线性代数论文设计(矩阵在自己专业中地应用及举例)

矩阵在自己专业中的应用及举例摘要：I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。

II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等容。

III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。

关键词：矩阵可逆矩阵图形学图形变换正文：第一部分引言在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的容，而这些容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。

因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。

在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。

在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。

在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。

在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，与行列式、方程、向量、二次型等容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。

尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。

图形变换是计算机图形学领域的主要容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。

这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。

第二部分 研究问题及成果1. 矩阵的概念定义：由n m ⨯个数排列成的m 行n 列的矩阵数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann an an n a a a n a a a ΛM ΛM M KΛ212222111211 称为一个n m ⨯矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。

A,B 元素都是实数的矩阵称为实矩阵。

元素属于复数的矩阵称为复矩阵。

下面介绍几种常用的特殊矩阵。

（1）行距阵和列矩阵仅有一行的矩阵称为行距阵（也称为行向量），如 A=(a11 a12 .... a1n), 也记为a=(a11,a12,.....a1n).仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如a= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡12111an a a M 。

(2) 零矩阵A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000000 记为o 或者0.(3) 方阵。

行数与列数相等的矩阵称为方阵.例如：A= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann an an n a a a n a a a ΛM M M M K Λ212222111211 为n n ⨯矩阵，称为n 阶方阵或者n 阶矩阵，简记为A=（an ）n ，过元素a11，a22，a33,a44,.....ann,的直线为主对角线，主对角线上的元素为主对角元。

按方阵的元素排列所构造的行列式称为方阵的行列式。

（4） 对角矩阵。

主对角意外的元素全部为零的方阵称为对焦矩阵，常记为：A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann a a 0002200011M M M M ΛΛ (5） 单位矩阵。

主对角线上的元素全部为1的对角矩阵称为单位矩阵，简记为E 或者I ：A= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001M M M M M ΛΛ(6) 数量矩阵 。

主对角线上全相等的对角矩阵。

例如：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡c c c ΛM ΛM M ΛΛ000000 （其中c 为常数） 为一阶数量矩阵。

（7） 三角矩阵。

主对角线上方或下方的元素全部为零的方阵称为上（下）三角矩阵。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann n a a n a a a ΛM M M M ΛΛ00222011211 为n 阶上三角矩阵。

（8） 对称矩阵与反对称矩阵，在方阵A=（aij ）n ，中，如果aij=aji （ij=1,2,3.。

），则称A 为对称矩阵，如果A 还为实矩阵，那么A 为实对称矩阵。

如果aij=-aji ，则称A 为反对称矩阵。

定义：两个同类型的矩阵，如果对应的元素相等，则称矩阵A 等于矩阵B 。

2 .矩阵的运算 2.1 矩阵的加法 ⑴A+B=B|+A(加法交换律)⑵(A+B)+C=A+(B+C)（加法结合律） ⑶A+0=0+A=A ⑷A+(-A)=0.2.2 数乘矩阵定义1：数乘一矩阵等于这个数乘以矩阵中的每一个元素。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=kann kan kan n ka ka ka n ka ka ka kaij ΛM M M M ΛΛ212222111211)( 定义2：设A B 为同类型的矩阵，k ，l 为常数，则 ⑴1A=A⑵k （lA ）=（kl ）A ⑶k （A+B)=KA+KB ⑷(K+L)A=KA+LA. 2.3 矩阵的乘法（1）矩阵的乘法不满足交换律。

（2）两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵。

（3）矩阵的乘法不满足消去律。

命题：（1）设A 为p m ⨯矩阵，则O oP K mk A ⨯⨯=,O O N M N P A ⨯⨯=(2)设A 为n m ⨯矩阵，则A A A A E EN m==,其中E 为单位阵（3）设A 为m*p 矩阵，B 为p*q 矩阵，k 为数，则 A(BC)=(AB)C (kA)B=A(kB)=k(AB)(4)J 矩阵满足数乘的分配律，矩阵乘积的行列式等于矩阵对应行列式的乘积。

2.4 矩阵的转置 定义2.7 称m n ⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann an an n a a a n a a a ΛM ΛM M ΛΛ212222111211 的转置为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann n a n a an a a an a a ΛM ΛM M ΛΛ212221212111 命题：设A,B,C,1A ,2A Λn A 是矩阵，且让它们相应的行数和列数使相应的运算有意义，k 是数，则 （1）A 的转置的装置等于A（2）B 与C 的和的转置等于它们转置的和 （3）T T kA kA =)( （4）T T T A B AB =)(（5）若A 为n 阶矩阵，则M T T M A A )()(=（6）A 为对称矩阵的充要条件是A A T =,A 为反对称矩阵的充要条件为A A T -=2.5 可逆矩阵定义 设A 为n 阶矩阵，若存在n 阶矩阵B ，使得 E BA AB ==,则称矩阵A 可逆,B 是A 的可逆矩阵，记作1-=A B 定理 如果n 阶矩阵A 可逆，则它的逆矩阵唯一。

定义 设n ij a A )(=为n 阶矩阵，ij A 为A 中的元素ij a 的代数余子式，ij=1.2.3.......n ，则称矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A AA A A A ΛM ΛM M ΛΛ212222111211 为A 的伴随矩阵，记为*A .由伴随矩阵的定义，不难验证A E A A AA ==**定理 n 阶矩阵A 可逆的充要条件为0≠A ，如果A 可逆，则 *11A AA =-. 若n 阶矩阵A 的行列式不为零，即0≠A ,即称A 为非奇异矩阵，否则称A 为奇异矩阵，由上述公式可以求出A 的伴随矩阵。

推论 对n 阶矩阵A ，若有n 阶矩阵B 使得 E AB =或者E BA =, 则称矩阵A 可逆，且B A =-1. 克拉默法则 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a aa a a a A ΛM ΛM M ΛΛ212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b M 21β，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=321x x x x M ， 如果矩阵A 可逆，则线性方程组Ax=β存在唯一解β1-=A x 。

2.6 可逆矩阵的性质命题 设A ，B,),2,1(m i A i Λ=为n 阶可逆矩阵，k 为非零常数，则n A A A AB kA A Λ211,,,-也是可逆矩阵，且（1）A A =--11)(; （2）;1)(11--=A kkA（3）;)(,)(11121121111-------==A A A A A A A B AB m n ΛΛ（4）;)()(11--=T T A A （5）;11AA =- （6）;)()(11m m A A --=m 为正整数。

3 .矩阵的初等变换与矩阵的秩3.1 矩阵的初等变换定义 对矩阵的行（列）实行下列三种操作（或变换）之一，称为对矩阵实行了一次初等行（列）变换： （1）交换矩阵的两行（列）；（2）矩阵的某一行（列）的元素乘以一个不等于零的数； （3）将矩阵某一行（列）的元素加上另一行（列）对应元素相同的倍数。

定义 满足一下条件的矩阵称为行阶梯型矩阵，简称为阶梯型矩阵； （1）非零行（元素不全为零的行）的标号小于零行（元素为零的行）的标号；（2）设矩阵有r 个非零行，第i 个非零行的第一个非零元素所在的列号为i t ，,,2,1r i Λ=则.21n t t t 〈〈〈Λ定理 任何矩阵都可以经过单纯的初等行变换化为阶梯形矩阵。

定义 一个阶梯型矩阵如果满足： （1）每一个非零行的第一个元素都为1；（2）每一个非零行的第一个元素所在的列的其他元素都为零， 则称它为简化的阶梯型矩阵（也称为规的阶梯型矩阵），定义 如果一个非零矩阵的左上角为单位矩阵，其他位置的元素都为零，则称这个矩阵为标准型矩阵。

3.2 矩阵的秩定义 在矩阵n m ij a A ⨯=)(中任取k 行和k 列{}),,m in 1(n m k ≤≤位于这k 行和k 列的交叉点的2k 个元素，按照它们在矩阵A 中的相对位置组成的k 阶行列式称为矩阵A 的一个k 阶子式。

定义 若矩阵n m ij a A ⨯=)(中有一个r 阶子式不为零，而A 中所有的r+1阶子式（如果存在的话）都为零，则称r 为矩阵A 的秩，记为)(A r 或).(A rank 规定零矩阵的秩为零。

命题 （1）一个矩阵的秩是唯一的。

（2）设,)(n m ij a A ⨯=则{}.,m in )(0n m A r ≤≤0)(=A r 的充要条件是A=0. （3）若矩阵A 中有一个r 阶子式不为零，则;)(r A r ≥若矩阵A 中所有的r 阶子式全为零，则.)(r A r ≤（4）在矩阵A 中，任选s 行t 列，位于这s 行t 列交叉上的元素按它们在A 中的相对位置所构成的矩阵称为A 的一个子矩阵。

若1A 是A 的一个子矩阵，则).()(1A r A r ≤ （5）).()(A r A r T =（6）阶梯型矩阵的秩等于它非零行的个数。

设,)(n m ij a A ⨯=如果),)(()(n A r m A r ==则称A 为行（列）满秩矩阵，简称满秩矩阵。