高中数学函数综合小题强化训练试题合集
最新精选高中数学单元测试-函数综合问题专题完整题(含答案)
2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π- (B)2,6π- (C)4,6π- (D)4,3π（2013年高考四川卷（理））2．函数y =--------------------------------------------------------------------------（ ）(A)最小值1 (B)最小值0，无最大值 (C)最大值2 (D)，无最小3．如果log 2log 20a b >>，那么------------------------------------------------（ ）(A)1a b << (B)1b a << (C)01a b <<< (D)01b a <<<4．函数()244,143,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图象和函数()2log g x x =的图象的交点个数是（ ）(07湖南)A ．4B ．3C ．2D ．1B ．二、填空题5．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数， 若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则x 1+x 2+x 3+x 4=_____.6． 已知函数f (x )＝x 2＋t 的图象与函数g (x )＝ln|x |的图象有四个交点，则实数t 的取值范围为 ▲ ．7．已知函数()(01)x f x a a a =>≠且在[1,2]上最大值比最小值大2a ，则a 的值为 .8．函数y 的定义域为 ▲ .9．给出以下四个数：2ln 2ln ),2ln(ln ,)2(ln 2与，其中最大的数为10．若关于x 的不等式：2220x x a +++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为 。
高中数学：专题强化训练(四)三角恒等变换
专题强化训练四三角恒等变换(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.cos27°cos57°-sin27°cos147°等于( )A. B.- C. D.-【解析】选A.原式=cos27°cos57°-sin27°cos(180°-33°)=cos27°cos57°+sin27°cos33°=cos27°cos57°+sin27°sin57°=cos(57°-27°)=cos30°=.2.化简cos2-sin2得( )A.sin2αB.-sin2αC.cos2αD.-cos2α【解析】选A.cos2-sin2=cos=sin2α.3.已知tanα=2,α为第一象限角,则sin2α+cosα的值为( )A. B.C. D.【解析】选C.由tanα=2=,sin2α+cos2α=1,α为第一象限角可得sinα=,cosα=,所以sin2α=2sinαcosα=2××=,所以sin2α+cosα=.4.(2018·承德高一检测)设α为锐角,若cos=,则sin的值为( ) A. B. C.- D.-【解析】选B.因为α为锐角,cos=,所以α+∈,所以sin==.则sin=2sin cos=2××=.5.已知α,β∈,sinα=,cosβ=,则α-β等于( )A.-B.C. D.-或【解析】选A.因为α,β∈,sinα=,cosβ=,所以cosα=,sinβ=.所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=,又sinα<sinβ,所以-<α-β<0,故α-β=-.6.已知函数f(x)=sinx+cosx的图象关于直线x=a对称,则最小正实数a的值为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为f(x)=sinx+cosx=2=2sin,所以其对称轴方程为x+=kπ+,k∈Z.解得:x=kπ+,k∈Z.又函数f(x)=sinx+cosx的图象关于直线x=a 对称,所以a=kπ+,k∈Z.当k=0时,最小正实数a的值为.二、填空题(每小题4分,共12分)7.满足sinx+cosx=的角x等于________. 【解析】sinx+cosx=cosxcos+sinxsin=cos=,因为-<x<0,所以x-=-,即x=-.★答案★:-8.已知tan=3,则sin2θ-2cos2θ=________.【解析】因为tan=3,所以=3,所以tanθ=.sin2θ-2cos2θ=====-.★答案★:-9.(2018·苏州高一检测)已知α是第一象限的角,且cosα=,则的值为________.【解析】因为α是第一象限的角,cosα=,所以sinα=,所以=====-.★答案★:-三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知函数f(x)=2cos(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值.(2)设α,β∈,f=-,f=,求cos(α-β)的值.【解析】(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π,所以10π=,所以ω=.(2)因为f=-,所以2cos=2cos=-,所以sinα=.又因为f=,所以2cos=2cosβ=,所以cosβ=,因为α,β∈,所以cosα=,sinβ=,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=.11.已知tanα=2.(1)求tan的值.(2)求的值.【解析】(1)tan===-3.(2)====1.。
高中数学小题压轴题狂练(分类题库)
A．
0,
1 2
B．
1 2
,1
C． (1, 2)
D． (2, e)
18．设函数������������(������������) = ln(√������������2 + 1 − ������������)，若������������，������������满足不等式������������(������������2 − 2������������) + ������������(2������������ − ������������2) ≤ 0，则当1 ≤ ������������ ≤ 4时，2������������ − ������������ 的最大值为（ ） A. 1 B. 10 C. 5 D. 8 19．设函数������������(������������)为定义域为������������的奇函数，且������������(������������) = ������������(2 − ������������)，当������������ ∈ [0,1]时，������������(������������) = sin������������，则函数������������(������������) =
函数 g(x) =x3 + 3x2 + m ．若
2
−
1−
2
|x−
3|
2,
1
≤
x
<
2.
∀s ∈[−4, −2) ， ∃t ∈[−4, −2) ，不等式 f (s) − g(t) ≥ 0 成立，则实数 m 的取值范围是（ ） (A) (−∞, −12] (B) (−∞, −4]
高中数学经典好题-第4讲 函数的极值、最值(3大考点+强化训练)
第4讲函数的极值、最值（3大考点+强化训练）【知识导图】【考点分析】考点一利用导数研究函数的极值判断函数的极值点，主要有两点(1)导函数f ′(x )的变号零点，即为函数f (x )的极值点．(2)利用函数f (x )的单调性可得函数的极值点．一、单选题1．（2023下·上海青浦高级中学校考期中）对于以下结论：①若公比[)()1,00,1q ∈-⋃，那么等比数列前n 项和存在极限；②k a 为数列{}n a 最大的项，那么k n a a >对任意的n （n ∈N ，0n >，n k ≠）都成立；③函数()f x 的导数为()f x '，若()00f x '=，那么0x x =为函数的极值点；④函数()f x 的导数为()f x '，若()0f x '≥恒成立，那么()f x 是严格增函数.正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题三、解答题考点二利用导数研究函数的最值1．求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值．(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )．(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．一、单选题1．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00x ∈+∞,，使()00f x >，则a 的取值范围是（）二、填空题三、解答题考点三极值、最值的简单应用一、单选题C．()23，D．[]34，二、多选题三、填空题四、解答题【强化训练】一、单选题1．设函数()cos f x x x =的一个极值点为m ，则tan 4m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．11m m -+B ．11m m +-C ．11m m -+D ．11m m+-2．（2023单元测试）已知函数()ln f x ax x x =-与函数()e 1xg x =-的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],1e -∞-B ．1e ,2-⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1e -∞-D ．1e ,2-⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．若函数32()34()f x x ax a R =-+∈在区间(0,)+∞内有且仅有一个零点，则()f x 在区间[1,4]-上的最大值为（）A ．4B ．10C ．16D ．204．已知函数()()21ln 2k f x k x x x =-++，有以下命题：①当12k =-时，函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；②当0k ≥时，函数()f x 在()0,+∞上有极大值；③当102k -<<时，函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；④当12k <-时，函数()f x 在()0,+∞上有极大值12f ⎛⎫⎪⎝⎭，有极小值()f k -．其中不正确命题的序号是A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④5．已知函数()x f x a x xe =-+，若存在01x >-，使得()0 0f x ≤，则实数a 的取值范围为：（）A ．[0,)+∞B ．(,0]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞6．函数()2x x f x e=的极小值为（）A ．0B ．1eC ．2D ．24e 二、多选题三、填空题四、解答题13．函数()()ln 1f x x a x a R =-+∈．（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a =，证明：()()1f x ef x -≥(e 为自然对数的底数)．(1)防护服的生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品防护服的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检，红外线自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线并由工人进行抽查检验．已知在批次I 的成品防护服的生产中，前三道工序的次品率分别为第四道红外线自动检测显示为合格率为92%抽检也为合格品的概率（百分号前保留两位小数）(2)①已知某批次成品防护服的次品率为p 概率为0p ，在多次改善生产线后批次J 的防护服的次品率批次I 与批次J 防护服的质量；②某医院获得批次I ，J 的防护服捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常使用这两个批次的防护服期间，该院医务人员核酸检测情况的等高堆积条形图如图所示，0.001α=的独立性检验，分析能否认为防护服的质量与感染新冠肺炎病毒有关联？核酸检测结果防护服批次合计IJ呈阳性呈阴性合计附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．()2P x ααχ=≥0.0500.0100.005。
高中数学-幂函数专题强化训练(解析版)
高中数学-幂函数专题强化训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)22．下列函数中值域为R +的是（）A ．12y x =B ．()221y x -=+C ．113x y +=D ．12x y +=3．若幂函数()f x 的图象过点(4,2)，则(2)f 的值为（）A ．12B ．22C D ．24．已知函数()f x 是奇函数，且(2)()f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上是增函数，313(1),(),()23f f f 的大小关系是（）A ．313(1)()()23f f f <<B ．313()(1)()23f f f <<C ．133()(1)()32f f f <<D ．133(()(1)32f f f <<5．已知幂函数f(x)满足f 13⎛⎫⎪⎝⎭=9,则f(x)的图象所分布的象限是()A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第一象限6．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点，则f (2)＝()A ．B ．4C ．D ．7．下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上单调递增的是（）A ．21y x =-B ．1y x =-C ．2y x -=D ． 22x xy -=-8．若幂函数()222333mm y m m x+-=++的图象不过原点且关于原点对称，则（）A ．2m =-B ．1m =-C ．2m =-或1m =-D ．31m -≤≤-9．若幂函数()()255af x a a x =--在()0,∞+上单调递增，则=a （）A ．3B ．6C ．2D ．1-10．奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (8)＋f (5)的值为()A ．2B ．1C ．－1D ．－2二、多选题11．下列函数中，在区间()0,2上是增函数的是（）A ．3y x =-B ．21y x =+C ．1y x=-D ．3y x =12．下列命题中是真命题的有A ．幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)B ．幂函数的图象不可能过第四象限C ．当0n >时，幂函数n y x =是增函数D ．当0n <时，幂函数n y x =在第一象限内函数值随x 值的增大而减小13．已知幂函数()()2mf x m x =-，则（）A ．3m =B ．定义域为[)0,∞+C ．(1.5)(1.4)m m -<-D 2=三、填空题14．函数()12f x x -=的定义域为_______．15．若一个函数为幂函数，又是二次函数，则该函数的表达式为______．16．已知()f x 为幂函数，若1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x =________．17．幂函数()f x x α=的图像经过点，则1()4f 的值为____．18．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()25f =___________.19．已知函数21()(3)m f x m x -=-是幂函数，则实数m =___________.20．已知幂函数2232(5)m m y m m x --=--在区间()0,∞+是减函数，则实数m 的值是_______.21．已知幂函数()()22nf x n n x =-在()0,∞+上单调递减，则实数n 的值为___________.22．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，()11x f x x e e=- ，则曲线()y f x =在点()12，处的切线方程是______．23．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足：()()()+xf xg x e e =是自然对数的底，则()()()()()21212222n n ng g g g f -⋅=_____________.四、解答题24．已知函数2()lg[(1)]f x x a x a =+--．（1）求函数()f x 的定义域．（2）若()f x 为偶函数，求实数a 的值．25．已知幂函数()f x 的图象过点()2,4.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()48h x f x x =--在[],2k k +上是单调函数，求实数k 的取值范围.26．已知函数()()3log 0,16axf x a a x-=>≠-．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的单调区间．27．已知函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值为()g m ．（1）求函数()g m 的解析式．（2）定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h >，求实数t 的取值范围．28．已知幂函数()232mm f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递增.(1)求m 的值；(2)设函数()()g x f x x =+，求关于a 的不等式()()21g a g a +>-的解集.参考答案：1．B 【解析】【详解】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域．2．D 【解析】【分析】利用指数函数或幂函数的性质，分别求出函数的值域即可．【详解】解：对A.120y x =≥，不符合；对B.22,(11)y t t x -==+≥，此时01y <≤，不符合；对C.13,(0)1ty t x ==≠+，此时0y <且1y ≠，不符合；对D.2,(1)t y t x R ==+∈，此时0y >，符合．故选D ．【点睛】本题考查复合函数的值域的求法，将内层函数的值域求出并作为外层函数的定义域，难度不大．3．C 【解析】【分析】设()f x x α=，利用待定系数法求出函数解析式，再代入求值即可；【详解】解：设()f x x α=，因为幂函数()f x 的图象过点(4,2)，所以42α=，解得12α=，所以12()f x x =，所以()1222f ==故选：C4．D【解析】【分析】由f（x+2）=﹣f（x），得f（x+4）=f（x），利用函数奇偶性单调性之间的关系，即可比较大小．【详解】∵f（x+2）=﹣f（x），函数f（x）是奇函数，∴f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x），∴函数f（x）关于x=1对称，且f（x+4）=f（x），∴函数是周期为4的周期数列．∵f（x）在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（x）在[1，2]上是减函数，f（133）=f（4+13）=f（13）=f（53），∵f（x）在[1，2]上是减函数，且1＜32＜53，∴f（1）＞f（32）＞f（53），即f（133）＜f（32）＜f（1），故选D．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，利用函数的奇偶性，对称性和单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质，考查学生的转化意识，属于中档题．5．A【解析】【详解】设幂函数()af x x=∵1()9 3f∴1()93a=，即2a =-∴2()f x x -=∴()f x 的图象分布在第一、二象限故选A 6．C 【解析】【分析】设幂函数解析式，将点（4，12）代入，解得参数，从而得解析式，再代入2求函数值.【详解】设f (x )＝xα，因为图像过点（4，12），代入解析式得α＝－12，∴f (2)＝122-=，故选C.【点睛】本题考查了待定系数法求幂函数解析式和求函数值等基础知识.7．B 【解析】A.利用二次函数的性质判；B.利用函数1y x =-的图象判断；C.利用幂函数的性质判断；D.利用函数奇偶性判断.【详解】A.由二次函数的单调性得21 y x =-在()0+∞，上递减，故错误；B.函数1y x =-的图象如图所示：所以函数是偶函数又在区间()0+∞，上单调递增，故正确；C.由幂函数的单调性得2y x -=在()0+∞，上递减，故错误；D.因为()()()2222x x x xf x f x ---=-=--=-，所以函数是奇函数，故错误；故选：B 8．A 【解析】根据幂函数的概念，可得2331m m ++=，进而可求出1m =-或2m =-，然后分两种情况，分别讨论函数的奇偶性，即可选出答案.【详解】根据幂函数的概念，得2331m m ++=，解得1m =-或2m =-，①若1m =-，则4y x -=，令()4f x x -=，其定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()()44f x x x f x ---=-=≠-，显然幂函数为偶函数，不是奇函数，图象不关于原点对称，不符合题意，舍去；②若2m =-，则3y x -=，令()3f x x -=，其定义域为R ，且()()()33f x x x f x ---=-=-=-，即幂函数为奇函数，图象关于原点对称，符合题意.所以2m =-.故选：A.【点睛】关键点睛：利用幂函数的概念，先求出m ，再根据幂函数的性质，进分类讨论，属于基础题9．B 【解析】【分析】根据幂函数的概念可得2551a a --=，然后结合单调性可得0a >，进而可以求出结果.【详解】因为()()255af x a a x =--为幂函数，则2551a a --=，解得6a =或1a =-，又因为在()0,∞+上单调递增，则0a >，因此6a =，故选：B.10．A 【解析】【详解】∵f （x+1）为偶函数，f （x ）是奇函数，∴设g （x ）=f （x+1），则g （-x ）=g （x ），即f （-x+1）=f （x+1），∵f （x ）是奇函数，∴f （-x+1）=f （x+1）=-f （x-1），即f （x+2）=-f （x ），f （x+4）=f （x+2+2）=-f （x+2）=f （x ），f (8)=()00f =，f (5)=()12f =，所以f (8)＋f (5)=2故选A点睛：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的周期是解决本题的关键．11．BCD 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性可得出合适的选项.【详解】函数3y x =-在区间()0,2上是减函数，函数21y x =+、1y x=-、3y x =在区间()0,2上均为增函数.故选：BCD.12．BD 【解析】【分析】根据幂函数的图象与性质，以及合理利用举反例的方法，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，例如幂函数()1f x x -=的图象不经过点(0,0)，所以不正确；对于B 中，根据函数的概念，可得幂函数的图象不可能过第四象限是正确的；对于C 中，例如幂函数()23f x x =在其定义域上不是单调函数，所以不正确；对于D 中，根据幂函数的图象与性质，可得当0n <时，幂函数n y x =在第一象限内是减函数，所以是正确的.故选BD.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的判定及应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质，以及合理利用举反例进行逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13．AC 【解析】【分析】根据()f x 为幂函数得m 可判断A ；根据幂函数的解析式可判断B ；利用单调性可判断C ；D.【详解】()f x 为幂函数，21m ∴-=，得()33,=∴=m f x x ，A 对；函数()f x 的定义域为R ，B 错误；由于()f x 在R 上为增函数，331.5 1.4,(1.5)(1.4)-<-∴-<-，C 对；()3228f ==，=，D 错误，故选：AC.14．()0,∞+【解析】将函数解析式变形为()f x=.【详解】()12f x x-= 0x >.因此，函数()12f x x -=的定义域为()0,∞+.故答案为：()0,∞+.15．2y x =【解析】【分析】设幂函数为,y x R =Îa a ，根据该函数为二次函数，即可求出α的值，进而求出结果.【详解】设幂函数为,y x R =Îa a ，又y x α=是二次函数，所以2α=，所以2y x =.故答案为：2y x =.16．12x 【解析】设函数()a f x x =，代入1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求解.【详解】因为()f x 为幂函数，设()af x x =，因为1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1142⎛⎫= ⎪⎝⎭a，12a =.故答案为：12x .17．2【解析】【详解】因为幂函数11422y x ααα=∴=∴=-，因此可知f(14)=218．5【解析】【分析】设()y f x x α==，根据函数过点(，即可求出α的值，即可取出函数解析式，再代入计算可得；【详解】解：设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =的图象过点(，所以()22f α==12α=，所以()12f x x =，所以()1225255f ==故答案为：519．2±【解析】根据幂函数的定义求解即可.【详解】因为21()(3)m f x m x -=-是幂函数，所以231m -=，解得2m =±，故答案为：2±20．3【解析】【分析】由幂函数的定义可构造方程求得m ，代入解析式验证，满足在()0,∞+上为减函数的即为结果.【详解】()22325m m y m m x --=-- 为幂函数251m m ∴--=，解得：2m =-或3当2m =-时，函数为8y x =，在区间()0,∞+上是增函数，不合题意当3m =时，函数为2y x -=，在区间()0,∞+上是减函数，符合题意综上所述：3m =故答案为：3【点睛】本题考查根据幂函数的定义与性质求解参数值的问题，关键是熟练掌握幂函数的定义，并能根据解析式特征确定函数的单调性.21．12-##0.5-【解析】【详解】由题意，幂函数()()22n f x n n x =-，可得221n n -=，解得1n =或12n =-，当12n =-时，函数12y x -=在区间()0,∞+上单调递减，符合题意；当1n =时，函数y x =在区间()0,∞+上单调递增，不符合题意，所以实数n 的值为12-.故答案为：12-.22．2y x=【解析】【详解】已知()f x 为偶函数，且当0x ≤时，()1x f x ex --=-，当0x >，则0x -<，()()1x f x f x e x -∴=-=+，∴()1'1x f x e -=+，∴()0'112f e =+=．∴曲线()y f x =在点()12，处的切线方程是()221y x -=-，即2y x =．答案：2y x =．23．221ee -【解析】【详解】∵()()+x f x g x e =,()f x 和()g x 分别为R 上的奇函数和偶函数,∴()()()()++x f x g x f x g x e ---=-=，∴()()22x x x xe e e ef xg x ---+==，∴(2)2()()f x f x g x =⋅，∴()()()()()()()()()()()()()2121212222112221=1212n n n n n n g g g g f g g g g f f f f --⋅⋅= 221e e =-.24．（1）{|1x x <-或}x a >；（2）1a =.【解析】【详解】试题分析：（1）由()210x a x a +-->即()()10x x a +->，讨论a 和-1的大小求解即可；（2）若()f x 是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（1）知，1a =，再检验即可.试题解析：（1）因为()210x a x a +-->即()()10x x a +->，当1a <-时，不等式的解为x a <或1x >-，所以函数()f x 的定义域为{|x x a <或1}x >-．当1a =-时，不等式的解为1x ≠-，所以函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠-．当1a >-时，不等式的解为1x <-或x a >，所以函数()f x 的定义域为{|1x x <-或}x a >．（2）如果()f x 是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（1）知，1a =，检验：当1a =时，定义域为{|1x x <-或1}x >关于原点对称，()()2lg 1f x x =-，()()()()22lg 11f x x lg x f x ⎡⎤-=--=-=⎣⎦，因此当1a =时，()f x 是偶函数．25．(1)2()f x x =(2)(,0][2,)-∞+∞ 【解析】【分析】（1）根据幂函数的图象过点（2，4），列方程求出α的值，写出f （x ）的解析式；（2）写出函数h （x ）的解析式，根据二次函数的对称轴与单调性求出k 的取值范围．【详解】解：（1）设()()f x x R αα=∈，因为()f x 的图象过点()2,4，∴(2)24f α==，∴2α=，∴2()f x x =；（2）函数22()()4848(2)12h x f x x x x x =--=--=--，对称轴为2x =；当()h x 在[],2k k +上为增函数时，2k ≥当()h x 在[],2k k +上为减函数时，22k +≤，解得0k ≤所以k 的取值范围是(,0][2,)-∞+∞ 【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．26．（1）见解析；（2）()3,3-【解析】【分析】（1）换元，令x ﹣3=t ，可求t 的范围：﹣3＜t ＜3，这样便得到f （t ）=33at log t +-，从而得出f （x ），并求f （﹣x ），这样即可判断f （x ）的奇偶性；（2）函数f （x ）=33a x log x +-是由函数u=33x x+-和y=log a u 复合而成，根据a 的范围可判断y=log a u 为减函数，从而判断33x u x +=-在（﹣3，3）上单调性，并求其单调区间便可得出函数f （x ）的单调区间．【详解】（1）令x ﹣3=t ，﹣3＜t ＜3，则x=t+3；f （t ）=33a t log t+-；∴()3333a x f x log x x+=--，＜＜；∴()()3333aa x x f x log log f x x x -+-==-=-+-；∴f （x ）为奇函数；（2）令u=33x x +-=()363x x--+-=613x -+-，该函数在（﹣3，3）上为增函数；又0＜a ＜1；∴函数log a u 为减函数；∴复合函数f （x ）单调减区间为（﹣3，3）．【点睛】考查换元法求函数解析式，奇函数的定义，以及根据奇偶函数的定义判断函数奇偶性的方法，复合函数的定义，对数函数的单调性，复合函数单调性的判断方法．27．(1)()2,04 442,4m m g m m m ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩(2)()()4,00,4- 【解析】【分析】（1）函数的对称轴2m x =，讨论对称轴所在的区间即可求解．（2）根据已知定义在()(),00,-∞⋃+∞的函数()h x 为偶函数，再对其单调性进行研究可知()()4h t h >，即04t <<，实数t 的取值范围即可求解．【详解】（1）因为()()222024m m f x x mx x m ⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭，所以当04m <≤时，022m <≤，此时()224m m g m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．当4m >时，函数()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间[]0,2上单调递减，所以()()242g m f m ==-．综上可知()2,04442,4m m g m m m ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩．（2）因为当0x >时，()()h x g x =，所以当0x >时，()2,04442,4x x h x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩．易知函数()h x 在()0,+∞上单调递减，因为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()h x 为偶函数，且()()4h t h >，所以04t <<，解得40t -<<或04t <<．综上所述，实数t 的取值范围为()()4,00,4-⋃．【点睛】本题主要考查函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论是哪种类型，解决的关键是明确对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．28．(1)12(2)1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得到2312m m +=，解得12m =或2m =-，再由函数()232m m f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,+∞上单调递增，做出取舍；（2）根据题意得到()g x 在[)0,+∞上单调递增，列出不等式组，求得结果.(1)因为()232m m f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为幂函数，所以2312m m +=，解得12m =或2m =-.当2m =-时，()2f x x -=在()0,+∞上单调递减，不符合题意；当12m =时，()f x =()0,+∞上单调递增，符合题意.综上，m 的值为12.(2)()f x 的定义域为[)0,+∞，且()f x 在[)0,+∞上单调递增.又因为函数y x =在[)0,+∞上单调递增，所以()g x 的定义域为[)0,+∞，且()g x 在[)0,+∞上单调递增.由()()21g a g a +>-，得20,10,21,a a a a +⎧⎪-⎨⎪+>-⎩解得112a -< 故所求不等式的解集为1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
22版新教材高中数学A版必修第一册练习--专题强化练2 二次函数、二次方程、二次不等式的综合运用
专题强化练2 三个二次(二次函数、二次方程、二次不等式)的综合运用一、选择题1.(2019河南郑州一中高二上期中,)下列不等式的解集为实数集R 的是 ( ) A.x 2+4x +4>0B.√x 2>0C.x 2-x +1≥0D.1x -1<1x 2.()若不等式ax 2+bx +1>0的解集为{x|-1<x <13},则a +b 的值为 ( )A.5B.-5C.6D.-63.(2020吉林长春第八中学高一月考,)已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|-13<x <2},则不等式cx 2+bx +a <0的解集为 ( )A.{x|-3<x <12}B.{x|x <-3或x >12}C.{x|-2<x <13}D.{x|x ≤-2或x >13}4.()若对任意实数x ,不等式2kx 2+kx -3<0恒成立,则实数k 的取值范围是 ( ) A.-24<k <0 B.-24<k ≤0C.0<k ≤24D.k ≥245.()若关于x 的方程x 2+(m -1)x +m 2-2=0的一个实数根小于-1,另一个实数根大于1,则实数m 的取值范围是 ( )A.{m |-2<m <2}B.{m |-2<m <0}C.{m |-2<m <1}D.{m |0<m <1}6.(2020江苏南京人民中学高一月考,)定义在R 上的运算:x*y =x (1-y ).若不等式(x -a )*(x +a )<1对任意实数x 都成立,则 ( )A.-32<a <12B.-12<a <32C.-1<a <1D.0<a <27.(多选)()已知a ∈Z,关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数,则a 的值可以是( )A.6B.7C.8D.9二、填空题8.(2021北京交通大学附属中学高一上期中,)若不等式x2-ax+2<0在x∈{x|1<x<2}时恒成立,则a的取值范围是.9.(2021湖南师范大学附属中学高一上期中,)设关于x的不等式ax2+8(a+1)x+7a+16≥0(a∈Z)只有有限个整数解,且0是其中一个解,则全部不等式的整数解的和为.三、解答题10.()在一个限速40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问谁应负主要责任?11.()(1)若不等式ax2+3x+2>0的解集为{x|b<x<1},求a,b的值;(2)求关于x的不等式ax2+3x+2>-ax-1(其中a>0)的解集.12.(2021广东中山纪念中学高一上段考,)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式ax2+ax-6<0的解集为B.(1)若a=1,求A∩B;(2)在(1)的前提下,若不等式x2+mx+n<0的解集为A∩B,求不等式mx2+x+n<0的解集;(3)∀x∈R,ax2+ax-6<0,求a的取值范围.答案全解全析一、选择题1.C 当x =-2时,选项A 中的不等式不成立;当x =0时,选项B 中的不等式不成立;对于选项C,Δ=1-4<0,且y =x 2-x +1的图象开口向上,故y =x 2-x +1的图象与x 轴无交点,所以不等式x 2-x +1≥0的解集为R;当x =0时,选项D 中的不等式不成立.故选C.2.B 由题意知-1,13是关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两个根,且a <0,∴{a -b +1=0,19a +13b +1=0, 解得{a =-3,b =-2,∴a +b =-5.3.A 由题意知,ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1=-13,x 2=2,且a <0,则{a 9-b 3+c =0,4a +2b +c =0,解得{a =-32c ,b =52c ,代入cx 2+bx +a <0,得cx 2+52cx -32c <0.因为a <0,所以c >0,所以cx 2+52cx -32c <0可化为2x 2+5x -3<0,解得-3<x <12,故不等式cx 2+bx +a <0的解集为{x|-3<x <12}.故选A .4.B 当k =0时,不等式为-3<0,不等式恒成立;当k ≠0时,若不等式恒成立,则{k <0,Δ<0,解得-24<k <0.综上所述,-24<k ≤0,故选B.5.D 令y =x 2+(m -1)x +m 2-2,作出函数的大致图象如图所示,由图象知,当x =-1时,y =m 2-m <0,解得0<m <1;当x =1时,y =m 2+m -2<0,解得-2<m <1.综上可得,0<m <1,故选D.6.B 不等式(x -a )*(x +a )<1可化为(x -a )·(1-x -a )<1,即x 2-x +a -a 2+1>0对任意实数x 都成立,∴Δ=1-4×(a -a 2+1)<0,解得-12<a <32.故选B.7.ABC 设y =x 2-6x +a ,其图象开口向上,对称轴是直线x =3,如图所示.若关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数,则{22-6×2+a ≤0,12-6×1+a >0,解得5<a ≤8,又a ∈Z,故a 的值可以为6,7,8.故选ABC .二、填空题8.答案 a ≥3解析 根据函数y =x 2-ax +2的图象可知,只要保证在x =1和x =2时的函数值均小于等于0即可, 即{1-a +2≤0,4-2a +2≤0,解得a ≥3. 故答案为a ≥3.9.答案 -10解析 设y =ax 2+8(a +1)x +7a +16,对于任意一个给定的a 值,只有其图象开口向下时才能满足y ≥0的整数解只有有限个,∴a <0,∵0是其中一个解,∴可求得a ≥-167. 又a ∈Z,∴a =-2或a =-1,则不等式为-2x 2-8x +2≥0或-x 2+9≥0,解得-2-√5≤x ≤√5-2或-3≤x ≤3.∵x ∈Z,∴x =-4,-3,-2,-1,0或x =-3,-2,-1,0,1,2,3,∴全部不等式的整数解的和为-10.故答案为-10.三、解答题10.解析 设甲车车速为x 甲km/h,乙车车速为x 乙km/h .由题意列出不等式s 甲=0.1x 甲+0.01x 甲2>12,s 乙=0.05x 乙+0.005x 乙2>10,分别求解,得x 甲<-40或x 甲>30,x 乙<-50或x 乙>40.由于x >0,从而得x 甲>30,x 乙>40.经比较知乙车超过限速,故乙应负主要责任.11.解析 (1)由不等式ax 2+3x +2>0的解集为{x |b <x <1}可知1为ax 2+3x +2=0的一个根且a <0,将x =1代入ax 2+3x +2=0,可得a =-5,所以不等式ax 2+3x +2>0即为不等式-5x 2+3x +2>0,可转化为(x -1)(5x +2)<0,所以原不等式的解集为{x|-25<x <1},所以b =-25.(2)不等式ax 2+3x +2>-ax -1可化为ax 2+(a +3)x +3>0,即(ax +3)(x +1)>0.当-3a <-1,即0<a <3时,原不等式的解集为{x|x >-1或x <-3a };当-3a =-1,即a =3时,原不等式的解集为{x |x ≠-1};当-3a >-1,即a >3时,原不等式的解集为{x|x <-1或x >-3a }.综上所述,当0<a <3时,原不等式的解集为{x|x >-1或x <-3a };当a =3时,原不等式的解集为{x |x ≠-1};当a >3时,原不等式的解集为{x|x <-1或x >-3a }.12.解析 (1)由题可知A ={x |-1<x <3},当a =1时,B ={x |-3<x <2},∴A ∩B ={x |-1<x <2}.(2)∵不等式x 2+mx +n <0的解集为A ∩B ={x |-1<x <2},∴-1和2是方程x 2+mx +n =0的两个根,∴{-1+2=-m ,-1×2=n ,解得{m =-1,n =-2,∴mx 2+x +n <0即-x 2+x -2=-(x -12)2-74<0,其解集为R . (3)当a =0时,-6<0恒成立,符合题意;当a ≠0时,∵∀x ∈R,ax 2+ax -6<0,∴{a <0,Δ=a 2+24a <0,解得-24<a <0. 综上可得,a 的取值范围是{a |-24<a ≤0}.。
(2019新教材)新人教A版高中数学必修第一册强化训练：指数函数与对数函数含解析
专题强化训练(四)指数函数与对数函数(建议用时：60分钟) ［合格基础练］一、选择题1.下列运算正确的是()/、71A 」- }= m • n 7( n >0, n >0),n >0)，故A 错；1匂(—3j = 即=罷，故B 错；扳〒7与4(x + yj又当x = 0时，y = lg 1 = 0,故排除选项 C.] 3. 函数y = •. 16-4争勺值域是( )A . [0 ,+^ )B . [0,4] C. [0,4)D. (0,4)C [由 4x >0 可知 16-4x <16,故.16— 4x 的值域为[0,4).] 4.设函数y = x 2与y = <)— 2的图象交点为(x o , y o )，则X o 所在区间是()A . (0,1)B . (1,2) C. (2,3)［函数y = x 2与y = £)—2的图象交点为(X 。
，y 。
), x 。
是方程x 2= ?)—2的解，也是函数—2=— 1V 0 ,••• f (1) • f(2) v 0.由零点存在性定理可知，方程的解在 (1,2)内.故选B.］y >0)D. (3,4)f (x ) = x 2-1x —2f (x )在(0,+^)上单调递增,2f (2) = 2 — 1 = 3> 0, f (1) = 1x >0, A ［因为当x = 1时函数无意义，故排除选项B D,的零15 .当0<x w 3时，log a X >8x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A. 0,B.C. (1 , 3)D. (3, 2)B [ v log a x >8 ,「.log a x >0，而 0<x w 0<a <1,作出 y ==log a x 的大致图象如图所示，则只需满足 log 玄訂勾二2= log a a 2a>2 3，•• J<a<1，故选 B.] 3 填空题 函数y = 2 + a x —2（a >0且a * 1）的图象恒过定点，它的坐标为 ________ （2,3） [当 x — 2= 0 时，y = 2 + a °= 2 + 1= 3,二图象恒过定点（2,3）.] 7 .若函数f (x ) = x ln( x + ,a + x 2)为偶函数，则a = 1 [ v f (x )为偶函数，• f ( — x ) — f (x ) = 0 恒成立， — x ln( — x + a + x 2) — x ln( x + a + x 2) = 0 恒成立，二 x ln a = 0恒成立，二 In a = 0, 即 a = 1.] 8.下列命题: ① 偶函数的图象一定与 y 轴相交; ② 任取x >0,均有> -一 1③在同一坐标系中，y = log 2X 与y = log 的图象关于x 轴对称;1④y =一在（—a, 0） u （0,+^）上是减函数.x其中正确的命题的序号是 __________ .②③[①可举偶函数y = x —2,则它的图象与y 轴不相交，故①错； >②n >0时，幕函数y = x n 在（0，+a ）上递增，则任取 x >0,均有? xl x,故②对;1 一 1③ 由于y = log ^x =— log 2x ，则在同一坐标系中，y = log 2x 与y = log ^x 的图象关于x 轴对称，故③对； 1④ 可举X 1 = — 1, X 2= 1，则y 1=— 1, y 2= 1,不满足减函数的性质， 故y =;在（—a, 0） u （0 ,z\.+ a ）上不是减函数.故④错.] 三、解答题9 •计算下列各式:(1)lo g—lo g 了20 3 27+ lg 25 + lg 4 + 7 + ( —9.8);(2)lo g23(9 x 27 ) + log 26 —log 23 + log 43 x log 316.[解]3(1)原式=log 332 + lg(25 x 4) + 2 + 1=2+ lg 10 2+ 3 = 2 + 2+ 313~2'2 3 2 2 8 6⑵原式=log 3[3 x (3 ) ] + (log 26 —log 23) + log 43 x log s4 = log s3 + log 23 + 2 = 8+ 1 + 23=11.10.已知幕函数y = f(x)的图象过点(8 , m)和(9,3)(1) 求实数m的值；(2) 若函数g(x) = a f(x)(a>0, a* 1)在区间［16,36］上的最大值等于最小值的两倍，求实数a的值.［解］⑴设f(x) = x",依题意可得9" = 3,• -a ==2，f (x) = X2,1••• m= f(8) = 82 = 2 2.⑵g(x) = a x,v x€ [16,36],• . x € [4,6],4 6当0<a<1 时，g(x) max= a , g(x) m“= a ,由题意得a4= 2a6,解得a= #；6 4当a>1 时，g( x) max= a , g(x)min = a ,由题意得a = 2a4，解得a= , 2.综上，所求实数a的值为三2或*. 2.［等级过关练］"x1 .二次函数y= ax2+ bx与指数函数y = 的图象可能是()b 1 bA ［整体看出0右<1，故二次函数的对称轴满足—2<_ 2a<0，结合图象，选A.］2x2- 8ax + 3, x<1,2 .函数f(x) = c在x € R上单调递减，则a的范围是()log a x, x >1(1"|；1 51B.A.71 、C匕，1D F, 1R丿R丿- 22x —8ax+ 3, x<1,B ［若函数f (x)= 在x € R上单调递减,lOg a x , x> 1pa> 1,1 5贝畀0<a<1, 解得；w a w；,故选B.］2 82^2 •l —8a + 3 > 0,3 .已知函数f(x) = a x+ b(a>0, a^ 1)的定义域和值域都是［—1,0］，则a+ b= ____________ .3 a + b= —1,—-［当a>1时，函数f(x) = a x+ b在［—1,0］上为增函数，由题意得仁无2 a + b= 0x a— 1+ b= 0,解.当0<a<1时，函数f(x) = a + b在［—1,0］上为减函数，由题意得* o」解得a + b=—1,r = 1f = 2，所以a+ b= —|］Jo = —2,2 —x4 .已知函数y= log 2^+x，下列说法：①关于原点对称；②关于y轴对称；③过原点.其中正确的是______________ .2 x 2 x①③［由于函数的定义域为(一2,2),关于原点对称，又f ( —x) = log 2 =—log 2T—-2 —x 2+ x =—f(x)，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x= 0时，y= 0,所以③正确.］5. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元•该建筑物每年的k能源消耗费用q单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) = 3 + 5(0 w x w 10), 3X+ 5若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元•设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.求k 的值及f (x)的解析式.［解］设隔热层厚度为X cm ,k由题设，每年能源消耗费用为qx) = ~3xx^5(0三x w 10), 再由qo)= 8，得k=40,因此qx)=时而建造费用为C(x) = 6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x) = 20Q x) + C(x) = 20X40 3x+ 5+ 6x =8003x+ 5卜6x(0 w x w 10).。
高中数学小题训练32套(含答案)
小题训练1班级： 姓名： 得分： 一、填空题（每题8分，共80分）1、设集合{}0M x x m =-<，2{|log 1,4}N y y x x ==-≥，若MN =∅，则m 的取值范围是 ．1≤m2、设1z i =-（i 为虚数单位），则22z z+= . 1i - 3、不等式221x x +>+的解集是 .(1,0)(1,)-+∞ 4、如图，在半径为R 的圆内随机撒一粒黄豆,它落在阴影部分内接正三角形上的概率是 .4π5、2log 0x =的根的个数为 . 16、,m n 是空间两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下面有四个命题：①,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ②,//,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥ 其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号） 答案： ①、④.解析：四个命题：①,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥,为真命题；②,//,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒，为假命题；为假命题； ④,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥为真命题，所以真命题的编号是①、④.7、已知直线01=+-y kx 与圆4:22=+y x C 相交于B A ,两点，若点M 在圆C 上，且有OB OA OM +=（O 为坐标原点），则实数k = . 答案： 08、若将函数x x y sin 3cos -=的图象向左移)0(>m m 个单位后，所得图象关于y 轴对 称，则实数m 的最小值为 ▲ .32π9、中心在原点，焦点坐标为(0,±的椭圆被直线320x y --=截得的弦的中点的横坐（第4题图）标为21，则椭圆方程为 .1752522=+y x 10、哥特式建筑的窗户上常常可以见到如图所示的图形．该图形由直线AB 和两个圆弧围成，其中一个圆的圆心为A ，另一个圆的圆心为B ，而且两圆彼此通过对方的圆心，圆O 为其内切圆．若AB ＝a ，则内切圆O 的半径是 ▲ ．3a8二、解答题（每题20分）11、设a R ∈，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。
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只是方程
，当且仅当 取等号，符合题意，
有唯一实数根的必要条件（事实上是
有奇数个
实数根的充要条件），故利用
求得的 的值后的代回检验是必不可少的.
16.若
答案：
.
解析：由题意得
对
恒成立，则实数 的取值范围为_____.
即
在
恒成立
故我们考虑数形结合求解此题，其几何意义为顶点为
11
11.已知函数 且在该点处它们的切线相同，则当
A.
B.
答案：A. 解析：由题意得，
，若两曲线
时， 的最大值为（ ）
C.
D.
有公共点，
设两曲线公共点的坐标为
，则可得
由②可得 解得 代入①，可得 即
（负值舍去）
令
，则
，
在 因此
上单调递增，
上单调递减，
即实数 的最大值是 ，故选 A.
12
12.若存在实数 使得不等式 的取值范围是______.
，无法取到）
而显然
，因此
故实数 a 的取值范围是
，故填：
.
2
3.已知定义在
上的函数 满足
恒成立（其中 为函数 的
导函数），对于任意实数
，下列不等式一定正确的是（ ）
A.
B.
C. 答案：C. 解析：构造函数
D. ，则
在
上单调递增，而
， ，故可得
即
两式相加可得
故选 C. 小结：对于 A，B 选项，取 A 是错误的.
C.
D.
变形后几何意义比较明显，故我们考虑数形结合解决此题，令
显然 在
上单调递增，如下图所示，可知临界状态为 过点
4
的切线，
由于 故切点Biblioteka ，则 在点 处的切线方程为
将
代入切线方程，可得
化简可得 解得 此时切线斜率 故此时若不等式恒成立，只需 解得
（负值舍去）
即实数 的取值范围是
，故选 A.
5
6.已知函数
成立，则实数 的 D.
令
，
递减，因此
，故可知 在
上单调递增，在
上单调
如下图所示，画出 的函数图象，则可知若要符合题意，只需
8
即实数 的取值范围是
，故选 A.
9.已知函数
与
的图象有三个不同的公共点，其中 为自然
对数的底数，则实数 的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
答案：B.
D.
或
解析：令
，则可得
两边同除 ，即
14.若定义在 上的函数 满足
，
，
时，
，则
_________.
答案： .
解析：在
中，令
，可得
，且当
再令 ，结合
，则可得
在
中，令 ，可得
14
所以
而 再由
时，
，因此当
时，恒有
，
，可得
故可得
而
，因此
故填： . 小结：解决此类抽象函数函数值的问题，赋值是非常常见的手段，而条件中关于 在 上不减的描述，猜测是为了证明某段上的常数函数服务的.
1.定义在 上的函数
，若对
，点
，关于点
对称，则称函数 是函数 关于函数 的“对称函数”，已知函数 是函数
关于函数
实数 的取值范围为_______.
答案：
.
的“对称函数”，且函数 存在 个零点，则
解析：由题意得，
，故可得
令
，令
，则可知
如下图所示，画出 ，故填：
的函数图象，则可知实数 的取值范围是 .
小结：还有一个思路：可将问题转化为
与
数问题，基本大方向是一致的，即数形结合思想.
两个函数图象的交点个
1
2.已知函数
则实数 的取值范围是
答案：
.
解析：由 的值域为
可知不等式
，若存在 使得函数 的值域为
，
恒成立，且等号可取到， 我们首先保证不等式恒成立，由 因此 解得 同理可知，由 因此 解得
下面我们考虑取等，显然
，即
等号可取，
显然
只能在第二分段取等（若第一分段取等需
，若函数
点，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：A. 解析：利用绝对值恒等式
故可得
令
如下图所示，要保证 有三个不同的零点，只需
解得 即实数 的取值范围是 故填：
或 ，
.
有三个不同的零
6
7.已知
，若函数
有 3 个或 4 个零点，则函数
A.1 或 2 答案：A. 解析：令
的零点个数为（ ）
B.2
再令
，则原方程可进一步化为
即
， 设 为方程
， 在 上单调递增，
上单调递减，
的两根，由韦达定理可知
9
故可得 （*）
而由题意两函数图象有三个不同的交点，即方程
共有三个不同的实根，如下图所示，可知等价于方程根的分布情况共有三种，即
①
：由（*）可知此时有
，需舍去，
②
：令
，则
解得
③
：由（*）可知此时矛盾，需舍去，
综上，实数 的取值范围是
，故选 B.
10
10. 若实数 满足
，则
答案： .
解析：由
可得
的最小值为______.
即
首先需满足
即
下面继续对 y 的取值分类讨论：
①
：此时
两边平方可得
因此
当且仅当
时取等号； ②
：此时
由①②可知，
的最小值为 .
小结：本题也可以画出不等式组所表示的区域，然后平移抛物线，利用线性规划的一些思想 去解决，此处就略去了.
，若函数
与
取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：B.
解析：首先我们来求 的值域，
，
在
上单调递减，
上单调递增，因此
有相同的值域，则 的
即 的值域为 得
解得
，而由题意，
与
即实数 的取值范围是
，故选 B.
小结：此题参考答案给了 A，本人还是偏向 B，此时函数
的某个子集.
有相同的值域，则可 的定义域有可能是
C.1 或 0
D.0 或 1 或 2
得
即 或
如下图所示，若 有三个零点，则
即
继续讨论 的零点个数：
①或
： 有 个零点；
②
： 有 个零点；
7
综上所述， 有 个或 个零点，故选 A.
8.对任意的实数 ，都存在两个不同的实数 ，使得
取值范围为（ ）
A.
B.
C.
答案：A. 解析：由题意得
令 则方程可化为
即
答案：
.
解析：由题意可知 ，而原不等式等价于
对任意
恒成立，则实数
或
即
如下图所示，画出
与
而易求得
或 的图象，则可知 的最大值即为 的横坐标，
的取值范围是
，故填：
.
小结：根据条件中的描述，存在 使得不等式成立，我们将问题简化后，其实等价于存在 ，
始终夹在
与
两个函数图象之间，下面数形结合即可求解.
13
13.已知函数
，可说明 B 是错误的，取
，可说明
3
4.已知函数
，若关于 的方程
有三个不同的解，其中最
小的解为 ，则 的取值范围为________.
答案：
.
解析：由题意可知若要符合条件，需
最小的解 满足
解得
因此
，
，即 的取值范围是
，故填：
.
5.已知函数 是（ ）
A.
B.
答案：A. 解析：当 时
，对任意的正数 ，
恒成立，则 的取值范围
15.已知关于 的方程
A. 或
B.
答案：B.
解析：由题意得
仅有唯一实数根，则实数 的值为（ ）
C. 或
D.
令
显然 是关于 的偶函数，故若方程
有唯一实数根，则必有
，即
解得
15
当
时，
或 ，此时
，
故由零点存在定理可知 在
上至少还存在一个零点，与已知条件矛盾，故舍去；
当 时，
综上所述， ，故选 B.
小结：