数学小题狂做冲刺训练(详细解析)
高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕 1.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A.［0，2π］B.［0，2π〕∪［43π,π) C.［43π,π) D.(2π,43π］解析:∵y′＝3x 2-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞〕. 设倾斜角为α,那么tanα≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:B2.假设方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,那么a 2+b 2的最小值为( )A.3B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,那么a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,那么f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.应选B. 答案:B3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为yxn =(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情相同的情况下人均少支出75元，那么该家庭属于( )解析:设1998年人均食品消费x 元，那么人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，14005.462475%5.922%5.92=+⨯=x x x ≈0.3304＝33.04%,应选D.答案:D4.(海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,假设f′(x 0)＝2,那么x 0等于( )2B.eC.22ln 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B5.n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运桔祥数,那么在区间［1,2 008］内的所有奥运桔祥数之和为( )A.1 004B.2 026C.4 072D.2 044解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝)1lg()2lg(++n n ,a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2lg )2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=++••k k k . 由题意知k+2＝22,23,…,210,∴k＝22-2,23-2,…,210-2.∴S＝(22+23+…+210)-2×9＝20261821)21(49=---. 答案：B6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,假设采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的 2 000人再按系统抽样的方法进行,那么每人入选的概率〔 〕A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为002125D ．都相等且为401解析：抽样的原那么是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i 〔i ＝1,2,…,6〕,假设a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,那么不同的排列方法种数为〔 〕A ．18B ．30C ．36D ．48 解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,∴〔1〕当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种； 〔2〕当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种； 〔3〕当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.假设从中任选3人,那么选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为〔 〕A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,根本领件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3〔n －1〕〔1≤n ≤6〕,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B9.复数i 3(1+i)2等于( )A.2B.-2 C解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2=2. 答案：A 10.(全国高考卷Ⅱ,4)函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称 解析: x xx f -=1)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.函数13)(--=a axx f (a≠1).假设f(x)在区间(0,1］上是减函数，那么实数a 的取值范围是______________. 解析：由03)1(2)('<--=axa a x f ,⎪⎩⎪⎨⎧<->-②,0)1(2①,03a aax由①,得a ＜x3≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］ 13.平面上三点A 、B 、C满足3||=AB ,5||=CA ,4||=BC ,那么AB CA CA BC BC AB •+•+•的值等于________________.解析：由于0=++CA BC AB ，∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB •+•+•+++=++0)(225169=•+•+•+++=AB CA CA BC BC AB ,即可求值.答案：-2514.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________________________________.解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在21==q p 时成立，此时Dξ＝25，σξ＝5. 答案：215 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1z 表示z 1的共轭复数),z 2的实部是-1,那么z 2的虚部为___________________.解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),那么yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1. 答案：1。
2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练专题15解析几何小题压轴练(解析版)
解析几何小题压轴练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)一、单选题1.(2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=60°，PF 2的延长线交双曲线于点Q ，若双曲线的离心率为e =72，则PQ F 1Q=()A.23B.813C.815D.12【答案】B【分析】利用双曲线的定义得到PF 2 ,F 2Q ,PF 1 ,F 1Q 关于k ,m ,n 的表达式，在△PF 1F 2与△PF 1Q 中利用余弦定理求得m =2k 与n =65k ，从而求得PQ ,F 1Q 关于k 的表达式，由此得解.【详解】因为双曲线的离心率为e =72，即c a =72，令a =2k k >0 ，则c =7k ，所以F 1F 2 =2c =27k ，2a =4k ，不妨设点P 在双曲线的右支上时，如图，记PF 2 =m ,F 2Q =n ，则由双曲线的定义得PF 1 -PF 2 =2a ,F 1Q -F 2Q =2a ，所以PF 1 =4k +m ,F 1Q =4k +n ，在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2=60°，则F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 cos60°，即28k 2=4k +m 2+m 2-24k +m m ×12，整理得12k 2-4km -m 2=0，解得m =2k 或m =-6k (舍去)，故PF 1 =4k +m =6k ，PQ =m +n =2k +n ，在△PF 1Q 中，∠F 1PF 2=60°，则F 1Q 2=PF 1 2+PQ 2-2PF 1 PQ cos60°，即4k +n 2=36k 2+2k +n 2-2×6k 2k +n ×12，整理得12k 2-10kn =0，解得n =65k ，则PQ =2k +n =2k +65k =165k ，F 1Q =4k +n =265k ，所以PQ F 1Q=165k 265k =813；故选：B .2.(2023·山东潍坊·统考模拟预测)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点F 2与抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，点P 为C 1与C 2的一个交点，若△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为4，C 2的准线与C 1交于A ，B 两点，且AB =92，则C 1的离心率为()A.94B.54C.95D.74【答案】B【分析】令F 1(-c ,0),F 2(c ,0)，由题设知c=p 2>0且AB =2b 2a 求得4b 2=9a ，再由内切圆中切线长性质及双曲线定义、性质确定与F 1F 2的切点C 的位置，进而求离心率.【详解】由题设F 1(-c ,0),F 2(c ,0)，又点F 2与抛物线的焦点重合，即c =p2>0，由-c2a 2-y 2b 2=1a 2+b 2=c2，则y =±b 2a ，故AB =2b 2a =92，即4b 2=9a ，如下图示，内切圆与△PF 1F 2各边的切点为D ,E ,K ，所以PD =PE ,DF 1= KF 1, EF 2= KF 2 ，又|PF 1|-|PF 2|=2a ，则PD +DF 1)-PE + EF 2)= DF 1- EF 2= KF 1- KF 2 =2a ， 所以K 为双曲线右顶点，又△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为4，即a =4，故b 2=9，则c =5，所以离心率为e =c a =54.故选：B3.(2023·江苏南通·海安高级中学校考一模)双曲线C :x 2-y 2=4的左，右焦点分别为F 1,F 2，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ,B 两点，△AF 1F 2,△BF 1F 2,△F 1AB 的内切圆圆心分别为O 1,O 2,O 3，则△O 1O 2O 3的面积是()A.62-8B.62-4C.8-42D.6-42【答案】A【分析】由题意画出图，由已知求出c 的值，找出A ,B 的坐标，由△AF 1F 2,△BF 1F 2,△F 1AB 的内切圆圆心分别为O 1,O 2,O 3，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出△O 1O 2O 3的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.【详解】由题意如图所示：由双曲线C:x2-y2=4，知a2=b2=4，所以c2=a2+b2=8，所以F2(22,0)，F1F2=2c=42所以过F2作垂直于x轴的直线为x=22，代入C中，解出A22,2,B22,-2，由题知△AF1F2,△BF1F2的内切圆的半径相等，且AF1=BF1，△AF1F2,△BF1F2的内切圆圆心O1,O2的连线垂直于x轴于点P，设为r，在△AF1F2中，由等面积法得：1 2AF1+AF2+F1F2⋅r=12F1F2⋅AF2由双曲线的定义可知：AF1-AF2=2a=4由AF2=2，所以AF1=6，所以126+2+42⋅r=12×42×2，解得：r=222+2=22×2-22=22-2，因为F1F2为△F1AB的∠AF1B的角平分线，所以O3一定在F1F2上，即x轴上，令圆O3半径为R，在△AF1B中，由等面积法得：1 2AF1+BF1+AB⋅R=12F1F2⋅AB，又AF1=BF1=F1F22+AF12=422+22=6所以12×6+6+4⋅R=12×42×4，所以R=2，所以PF 2 =r =22-2，O 3P =O 3F 2 -PF 2 =R -r =2-22-2 =2-2，所以S △O 1O 2O 3=12O 1O 2 O 3P =12×2r ×O 3P =r ×O 3P =22-2 ×2-2 =62-8，故选：A .4.(2023·湖南永州·统考二模)如图，F 1,F 2为双曲线的左右焦点，过F 2的直线交双曲线于B ,D 两点，且F 2D =3F 2B ，E 为线段DF 1的中点，若对于线段DF 1上的任意点P ，都有PF 1 ⋅PB ≥EF 1 ⋅EB 成立，则双曲线的离心率是()A.2B.3C.2D.5【答案】D【分析】取F 1B 中点Q ，根据向量数量积的运算律和向量线性运算可将已知数量积不等式化为PQ 2≥EQ 2，由此可确定EQ ⊥DF 1，由三角形中位线性质知DF 1⊥BD ；设BF 2 =m ，结合双曲线定义可表示出DF 1 ,BF 1 ，在Rt △BDF 1和Rt △DF 1F 2中，利用勾股定理可求得离心率.【详解】取F 1B 中点Q ，连接PQ ,EQ ,DQ ，∵PF 1 ⋅PB =14PF 1 +PB 2-PF 1 -PB 2 =144PQ2-BF 1 2 =PQ 2-14BF 1 2，EF 1 ⋅EB =14EF 1 +EB 2-EF 1 -EB 2 =144EQ2-BF 1 2 =EQ 2-14BF 1 2，∴PQ 2-14BF 1 2≥EQ 2-14BF 1 2，则PQ 2≥EQ 2，∴PQ ≥EQ 恒成立，∴EQ ⊥DF 1，又EQ ⎳BD ，∴BD ⊥DF 1，设BF 2 =m ，由F 2D =3F 2B得：BD =2m ，根据双曲线定义可知：DF 1 =DF 2 -2a =3m -2a ，BF 1 =BF 2 +2a =m +2a ，∵BD 2+DF 1 2=BF 1 2，即4m 2+3m -2a 2=m +2a 2，∴m =43a ，∴DF 1 =2a ，DF 2 =4a ，又DF 2 2+DF 1 2=F 1F 2 2，∴20a 2=4c 2，∴e 2=c 2a2=5，则离心率e =5.故选：D .5.(2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两焦点为F 1，F 2，x 轴上方两点A ，B 在椭圆上，AF 1与BF 2平行，AF 2交BF 1于P .过P 且倾斜角为αα≠0 的直线从上到下依次交椭圆于S ，T .若PS =βPT ，则“α为定值”是“β为定值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不必要也不充分条件【答案】D【分析】先求出P 的轨迹，其轨迹方程为x 2a 2+c 22a2+y 2a 2-c 22a2=1，取α=π4，结合特殊情形可得“当α取定值，β是定值”是错误的；再由β是定值可得α=π2，从而可判断当β取定值，α是定值”是错误的，从而可得正确的选项.【详解】设M x ,y 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上的动点，c 为椭圆的半焦距，故F 1-c ,0 ，故MF 1 =x +c2+y 2=x +c 2+b 21-x2a2=x +c 2+b 21-x2a2=c 2x 2a 2+2cx +a 2=a +c a x ，设直线l :x =-a 2c ，则M 到该直线的距离为d =x +a 2c，故MF 1 d=ca =e ，如图，设直线MF 1的倾斜角为γ，过M 作l 的垂线，垂足为S ，则MF 1MF 1 cos γ+a 2c-c=e ，故MF 1 =e ×b 2c1-e cos γ，设p =b 2c ，故MF1=ep1-e cosγ，同理MF2=ep1+e cosγ.设AF1的倾斜角为θ，则MF1=ep1-e cosθ，MF2=ep1+e cosθ，因为AF1⎳BF2，故BF2AF1=F2PAP，所以BF2AF1+BF2=F2PAP+F2P=F2PAF2=F2P2a-AF1，所以F2P=BF22a-AF1AF1+BF2，同理F1P=AF12a-BF2AF1+BF2，故F2P+F1P=2a-2BF2×AF1AF1+BF2=2a-ep，故P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆，其长半轴长为a-ep2=a2+c22a，短半轴长为a2+c224a2-c2=a2-c22a，故P的轨迹方程为：x2 a2+c2 2a2+y2a2-c22a2=1，其中y>0.取α=π2，PS2PT2=y S-y P2y S+y P2=y Sy P-12y Sy P+12,而a2≠a4+2a2c2+c44a2，故PS2PT2不是定值即β不是定值.故“当α取定值，β是定值”是错误的.又直线ST的参数方程为：x=x0+t cosαy=y0+t sinα，设S x0+t1cosα,y0+t1sinα,T x0+t2cosα,y0+t2sinα，由x0+t cosα2a2+y0+t sinα2b2=1整理得到：cos2αa2+sin2αb2t2+2x0cosαa2+y0sinαb2t+x20a2+y20b2-1=0，故t1+t2=-2x0cosαa2+y0sinαb2cos2αa2+sin2αb2t1t2=x20a2+y20b2-1cos2αa2+sin2αb2，而PS=βPT，故1-βt2=-2x0cosαa2+y0sinαb2cos2αa2+sin2αb2-βt22=x20a2+y20b2-1cos2αa2+sin2αb2，所以1-β2-4β=x0cosαa2+y0sinαb22cos2αa2+sin2αb2x20a2+y20b2-1，若β为定值，则1-β2-4β为定值，而1-β2-4βcos2αa2+sin2αb2=x0cosαa2+y0sinαb22x20a2+y20b2-1，故当P x0,y0变化时，x0cosαa2+y0sinαb22x20 a2+y20b2-1始终为定值，又x0cosαa2+y0sinαb22x20a2+y20b2-1=x20cos2αa4+2x0y0cosαsinαa2b2+y20sin2αb2x20a2+y20b2-1=x20cos2αa4+2x0y0cosαsinαa2b2+b22a21-x20a2+c224a2sin2αb2x20a2+b22a21-x20a2+c224a2b2-1=x20cos2αa4-b2sin2αa2+c22+2x0y0cosαsinαa2b2+b2sin2α4a2x201a2-b2a2+c22+b24a2-1故cos2αa4-b2sin2αa2+c221a2-b2a2+c22=b2sin2α4a2b24a2-1且cosαsinαa2b2=0，但α≠0,α∈0,π，故α=π2，所以1-β2-4β=y0b221b2x20a2+y20b2-1=y20b2x20a2+y20-1=y20b2×a2+c224a21-y20b24a2a2+y20-1=y20b2×a2+c224a2a2-1+1-a2+c22a2y20，但此时1-β2-4β随y 20的变化而变化，不是定值，故“当β取定值，α是定值”是错误的.故选：D .【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于是否为定值的问题，注意构建不同变量之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题.6.(2023·江苏南通·二模)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为()A.54B.85C.52D.2105【答案】D【分析】设PF 1 =n ，PF 2 =m ，有n -m =2a ，n 2+m 2=4c 2，mn =2b 2，由弦长公式可得MN =23c 2 2-n 2 2，AB=23c 2 2-m 2 2，四边形AMBN 的面积为12AB ⋅MN ，解得c 2=83b 2，可求双曲线的离心率.【详解】根据对称性不妨设点P 在第一象限，如图所示，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，圆心为O 0,0 ，半径为3c2，设PF 1 =n ，PF 2 =m ，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，则有n -m =2a ，n 2+m 2=4c 2，可得mn =2b 2，过O 作MN 的垂线，垂足为D ，O 为F 1F 2的中点，则OD =12PF 1 =n2，MN =23c 2 2-n 22，同理，AB =23c 2 2-m 2 2，由AB ⊥MN ，四边形AMBN 的面积为12AB ⋅MN =12×23c 2 2-m 22×23c 2 2-n 22=9b 2，481c 416-m 2+n 24 9c 24+m 2n 216 =481c 416-9c 44+b 44=81b 4，化简得c 2=83b 2，则有a 2=c 2-b 2=53b 2，则C 的离心率e =c a =85=2105.故选：D7.(2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)如图，已知椭圆C 1和双曲线C 2具有相同的焦点F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，A 、B 、C 、D 是它们的公共点，且都在圆x 2+y 2=c 2上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线C 2交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2，若椭圆C 1的离心率为155，则k 1⋅k 2的值为()A.2B.52C.3D.4【答案】D【分析】设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，双曲线方程为x 2s 2-y 2t 2=1，根据椭圆离心率得到b 2=25a 2，故椭圆方程为2x 2+5y 2=2a 2，联立x 2+y 2=c 2求出A 点坐标，从而由对称性得到B ,C ,P 点坐标，表达出CP :y =55x -306b，将A 点代入双曲线方程，结合s 2+t 2=a 2-b 2=32b 2得到s 2=b 22，t 2=b 2，得到双曲线方程2x 2b 2-y 2b 2=1，联立CP :y =55x -306b，得到两根之和，两根之积，表达出Q 73054b ,-6b27，从而求出k 1,k 2，得到乘积.【详解】设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，双曲线方程为x 2s 2-y 2t 2=1，则a 2-b 2=s 2+t 2=c 2，由c a =155可得3a 2=5c 2，因为c 2=a 2-b 2，所以b 2=25a 2，故椭圆方程为2x 2+5y 2=2a 2，联立x 2+y 2=c 2可得：x 2=c 2-23b 2=32b 2-23b 2=56b 2，y 2=2b 23，则A 306b ,63b，由对称性可知A 、C 两点关于原点对称，A 、B 两点关于x 轴对称，则B 306b ,-63b，C -306b ,-63b ，所以P 306b ,0，故k CP =0+63b 306b +306b =55，直线CP :y =55x -306b，A 306b ,63b 代入x 2s 2-y 2t 2=1中得，5b 26s 2-2b 23t2=1①，又s 2+t 2=a 2-b 2=52b 2-b 2=32b 2②，②①结合得到s 2=5b 22或s 2=b 22，因为a 2=52b 2，显然s <a ，故s 2=b 22，所以t 2=32b 2-b 22=b 2，故双曲线方程为2x 2b 2-y 2b 2=1，联立CP :y =55x -306b 与2x 2b 2-y 2b2=1得：95x 2+3015bx -76b 2=0，设Q x 1,y 1 ，则-306bx 1=-76b 2⋅59，解得：x 1=73054b ，故y 1=5535930b -306b=-6b 27，所以Q 73054b ,-6b27，所以k 2=63b +6b27306b -73054b =25，其中k 1=63b +63b 306b +306b =255，故k 1k 2=25×255=4.故选：D【点睛】椭圆和双曲线共焦点时，焦距成为联系两个曲线的桥梁，要根据题目条件列出方程，寻找到椭圆中长半轴，短半轴，和双曲线中实半轴，虚半轴的关系，再求解离心率或其他相关问题，共焦点的椭圆和双曲线的重要结论：①具有公共焦点的椭圆和双曲线离心率分别为e 1,e 2，P 为它们的一个交点，且∠F 1PF 2=2θ，则sin θe 12+cos θe 22=1；②若点P x 0,y 0 是椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与双曲线C 2:x 2m 2-y 2n 2=1m >0,n >0 的一个公共点，且它们在P x 0,y 0 处的切线互相垂直，则椭圆C 1与双曲线C 2有公共焦点.二、多选题1.(2023·广东·统考一模)已知拋物线E :y 2=8x 的焦点为F ，点F 与点C 关于原点对称，过点C 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点(点A 和点C 在点B 的两侧)，则下列命题正确的是()A.若BF 为△ACF 的中线，则AF =2BFB.若BF 为∠AFC 的角平分线，则AF =6C.存在直线l ，使得AC =2AFD.对于任意直线l ，都有AF +BF >2CF【答案】AD【分析】设l :x =ky -2，不妨令A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)都在第一象限，C (-2,0),F (2,0)，联立抛物线，根据已知及韦达定理得k 2>1、y 1+y 2=8k ,y 1y 2=16，则x 1+x 2=8k 2-4,x 1x 2=4，再根据各项描述、抛物线定义判断它们的正误.【详解】由题意，设l :x =ky -2，不妨令A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)都在第一象限，C (-2,0),F (2,0)，联立E :y 2=8x ，则y 2-8ky +16=0，且Δ=64(k 2-1)>0，即k 2>1，所以y 1+y 2=8k ,y 1y 2=16，则x 1+x 2=8k 2-4,x 1x 2=4，如上图所示.A ：若BF 为△ACF 的中线，则y 2=y 12，所以y 1=42，所以x 1=4，故A (4,42)，所以B (1,22)，则AF =2BF =6，故A 正确；B ：若BF 为∠AFC 的角平分线，则BC AB=CF AF，作AD ,BE 垂直准线x =-2于D ,E ，则|AF |=|AD |且BC AB=CE DE，所以CF AD=CE DE，即CF AD +CF=CE CD=BE AD，则4x 1+6=x 2+2x 1+2，将x 2=4x 1>0代入整理，得x 21-4x 1-12=(x 1-6)(x 1+2)=0，则x 1=6，所以AF =x 1+2=8，故B 错误；C ：若AC =2AF ，即AC =2AD ，即△ACD 为等腰直角三角形，此时CD =AD ，即A (y 1-2,y 1)，所以y 21=8y 1-16，所以y 21-8y 1+16=0，所以y 1=4，所以y 2=4，则此时A ,B 为同一点，不合题设，故C 错误；D ：AF +BF =AD +BE =x 1+x 2+4=8k 2，而2CF =8，结合k 2>1，可得8k 2>8，即AF +BF >2CF 恒成立，故D 正确.故选：AD .2.(2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测)已知P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 是椭圆x 24+9y 24=1上两个不同点，且满足x 1x 2+9y 1y 2=-2，则下列说法正确的是()A.2x 1+3y 1-3 +2x 2+3y 2-3 的最大值为6+25B.2x 1+3y 1-3 +2x 2+3y 2-3 的最小值为3-5C.x 1-3y 1+5 +x 2-3y 2+5 的最大值为25+2105D.x 1-3y 1+5 +x 2-3y 2+5 的最小值为10-22【答案】AD【分析】设x =m ,3y =n ，设C (m 1,n 1),D (m 2,n 2)，可得OC =(m 1,n 1)，OD =(m 2,n 2),可得C 、D 两点均在圆m 2+n 2=4的圆上，且∠COD =2π3，根据点到直线的距离公式及圆的性质可得2x 1+3y 1-3 5+2x 2+3y 2-35及x 1-3y 1+52+x 2-3y 2+52的最值，可得答案.【详解】由x 24+9y 24=1，可得x 2+9y 2=4，又P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 是椭圆x 2+9y 2=4上两个不同点,可得x 12+9y 12=4,x 22+9y 22=4，设x =m ,3y =n ，则m 2+n 2=4，设C (m 1,n 1),D (m 2,n 2),O 为坐标原点，可得OC =(m 1,n 1)，OD=(m 2,n 2),可得m 12+n 12=4,m 22+n 22=4，且m 1m 2+n 1n 2=-2，所以OC ⋅OD =-2，cos OC ,OD =OC ⋅ODOC ⋅OD=-12，又OC ,OD ∈0,π ，可得C 、D 两点均在圆m 2+n 2=4的圆上，且∠COD =2π3，设CD 的中点为E ，则OE =2cosπ3=1,根据点到直线的距离公式可知：2x 1+3y 1-35+2x 2+3y 2-35=2m 1+n 1-35+2m 2+n 2-35为点C 、D两点到直线2x+y-3=0的距离d1、d2之和，设E到直线2x+y-3=0的距离d3，由题可知圆心到直线2x+y-3=0的距离为-322+1=35，则d1+d2=2d3≤2EO+3 5=21+35=2+65，d1+d2=2d3≥235-EO=235-1=65-2可得d1+d2的最大值为2+65，d1+d2的最小值为65-2；可得2x1+3y1-3+2x2+3y2-3=5(d1+d2)，可得2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最大值为5×2+65=25+6，最小值为6-25，故A正确，B错误；同理，x1-3y1+52+x2-3y2+52=m1-n1+52+m2-n2+52为点C、D两点到直线x-y+5=0的距离d4、d5之和，设E到直线x-y+5=0的距离d6，由题可知圆心到直线x-y+5=0的距离为512+1=52，则d4+d5=2d6≤252+1=52+2，d4+d5=2d6≥252-1=52-2，可得x1-3y1+5+x2-3y2+5=2(d4+d5)，可得2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最大值为10+22，最小值为10-22，故C错误，D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：本题的关键是把问题转化为圆上点到直线的距离问题，结合到直线的距离公式及圆的性质即得.3.(2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)设F1，F2为椭圆x24+y23=1的左，右焦点，直线l过F1交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是()A.△ABF2的周长为定值8B.△ABF2的面积最大值为23C.AF12+AF22的最小值为8 D.存在直线l使得△ABF2的重心为16,14【答案】ACD【分析】利用椭圆的定义可判断A，根据基本不等式结合椭圆的定义可判断C，设直线l的方程为x= my-1，联立椭圆方程利用韦达定理法，可表示出△ABF2的面积，△ABF2的重心进而判断BD.【详解】由椭圆x24+y23=1，可得a=2,b=3,c=1，所以△ABF2为AF1+AF2+BF1+BF2=4a=8，故A正确；因为AF1+AF2=4，所以AF12+AF22≥AF1+AF222=8，当且仅当AF1=AF2取等号，故C正确；由题可设直线l 的方程为x =my -1，由x =my -1x24+y 23=1 ，可得3m 2+4 y 2-6my -9=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，所以y 1-y 2 =y 1+y 22-4y 1y 2=6m3m 2+42-4-93m 2+4=12m 2+13m 2+4，所以△ABF 2的面积为S =12F 1F 2 y 1-y 2 =12m 2+13m 2+4，令t =m 2+1，则t ≥1，m 2=t 2-1，所以S =12m 2+13m 2+4=12t 3t 2+1=123t +1t，因为t ≥1，由对勾函数的性质可知3t +1t≥4，所以S =12m 2+13m 2+4=12t 3t 2+1=123t +1t≤3，当t =1，即m =0取等号，故B 错误；由上可知y 1+y 2=6m3m 2+4所以x 1+x 2=m y 1+y 2 -2=6m 23m 2+4-2=-83m 2+4，又F 21,0 ，所以△ABF 2的重心为131-83m 2+4,2m 3m 2+4，令131-83m 2+4 =162m 3m 2+4=14，解得m =2，所以当直线l 的方程为x =2y -1时△ABF 2的重心为16,14，故D 正确.故选：ACD .4.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，直线l 与C 交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，则下列结论正确的是()A.若直线l 经过焦点F ，且OA ⋅OB=-12，则p =2B.若AF =3FB ，则直线l 的倾斜角为π3C.若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则ABMN的最小值为2D.若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相切【答案】BC【分析】A 选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由OA ⋅OB=-12列出方程，求出p =4，A 错误；B 选项，先得到直线l 经过抛物线焦点，与A 一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合y 1=-3y 2求出直线l 的斜率，得到倾斜角；C 选项，设AF =m ,BF =n ，由抛物线定义结合基本不等式得到AB MN的最小值；D选项，与C 一样，考虑直线l 不经过焦点时，得到圆M 与准线相离，D 错误.【详解】A 选项，由题意得：F p 2,0，准线方程为x =-p2，当直线l 的斜率为0时，此时，直线l 与C 只有1个交点，不合题意，故设直线l :x =p2+my ，与y 2=2px 联立得：y 2-2pmy -p 2=0，故y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-p 2，则x 1x 2=y 1y 224p 2=p 24，所以OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=p 24-p 2=-12，解得：p =4，A 错误；B 选项，因为AF =3FB，所以A ,F ,B 三点共线，即直线l 经过抛物线焦点，当直线l 的斜率为0时，此时，直线l 与C 只有1个交点，不合题意，故设直线l :x =p2+my ，与y 2=2px 联立得：y 2-2pmy -p 2=0，故y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-p 2，因为AF =3FB ，所以y 1=-3y 2，代入y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-p 2中，得到y 2=-pm ,-3y 22=-p 2，即m 2=13，因为点A 在第一象限，所以y 1>0，故y 2<0，即-pm <0，m >0，解得：m =33故直线l 的斜率为1m=3，设直线l 的倾斜角为θ0≤θ<π ，则tan θ=3，解得：θ=π3，B 正确；C 选项，设AF =m ,BF =n ，过点A 作AQ ⊥准线于点Q ，过点B 作BP ⊥准线于点P ，因为以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，所以AF ⊥BF ，则AB =m 2+n 2，由抛物线定义可知：MN =AQ +BP2=AF +BF2=m +n2，由基本不等式得：m 2+n 2≥2mn ，则2m 2+n 2 ≥2mn +m 2+n 2=m +n 2，当且仅当m =n 时，等号成立，故m 2+n 2≥m +n 2，即AB MN=m 2+n 2m +n2=2m 2+n 2m +n≥2，C 正确；D 选项，当直线l 不经过焦点F p2,0时，设AF =m ,BF =n ，由三角形三边关系可知：AF +BF >AB ，由抛物线定义可知结合C 选项可知：AF +BF =2MN >AB ，即MN >AB2，若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相离，D 错误.故选：BC【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．5.(2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测)已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ，斜率为34的直线l 1过点F 交C 于A ，B 两点，且点B 的横坐标为4，直线l 2过点B 交C 于另一点M (异于点A )，交C 的准线于点D ，直线AM 交准线于点E ，准线交y 轴于点N ，则()A.C 的方程为x 2=4yB.AB =254C.BD <AED.ND ⋅NE =4【答案】ABD【分析】对于A ，根据题意设得F ,B 的坐标，再由直线l 1的斜率求得p ，从而求得抛物线C 的方程，由此判断即可；对于B ，联立直线l 1与抛物线C 的方程，求得A ,B 的坐标，进而求得AB ，由此即可判断；对于D ，设M m ,m 24 ，从而利用直接法求得E ,D 的坐标关于m 的表达式，从而证得ND ⋅NE =4，由此判断即可；对于C ，举反例排除即可.【详解】对于A ，由题意得F 0,p 2 ，B 4,8p，所以k AB =8p-p 24=34，整理得p 2+6p -16=0，又p >0，解得p =2，所以C 的方程为x 2=4y ，故A 正确；对于B ，由选项A 知双曲线C 的准线方程为y =-1，B (4,4)，F (0,1)，直线l 1的方程为y =34x +1，联立x 2=4y y =34x +1 ，解得x =-1或x =4，所以A -1,14 ，则AB =4+12+4-142=254，故B 正确；对于D ，设点M m ,m 24 ，由题意知m ≠±1且m ≠±4，所以直线MA :y -14=m -14x +1 ，令y =-1，得x =-m +4m -1，即E -m +4m -1,-1 ，故NE =m +4m -1，同理可得D 4m -4m +4,-1，故ND =4m -4m +4，所以ND ⋅NE =4m -4m +4 ⋅m +4m -1 =4，故D 正确；对于C ，当m =2时，E (-6,-1)，D 23,-1 ，则AE =5174，BD =5133，则BD >AE ，故C 错误．故选：ABD ．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是设M m ,m 24 ，从而利用熟练的运算能力将E ,D 的坐标表示为关于m 的表达式，从而得解.6.(2023·山东青岛·统考一模)已知A 、B 是平面直角坐标系xOy 中的两点，若OA =λOB λ∈R ，OA ⋅OB=r 2r >0 ，则称B 是A 关于圆x 2+y 2=r 2的对称点．下面说法正确的是()A.点1,1 关于圆x 2+y 2=4的对称点是-2,-2B.圆x 2+y 2=4上的任意一点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点就是A 自身C.圆x 2+y -b 2=b 2b >0 上不同于原点O 的点M 关于圆x 2+y 2=1的对称点N 的轨迹方程是y =12bD.若定点E 不在圆C :x 2+y 2=4上，其关于圆C 的对称点为D ，A 为圆C 上任意一点，则AD AE为定值【答案】BCD【分析】利用题中定义可判断AB 选项；设点M x 0,y 0 ，其中x 0≠0，设点N x ,y ，可得出x 20+y 20=2by 0，根据题中定义并结合已知条件求出点N 的轨迹方程，可判断C 选项；证明出△AOD ∽△EOA ，可得出AD AE=OA OE，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取点A 1,1 ，设点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点为B ，则存在e 使得，OB =e OA ，可得OA ⋅OB =e OA 2=2e =4，则e =2，所以，OB =2OA =2,2 ，因此，点1,1 关于圆x 2+y 2=4的对称点是2,2 ，A 错；对于B 选项，由题意可知OA=2，设点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点为点B ，则存在实数k ，使得OB =kOA ，所以，OA ⋅OB =kOA 2=4k =4，可得k =1，即OB =OA ，因此，圆x 2+y 2=4上的任意一点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点就是A 自身，B 对；对于C 选项，设点M x 0,y 0 ，其中x 0≠0，设点N x ,y ，因为点M 在圆x 2+y -b 2=b 2b >0 上，则x 20+y 0-b 2=b 2，可得x 20+y 20=2by 0，由题意可知，存在实数m ，使得ON =mOM ，即x =mx 0y =my 0 ，所以，OM ⋅ON =mOM 2=m x 20+y 20 =2bmy 0=2by =1，可得y =12b，因此，点N 的轨迹方程为y =12b，C 对；对于D 选项，设点E x 1,y 1 ，则x 21+y 21≠4，设点D x 2,y 2 ，由题意可知，存在实数t ，使得OD =tOE ，且OD ⋅OE =tOE 2=4，则t >0，所以，OD 、OE 同向，且OD ⋅OE =OD ⋅OE =4=OA 2，所以，OD OA =OA OE ，又因为∠AOD =∠EOA ，所以，△AOD ∽△EOA ，所以，AD AE=OA OE为定值，D 对.故选：BCD .【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；(3)相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标x 0、y 0，然后代入点P 的坐标x 0,y 0 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；(4)参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.7.(2023·山东济宁·统考一模)已知F 1，F 2是椭圆C 1：x 2a 12+y 2a 22=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2：x 2a 22-y 2a 22=1(a 2>0,b 2>0)的公共焦点，e 1，e 2分别是C 1与C 2的离心率，且P 是C 1与C 2的一个公共点，满足PF 1⋅PF 2=0，则下列结论中正确的是()A.a 12+b 12=a 22-b 22 B.1e 21+1e 22=2C.1e 1+3e 2的最大值为22 D.3e 1+1e 2的最大值为22【答案】BD【分析】根据共焦点得到a 12-b 12=a 22+b 22，A 错误，计算PF 1 =a 1+a 2，PF 2 =a 1-a 2，得到a 12+a 22=2c 2，B 正确，设1e 1=2sin θ，1e 2=2cos θ，代入计算得到C 错误，D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：椭圆和双曲线共焦点，故a 12-b 12=a 22+b 22，错误；对选项B ：PF 1 ⋅PF 2 =0，即∠F 1PF 2=π2，PF 1 +PF 2 =2a 1，PF 1 -PF 2 =2a 2，故PF 1 =a 1+a 2，PF 2 =a 1-a 2，故a 1+a 2 2+a 1-a 2 2=4c 2，即a 12+a 22=2c 2，即1e 12+1e 22=2，正确；对选项C ：设1e 1=2sin θ，1e 2=2cos θ，1e 1+3e 2=2sin θ+6cos θ=22sin θ+π3 ，若最大值为22，则θ+π3=π2+2k π,k ∈Z ，θ=π6+2k π,k ∈Z ，1e 1=22，即e 1=2>1，不成立，错误；对选项D ：设1e 1=2sin θ，1e 2=2cos θ，3e 1+1e 2=6sin θ+2cos θ，=22sin θ+π6 ，若最大值为22，则θ+π6=π2+2k π,k ∈Z ，θ=π3+2k π,k ∈Z ，1e 1=62，即e 1=63，1e 2=22，e 2=2，成立，正确；故选：BD【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的离心率相关问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角换元求最值可以简化运算，是解题的关键.8.(2023·山东济南·一模)在平面直角坐标系xOy 中，由直线x =-4上任一点P 向椭圆x 24+y 23=1作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则()A.∠APB 恒为锐角B.当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为12C.|AP |的最小值为4D.存在点P ，使得(PA +PO )⋅OA=0【答案】ABD【分析】对于A 项，利用椭圆的切点弦方程可得l AB 过椭圆左焦点，再判定以AB 为直径的圆与直线x =-4的位置关系即可；对于B 项，当AB 垂直于x 轴时，可直接解得切线方程判定即可；对于C 项，特殊值法判定即可；对于D 项，取OA 中点M ，易知PM ⊥OA ，建立方程计算即可.【详解】对于A 项，设切线方程为l :y =kx +m ,P -4,t 、A x 1,y 1 、B x 2,y 2 联立y =kx +m3x 2+4y 2-12=0得：4k 2+3 x 2+8km +4m 2-12=0，∵直线与椭圆相切，故Δ=0,则x 1=-4km 4k 2+3,y 1=3m 4k 2+3∴k =-3x 14y 1,m =3y 1，∴切线PA 的方程为l PA :x 1x 4+y 1y 3=1，同理切线PB 的方程为l :x 2x4+y 2y 3=1而P 点在l PA 、l PB 上，故-4x 14+y 1t 3=1-4x 24+y 2t 3=1，又A x 1,y 1 、B x 2,y 2 满足该方程组，故l AB :-4x 4+ty 3=1，显然l AB 过定点-1,0 即椭圆左焦点.以AB 为直径的圆半径最大无限接近a ，但该圆与x =-4一直相离，即∠APB 始终为锐角，A 正确；对于B 项，由A 得l AB :-4x 4+ty 3=1，AB ⊥x 轴时，t =0，易得A -1,32、P -4,0 ，∴k PA =32-0-1--4=12，故B 正确；对于C 项，由B 知AB ⊥x 轴时，A -1,32 、P -4,0 此时PA =352<4，故C 错误；对于D 项，取AO 中点M ，若(PA +PO )⋅OA =0则2PM ⋅AO=0,∴PM ⊥AO ，即△PAO 为等腰三角形，PA 2=x 1+4 2+y 1-t 2=PO 2=16+t 2，化简得x 12+y 12+8x 1-2ty 1=0，由A 知：ty 1=3x 1+3,y 12=31-x 124，整理得：x 12+8x 1-12=0,∴x 1=27-4，显然存在P 满足题意，故D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，属于压轴题.对于小题，提高效率可以用特殊值法，极端位置猜测，这里也需要积累一些比较常用的二级结论：(1)过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上一点x 0,y 0 的切线方程x 0x a 2+y 0y b2=1，(2)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1外一点x 0,y 0 引两条切线，切点连线方程为x 0x a 2+y 0y b2=1；(3)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的准线方程：x =±a 2c ，过准线引椭圆的两条切线，切点连线过对应焦点.9.(2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测)已知AB ，CD 是经过抛物线y 2=2x 焦点F 的互相垂直的两条弦，若AB 的倾斜角为锐角，C ，A 两点在x 轴上方，则下列结论中一定成立的是()A.AB 2+CD 2最小值为32B.设P x ,y 为抛物线上任意一点，则x +x -322+y -22的最小值为5C.若直线CD 的斜率为-3，则AF ⋅BF =4D.OA ⋅OB +OC ⋅OD =-32【答案】AD【分析】选项AC :数形结合推导出|AF |=p 1-cos α,|BF |=p1+cos α,应用公式求解和判断；选项B ：根据抛物线定义和性质转化求解；选项D ：联立方程，应用韦达定理证得：OA ⋅OB =OC ⋅OD =-34p 2即可判断；【详解】设直线AB 的倾斜角为α.AF =AA 1 =p +FH =p +AF cos α，则AF 1-cos α =p ，即AF =p 1-cos α，同理可得BF =p1+cos α.y 2=2x ,根据定义得：p =1,焦点坐标12,0；选项A ：AB 2+CD 2=2p sin θ 2 2+2p sin θ+π2 22=4p 2sin θ 4+4p 2cos θ 4≥8sin θ 2cos θ 2(当且仅当θ=π4时等号成立)8sin θ 2cos θ 2=812sin2θ2=32sin 22θ≥32，因为sin2θ∈-1,1 ，所以AB 2+CD 2=32sin 22θ≥32,故A 正确；选项B ：令Q 32,2 ,x +x -32 2+y -2 2=x +p2+x -322+y -2 2-p2转换成抛物线上的点到焦点的距离,x +x -322+y -2 2=PF +PQ -12≥FQ -12=32-122+2-0 2-12=5-12,故B 错误；选项C ：tan θ=-3,根据三角函数间关系得：cos θ=-12,AF ⋅BF =p 1-cos α⋅p 1+cos α=43，故C 错误；选项D :因为AB 的斜率为k ，AB ⊥CD ，所以k CD =-1k ，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，AB 的方程为y =k x -p2 ，由y =k x -p2y 2=2px可得，k 2x 2-p (k 2+2)x +14k 2p 2=0，x 1+x 2=p (k 2+2)k 2x 1x 2=14p2，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=14p 2+k 2x 1-p 2 x 2-p 2=14p 2+k 2x 1x 2-p 2x 1+x 2 +14p 2 =14p 2+12k 2p 2-p 2(k 2+2)2=-34p 2与k 无关，同理OC ⋅OD =-34p 2，故OA ⋅OB +OC ⋅OD =-32p 2=-32,即OA ⋅OB +OC ⋅OD =-32故D 正确；故选：AD ;10.(2023·湖南·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =3x ，且F 1到l 的距离为33，点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为2,0 ，PQ 为∠F 1PF 2的平分线．则下列正确的是()A.双曲线的方程为x 29-y 227=1B.PF 1=3 PF 2C.OP =36D.点P 到x 轴的距离为3152【答案】ACD【分析】由F 1到l 的距离为33以及渐近线方程为y =3x 可求得a =3,b =33,c =6，即可得出方程，判断A ；由PF 1PF 2 =QF 1QF 2 可求出判断B ；结合双曲线定义可求得PF 1 =12,PF 2 =6，求出cos ∠F 1PF 2，即可求出PF 1 +PF 2，判断C ；利用等面积法可求得点P 到x 轴的距离，判断D .【详解】F 1-c ，0 到y =3x 的距离为33，3c2=33，解得c =6，又渐近线方程为y =3x ，则ba=3，结合a 2+b 2=c 2可解得a =3，b =33，则双曲线的方程为x 29-y 227=1，故A 正确；PQ 为∠F 1PF 2的平分线，PF 1 PF 2=QF 1 QF 2=84=2，故B 错误；由双曲线定义可得PF 1- PF 2 =6，则可得PF 1 =12，PF 2 =6，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=122+62-1222×12×6=14，则|PF 1 +PF 2 |2=PF 1 2+2PF 1 ⋅PF 2 +PF 2 2=122+2×12×6×14+62=216，则PF 1 +PF 2 =2PO=66，即OP =36，故C 正确；在△PF 1F 2中，sin ∠F 1PF 2=1-cos 2∠F 1PF 2=154，设点P 到x 轴的距离为d ，则S △PF 1F 2=12×F 1F 2×d =12PF 1× PF 2 ×sin ∠F 1PF 2，即12×12×d =12×12×6×154，解得d =3152，故D 正确．故选：ACD .【点睛】关键点点睛：是根据已知求出双曲线方程，结合双曲线的定义求得焦点三角形的各边长.11.(2023·湖南·模拟预测)已知椭圆：Γ:x 2a2+y 23=1(a >3)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，点M 为椭圆Γ上一点，点I 是△MF 1F 2的内心，延长MI 交线段F 1F 2于N ，抛物线y 2=158(a +c )x (其中c为椭圆下的半焦距)与椭圆Γ交于B ，C 两点，若四边形ABF 1C 是菱形，则下列结论正确的是()A.|BC |=352 B.椭圆Γ的离心率是32C.1MF 1 +4MF 2的最小值为94 D.|IN ||MI |的值为12【答案】ACD【分析】对于A ，利用椭圆与抛物线的对称性得到m =12a -c ，从而将B m ,n 代入抛物线方程得到n =354，进而得以判断；对于B ，将B m ,n 代入椭圆Γ的方程得到a =2c ，由此得以判断；对于C ，利用椭圆的定义与基本不等式“1”的妙用即可判断；对于D ，利用三角形内心的性质与三角形角平分线的性质，结合比例的性质即可判断.【详解】对于A ，因为椭圆Γ:x 2a 2+y 23=1(a >3)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，则A a ,0 ，F 1-c ,0 ，F 2-c ,0 ，b 2=3，因为抛物线y 2=158(a +c )x (其中c 为椭圆下的半焦距)与椭圆Γ交于B ，C 两点，所以由椭圆与抛物线的对称性可得，B ,C 两点关于x 轴对称，不妨设B m ,n ，C m ,-n ，n >0，因为四边形ABF 1C 是菱形，所以BC 的中点是AF 1的中点，所以由中点坐标公式得2m =a -c ，则m =12a -c ，将B m ,n 代入抛物线方程y 2=158(a +c )x 得，n 2=158a +c m =1516a +c a -c =1516a 2-c 2，所以n 2=1516b 2=4516，则n =354，所以|BC |=2n =352，故A 正确；对于B ，由选项A 得B 12a -c ,354 ，再代入椭圆方程得14⋅a -c 2a2+4516×3=1，化简得a -c2a2=14，则a -c a =12，故a =2c ，所以e =c a =12，故B 错误；对于C ，由选项B 得a =2c ，所以b 2=a 2-c 2=3c 2=3，则c =1,a =2，所以MF 1 +MF 2 =2a =4，不妨设MF 1 =s ,MF 2 =t ，则s +t =4，且s >0,t >0，所以1MF 1 +4MF 2=1s +4t =14s +t 1s +4t =145+t s +4s t ≥145+2t s ⋅4s t =94，当且仅当t s =4s t 且s +t =4，即s =43,t =83，即MF 1 =43,MF 2 =83时，等号成立，所以1MF 1 +4MF 2 的最小值为94，故C 正确；对于D ，连接IF 1和IF 2，如图，因为△MF 1F 2的内心为I ，所以IF 1为∠MF 1F 2的平分线，则有MF 1 F 1N=MI IN，同理：MF 2 F 2N=MI IN，所以MF 1 F 1N=MF 2 F 2N=MI IN，所以MI IN=MF 1 +MF 2 F 1N +F 2N=2a 2c =2，所以|IN ||MI |=12，故D 正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用椭圆与抛物线的对称性，可设B ,C 的坐标，再由菱形的性质与中点坐标公式推得m =12a -c ，从而求得a ,c 的值，由此得解.三、填空题1.(2023·广东揭阳·校考模拟预测)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1,F 2，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2=π3.若ΔF 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ,r ，且R =4r ，则双曲线的离心率为.【答案】2721．【分析】在△F 1PF 2中，利用正弦定理：2R =F 1F 2sin ∠F 1PF 2，求得R =233c ，r =14R =36c ，设PF 1 =m ,PF 2 =n ，再利用余弦定理求得mn ，然后由S △F 1PF 2=12mn sin π3=12m +n +2c r 求解．【详解】双曲线的焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ,F 1F 2 =2c ，在△F 1PF 2中，由正弦定理得：2R =F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2c sin π3=433c ，解得R =233c ，r =14R =36c ，设PF 1 =m ,PF 2 =n ，在△F 1PF 2中，由余弦定理得：4c 2=m 2+n 2-2mn cos π3=m -n 2+mn ，解得mn =4c 2-a 2 ，所以S △F 1PF 2=12mn sin π3=3c 2-a 2 ，因为m +n 2=m -n 2+4mn =4a 2+16c 2-a 2 =16c 2-12a 2又S △F 1PF 2=12m +n +2c r =3c m +n +2c12，所以3c 2-a 2=3c m +n +2c 12，则m +n =10c 2-12a 2c所以m +n 2=10c 2-12a 2c2=16c 2-12a 2整理得21c 4+36a 4-57a 2c 2=0，则c 2-a 2 21c 2-36a 2 =0解得e =c a =2217或e =1(舍去)故答案为：2217．【点睛】关键点点睛：本题的关键在于结合正余定理以及S △F 1PF 2=12mn sin π3=12m +n +2c r 化简求解．2.(2023·浙江·校联考三模)已知椭圆E :x 24+y 2=1，椭圆的左右焦点分别为F 1,F 2，点A (m ,n )为椭圆上一点且m >0,n >0，过A 作椭圆E 的切线l ，并分别交x =2、x =-2于C 、D 点．连接CF 1、DF 2，CF 1与DF 2交于点E ，并连接AE ．若直线l ，AE 的斜率之和为32，则点A 坐标为．【答案】2,22 ##2,122 【分析】设直线l 的程y =kx +b ，利用直线与椭圆相切，联立方程，则Δ=0，即4k 2=b 2-1，最后得到切线方程为mx4+ny =1，再求出C ,D 坐标，写出直线直线DF 2，CF 1的方程，联立解出E 点坐标，最后得到m =2n ，再联立m 24+n 2=1，解出即可.【详解】由椭圆E :x 24+y 2=1可得F 1(-3,0),F 2(3,0)，。
高考数学冲刺复习考点精讲与练习
高考数学冲刺复习考点精讲与练习高考对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。
而数学作为其中的关键学科，更是让许多同学感到压力山大。
在高考冲刺阶段，如何高效复习数学考点，提高解题能力，是大家都十分关心的问题。
接下来，让我们一起深入探讨高考数学的重要考点，并通过一些练习来巩固和强化。
一、函数函数是高考数学中的重点和难点，贯穿了整个高中数学的学习。
1、函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
要熟练掌握这些性质的定义、判定方法以及相关的运算。
例如，判断函数的单调性，可以通过求导或者定义法来进行。
对于偶函数，满足 f(x) ＝ f(x)；奇函数则满足 f(x) ＝ f(x)。
2、函数的图像能够根据函数的表达式画出大致图像，或者通过图像分析函数的性质。
比如，二次函数的图像是一条抛物线，通过其开口方向、对称轴和顶点坐标等，可以了解函数的单调性和最值。
3、函数的应用在实际问题中，常常会涉及到函数的建模，比如利用函数解决最值问题、优化问题等。
练习：已知函数 f(x) ＝ x² 2x ＋ 3，求其在区间0, 3上的最大值和最小值。
二、数列数列是高考中的常考内容，也是容易得分的部分。
1、等差数列和等比数列要牢记等差数列和等比数列的通项公式、前 n 项和公式，以及相关的性质。
例如，等差数列的通项公式为 an ＝ a1 ＋（n 1)d，前 n 项和公式为 Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2；等比数列的通项公式为 an ＝ a1q^（n 1)，前n 项和公式为 Sn ＝ a1(1 q^n) ／（1 q)（q ≠ 1）。
2、数列的递推关系能够通过递推关系求出数列的通项公式或者前 n 项和。
3、数列的综合应用常常与不等式、函数等知识结合起来考查。
练习：已知等差数列{an}的首项 a1 ＝ 1，公差 d ＝ 2，求数列{an}的前 10 项和。
三、三角函数三角函数是高中数学中的重要组成部分，在高考中占有一定的比例。
2021年高考数学三轮冲刺考点分类解析练习卷函数理
2021年高考数学三轮冲刺考点分类解析练习卷函数理1．记函数，若曲线上存在点使得，则a 的取值范畴是（ ）A. B.C.D.2．已知函数()2,(0)f x e x =+<与()()ln 2g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范畴是( )A. 1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. (),e -∞C. 1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知函数()()()222f x x xxmx n =+++，且对任意实数x ,均有()()33f x f x -+=--，若方程()f x a =有且只有4个实根，则实数a 的取值范畴（ ）A. ()16,9-B. (]16,9-C. (]16,0-D. (]16,5-- 4．已知函数()()2f ,,,dx a b c d R ax bx e=∈++的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是( )A. 0,0,0,0a b c d >>B. 0,0,0,0a b c dC. 0,0,0,0a b c d >>D. 0,0,0,0a b c d >> 5．若0.8331log ,log 9.1,22a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A. a b c << B. b a c << C. a c b << D. c a b <<6．已知(){}|0M f αα==, (){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x f x -=-与()2x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范畴为( ) A. 214(,e e ⎤⎥⎦ B. 214(, e e ⎤⎥⎦ C. 242[, e e ⎫⎪⎭D. 3242[, e e ⎫⎪⎭ 7．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时， ()21xf x =-，设1ln a π=， 2ln5b e-=，0.113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f c f a <<C. ()()()f b f a f c <<D. ()()()f c f b f a << 8．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时， ()()[)[)2log 1,0,1{ 31,1,x x f x x x +∈=--∈+∞，则函数()()F x f x a=-（10a -<<）的所有零点之和为（ ）A. 12a -B. 21a -C. 12a --D. 21a --9．已知函数()f x 是定义在R 内的奇函数，且满足()()2f x f x -=，若在区间(]0,1上， ()1f x x=，则111128128f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A.316 B. 3112 C. 356 D. 351210．已知且，函数在区间上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是（ ）A. B.C.D. 11．已知A 、B 是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为（ ） A.B.C.D.12．已知定义域为I 的偶函数()f x 在()0,+∞上单调递增，且0x I ∃∈，()00f x <，则下列函数中符合上述条件的是（ ）A. ()2f x x x =+ B. ()22xxf x -=- C. ()2log f x x = D. ()43f x x-=13．定义在R 上的偶函数在单调递增，且，则的x 取值范畴是 （ ）A. B. C. D.14．若，则a 的值不可能为（ ）A. B. C. D.15．已知函数，则函数的大致图象是（ ）A. B. C. D.16．设函数在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ）A. 在R 上为减函数B. 在R 上为增函数C.在R 上为减函数 D.在R 上为增函数17．已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=（ ）A. 0B. 2018C. 4036D. 403718．已知()f x 是定义在[]2,1b b -+上的偶函数，且在[]2,0b -上为增函数，则()()12f x f x -≤的解集为（ ） A. 21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. []1,1- D. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．设，则“”是“ ”为偶函数的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件20．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足： ()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x x R =∈,()()()10,2ln g x x h x e x x=<=,有下列命题： ①()()()F x f x g x =-在32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范畴是](40 -，； ④()f x 和()g x 之间存在唯独的“隔离直线”2y ex e =-. 其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个21．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()f x 在[]1,2上的解析式是________22．已知函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x x +=+，则()2f log 5=__________．23．在直线0x =， 1x =， 0y =， 1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =， 1y e =+， 1xy e =+围成的区域内的概率为__________．24．已知函数()2ln f x x =和直线:260l x y +=－，若点P 是函数f x （）图象上的一点，则点 P 到直线l 的距离的最小值为__________． 25．已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，，给出以下命题：①当时，；②函数有5个零点；③若关于x 的方程有解，则实数的取值范畴是；④对恒成立，其中，正确命题的序号是__________．26．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间](26 -，内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范畴是__________．。
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函数小题大做一、单选题1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ） A ．()f x x =- B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()3f x x 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.对于D ，()3f x x =R 上的增函数，符合题意， 故选：D.2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+【答案】D 【分析】先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x . 【详解】()f x 是奇函数， 0x ≥时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，()()1x f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ． 【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．94-B ．32-C ．74 D ．52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =． 所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．4．（2021年天津高考数学试题）函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解. 【详解】 设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.5．（2021年全国新高考II 卷数学试题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】C 【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论. 【详解】55881log 2log 5log 22log 32a b =<===，即a c b <<. 故选：C.6．（2020年北京市高考数学试卷）已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(0,1) D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.7．（2019年北京市高考数学试卷（文科））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-【答案】A 【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版））已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C 【详解】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 11．（2021·四川·树德中学高一阶段练习）已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =- 的图象与y x m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A ．(0,1][23,)⋃+∞ B ． (0,1][3,)⋃+∞ C ． 2]3,)⋃+∞ D ． 2][3,)⋃+∞【答案】B 【详解】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =单调递增，且[,1]y x m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m << ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12．（2021年天津高考数学试题）设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A 【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a ππ-=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】()222150x a x a -+++=最多有2个根，所以()cos 220x a ππ-=至少有4个根， 由22,2x a k k Z ππππ-=+∈可得1,24k x a k Z =++∈， 由1024k a a <++<可得11222a k --<<-， （1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤； 当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤； （2）当x a ≥时，22()2(1)5f x x a x a =-+++，()()22Δ4(1)4582a a a =+-+=-， 当2a <时，∆<0，()f x 无零点； 当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点；当2a >时，令22()2(1)5250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点； 所以若52a >时，()f x 有1个零点. 综上，要使()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则应满足 7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩，则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.二、填空题13．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a ______.【答案】1 【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值. 【详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x xf x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x xa --，故1a =， 故答案为：114．（2019年江苏省高考数学试卷）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．15．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数()212ln f x x x =--的最小值为______.【答案】1 【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值. 【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞， ∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减； 当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减； 当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增； 又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增； ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为：1.16．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4) (1,3](4,)+∞ 【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)+∞. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11试卷第12页，共1页。