2023高考数学基础强化专题训练(二)
专题02 数列-【李金柱梳理】冲刺2023年高考数学大题突破+限时集训(新高考专用)(原卷版)
专题02数列题型简介数列一般作为全国卷第17题或第18题或者是19题，主要考查数列对应的求和运算以及相应的性质考察题型一般为：1错位相减求和2裂项相消求和3（并项）分组求和4数列插项问题5不良结构问题6数列与其他知识点交叉问题；在新高考改革情况下，对于数列的思辨能力有进一步的加强，务必要重视典例在线题型一：数列错位错位相减求和1．已知{}n a 为首项112a =的等比数列，且n a ，12n a +，24n a +成等差数列；又{}n b 为首项11b =的单调递增的等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且1S ，2S，4S 成等比数列．(1)分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3n T <．变式训练1．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，并且0n b ＞，11334223,1,19,2a b b S a b a ==+=-=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ；(3)若()11N *·n n n c n a a +=∈，求数列{}n c 的前n 项和nM 题型二：裂项相消求和1已知数列{}n a 的前n 项的积记为n T ，且满足112n n na T a -=.(1)证明：数列{}n T 为等差数列；(2)设()()111nnn n n b T T +-+=，求数列{}nb 的前n 项和nS.1．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且1n a =+.(1)证明：{}n a 是等差数列.(2)设数列1n n n S a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若满足不等式n T m<的正整数n 的个数为3，求m 的取值范围.题型三：（并项）分组求和1.设{}n a 是首项为1的等比数列，且满足123,3,9a a a 成等差数列：数列{}n b 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且满足()21n n n S b b =+，则(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n T 为数列{}n n a b 的前n 项的和，证明：121412318n n n T --+≤⋅；(3)任意()()254,N ,,n n n n nb b a n nc a n +⎧--∈=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项的和．变式训练1．已知数列{}n a 满足11a =,11,2,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.(1)记2n n b a =,写出1b ,2b ,3b ,4b ,并猜想数列{}n b 的通项公式;(2)证明（1）中你的猜想;(3)若数列{}n a 的前n 项和为n S ,求2n S .题型四：数列插项问题1．记数列{an }的前n 项和为Sn ，对任意正整数n ，有2Sn ＝nan ，且a 2＝3.(1)求数列{an }的通项公式；(2)对所有正整数m ，若ak ＜2m ＜ak ＋1，则在ak 和ak ＋1两项中插入2m ，由此得到一个新数列{bn }，求{bn }的前40项和.变式训练1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈N ．(1)求证：12n a ⎧⎫+⎨⎩⎭是等比数列；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.题型五不良结构问题1．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =且2a ，5a ，14a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，在①21n n S =-，*n ∈N ；②21n n S b =-，*n ∈N ；③121n n S S +=+，*n ∈N 这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若11b =，且______，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.变式训练1．在①89a =，②520S =，③2913a a +=这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，___________，___________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)若存在n *∈N ，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.题型六数列与其他知识点交叉问题1．为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为α，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为β”，一次游戏中甲小朋友的得分记为X ．(1)求X 的分布列；(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分，()0,1,,8i p i =⋅⋅⋅表示“甲小朋友的当前累计得分为i 时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则00p =，81p =，11(1,2,,7)i i i i bp cp a i p p -+=++=⋅⋅⋅，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.6β=．（i ）证明：{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=⋯为等比数列；（ii ）根据4p 的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．变式训练1．已知函数()cos 2f x x =，()sin g x x =.(1)判断函数()2ππ4H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；(2)设函数()()sin h x x ωϕ=+（0ω>，π02ϕ<<），若函数2πh x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式；(3)求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,π)n 内恰有147个零点.模拟尝试一、解答题1．已知数列{}n a 的前n 项之积为()()1*22n n n S n -=∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设公差不为0的等差数列{}n b 中，11b =，___________，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .请从①224b b =；②358b b +=这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.2．已知数列{}n a 的前n 项和为11131,3,31n n n n n S S a S ++-==-.(1)求23,S S 及{}n a 的通项公式；(2)若()()()()()()()32122311111111n n n n a a a a a a a a a a λ-+++≤------- 对任意的*2,N n n ≥∈恒成立，求λ的最小值.3．在数列{}n a 中，21716a =，*113,N 44n n a a n +=+∈．(1)证明：数列{}1n a -是等比数列；(2)令123n n n b a +=⋅+，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：1340n S <．4．已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足1325162,12,4,a S b b a ====．(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)将数列{}n a 中与数列{}n b 相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求100T ．5．已知{}n a 为首项112a =的等比数列，且n a ，12n a +，24n a +成等差数列；又{}n b 为首项11b =的单调递增的等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且1S ，2S，4S 成等比数列．(1)分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3n T <．6．设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，且满足()*21N n n T a n =-∈．(1)证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+，证明：14n S <．7．设{}n a 是首项为1的等比数列，且满足123,3,9a a a 成等差数列：数列{}n b 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且满足()21n n n S b b =+，则(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n T 为数列{}n n a b 的前n 项的和，证明：121412318n n n T --+≤⋅；(3)任意()()254,N ,,n n n n nb b a n nc a n +⎧--∈=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项的和．真题再练一、解答题1．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．2．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．3．（2022·全国·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}nb 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．4．（2022·北京·统考高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．5．（2022·天津·统考高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．6．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ；(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．7．（2021·全国·统考高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.nn n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.8．（2020·山东·统考高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．9．（2020·海南·高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.。
【冲锋号考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷 02卷(理科)(全国卷专用)(解析版)
【冲锋号·考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷02卷（理科）（全国卷专用） （解析版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|2A x x x =<+，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1,2【答案】C【分析】解不等式得到{}|12A x x =-<<，求出交集.【详解】22x x <+，即220x x --<，解得：12x -<<，故{}|12A x x =-<<， 所以{}{}{}1,0,1,1|122,30,A x B x =--<=<.故选：C 2．若复数z 满足2iz+为纯虚数，且1z =，则z 的虚部为（ ）A ．BC ．D255=，即．下列命题正确的个数为（ ①命题“x ∃∈R ，210x x ++≥”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++<”； ②0a b +=的充要条件是1ba=-； ③若函数()y f x =为奇函数，则()0f x =； ④0ab ≥是222a b ab +≥的必要条件. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个0a b 时，a 函数()1f x x=是奇函数，但是1=，1b ，2a +所以，只有①正确. 能是（ ） A ．1()f x x=-B ．2()f x x =-C ．()e e x x f x -=+D ．1()ln1xf x x-=+ ,0)(0,)+∞，,0)-∞上单调递增，e e x x f -=+．在直三棱柱111中，11分別是1111的中点，1，则1BD与1AF所成角的正弦值是（）A B．12C D则())(2,0,0,,0,2,0,2,0A B故(11,BD=-，(11,0,2AF=-11BD AF与所成角为α，0︒113cos5AF BDAF BDα⋅==⨯⋅所以270sin1cosαα=-=6．从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（）种.A ．16B ．20C ．96D ．120【答案】C【分析】分一男两女与两男一女两类讨论.【详解】若选一男两女共有：123243C C A 72=； 若选两男一女共有：213243C C A 24=；因此共有96种， 故选：C7．函数()()f x x ωϕ=+其中π0,||2ωϕ><，的图象的一部分如图所示，()g x x ω=，要想得到()g x 的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移2个单位长度中，每场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（ ）A．1481B．13C．1781D．168115,3B⎛⎫⎪⎝⎭.的锐角组成的对称多边形纹样，具有组合性强、结构稳定等特点．有的八角星纹中间镂空出一个正方形，有的由八个菱形组成，内部呈现米字形线条．八角星纹目前仍流行在中国南方的挑花和织锦中．在图2所示的八角星纹中，各个最小的三角形均为全等的等腰直角三角形，中间的四边形是边长为2的正方形，在图2的基础上连接线段，得到角α，β，如图3所示，则αβ+=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】B1BC )0,45，所以45.10．函数()()e e cos 2x xf x x -=-在区间,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大致图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用定义判断()f x 的奇偶性，再结合函数值的符号分析判断，即可得答案.【详解】∵()()()()()()e e cos2e e cos 2e e e e cos20x x x x x x x xf x f x x x x ----+-=-+--=-+-=，即()()f x f x =--，11．若双曲线()2210,0x y a b a b -=>>的渐近线与圆C ：22420x y x +-+=相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．()1,2C ．)2D ．)+∞双曲线1201x x A ．2121e e ln ln x xx x ->- B ．2121e e ln ln x xx x -<- C ．1221e e x xx x >D ．1221e e x xx x <13．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点2F 作垂直于x 轴的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，则||AB =_____．故||6(6)12AB =--=， 故答案为：12.14．已知O 为坐标原点，且(1,),(4,4)A m B m -，若,,O A B 三点共线，则实数m =_____． 【答案】45##0.8【分析】将三点共线，转化为//OA OB ，再利用向量平行的坐标表示，即可求解三点共线，所以//OA OB ，(1,OA m =，(4,4OB =在ABC 中，角所对的边分别为,,a b c ，若2a =，3，sin A =则ABC 的面积为___________. ABCS=故答案为：．已知矩形绕AD 顺时针旋转π2，则线段AP 扫过的区域面积为____________．5π三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.．有下列个条件：①38；②7；③2，4，5成等比数列.从中任选1个，补充到下面的问题中并解答问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*12N n n n S S a n +=++∈， .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)n S 的最小值并指明相应的n 的值． 【答案】(1)212n a n =-；(2)n =5或者6时，n S 取到最小值30-.【分析】（1）由已知可得12n n a a +-=，则{}n a 是公差为2的等差数列，若选①，则由382a a +=-列方程可求出1a ，从而可求出通项公式；若选②，则由728S =-列方程可求出1a ，从而可求．如图，直三棱柱111的底面为正三角形，1，点D ，E 分别在AB ，1BB 上，且AD DB =，113BE EB =．(1)证明：平面1A DC ⊥平面EDC ； (2)求二面角1A EC D --的余弦值．【分析】（1）解法一：先建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算得到10DA DC ⋅=，10DE DA ⋅=，即可证明判定定理即可得证；解法二：先根据已知，利用相似三角形和勾股定理的逆定理得到利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可得证；（2）先求出平面中的结论得出1DA 为平面因为ABC 是等边三角形，所以因为平面ABC BC =， OA ⊥平面为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()所以1,222DE ⎛= ⎝⎭，32DC ⎛=- ⎝，112DA ⎛=- ⎝所以10DA DC ⋅=，10DE DA ⋅=，所以DE ，1DA ⊥CDDE D =，CD ，DE ⊂平面1DA ⊥平面1DA ⊂平面1A DC ，所以平面1A DC EDC ． 解法二 ，由题意知四边形1ABB A AA BD1ADA BED ∽△△，则1AA D ∠1AA D ∠+∠CDDE D =，⊂平面CDA（2）⎛⎫所以12,2CE =⎛⎝，(11,2,CA =，112DA ⎛=- ⎝设平面1A EC 的法向量为(),,n x y z =100n CE n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以1202230x y x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩， 取1x =，得71,4,n ⎛ =⎝- 由（1）知1DA ⊥平面CDE ，故1DA 为平面的一个法向量．11115,10n DA n DA n DA ⋅==-易知二面角1A EC D --为锐二面角，所以二面角20．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的下顶点为点D ，右焦点为()21,0F .延长2DF 交椭圆C 于点E ，且满足223DF F E =. (1)试求椭圆C 的标准方程；(2)A ，B 分别是椭圆长轴的左右两个端点，M ，N 是椭圆上与A ，B 均不重合的相异两点，设直线AM ，AN 的斜率分别是1k ，2k .若直线MN 过点⎫⎪⎪⎝⎭，则12k k ⋅是否为定值，若是求出定值，若不是请说明理由.的下顶点为(0,)D b -，右焦点(1,0)F ，设点，所以223DF F E =，又2(1,DF b =，2(F E x =-433x b y ==，2231b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即2161199a +=，得22a =，⎧21．已知函数f x x =-，ln x a a g x =+（0a >，e 是自然对数的底数）．(1)若直线y kx =与曲线()y f x =，()y g x =都相切，求a 的值； (2)若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．a>，∴实数【点睛】本题的解题关键是对见的求参方法要注意积累，比如本题中用到了分离参数转化为求函数最值的方法求参．（二）选考题：共所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线6πθ=与曲线2C交于点6D π⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求曲线1C ，2C 的普通方程；(2)()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点，求221211ρρ+的值．，2cos sin ϕ+，设圆的半径为曲线选修4-5：不等式选讲23．（1）已知0a >，0b >，412a b+=，求a b +的最小值；（2）已知a ，b ，c ，为任意实数，求证：222a b c ab bc ca ++≥++.。
新高考数学复习考点知识提升专题训练2---集合间的基本关系
新高考数学复习考点知识提升专题训练（二） 集合间的基本关系(一)基础落实1．下列说法正确的是( ) A ．Q ⊆Z B ．N ∈R C ．N ⊆QD ．Z ⊆N *解析：选C N 表示自然数集，N *表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，因为Z ⊆Q ，N ⊆R ，N ⊆Q ，N *⊆Z ，所以A 、B 、D 错误，C 正确，故选C.2．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪yx＝1，则集合A ，B 间的关系为( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝BD ．A ⊆B解析：选B ∵B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪y x ＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，∴BA .3．下列集合中，是集合{1,2}的真子集的是( ) A ．{1,2} B ．∅ C ．{∅}D ．{1,2,3}解析：选B 由题意得：集合{1,2}的真子集为∅，{1}，{2}，故选B. 4．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，则有( ) A ．∅⊆A B ．－2∈A C ．{0,2}⊆AD ．A ⊆{y |y <3}解析：选ACD 由于空集是任何集合的子集，故A 正确，因为A ＝{0,2}，所以C 、D 正确，B 错误．故选A 、C 、D.5．已知集合M {4,7,8}，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个D ．6个解析：选D ∵M {4,7,8}，且M 中至多有一个偶数，∴M 可能为∅，{4}，{7}，{8}，{4,7}，{7,8}，共6个，故选D.6．集合A ＝{x ∈N |1≤x <4}的真子集的个数是________．解析：∵A ＝{x ∈N |1≤x <4}＝{1,2,3}，∴A ＝{x ∈N |1≤x <4}的真子集为：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．答案：77．已知∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，解得a ≤14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ≤148．若集合A ＝{x ∈N |x 2<24}，B ＝{a }，B ⊆A ，则a 的最大值为________． 解析：因为自然数集中只有x ＝0,1,2,3,4满足x 2<24，所以A ＝{x ∈N |x 2<24}＝{0,1,2,3,4}，又因为B ＝{a }⊆A ，所以a ∈{0,1,2,3,4}，a 的最大值为4. 答案：49．写出下列每对集合之间的关系： (1)A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,5}； (2)C ＝{x |x 2＝1}，D ＝{x ||x |＝1}； (3)E ＝{x |x <3}，F ＝{x |－1<x ≤2}；(4)G ＝{x |x 是对角线相等且互相平分的四边形}，H ＝{x |x 是有一个内角为直角的平行四边形}． 解：(1)因为B 的每个元素都属于A ，而4∈A 且4∉B ，所以B A .(2)不难看出，C和D包含的元素都是1和－1，所以C＝D.(3)在数轴上表示出集合E和F，如图所示：由图可知F E.(4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G⊆H.反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，因此H⊆G.综上可知，G＝H.10．集合A＝{x|x－4＝0}，集合B＝{x|x2－2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A⊆B，求实数a的值．解：A＝{4}，因为A⊆B，故4∈B，所以16－8(a＋1)＋a2－1＝0，整理得a2－8a＋7＝0，解得a＝1或a＝7.(二)综合应用1．设A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A⊆B，则m的取值范围是()A．{m|m＞3} B．{m|m≥3}C．{m|m＜3} D．{m|m≤3}解析：选B因为A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.2．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A BD ．A B解析：选D 对于集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }， 当k ＝2m (m ∈Z )时，A ＝{x |x ＝6m ，m ∈Z }， 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，A ＝{x |x ＝6m ＋3，m ∈Z }， 又B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，即A B .3．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x ＋1∈Z ，x ∈Z 的真子集个数是________． 解析：因为当x ＝－3时，2x ＋1＝－1∈Z ；当x ＝－2时，2x ＋1＝－2∈Z ；当x ＝0时，2x ＋1＝2∈Z ；当x ＝1时，2x ＋1＝1∈Z ，所以满足集合A ＝{－3，－2,0,1}， 真子集个数为24－1＝15. 答案：154．已知集合A ，B ，C ，且A ⊆B ，A ⊆C ，若B ＝{1,2,3,4}，C ＝{0,1,2,3}，则所有满足要求的集合A 的各个元素之和为________．解析：∵集合A ，B ，C ，且A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{1,2,3,4}，C ＝{0,1,2,3}， ∴集合A 是两个集合的子集，集合B ，C 的公共元素是1,2,3，∴满足上述条件的集合A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，∴所有满足要求的集合A的各个元素之和为：4(1＋2＋3)＝24.答案：245．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，存在非空集合C，使C中每个元素加上2就变成了A的一个子集且C中每个元素减去2就变成了B的一个子集，你能确定出集合C的个数是多少吗？解：假设存在满足条件的集合C，则C≠∅，将A中元素都减2，B中元素都加2，则C⊆{0,2,4,6,7}且C⊆{3,4,5,7,10}，由于两个集合的共同元素构成的集合为{4,7}，故非空集合C是{4,7}的子集，即C＝{4,7}或{4}或{7}．故这样的集合有3个．(三)创新发展1．设A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2}，请写出一个满足B⊆C⊆A的集合C＝________.解析：∵A＝{1,2,3,4}，若B⊆C⊆A，∴C＝{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2}或{1,2,3,4}，答案：{1,2,3}(答案不唯一)2．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B，若存在，求出对应的a的值；若不存在，说明理由．(2)若A⊆B成立，列举出对应的实数对(a，b)构成的集合．解：(1)不存在满足题意的实数a .理由如下： ∵A ＝{a －4，a ＋4}，若对于任意实数b 都有A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝2，a ＋4＝1，方程组均无解．∴不存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B . (2)由(1)知，若A ⊆B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝2，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝b ，a ＋4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝b ，a ＋4＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6.∴(a ，b )构成的集合为{(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)}．。
2023年高考数学模拟试题（二）参考答案
面上,
球的半径为 R ,
则r=R ,
又球的表面积
正确;
两人 至 少 一 人 获 得 满 分 的 概 率 为 1-
以 △ABD 为 等 边 三 角 形。
BE ⊥AD ,且 AE =DE =1。
提示:
设直角圆锥 SO 的底面圆 的
P(
AB)
=P (
A)
P(
B )=
提 示:如 图 2,因
又 E 是 AD 的 中 点,所 以
的公比为q,
an }
8.
A
图3
2
2
2
=1,
PD = 2,即 PE + DE = PD ,所 以
PE ⊥DE 。又因为 PE ∩BE =E ,
PE ,
BE ⊂
平面 PBE ,所 以 DE ⊥ 平 面 PBE 。 又 DE∥
BC,则 BC ⊥ 平 面 PBE 。 又 BC ⊂ 平 面
所以平面 PBE ⊥ 平面 PBC,
2
所以椭圆 C 的方 程 为 +
a -c =4-1=3,
形,
设|NF2|=m ,则|PF2|
=3m ,|NF1 | = 2
a + m,
|PF1|= 2
a
+ 3m , 在
由勾股定理得
R
t△PNF1 中,
图4
2
2
2
(
2
a+m )+ (
4m ) = (
2
a+3m ),整 理 可 得
m =a,在 Rt△F2NF1 中,由 勾 股 定 理 得
2
2
2
2
2
(
3
a)+a = (
2023_届新高考数学模拟卷（二_）
２０２３届新高考数学模拟卷(二)李鸿昌(北京师范大学贵阳附属中学ꎬ贵州贵阳５５００８１)中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－００７４－０５收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:李鸿昌(１９９１.１０－)ꎬ男ꎬ贵州省凯里人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁选择题:本题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分.在每小题给出四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的.１.已知集合Ａ＝ｘｘ２－４ɤ０{}ꎬＢ＝{ｘ｜ｌｏｇ２ｘ<１}ꎬ则ＡɘＢ＝(㊀㊀).Ａ.∅㊀Ｂ.[－２ꎬ２)㊀Ｃ.(０ꎬ２]㊀Ｄ.(０ꎬ２)２.若复数ｚ满足ｚ(１＋ｉ)＝３－ｉꎬ则ｚ－在复平面内对应的点所在的象限为(㊀).Ａ.第一象限㊀㊀㊀Ｂ.第二象限Ｃ.第三象限Ｄ.第四象限３.已知向量ａꎬｂ的夹角为π３ꎬ且ａ＝２ꎬｂ＝(１ꎬ１)ꎬ则ａ在ｂ上的投影向量的坐标为(㊀㊀).Ａ.１２ꎬ１２æèçöø÷㊀Ｂ.２２ꎬ２２æèçöø÷㊀Ｃ.(１ꎬ１)㊀Ｄ.２ꎬ２()４.函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ－ｌｇｘ的零点个数为(㊀㊀).Ａ.５个㊀㊀Ｂ.６个㊀㊀Ｃ.７个㊀㊀Ｄ.８个５.从１至１０这１０个正整数中任取两个数ꎬ则这两个数之和能被３整除的概率是(㊀㊀).Ａ.１５㊀㊀㊀Ｂ.２１５㊀㊀㊀Ｃ.１３㊀㊀㊀㊀Ｄ.４９６.已知ｓｉｎ３π２＋αæèçöø÷＝２ｃｏｓα－π４æèçöø÷ꎬ则ｃｏｓ２α１＋ｓｉｎ２α＝(㊀㊀).Ａ.－３㊀㊀Ｂ.３㊀㊀Ｃ.－１３㊀㊀Ｄ.１３７.已知圆台上底面半径为１ꎬ下底面半径为３ꎬ球与圆台的两个底面和侧面均相切ꎬ则该圆台的侧面积与球的表面积之比为(㊀㊀).Ａ.１３６㊀㊀Ｂ.４３３㊀㊀Ｃ.４３㊀㊀Ｄ.１３１２８.已知ａ＝１０１２ꎬｂ＝１１１１ꎬｃ＝１２１０ꎬ则ａꎬｂꎬｃ的大小关系为(㊀㊀).Ａ.ａ<ｃ<ｂ㊀Ｂ.ｃ<ａ<ｂ㊀Ｃ.ｂ<ｃ<ａ㊀Ｄ.ｃ<ｂ<ａ二㊁选择题:本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.在每小题给出的选项中ꎬ有多项符合题目要求.全部选对的得５分ꎬ部分选对的得２分ꎬ有选错的得０分.９.某地为响应 扶贫必扶智ꎬ扶智就是扶知识㊁扶技术㊁扶方法 的号召ꎬ建立了农业科技图书馆ꎬ供农民免费借阅ꎬ收集的自２０１７年至２０２１年共５年的年借阅数据见下表:年份２０１７２０１８２０１９２０２０２０２１年份代码ｘ１２３４５年借阅量ｙ(万册)２１７３６９３１４２㊀㊀根据上表ꎬ可得ｙ关于ｘ的二次回归方程为ｙ＾＝６ｘ２＋ａꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).Ａ.ａ＝４Ｂ.２ꎬ１７ꎬ３６ꎬ９３ꎬ１４２的第三四分位数为９３Ｃ.此回归模型第２０２０年的残差(实际值与预报值之差)为５Ｄ.估计２０２２年借阅数为２２０１０.设正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为１ꎬＰ为线段Ａ１Ｄ上的一个动点ꎬ下列结论正确的是(㊀㊀).Ａ.ＢＰʅＢＣＢ.ＢＰʊ平面ＣＢ１Ｄ１Ｃ.ＢＰ与ＣＤ所成角的正切值的最小值为２２Ｄ.点Ｐ到点Ａ和点Ｂ１的距离之和的最小值为２＋２１１.已知定义在Ｒ上的偶函数ｆ(ｘ)满足ｆ(１－ｘ)＋ｆ(１＋ｘ)＝０ꎬ且对任意的ｘɪＲꎬ导函数ｆᶄ(ｘ)均存在ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｆ(ｘ)的图象关于点(１ꎬ０)对称Ｂ.ｆᶄ(ｘ)的图象关于原点对称Ｃ.ｆ(２０２３)＝０Ｄ.∀ｘɪＲꎬｆᶄ(ｘ＋２)＝ｆᶄ(ｘ)１２.已知椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬＦ１ꎬＦ２分别为Ｅ的左㊁右焦点ꎬＢ(０ꎬｂ)ꎬ弦ＡＢ过点Ｆ１ꎬ弦ＡＣ过点Ｆ２ꎬ且ＡＢ＝ＡＦ２ꎬ则(㊀㊀).Ａ.离心率ｅ＝３３Ｂ.ＡＦ２＝３Ｆ２ＣＣ.ＡＢʅＢＣＤ.若ＡＣ＝２７１４ꎬ则әＡＢＣ的面积为９２１４三㊁填空题:本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.１３.已知(１＋ｘ)(ｘ－ａｙ)５的二项展开式中ｘ３ｙ３的系数为８０ꎬ则ａ＝.１４.已知非常数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ若ａｎ{}与Ｓｎ{}均为等差数列ꎬ请写出满足题意的一个ａｎ{}的通项公式ꎬａｎ＝.１５.已知抛物线Ｃ:ｙ＝４ｘ２ꎬ若圆Ｍ过Ｃ的顶点且在Ｃ内部ꎬ则圆Ｍ的半径的最大值为.１６.设直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ是曲线ｙ＝ｌｎｘ＋１的切线ꎬ也是曲线ｙ＝ｌｎ(ｘ＋２)的切线ꎬ则ｂ＝.四㊁解答题:本题共６小题ꎬ共７０分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.１７.已知数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎ＝ｎ２＋１. (１)求ａｎ{}的通项公式ꎻ(２)令ｂｎ＝４ａ２ｎ－１ꎬ若对任意的ｎɪＮ∗ꎬ数列ｂｎ{}的前ｎ项和Ｔｎ<ｍ恒成立ꎬ求实数ｍ的取值范围.１８.记钝角әＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ已知ｃｏｓＡ１－ｓｉｎＡ＝ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ１－ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ. (１)若Ｃ＝２π３ꎬ求Ａꎻ(２)求ａ２＋ｃ２ｂ２的最小值.１９.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型ꎬ在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块ꎬ小木块之间留有适当的空隙作为通道ꎬ前面挡有一块玻璃.将一个小球从高尔顿板上方的通道口放入ꎬ小球在下落的过程ꎬ每次碰到小木块后都等可能向左或向右滚下ꎬ最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图１所示的高尔顿板有７层小木块ꎬ小球从通道口落下ꎬ第一次与第２层中间的小木块碰撞ꎬ以１２的概率向左或向右滚下ꎬ依次经过６次与小木块碰撞ꎬ最后掉入编号为１ꎬ２ꎬ ꎬ７的球槽内.图１(１)如图１进行一次高尔顿板试验ꎬ求小球落入５号球槽的概率.(２)五一期间ꎬ某商场门口利用如图１中的高尔顿板举行游戏活动ꎬ顾客只要花５１元就能玩一次高尔顿板游戏.一次游戏中小球掉入Ｘ号球槽得到的奖金为ξ元ꎬ其中ξ＝１００－２０Ｘ.(ⅰ)求Ｘ的分布列和期望Ｅ(Ｘ)ꎻ(ⅱ)高尔顿板游戏活动火爆进行ꎬ很多顾客参加了游戏活动ꎬ你觉得商家能盈利吗?２０.如图２ꎬ菱形ＡＢＣＤ中ꎬøＡＢＣ＝１２０ʎꎬ动点ＥꎬＦ分别在边ＡＤꎬＡＢ上(不含端点)ꎬ且ＥＦң＝λＤＢң(０<λ<１)ꎬ沿ＥＦ将әＡＥＦ向上折起得到әＰＥＦꎬ使得平面ＰＥＦʅ平面ＢＣＤＥＦꎬ如图３所示.图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３(１)当λ为何值时ꎬＢＦʅＰＤꎻ(２)若直线ＰＣ与平面ＢＣＤＥＦ所成角的正切值为１３ꎬ求平面ＰＥＦ和平面ＰＢＤ夹角的大小.２１.已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的离心率为２ꎬＦ为Ｃ的右焦点ꎬ且Ｆ到Ｃ的渐近线的距离为３.(１)求Ｃ的方程ꎻ(２)设Ｐ为Ｃ右支上的动点ꎬ在ｘ轴负半轴上是否存在定点Ｍꎬ使得øＰＦＭ＝２øＰＭＦ?若存在ꎬ求出点Ｍ的坐标ꎻ若不存在ꎬ请说明理由.２２.已知函数ｆ(ｘ)＝４ｌｎｘ＋１２ｘ２－２ａｘ(ａɪＲ)有两个极值点ｘ１ꎬｘ２(ｘ１<ｘ２).(１)求实数ａ的取值范围ꎻ(２)证明:－ｘ１－８ｘ２１<ｆ(ｘ２)<４ｌｎ２－６.参考答案１.Ｄ㊀２.Ａ㊀３.Ｂ㊀４.Ｂ㊀５.Ｃ㊀６.Ａ㊀７.Ｃ㊀８.Ｄ９.ＢＣ㊀１０.ＢＣＤ㊀１１.ＡＢＣ㊀１２.ＡＣＤ１３.－２㊀１４.２ｎ－１(不唯一)㊀１５.１８㊀１６.ｌｎ２１７.(１)当ｎȡ２时ꎬａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝ｎ２＋１－(ｎ－１)２－１＝２ｎ－１.当ｎ＝１时ꎬａ１＝Ｓ１＝２.所以ａｎ＝２ꎬｎ＝１ꎬ２ｎ－１ꎬｎȡ２.{(２)当ｎȡ２时ꎬｂｎ＝４ａ２ｎ－１＝４(２ｎ－１)２－１＝１(ｎ－１)ｎ＝１ｎ－１－１ｎꎬ所以Ｔｎ＝ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋ ＋ｂｎ＝４３＋(１－１２)＋(１２－１３)＋ ＋(１ｎ－１－１ｎ)＝７３－１ｎ.当ｎ＝１时ꎬＴｎ＝ｂ１＝４３ꎬ符合上式.故Ｔｎ＝７３－１ｎ.因为Ｔｎ＝７３－１ｎ<７３ꎬ所以要使Ｔｎ<ｍ恒成立ꎬ则ｍȡ７３.故实数ｍ的取值范围是７３ꎬ＋ɕ[öø÷.１８.由已知ꎬ得ｃｏｓＡ－ｃｏｓＡｓｉｎＡ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ＝ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ－ｃｏｓＡｓｉｎＡ－ｃｏｓＢｓｉｎＡ.即ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ＝ｃｏｓＢ.即ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)＝ｃｏｓＢ.即ｓｉｎＣ＝ｃｏｓＢ.(１)若Ｃ＝２π３ꎬ则ｃｏｓＢ＝ｓｉｎ２π３＝３２.故Ｂ＝π６.从而Ａ＝π－Ｂ－Ｃ＝π６.(２)由ｓｉｎＣ＝ｃｏｓＢ得ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ(π２－Ｂ).若Ｃ＝π２－Ｂꎬ则Ｂ＋Ｃ＝π２ꎬ即Ａ＝π２ꎬ与әＡＢＣ为钝角三角形矛盾.因此Ｃ＋(π２－Ｂ)＝πꎬ得Ｃ＝π２＋Ｂꎬ故Ａ＝π２－２Ｂ.所以ａ２＋ｃ２ｂ２＝ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｃｓｉｎ２Ｂ＝ｓｉｎ２(π２－２Ｂ)＋ｓｉｎ２(π２＋Ｂ)ｓｉｎ２Ｂ＝ｃｏｓ２２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｂｓｉｎ２Ｂ＝(１－２ｓｉｎ２Ｂ)２＋１－ｓｉｎ２Ｂｓｉｎ２Ｂ＝４ｓｉｎ４Ｂ－５ｓｉｎ２Ｂ＋２ｓｉｎ２Ｂ＝４ｓｉｎ２Ｂ＋２ｓｉｎ２Ｂ－５ȡ４２－５ꎬ当且仅当ｓｉｎ２Ｂ＝２２时ꎬａ２＋ｃ２ｂ２的最小值为４２－５.１９.(１)小球落入第５号球槽处需要６次碰撞ꎬ其中有２次向左４次向右ꎬ而无论是向左还是向右ꎬ都是１２的概率ꎬ所以Ｐ＝Ｃ２６(１２)４ˑ(１２)２＝１５６４.(２)(ⅰ)Ｘ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ由意义知Ｘ~Ｂ(６ꎬ１２)ꎬ所以Ｐ(Ｘ＝１)＝Ｐ(Ｘ＝７)＝(１２)６＝１６４ꎬＰ(Ｘ＝２)＝Ｐ(Ｘ＝６)＝Ｃ１６(１２)６＝３３２ꎬＰ(Ｘ＝３)＝Ｐ(Ｘ＝５)＝Ｃ２６(１２)６＝１５６４ꎬＰ(Ｘ＝４)＝Ｃ３６(１２)６＝５１６.所以Ｘ的分布列为:Ｘ１２３４５６７Ｐ１６４３３２１５６４５１６１５６４３３２１６４㊀㊀因此Ｘ的期望Ｅ(Ｘ)＝６ˑ１２＝３. (ⅱ)ξ＝１００－２０Ｘꎬ所以ξ＝０ꎬ２０ꎬ４０ꎬ６０ꎬ８０ꎬ则Ｐ(ξ＝０)＝Ｐ(Ｘ＝５)＝１５６４ꎬＰ(ξ＝２０)＝Ｐ(ｘ＝４)＋Ｐ(ｘ＝６)＝１３３２ꎬＰ(ξ＝４０)＝Ｐ(Ｘ＝３)＋Ｐ(Ｘ＝７)＝１４ꎬＰ(ξ＝６０)＝Ｐ(Ｘ＝２)＝３３２ꎬＰ(ξ＝８０)＝Ｐ(Ｘ＝１)＝１６４.所以Ｅ(ξ)＝０ˑ１５６４＋２０ˑ１３３２＋４０ˑ１４＋６０ˑ３３２＋８０ˑ１６４＝８００３２＝２５<５１.因此商家可以盈利.２０.(１)因为菱形ＡＢＣＤ中ꎬøＡＢＣ＝１２０ʎꎬ故øＡ＝６０ʎꎬＡＢ＝ＡＤ.所以ΔＡＢＤ是等边三角形.又ＥＦң＝λＤＢңꎬ所以ＥＦʊＢＤ.所以әＰＥＦ也是等边三角形.因为平面ＰＥＦʅ平面ＢＣＤＥＦꎬ如图４ꎬ取ＥＦ的中点Ｏꎬ则ＰＯʅＥＦꎬ且ＰＯʅ平面ＢＣＤＥＦ.连接ＤＯꎬ由ＢＦʅＰＤꎬ而ＰＯʅＢＦꎬＤＰɘＰＯ＝Ｐꎬ所以ＢＦʅ平面ＰＯＤ.所以ＢＦʅＯＤ.延长ＤＯ交ＡＢ于点Ｎꎬ则ＤＮʅＡＢ.又因为ＡＯʅＢＤꎬ所以Ｏ为әＡＢＤ的重心.又点Ｏ在ＥＦ上ꎬＥＦʊＢＤꎬ所以ＥＦң＝２３ＤＢң.即λ＝２３.图４(２)如图４ꎬ连接ＣＯꎬ设ΔＡＢＤ边长为ａꎬ则｜ＰＯ｜＝３２λａꎬ｜ＣＯ｜＝３２(２－λ)ａ.因为ＰＯʅ平面ＢＣＤＥＦꎬ所以直线ＰＣ与平面ＢＣＤＥＦ所成角为øＰＣＯ.所以ｔａｎøＰＣＯ＝｜ＰＯ｜｜ＣＯ｜＝λ２－λ＝１３ꎬ解得λ＝１２.所以ＥＦ是ΔＡＢＤ的中位线.在棱锥Ｐ－ＢＣＤＥＦ中ꎬ设ＯＣ与ＢＤ相交于点Ｍꎬ连接ＰＭꎬ又设平面ＰＥＦɘ平面ＰＢＤ于直线ｌꎬ则ｌ过点Ｐ.因为ＥＦʊＢＤꎬＥＦ⊂平面ＰＢＤꎬ所以ＥＦʊ平面ＰＢＤ.又平面ＰＥＦɘ平面ＰＢＤ于直线ｌꎬ所以ＥＦʊｌꎬ同理ｌʊＢＤ.由上可知ＰＯʅＥＦꎬＣＯʅＥＦ.所以ＥＦʅ平面ＰＯＭ.所以ｌʅ平面ＰＯＭ.所以øＯＰＭ就是平面ＰＥＦ和平面ＰＢＤ所成二面角的平面角.又ＰＯ＝ＯＭꎬ且ＰＯʅＯＭꎬ所以øＯＰＭ＝４５ʎ.即平面ＰＥＦ与平面ＰＢＤ的夹角为４５ʎ.２１.(１)由双曲线的离心率为２ꎬ知ｃ＝２ａ.又ｃ２＝ａ２＋ｂ２ꎬ所以ｂ＝３ａ.因为Ｆ(ｃꎬ０)到Ｃ的渐近线ｂｘ－ａｙ＝０的距离为ｂｃ－ａˑ０ａ２＋ｂ２＝ｂｃｃ＝ｂꎬ所以ｂ＝３ꎬ故ａ＝１.因此ꎬ双曲线Ｃ的方程为ｘ２－ｙ２３＝１.(２)假设点Ｍ存在ꎬ设Ｍ(ｔꎬ０).由(１)知双曲线的右焦点为Ｆ(２ꎬ０).设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)(ｘ０ȡ１)为双曲线Ｃ右支上一点.当ｘ０ʂ２时ꎬｔａｎøＱＦＭ＝－ｋＱＦ＝－ｙ０ｘ０－２ꎬｔａｎøＱＭＦ＝ｋＱＭ＝ｙ０ｘ０－ｔ.因为øＱＦＭ＝２øＱＭＦꎬ所以－ｙ０ｘ０－２＝２ｙ０/(ｘ０－ｔ)１－[ｙ０/(ｘ０－ｔ)]２.将ｙ２０＝３ｘ２０－３代入ꎬ并整理得－２ｘ２０＋(４＋２ｔ)ｘ０－４ｔ＝－２ｘ２０－２ｔｘ０＋ｔ２＋３.于是４＋２ｔ＝－２ｔꎬ－４ｔ＝ｔ２＋３ꎬ{解得ｔ＝－１.当ｘ０＝２时ꎬøＰＦＭ＝９０ʎꎬ而当ｔ＝－１时ꎬøＰＭＦ＝４５ʎꎬ符合øＰＦＭ＝２øＰＭＦ.所以ｔ＝－１符合要求.满足条件的点Ｍ存在ꎬ其坐标为Ｍ(－１ꎬ０).２２.(１)因为ｆ(ｘ)＝４ｌｎｘ＋１２ｘ２－２ａｘꎬ所以ｆᶄ(ｘ)＝４ｘ＋ｘ－２ａ＝ｘ２－２ａｘ＋４ｘ(ｘ>０).根据ｆ(ｘ)有两个极值点ｘ１ꎬｘ２ꎬ知方程ｘ２－２ａｘ＋４＝０有两个正根ｘ１ꎬｘ２.所以ｘ１＋ｘ２＝２ａ>０ꎬΔ＝４ａ２－１６>０ꎬ{解得ａ>２.因此ꎬ实数ａ的取值范围是(２ꎬ＋ɕ).(２)由(１)知ｘ１ｘ２＝４ꎬ又ｘ１<ｘ２ꎬ所以０<ｘ１<２<ｘ２ꎬ又ｘ１＋ｘ２＝２ａꎬ所以ｆ(ｘ２)＝４ｌｎｘ２＋１２ｘ２２－２ａｘ２＝４ｌｎｘ２＋１２ｘ２２－(ｘ１＋ｘ２)ｘ２＝４ｌｎｘ２－１２ｘ２２－４.①设ｇ(ｘ)＝４ｌｎｘ－１２ｘ２－４(ｘ>２)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝４ｘ－ｘ＝４－ｘ２ｘ<０.所以ｇ(ｘ)在(２ꎬ＋ɕ)单调递减.所以ｇ(ｘ)<ｇ(２)＝４ｌｎ２－６.即ｆ(ｘ２)<４ｌｎ２－６.②先证ｌｎｘ>１－１ｘ(ｘ>１).设ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ＋１ｘ－１(ｘ>１)ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝１ｘ－１ｘ２＝ｘ－１ｘ２>０.所以ｇ(ｘ)在(１ꎬ＋ɕ)单调递增ꎬ故ｈ(ｘ)>ｈ(１)＝０ꎬ即ｌｎｘ>１－１ｘ(ｘ>１).所以当ｘ>２时ｌｎｘ>１－１ｘ.故ｆ(ｘ２)＝４ｌｎｘ２－１２ｘ２２－４>４１－１ｘ２æèçöø÷－１２ｘ２２－４＝－４ｘ２－１２ｘ２２＝－ｘ１－８ｘ２１.综上ꎬ－ｘ１－８ｘ２１<ｆ(ｘ２)<４ｌｎ２－６.[责任编辑:李㊀璟]。
2023年高考数学微专题专练2含解析文
专练2 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词命题范围：逻辑联结词、复合命题的真假判断、量词及其否定．[基础强化]一、选择题1．[2022·安徽省蚌埠市高三质检]已知命题p ：∃x 0＜－1，2x 0－x 0－1＜0，则¬p 为( ) A ．∀x ≥－1，2x－x －1≥0 B ．∀x ＜－1，2x－x －1≥0 C ．∃x 0＜－1，2x 0－x 0－1≥0 D ．∃x 0≥－1，2x 0－x 0－1≥0 2．下列命题中假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0<0B ．∀x ∈(－∞，0)，e x>x ＋1 C ．∀x >0，5x >3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0<sin x 03．已知命题p ：∃x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图像过点(2，0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真4．如果命题“¬(p ∨q )”为假命题，则( ) A ．p ，q 均为真命题 B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中至少有一个为真命题D ．p ，q 中至多有一个为真命题5．已知命题p ：∀x >0，ln (x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧qD ．(¬p )∧(¬q )6．已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0，4]C ．[4，＋∞) D．(0，4)7．若命题“∃x 0∈R ，x 20 ＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1，3]B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)8．[2022·山西省高三模拟]已知命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：∀a ∈R ，f (x )＝log (a 2＋2)x 在定义域内是增函数，则下列命题中的真命题是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．¬(p ∨q )9．[2022·广东汕头测试]已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0，均有2x－a >0.若“¬p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，1]C ．(1，2)D ．(1，＋∞)二、填空题10．命题“∃x ∈(0，π2)，tan x >sin x ”的否定是________．11．[2022·江西省南昌市高三月考]若命题“∃x 0∈R ，使得3x 20 ＋2ax 0＋1＜0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．12．[2022·衡水中学高三测试]已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m ＋2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________．[能力提升]13．[2022·四川省成都市高三“二诊模拟”]已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －1≤0，x ≥0构成的平面区域为D .命题p ：对∀(x ，y )∈D ，都有3x －y ≥0；命题q ：∃(x ，y )∈D ，使得2x －y ＞2.下列命题中，为真命题的是( )A ．(¬p )∧(¬q )B ．p ∧qC ．(¬p )∧qD ．p ∧(¬q )14．下列四个结论：①若x >0，则x >sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0<0”． 其中正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．415．[2022·江西省赣州市3月(一模)]斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD (其中AB BC ＝5－12)中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ︵；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ︵；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．记圆弧BE ︵，EG ︵，GI ︵的长度分别为l ，m ，n ，给出以下两个命题：p ：l ＝m ＋n ，q ：m 2＝l ·n .则下列选项为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧qD ．(¬p )∧(¬q )16．[2022·江西省临川高三模拟]命题“∃x ∈R ，e x＋1＜a －e －x ”为假命题，则实数a 的取值范围为________．专练2 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．B 因为命题p ：∃x 0＜－1，2x 0－x 0－1＜0，则¬p ：∀x ＜－1，2x－x －1≥0. 2．D 令f (x )＝sin x －x (x >0)，则f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )<f (0)，即f (x )<0，即sin x <x (x >0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x <x ，所以D 为假命题．3．A 由x 3<x 2，得x 2(x －1)<0，解得x <0或0<x <1，在这个范围内没有自然数，∴命题p 为假命题．∵对任意的a ∈(0，1)∪(1，＋∞)，均有f (2)＝log a 1＝0，∴命题q 为真命题． 4．C 由¬(p ∨q )为假命题知p ∨q 为真命题，∴p ，q 中至少有一个为真命题． 5．B ∵当x >0时，x ＋1>1，∴ln (x ＋1)>0，故命题p 为真命题，当a ＝－1，b ＝－2时，a 2<b 2，故q 为假命题，故p ∧q 为假命题．p ∧(¬q )为真命题，(¬p )∧q 为假命题，(¬p )∧(¬q )为假命题．6．D 由题意得，4x 2＋(a －2)x ＋14>0恒成立，∴Δ＝(a －2)2－4×4×14<0，得0<a <4.7．D ∵命题“∃x 0∈R ，x 20 ＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题等价于x 20 ＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.8．B 对于命题p ，取x ＝0，y ＝5π3，则sin x ＝0＞sin y ＝－32，但x ＜y ，p 为假命题；对于命题q ，∀a ∈R ，a 2＋2≥2，则函数f (x )＝log (a 2＋2)x 在定义域内为增函数，q 为真命题．所以p ∧q 、p ∧(¬q )、¬(p ∨q )均为假命题，(¬p )∧q 为真命题．9．C 若方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，则判别式Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2，即p ：－2<a <2. ∀x >0，2x－a >0则a <2x，当x >0时，2x>1，则a ≤1，即q ：a ≤1. ∵¬p 是假命题，∴p 是真命题． ∵p ∧q 是假命题，∴q 是假命题，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1<a <2.10．答案：∀x ∈(0，π2)，tan x ≤sin x11．答案：[－3，3]解析：命题“∃x 0∈R ，使得3x 20 ＋2ax 0＋1＜0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.12．答案：(－∞，－1)解析：由“p 或q ”为真命题，得p 为真命题或q 为真命题． 当p 为真命题时，设方程x 2＋mx ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，x 1＋x 2＝－m >0，x 1x 2＝1>0，解得m <－2；当q 为真命题时，有Δ′＝16(m ＋2)2－16<0， 解得－3<m <－1.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，－1).13．B 不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分(包含边界)所示．根据不等式组表示的平面区域结合图形可知，命题p 为真命题，命题q 也为真命题，所以根据复合命题真假判断结论可得ACD 错误，B 选项正确．14．C 对于①，令y ＝x －sin x ， 则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，则当x >0时，x －sin x >0－0＝0，即当x >0时，x >sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真，即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真，即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误． 综上，正确结论的个数为3.15．A 根据题意可得圆弧BE ︵，EG ︵，GI ︵对应的半径分别为AB ，BC －AB ，AB －DG ，也即AB ，BC －AB ，2AB －BC ，则弧长l ，m ，n 分别为π2AB ，π2(BC －AB )，π2(2AB －BC )，则m ＋n ＝π2(BC －AB )＋π2(2AB －BC )＝π2AB ＝l ，故命题p 为真命题；ln ＝π24(2AB 2－AB ×BC )＝π24BC 2(2×AB 2BC 2－AB BC )＝π28BC 2(7－35)，而m 2＝π24BC 2(1－AB BC )2＝π28BC2(7－35)，故ln ＝m 2，命题q 为真命题．则p ∧q 为真命题，p ∧(¬q )，(¬p )∧q ，(¬p )∧(¬q ) 均为假命题． 16．答案：(－∞，3]解析：若命题“∃x ∈R ，e x ＋1＜a －e －x ”为假命题，则命题“∀x ∈R ，e x ＋1≥a －e －x”为真命题，即a ≤e x ＋e －x＋1在R 上恒成立，则a ≤(e x ＋e －x＋1)min ，因为e x＋e －x＋1≥2e x ·e －x ＋1＝3，当且仅当e x ＝e －x，即x ＝0时，等号成立，所以(e x＋e－x＋1)min＝3，所以a≤3.。
2023年全国新高考仿真模拟卷(二)数学试题(含答案解析)
2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|log 1A x x =<，{}2|20B x x x =--<，则B A =ð（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣1，0]C ．（﹣1，2）D ．（﹣1，0）2．已知复数11i z =+，22i z a =+，若12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()lg f x x x =-，则()100f -=（）A ．98B ．98-C ．90D ．90-4．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为13和14，且两人同时加班的概率为16，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（）A ．112B ．12C ．23D ．345．若22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（）A ．B C ．2D ．2+6．如图所示，在ABC 中，2B A =，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，ACD BCD ∠=∠，则cos A 等于（）A ．23B ．34C ．35D ．457．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，398S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知x ∈R ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．233,2342⎛⎤⎡⎫ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭二、多选题9．体育王老师记录了16名小学生某周课外体育运动的时长（单位：h ），记录如下表．运动时长456789运动人数122452则这16名小学生该周课外体育运动时长的（）A ．众数为8B ．中位数为6.5C ．平均数为7D ．标准差为210．已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（）A ．//m α，//n β，且//m n ，则//αβB ．//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥C ．m α⊥，n β⊥，且//m n ，则//αβD ．m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥11．设1F ，2F 分别为椭圆221259x y+=的左、右焦点，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1PF k ，2PF k 表示直线1PF ，2PF 的斜率，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得17PF =成立B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=︒成立C ．存在点P ，使得217PF PF k k =成立D ．存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =三、填空题13．在平行四边形OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 边上的点，且3BC BF =，若OC mOE nOF =+，其中m ，n ∈R ，则m n +的值为______．14．请写出与曲线()sin f x x =在()0,0处具有相同切线的另一个函数：______．15．Rt ABC △中，其边长分别为3，4，5，分别以它的边所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的几何体的体积之和为______．16．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为2c，c ，则该双曲线的离心率是______．四、解答题17．设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且对*n ∀∈N ，kn n a S b n c +=⋅+恒成立，其中b ，k ，c 均为常数．(1)当0b =时，求数列{}n a 的通项公式；(2)当1k =时，若数列{}n a 为等差数列，求b ，c 的值．18．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．(1)证明：2B A π=+；(2)求sin sin A C +的最大值．19．某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13．调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读．(1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率；(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人？附：()20P k χ≥0.0500.0100k 3.8416.635()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．20．如图，在多面体ABCDE 中，已知ABC ，ACD ，BCE 均为等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面BCE ⊥平面ABC ，H 为AB 的中点．(1)判断DE 与平面ABC 的位置关系，并加以证明；(2)求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．21．已知点M 是抛物线()2:20C x py p =>的对称轴与准线的交点，过M 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足2PM =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过()1,1A -作斜率为2的直线与抛物线C 相交于点B ，点()0,T t ()0t >，直线AT 与BT 分别交抛物线C 于点E ，F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t k λ=？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()()22ln xf x x a a x=--∈R ．(1)求函数()f x 的极值；(2)当11a <时，若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >．①证明：12ln ln x x -<②证明：1201x x <<．参考答案：1．B【分析】解对数不等式化简集合A ，解一元二次不等式化简集合B ，根据补集运算可得结果.【详解】∵集合{}{}2|log 1|02A x x x x =<=<<，{}{}2|20|12B x x x x x =--<=-<<，∴{}|10B A x x =-<≤ð，故选：B.【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.2．D【分析】求出12z z ⋅的代数形式，然后根据其实部为零，虚部不为零列式计算即可.【详解】 复数11i z =+，22i z a =+，∴()()()121i 2i 22i z z a a a ⋅=++=-++，12z z ⋅为纯虚数，20a ∴-=且20a +≠，2a ∴=.故选：D.3．A【分析】直接利用函数奇偶性及0x >时的解析式计算即可.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()()100100f f -=-，又当0x >时，()lg f x x x =-，所以()()()100100lg10010098f f -=-=--=.故选：A.4．C【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记“小李加班”为事件A ，“小陈加班”为事件B ，则()()()111,,436P A P B P AB ===，故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为()()()2|3P AB P B A P A ==.故选：C.5．D【分析】先利用倍角公式降次，再利用两角和的公式展开后转化为用tan 2α表示的等式，然后解方程即可.【详解】22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 1cos 21sin 23παα⎛⎫∴+-=+ ⎪⎝⎭，1cos 22sin 222ααα∴+=，又cos 20α≠，则12tan 22αα=，解得tan 22α=.故选：D.6．B【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得cos A 的值.【详解】在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，又点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，所以332,555AD AB c BD c ===，又ACD BCD ∠=∠，由角平分线定理可得AC BC AD BD =，所以3255b ac c =，则32b a =，又2B A =，所以sin sin 22sin cos B A A A ==，则sin cos 2sin BA A=，由正弦定理得3sin 32cos 2sin 224aB b A A a a ====.故选：B.7．B【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1220a a +=，398S =，列方程求出1,a q ，进而可求出n S ，结合指数函数的性质求出n S 的最大、小值，列不等式组即可求出a 的取值范围【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1220a a +=，398S =，所以121(12)09(1)8a q a q q +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得131,22a q ==-，所以31111,2221112111,22nnn n nn S n ⎡⎤⎧⎛⎫⎛⎫--⎢⎥+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==--=⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎪-- ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩为奇数为偶数，当x 为正整数且奇数时，函数1()12xy =+单调递减，当x 为正整数且偶数时，函数1()12xy =-+单调递增，所以1n =时，n S 取得最大值32，当2n =时，n S 取得最小值34，所以34322a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1324a -≤≤.故选：B.8．D【分析】设()[]x g x x=，根据已知作出()g x 的草图，分析已知函数()[]()0x fx ax x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，即可得出答案.【详解】函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，设()[],1,00,01nx n x n n g x xxx ⎧≤<+≠⎪==⎨⎪≤<⎩，根据符号[]x 作出()g x的草图如下：则2334a <≤或322a ≤<，故选：D.9．AC【分析】根据表格数据计算得到众数，中位数，平均数和标准差即可判断结果【详解】由题意，这组运动时长数据中8出现了5次，其余数出现次数小于5次，故众数为8，A 正确；将16小学生的运动时长从小到大排列为：4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9，则中位数为7772+=，故B 错误；计算平均数为142526475829716⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；方差为()()()()()()2222222147257267477587297216s ⎡⎤=-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，所以标准差为s ==D 错误.故选：AC 10．CD【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，即可得到正确答案.【详解】A 选项，若//m α，//n β，且//m n ，则,αβ可能相交或平行，故A 错误；B 选项，若//m α，//n β，且m n ⊥，则,αβ可能相交，也可能平行，故B 错误；C 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ；即C 正确；D 选项，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α；又n β⊥，根据面面垂直的判定定理可得：αβ⊥，即D 正确.故选：CD.11．ABD【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.【详解】由椭圆方程221259x y +=可得：5,3a b ==，4c ==，对于A ，由椭圆的性质可得：129a c PF a c =-≤≤+=，又因为点P 在第一象限内，所以159a PF a c =<<+=，所以存在点P ，使得17PF =成立，故选项A 正确；对于B ，设点00(,)P x y ，因为12(4,0),(4,0)F F -，所以100(4,)PF x y =--- ，200(4,)PF x y =--，则2222212000009161616972525PF PF x y x x x ⋅=-+=-+-=- ，因为005x <<，所以20025x ≤≤，所以2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则1290F PF ∠=︒成立，故选项B 正确；对于C ，因为1004PF y k x =+，2004PF y k x =-，若217PF PF k k =，则00(316)0x y +=，因为点00(,)P x y 在第一象限内，所以000,0y x >>，则00(316)0x y +=可化为：03160x +=，解得：01603x =-<不成立，所以不存在点P ，使得217PF PF k k =成立，故选项C 错误；对于D ，由选项B 的分析可知：2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立，故选项D 正确，故选：ABD.12．BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y tt =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.13．75##1.4【分析】先以{},OA OB 为基底向量求,OE OF uu u r uuu r，联立求解可得6362,5555OA OE OB OF OE =-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，再结合OC OA OB =+，代入运算即可得答案.【详解】由题意可得：11,23OE OA AE OA OB OF OB BF OB OA =+=+=+=+uu u r uu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu r，联立1213OE OA OB OF OB OA ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得63556255OA OE OB OF OE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，∵636243555555OC OA OB OE OF OF OE OE OF ⎛⎫⎛⎫=+=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r ，则43,55m n ==，故75m n +=.故答案为：75.14．3y x x =+（答案不唯一）【分析】利用导数的几何意义可求得在()0,0处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，由此可得曲线方程.【详解】sin y x = 的导函数为cos y x '=，又sin y x =过原点，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线斜率cos 01k ==，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线方程为y x =；所求曲线只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，如3y x x =+，231y x '=+ ，又3y x x =+过原点，3y x x ∴=+在原点处的切线斜率1k =，3y x x ∴=+在原点()0,0处的切线方程为y x =.故答案为:3y x x =+（答案不唯一）.15．188π5【分析】分类讨论旋转轴所在的直线，结合锥体的体积公式运算求解.【详解】由题意不妨设：3,4,5AB AC BC ===，边BC 上的高为h ，则1122AB AC BC h ⨯=⨯，可得125AB AC h BC ⨯==，若以边AB 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径14r =，高为3AB =，故此时圆锥的体积为2113π416π3V =⨯⨯⨯=；若以边AC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径23r =，高为4AC =，故此时圆锥的体积为2214π312π3V =⨯⨯⨯=；若以边BC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为两个共底面的圆锥，其底面半径3125r h ==，高为12,h h ，且125h h BC +==，故所得几何体的体积为()22223132312311111248πππ5ππ333355V h r h r h h r ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；故体积之和为4818816π12πππ55++=.故答案为：188π5.16．22+【分析】设2PF m =，则m c a ≥-，根据双曲线的定义12PF m a =+，故221244PF a m a PF m=++，分2a c a ≥-与2a c a <-讨论，结合“对勾”函数的性质可求出离心率.【详解】设2PF m =，则m c a ≥-，由双曲线的定义知122PF PF a -=，∴12PF m a =+，()22212244PF m a a m a PF mm+==++，当2a c a ≥-，即13a c ≥时，221244PF a m a PF m =++84823a a c c ≥=>>，不符合题意；当2a c a <-，即3ce a=>时，244a y m a m=++在[),m c a ∈-+∞上单调递增，所以当m c a =-时212PF PF 取得最小值，故2442a c a a c c a-++=-，化简得2240c ac a --=，即2410e e --=，解得2e =（舍）或2e =3e >.综上所述，该双曲线的离心率是2故答案为:2.17．(1)1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N (2)1b =，1c =【分析】（1）根据1n n n a S S -=-，结合已知等式得出112n n a a -=，即可得出数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，即可得出数列{}n a 的通项公式；（2）利用关系式得出1a 、2a 、3a ，再根据等差中项列式，即可得出答案.【详解】（1）令1n =，则11a S b c +=+，即12a b c =+，11a = ，0b =，2c ∴=，则2nn a S +=，即2n n S a =-，当2n ≥时，()1122n n n n n a S S a a --=-=---，化简得112n n a a -=，而11a =，则数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，则数列{}n a 的通项公式1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，（2）当1k =时，n n a S nb c +=+，令1n =，则11a S b c +=+，则12a b c =+，11a = ，2b c ∴+=，令2n =，则222a S b c +=+，则2122a b c a =+-，2b c += ，11a =，221a b ∴=+，令3n =，则333a S b c +=+，则31223a b c a a =+--，2b c += ，11a =，212b a +=，33144b a ∴=+， 数列{}n a 为等差数列，2132a a a ∴=+，即311144b b +=++，解得1b =，则21c b =-=.18．(1)证明见解析(2)98【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得cos sin A B =，再利用诱导公式及三角函数的性质可证明结论；（2）利用（1）的结论及三角公式，将sin sin A C +转化为关于cos B 的二次函数，然后配方可以求最值.【详解】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.19．(1)47108；(2)12.【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率，可得结论；（2）设出男生人数，列出22⨯列联表，根据2 3.841χ≥及,,236x x x均为整数即可求解.【详解】（1）从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，记其中恰有2人喜欢课外阅读为事件A ，则()222211221152151247C C 63636633108P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）设被调查的男生人数为x ,则被调查的女生人数为2x，则22⨯列联表为：喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计男生6x56x x 女生3x 6x 2x 合计2x x32x若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，则2 3.841χ≥，即223526663 3.84122x x x x x x xx x χ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭≥≥⋅⋅⋅，则 3.841810.2433x ⨯≥≈，因为,,236x x x均为整数，所以被调查的男生至少有12人.20．(1)DE ∥平面ABC ，证明见解析；5【分析】（1）分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，EP DO ∥且EP DO =，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求出向量1,22DH ⎛= ⎝⎭uuu r 及平面ACE 的法向量()1,0,2m =-，代入夹角公式，即可得到答案；【详解】（1）DE ∥平面ABC ，理由如下：分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ，同理EP ⊥平面ABC ，所以EP DO ∥，又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以EP DO =，所以四边形DOPE 是平行四边形，所以DE OP ∥，因为ED ⊄平面ABC ，OP ⊂平面ABC ，所以ED ∥平面ABC ；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，令2AC =.则()()())110,0,0,0,1,0,0,1,0,,0,,0,22O A C D H P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,2DE OP E ⎫=∴-⎪⎪⎭所以()310,2,0,,2222AC AE DH ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，所以·0·0m AC m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以203022y y -=⎧⎪-+=则0y =，取2z =，1x ∴=-，则()1,0,2m =-，所以cos ,DH m DH m DH m ===设直线DH 与平面ACE 所成的角为θ，则sin cos ,DH m θ==21．(1)2x y =(2)存在，32λ=【分析】（1）利用导数求得切线方程2002x x y x p p =-，根据切线方程过点0,2p M ⎛⎫-⎪⎝⎭求得220x p =，再结合两点间距离公式运算求解；（2）根据题意联立方程求点B 的坐标，再分别求直线,AT BT 的方程和,E F 的坐标，代入斜率公式运算求解即可.【详解】（1）∵抛物线()2:20C x py p =>，则20,,22p x M y p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴x y p'=，设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则在点P 处的切线斜率0x k p =，故在点P 处的切线方程为()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p =-，∵切线过点0,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2022x p p -=-，解得220x p =，则2PM ===，解得12p =，故抛物线C 的方程为2x y =.（2）存在，32λ=，理由如下：由题意可得：直线AB 的方程为()121y x -=+，即23y x =+，联立方程223y x x y=+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，即直线AB 与抛物线的交点坐标为()()1,1,3,9A B -，∵直线AT 的斜率1k t =-，故其方程为()1y t x t =-+，联立方程()21y t x t x y⎧=-+⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或2x ty t =⎧⎨=⎩，即点()2,E t t，又∵直线BT 的斜率93tk -=，故其方程为93t y x t -=+，联立方程293t y x t x y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或239t x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,39t t F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线EF 的斜率为222933t t k t t t λ-===+，则32λ=.【点睛】存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．22．(1)()f x 有极小值()11f a =-，无极大值(2)①证明见详解；②证明见详解【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可求极值；（2）对①：根据分析可得12ln ln x x -<12ln 0t t t-->，构建()12ln g x x x x =--，利用导数证明；对②：令11m x =，整理可得()112ln f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合()g x 的单调性证明()0f m <，再结合()f x 的单调性即可证明.【详解】（1）由题意可得：()()()3222ln 121ln 2x x x f x x x x +='--=-，∵()3ln 1F x x x =+-在()0,∞+上单调递增，且()10F =，∴当01x <<时，()0F x <，当1x >时，()0F x >，即当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得()f x 有极小值()11f a =-，无极大值.（2）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，则()110f a =-<，解得1a >，当111a <<时，则()()2422424e e 4e 0,e e 0ef a f a --=-+>=-->，结合()f x 的单调性可知：()f x 在()0,1，()1,+∞内均只有一个零点，则2101x x <<<，构建()12ln g x x x x =--，则()()22212110x g x x x x-'=-+=≥当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，①令1t =>，则12ln ln x x -<1121ln x x x x -，等价于221ln t t t-<，等价于12ln 0t t t-->，∵()g x 在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g >=，即12ln 0t t t-->，故12ln ln x x -<②若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，令()110,1m x =∈，即11x m=，则()21212ln1112ln 01m f x f a a m m m m m m⎛⎫⎛⎫==--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得212ln a m m m =+，故()2222ln 12ln 112ln 2ln m mf m m a m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()0,1m ∈，则10m m+>，∵()g x 在()0,1上单调递增，则()()10g m g <=，即12ln 0m m m--<，∴()112ln 0f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当()0,1m ∈时恒成立，又∵()f x 在()0,1上单调递减，且()()20f m f x <=，∴2m x >，即211x x >，故1201x x <<.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形．（2）构造新的函数h (x )．（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值．（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第1讲平面向量(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第1讲 平面向量[考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度． 考点一 平面向量的线性运算 核心提炼1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．例1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14答案 A解析 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则m n＝________. 答案 －2解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由题意可得，OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．跟踪演练1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 12解析 由题意可设CG →＝xCE →(0<x <1)， 则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．答案 [1,3]解析 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)， 则B (1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3.则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y (1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3. 令g (θ)＝3cos θ－33sin θ， 易知g (θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g (θ)取得最大值为3， 当θ＝π3时，g (θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．考点二 平面向量的数量积 核心提炼1．若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b|a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4 答案 C解析 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，0≤λ≤1， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．跟踪演练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 方法一 设a 与b 的夹角为θ，因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝0， 又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0， 即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B. 方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3，即a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)答案 A解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C.2－1 D ．1答案 A解析 如图，作出OD →，使得OA →＋OB →＝OD →.则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB →＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC →，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD →·OC →取得最小值，最小值为－2，此时(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值，最大值为1＋ 2.故选A.专题强化练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( )A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →答案 A解析 由题意可知，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．81 答案 B解析 设该学生的体重为m ，重力为G ，两臂的合力为F ′，则|G |＝|F ′|，由余弦定理得|F ′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos 2π3＝3×4002，∴|F ′|＝4003，∴|G |＝mg ＝4003，m ＝403≈69kg.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2B ．－1C ．－12D.12答案 A解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4,2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A.4．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3) 答案 D解析 由P (3，1)，得P ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6，∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q (－1，3)．5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2.6．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23B.34C.56D ．1 答案 A解析 由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AC →＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，∴|BA →|＝|(PA →－PC →)＋(PB →－PC →)|＝|CA →＋CB →|，即|CA →－CB →|＝|CA →＋CB →|，两边平方整理得，CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．故选C. 8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．23B ．33C ．43D ．5 3 答案 D解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O ， 则圆的半径为332×12＝3，OA →＋OB →＋OC →＝0， 故PA →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →.又||4PO →＋OC→2＝51＋8PO →·OC →≤51＋24＝75， 故||PA →＋PB →＋2PC →≤53， 当PO →，OC →同向共线时取最大值．9．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A.2B.3C ．2D ．2 2 答案 C解析 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1.易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0,3)，D (0,0)， 设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA →＝(3，3)，BD →＝(3，0)， 故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋43≤2.当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2.方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]． 由题意知，x ≥0，y ≥0， |BM →|的最大值为232－32＝3，又2x ＋y 24≥2xy ，即－2x ＋y 24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号． 二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝1 答案 BC解析 |a ＋b |＝12＋－12＝2，故A 错误；因为a ，b 是单位向量，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ＝2，得a ·b ＝0，a 与b 垂直，故B 正确；|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，|a －b |＝2，故D 错误；cos 〈a ，a －b 〉＝a ·a －b |a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×2＝22，所以a 与a －b 的夹角为π4，故C 正确． 11．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( )A ．若k <－2，则a 与b 的夹角为钝角B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2 答案 CD解析 对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k <2且k ≠－2，A 选项正确；对于B 选项，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 选项正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b |b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，C 选项错误；对于D 选项，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项错误．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →＝－1B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76答案 BCD解析 因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形，所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0,0)，A (1,0)，B (－1,0)，C (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233， 设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y )，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233， 又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32， 即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确；|OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32， 所以选项C 正确；ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确． 三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0.因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________.答案 5解析 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设C (a,0)． ∵AC →·AB →＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4. ∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC → ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋4，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36. ∴BO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32＝5. 15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________． 答案 19解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)， 得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|. ∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13， 即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19.16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________． 答案 2829解析 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )，则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )．由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )，故|2e 1－e 2|＝2－x 2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1.cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b|a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1x ＋3＋y 2x ＋12＋y 2x ＋32＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4x ＋12x ＋13x ＋5＝4x ＋13x ＋5＝433x ＋5－833x ＋5＝43－833x ＋5，。
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2023高考数学基础强化专题训练（二）解析几何直线与圆1．若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线y＝ 有两个交点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．{b |－2 ＜b ＜2 } B ．{b |2＜b ＜2 } C ．{b |2≤b ＜2 } D ．{b |b ＝±2}2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （－3，0）在圆C ：x 2＋y 2＋2mx －4y ＋m 2－12＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（3－2 ，1]∪[5，3＋2 ）B ．[1，5]C ．（3－2 ，3＋2 ）D ．（－∞，3－2 ）∪（3＋2 ，＋∞）3．（多选题）下列说法中，正确的有（ ） A ．直线y ＝ax ＋2a ＋3（a ∈R ）必过定点（2，3） B ．直线y ＝2x －1在y 轴上的截距为－1 C ．直线 x －y ＋2＝0的倾斜角为60°D ．点（1，3）到直线y －2＝0的距离为14．（多选题）已知圆M ：（x ＋2）2＋y 2＝2，直线l ：x ＋y －2＝0，点P 在直线l 上运动，直线P A ，PB 分别于圆M 切于点A ，B ．则下列说法正确的是（ ） A ．四边形PAMB 的面积最小值为 B ．|P A |最短时，弦ABC ．|P A |最短时，弦AB 直线方程为x ＋y －1＝0D ．直线AB 过定点（ ， ） 5. 在直线l ：2x －y ＋1＝0上一点P 到点A （－3，0），B （1，4）两点距离之和最小，则点P 的坐标为 ▲ .6．在平面直角坐标系xOy 中，点A （－2，2），B （－1，1），若直线x ＋y －2m ＝0上存在点P 使得P A ＝ PB ，则实数m 的取值范围是 ▲ ．7.已知直线:1l ax by +=是圆22220x y x y +--=的一条对称轴，则ab 的最大值为______．222224x -333333323-2128.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ．9.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，若点P 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为____________．10.11.已知直线l ：kx －y ＋2＋k ＝0(k ∈R )．（1）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值和此时直线l 的方程．12.已知⊙C 的圆心在直线3x －y －3＝0上，点C 在y 轴右侧且到y 轴的距离为1，⊙C 被直线l ：x －y ＋3＝0截得的弦长为2． （1）求⊙C 的方程；（2）设点D 在⊙C 上运动，且点T 满足→DT =2→TO ，(O 为原点)记点T 的轨迹为Γ． ①求Γ的方程；②过点M （1，0）的直线与Γ交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．圆锥曲线1.2.3.4.在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于原点对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于34-． （1）求动点P 的轨迹方程，并注明x 的范围;（2）设直线AP 与BP 分别与直线3x =交于M ，N ，问是否存在点P 使得PAB △与PMN △面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2＝30°，(1，32)在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P (－2，0)，Q (2，0)．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQ S △NPQ 的值． 6.7.已知双曲线)0,(1:2222>=-Γb a by a x ，经过双曲线Γ上的点)1,2(A 作互相垂直的直线AN AM 、分别交双曲线Γ于N M 、两点．设线段AN AM 、的中点分别为C B 、，直线OC OB 、O (为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.41-(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点A 作D MN AD (⊥为垂足），请问：是否存在定点E ，使得||DE 为定值？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.8.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ，使得TA →·TB →为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．函数与导数1.若直线4y x m =+是曲线313y x nx =-+与曲线22ln y x x =+的公切线, 则n m -=A. 11B. 12C. -8D. -72.已知3151log 2,log 10,sin 2a b c ===, 则A. b c a >>B. a c b >>C. a b c >>D. b a c >>【类题训练】1.若a ＝sin1＋tan1，b ＝2，c ＝ln4＋12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜c ＜a 2.3.设1.1ln =a ，11.0-=eb ，1.0tan =c ，π4.0=d ，则A ．d c b a <<<B ．d b c a <<<C ．c d b a <<<D ．b d c a <<<4.（多选题）已知0＜x ＜y ＜π，e y sin x ＝e x sin y ，则( )A ．sin x ＜sin yB ．cos x ＞－cos yC ． sin x ＞cos yD ．cos x ＞sin y 5.2022高考三类“比大小”问题的出题背景及应用举例文/刘蒋巍第1类 出题背景1变形得：x xx e x e<+<+11)0(>x注：该不等式也可运用“移项，构造函数”的高中方法证明。
第2类 出题背景2若2,,1a bc c b a <≠>1)2log ()2log ()2log log (log log 2222=<=+<⋅a bc c b c b a a a a a a【运用案例1】（2022·新高考Ⅰ卷T7）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ） A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. a c b <<99910x xx e x e<+<+11)0(>x令91=x ，得：91101910e e <<，9110110191101e e <<即：可得：b a < 设1.01.0e a =,)1.01ln(--=c将0.1抽象成x ，x xe a =,)1ln(x c --=，则)1ln(x xe c a x -+=-问题迎刃而 解。
【运用案例2】（南京市第一中学2023届高三上学期入学考试数学试题）已知758log 5a =，378ln 5b =，657log 5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. b c a << B. b a c << C. a c b << D. a b c <<57ln 58ln =a 57ln 83=b5558由“若2,,1a bc c b a <≠>1)2log ()2log ()2log log (log log 2222=<=+<⋅a bc c b c b a a a a a a ”得：156log 58log 5757<⋅=c a 所以，c a < 故：b a c <<.【运用案例3】（2022·全国甲（文）T12） 已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ）A. 0a b >>B. 0a b >>C. 0b a >>D. 0b a >>10log 9=m11log 10log 10log 109910101110-=-=a由“若2,,1a bc c b a <≠>1)2log ()2log ()2log log (log log 2222=<=+<⋅a bc c b c b a a a a a a ”得：19log 11log 10log 11log 1010910<⋅=，则10log 11log 910<，则0>a同理，9log 10log 10log 8998898-=-=b18log 10log 9log 10log 9989<⋅=，则0<b故，0a b >>【变式】（2019年全国高中数学联赛甘肃预赛第3题）已知e a 4log =，4log 3=b ，5log 4=c ，则c b a 、、的大小关系是__________________参考答案：b c a <<（提示：3log 5log 44⋅=b c ，因为2453<⨯，所以1<bc）第3类 出题背景3【运用案例】（2022·全国甲（理）T12） 已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A. c b a >> B. b a c >> C. a b c >> D. a c b >>分析：因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >,所以c b >；结合“”,令41=x 即可判断：a b >故，c b a >>【新题训练】3.（多选题）定义在[1,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x ', 且()(2)()f x x x f x '<恒成立, 则必有A. ()()7 4 4 7f f >B. ()()3 14f f <C. ()()9 19f f >D. ()()5 4 3 9f f < 【类题训练】已知f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (0)＝1，对任意的x 总有2f ′(x )－f (x )＞2，则不等式f (x )＋2≥3e π2的解集为 ．4. 已知函数()f x 满足1()()33f x f x x f x ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭, 则11010010()()i i f i f i ==--=∑∑_____.5.已知函数()e 2x f x a x -=+-.(1)讨论()f x 的单调性;(2) 若()f x 有两个零点12,x x , 且120x x <, 证明: 122ln x x a +>6.设.sin )(x e x f x =(1)求)(x f 在],[ππ-上的极值；(2)若对],0[,21π∈∀x x ，21x x =/，都有0)()(222121>+--a x x x f x f 成立，求实数a 的取值范围数列1.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22n n n S a a =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记22cos3n n n a b a π=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求3n T .2.【类题训练】。