线性代数的应用举例和分析
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一)
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例（一） 课 程： 线性代数 教 学 内 容： 矩阵数 学 模 型：生态学：海龟种群统计数据该模型在高等数学教学应用的目的：1． 通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。
2． 使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。
培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。
3． 巩固矩阵的概念和计算。
生态学：海龟种群统计数据管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。
一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。
该模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。
举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。
如果d i 表示第i 个阶段的持续时间，s i 表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i 阶段可以存活到下一年的比例是111i i d i i id i s p s s -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是()11i i d i i i d is s q s-=-如果用e i 表示第i 阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵123412233400000p e e e q p L q p q p ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么L 可以用来预测未来几年每阶段的种群数。
上述形式的矩阵称为Leslie （莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。
根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x 0来表示，1年后每阶段的种群数可以如下计算1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617x Lx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（这里的计算进行了四舍五入）。
线性代数在数学建模中的应用举例
线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。
如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。
表1.1基因的相对频率问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
解 有人提出一种利用向量代数的方法。
首先，我们用单位向量来表示每一个群体。
为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =.由于对这四种群体的每一种有141=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4121i kix .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记.44434241,34333231,24232221,141312114321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，则由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得21cos a a ⋅=θ而.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a 故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→→→OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V 6的16.而)(.3332221116c b a c b a c b a OC OB OA V =⋅⨯= 于是得 .6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方，得.362323233232323231313232322222221212131313121212121212133322211133322211122c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a cb ac b a c b a c b a c b a c b a c b a V ++++++++++++++++++=⋅=根据向量的数量积的坐标表示，有.,,,,232323323232222222313131212121212121c b a OC OC c c b b a a OC OB c b a OB OB c c b b a a OC OA c c b b a a OB OA c b a OA OA ++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅ 于是362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV ⋅⋅⋅= （2.1）由余弦定理，可行.2cos 222n q p q p OB OA -+=⋅⋅=⋅θ同理.2,2222222l r q OC OB m r p OC OA -+=⋅-+=⋅将以上各式代入（2.1）式，得.222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=（2.2）这就是Euler 的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则.952222,462222,5.1102222=-+=-+=-+l r p m r p n q p代入（2.1）式，得.75.13698291219546951695.110465.110196236==V 于是.)195(82639.38050223m V ≈≈即花岗岩巨石的体积约为195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12 和14 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量（k =1，2，3；i =1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有).3,2,1(41,21)1(2)(3)1(1)(2===--k x x x x k k k k又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有).3,2,1(34)1(3)1(2)(1=+=--k x x x k k k于是我们得到递推关系式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=----.41,21,34)1(2)(3)1(1213)1(2)(1k k k k k k k x x x x x x x 用矩阵表示).3,2,1(0410021340)1(3)1(2)1(1)(3)(2)(1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---k x x x x x x k k k k k k则).3,2,1()1()(==-k Lx x k k其中.100010001000,04100021340)0(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x L 则有),3,2,1()(3)(2)(1)(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k x x x x k k k k,250500700010001000100004100021340)0()1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x,12535002750250500700004100021340)1()2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x .8751375143751253500275004100021340)2()3(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x 结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占 5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的（女性）人口，i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，则在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：),1,,2,1()1()(1-==-+n i x b x k ii k i其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子i b 可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程,)1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x （3.1）这里),,2,1(n i a i =是第i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是,00000000000)1()1(3)1(2)1(11211321)()(3)(2)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a a x x x x 或者简写成.)1()(-=k k Lx x （3.2）矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000000001211321n n n b b b a a a a a L称为Leslie 矩阵.由（3.2）式递推可得)0()1()(x L Lx x k k k ==-这就是Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x （4.1） 即.02500050000005.025.010.005.025.055.065.00321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x x 即.025********,005.025.010.005.025.055.065.00,321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Y A x x x X 矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为,Y AX X =-即Y X A E =-)(， （4.2）其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设,00000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1.表4.1 投入产出分析表 单位：元 煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 11c 12c 13c 1y 1x电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c32c33c 3y3x总投入1d 2d 3d计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.表4.2 投入产出计算结果 单位：元 煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题 图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：234457612157891091083630050020080080010004002006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎪-=⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎪-=⎪⎪=⎪++=⎪⎩ 系数矩阵为11100000000011000000000011000110000000010001000000000001100000000001000000000110000000001010010100A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 增广矩阵阶梯形最简形式为1000100000800010010000000010000000200000110000050000000101008000000001100100000000000104000000000001600000000000000000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其对应的齐次方程组为1525345687891000000000x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩取（x 5,x 8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量()11,1,0,1,1,0,0,0,0,0,'η=--()20,0,0,0,0,1,1,1,0,0'η=--其对应的非齐次方程组为1525345687891080002005008001000400600x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩赋值给自由未知量（x 5,x 8）为（0,0）得非齐次方程组的特解()800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600'x *=于是方程组的通解,*2211x k k x ++=ηη其中k 1，k 2为任意常数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得2211211314151221222232425222132333343532214244344454221525535455522212221222122212221a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧++++=-⎪++++=-⎪⎪++++=-⎨⎪++++=-⎪⎪++++=-⎩这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222=+bY a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:[]22120D X Y C λλ++=所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: CDb 2λ=;椭圆半焦矩:22b ac -=.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A使用计算机可求得12345(,,,,)(0.6143,0.3440,0.6942, 1.6351,0.2165)a a a a a =---从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221a a a a C C C ,3081.0=的特征值120.3080, 1.0005λλ==123235450.61430.3440 1.63510.34400.69420.21651 1.63510.21651a a a D a a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.8203.1-=D于是,椭圆长半轴a=19.1834,短半轴b=5.9045,半焦距c=18.2521.小行星近日点距和远日点距为039313,37.4355h a c H a c =-==+=最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值为84.7887.7 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,则一年以后住在城镇人口所占比例是多少两年以后呢十年以后呢最终呢解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有乡村人口,10011000975100y z y =+ 城镇人口 ,10099100025100z z y =+或写成矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111009910002510011000975z y z y . 两年以后,有.100991000251001100097510099100025100110009750021122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y z y . 十年以后,有.100991000251001100097500101010⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y 事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先,1009910002510011000975⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Ak 年之后的分布(将A 对角化):.75757275100200193115210000⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y A z y k k k k 这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态.7572)(00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞z y z y 总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和21,y z 和2z 等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因,a 为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形我们假设),2,2,0(,, =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()('=n n n n c b a x为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000=++c b a (8.1)先考虑第n 代中的AA 型，第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；第1-n 代的Aa 型与和与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为21；1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。
线性代数的应用举例
三、人口迁徙模型
• 设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则 设在一个大城市中的总人口是固定的。 因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的 因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有 的 市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市 市区居民搬到郊区去住，而有 的郊区居民搬到市 假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民 的居民住在市区， 区。假如开始时有 的居民住在市区 的居民 住在郊区， 住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多 年后市区和郊区的居民人口比例是多 少？30年、50年后又如何？ 年 年后又如何？ 年后又如何
x1
x4
D
260
x2
B 220 292
C 357
x3
单行道4节ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ交通图
320
• 问题：某城市有如图的交通图，每一条道路都 问题：某城市有如图的交通图， 是单行道， 是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车 流量。 流量。 • 针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相 针对每一个十字路口， 等。 • 请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流 量xi（i=1,2,3,4） （ ）
一、药方配制问题
问题：某中药厂用 种中草药 种中草药（ ）， ），根据不同的比 问题：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比 例配制成了7种特效药 各用量成分见表1（单位： 种特效药， 例配制成了 种特效药，各用量成分见表 （单位：克） （1）某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和 ）某医院要购买这 种特效药，但药厂的第 号药和 种特效药 号药已经卖完， 第6号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两 号药已经卖完 种脱销的药品。 种脱销的药品。 种草药配制三种新的特效药， （2）现在该医院想用这 种草药配制三种新的特效药， ）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药 给出了三种新的特效药的成分， 表2给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？ 给出了三种新的特效药的成分 请问能否配制？ 如何配制？ 如何配制？
线性代数中的特征值和特征向量的应用案例
线性代数中的特征值和特征向量的应用案例在数学中，线性代数是不可或缺的一部分，特别是在应用层面。
而线性代数中的一个重要概念是特征值和特征向量，它们在许多领域都有着广泛的应用。
本文将介绍特征值和特征向量的概念，并且举例说明它们在现实生活中的应用案例。
一、特征值和特征向量的概念在线性代数中，矩阵是一种经常使用的数据结构。
矩阵中的每一列和每一行都是一个向量。
而特征值和特征向量是指一个方阵在某个向量下的表现。
在一个矩阵中，如果存在一个向量v，满足Av=λv其中A是一个方阵，λ是一个标量，那么v就是A的特征向量，λ就是它所对应的特征值。
这个方程的解决了一个向量在经过一个矩阵的线性变换后，大小和方向的变化。
特征向量具有一个重要的性质，就是它所对应的特征值可以表示这个矩阵在这个方向上的缩放倍数。
比如，如果一个矩阵有一个特征向量v1，它所对应的特征值λ1=2，那么这个矩阵在v1的方向上就会被缩放2倍。
二、特征值和特征向量的应用案例1.机器学习中的主成分分析主成分分析（PCA）是一种机器学习算法，它可以用来对数据进行降维处理。
在PCA中，矩阵通过计算其特征向量来进行降维。
这些特征向量定义了一组“主成分”，它们是原始数据的线性组合。
这些主成分可以作为一个更高效的表示方式，用来代表原始数据，并且可以更好的进行数据分析。
2.图像处理中的压缩在图像处理中，特征值和特征向量可用于压缩图像。
比如，一个彩色图像可以看作是一个三维矩阵，其中每个像素点都有三个属性：红色、绿色和蓝色。
如果计算这个矩阵的特征向量，那么可以得到一个新的矩阵，其中只包含最重要的几个特征向量。
这样就可以使用更小的矩阵来表示整个图像。
3.矩阵的对角化在计算机科学中，矩阵的对角化是一种重要的操作。
一个方阵可以通过特征值和特征向量进行对角化处理，即将其转换为一个对角矩阵。
特定的矩阵的对角化过程可以有助于简化它们的计算和求解。
4.电力系统中的稳定性分析在电力系统中，稳定性分析是非常重要的。
行列式实际应用案例
行列式实际应用案例行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
然而，除了在数学理论中的抽象运用外，行列式在现实生活中也有着许多实际应用案例。
在本文中，我们将介绍一些行列式在实际中的应用案例，以便更好地理解行列式的重要性和实用性。
首先，行列式在工程领域中有着重要的应用。
在工程设计中，经常需要求解多元线性方程组，而行列式可以用来判断线性方程组的解的情况。
通过计算行列式的值，可以确定方程组是否有唯一解、无解或者有无穷多解，这对于工程设计师来说是非常重要的信息。
比如，在建筑设计中，需要确定柱子和横梁的受力情况，就可以通过求解线性方程组来得到所需的信息。
其次，行列式在经济学中也有着重要的应用。
在经济学中，经常需要进行投资组合的优化，而行列式可以用来计算投资组合的收益和风险。
通过构建投资组合的收益-风险矩阵，可以得到一个n阶方阵，其行列式的值可以用来评估投资组合的风险和收益的关系，从而帮助投资者做出更加明智的投资决策。
此外，行列式在计算机图形学中也有着重要的应用。
在计算机图形学中，经常需要进行三维空间的变换和投影，而行列式可以用来表示和计算这些变换的矩阵。
通过计算变换矩阵的行列式，可以判断变换是否可逆，从而确定变换的性质和效果。
这对于计算机图形学的研究和应用具有重要的意义。
最后，行列式在生物学和化学中也有着一些应用。
在生物学和化学中，经常需要进行分子结构的分析和计算，而行列式可以用来表示和计算分子的结构和性质。
通过计算分子的行列式，可以得到分子的能量、稳定性和反应性等重要信息，这对于生物学和化学的研究具有重要的意义。
综上所述，行列式在实际生活中有着许多重要的应用案例，涉及到工程、经济、计算机图形学、生物学和化学等多个领域。
通过对这些应用案例的了解和掌握，我们可以更好地理解行列式的重要性和实用性，从而更好地应用行列式解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解行列式的实际应用，以及行列式在不同领域中的重要作用。
线性代数解决生活中实际问题举例
线性代数解决生活中实际问题举例课程名称：线性代数专业班级成员组成联系方式：2012年月日摘要：代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。
如果掌握的线性代数及线性规划，那么你就可以讲实际生活中的大量问题抽象为线性规划问题。
以得到最优解。
关键词：线性代数，线性规划，运筹学，矩阵，应用，向量。
Linear algebra to solvepracti cal proble m s in lifeAbstra ct: Algebr a is the functi on of a lot of seemin gly unrela ted thi ngs "togeth er", also is in the abstra ct. If the master y of the linear algebr a and linear progra mming, so you can speakin real life, a lot of proble m s abstract for linear progra mming proble m. In order to get the optimal soluti on.Key words:Linear algebr a, linear progra mming, operat ions resear ch, matrix, applic a tion, vector.线性代数是代数的一个重要学科，线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数在微分方程中的应用
线性代数在微分方程中的应用微分方程是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于自然科学、工程技术等领域。
而线性代数，作为一门与向量、矩阵相关的学科，具有丰富的工具和方法，对微分方程的研究与应用具有重要的作用。
本文将探讨线性代数在微分方程中的应用。
一、矩阵与线性微分方程线性微分方程是指具有以下形式的微分方程：$$\frac{{d^n y}}{{dt^n}} + a_{n-1} \frac{{d^{n-1} y}}{{dt^{(n-1)}}} + \ldots + a_1 \frac{{dy}}{{dt}} + a_0 y = 0$$其中，$y$ 是未知函数，$a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$ 是给定的常数。
我们可以将线性微分方程表示为矩阵的形式：$$\frac{{d^n \mathbf{y}}}{{dt^n}} + \mathbf{A}_{n-1} \frac{{d^{n-1} \mathbf{y}}}{{dt^{(n-1)}}} + \ldots + \mathbf{A}_1\frac{{d\mathbf{y}}}{{dt}} + \mathbf{A}_0 \mathbf{y} = \mathbf{0}$$其中，$\mathbf{y}(t)$ 是一个向量函数，$\mathbf{A}_0,\mathbf{A}_1, \ldots, \mathbf{A}_{n-1}$ 是矩阵。
二、特征值与特征向量在微分方程中的应用特征值与特征向量是矩阵中的重要概念，它们在微分方程的研究中起到了关键的作用。
考虑一个 $n$ 阶线性微分方程，我们可以将其转化为如下形式：$$\frac{{d^n \mathbf{y}}}{{dt^n}} = \lambda \mathbf{y}$$其中，$\mathbf{y}(t)$ 是一个向量函数，$\lambda$ 是特征值。
这个转化过程可以通过特征值与特征向量的求解来实现。
最优化问题的线性代数
最优化问题的线性代数线性代数在最优化问题中的应用引言：最优化问题是数学中的一个重要分支。
线性代数作为数学的基础学科，不仅在理论研究中发挥着重要作用，而且在实际问题中的运用广泛。
本文将介绍线性代数在最优化问题中的应用。
第一部分：最优化问题的基本概念要理解最优化问题的线性代数应用，首先需要了解最优化问题的基本概念。
最优化问题的目标是在给定的约束条件下寻找使某个函数值达到最大或最小的变量值。
最优化问题分为线性最优化问题和非线性最优化问题两种。
第二部分：线性最优化问题线性最优化问题是指目标函数和约束条件都是线性的最优化问题。
在解决线性最优化问题时，我们可以利用线性代数的工具来求解。
例如，通过线性代数中的矩阵运算可以将线性最优化问题转化为矩阵方程的求解问题。
第三部分：线性代数在最优化问题中的应用举例1. 线性规划（Linear Programming）：线性规划是一种常见的线性最优化问题，可以利用线性代数的工具来求解。
通过构建目标函数和约束条件的线性方程组，将线性规划问题转化为线性代数中的矩阵方程求解问题。
2. 最小二乘法（Least Squares Method）：最小二乘法是一种广泛应用于数据拟合、曲线拟合等问题的优化方法。
在最小二乘法中，我们可以利用线性代数中的正规方程组来求解拟合曲线的参数。
3. 特征值问题（Eigenvalue Problem）：特征值问题在科学和工程领域中具有广泛的应用。
最优化问题中的特征值问题可以通过线性代数中的特征值分解方法得到最优解的一些性质。
第四部分：线性代数的其他应用除了上述举的例子，线性代数还可以在最优化问题中发挥更多的作用。
例如，线性代数可以用于解决线性方程组、矩阵的逆运算、特征值和特征向量的计算等问题，这些工具都与最优化问题密切相关。
结论：线性代数作为数学的基础学科，在最优化问题中发挥着重要作用。
通过运用线性代数的工具和理论，我们可以更好地解决最优化问题，并得到更准确、高效的解答。
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matrix
matrix
矩阵-----Matrix
a11
A
a21 am1
a12 a22 am2
a1n
a2n
amn
这两个人是谁？
1998年斯坦福大学两位博士生Larry Page 和
Sergey Brin 创立了Google.
Google搜索引擎
❖ Google的核心技术是通过
有一些问题可以追溯到周代 《周礼》的“六艺” 其中一门是“九数”
方程术：
今有 上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗； 问上、中、下禾实一秉各几何？
设上、中、下禾各一秉打出的粮食分别为 x ,y,z 斗，则问题就是
3x 2 y z 39 2 x 3 y z 34 x 2 y 3z 26
解决方法：遍乘直除法 -------Gauss消去法
3.2 文学作品中的方程组
射 雕 英 雄 传
郭靖扶着黄蓉跟着过去，只见那内室墙壁围成圆形，地下满铺 细沙，沙上画 着许多横直符号和圆圈，又写着些“太”、“天元 ”、 “地元”、“人元”、“物元”等 字。郭靖看得不知所云，生怕 落足 踏坏了沙上符字，站在门口，不敢入内。黄蓉自幼受父亲 教导， 颇精历数之术，见到地下符字，知道尽是些术数中的难题，那 是算经中的“天元之 术”，虽然甚是繁复，但只要一明其法，也 无甚难处
线性代数的应用 举例和分析
线性代数的应用举例
❖ 一、搜索引擎 ❖ 二、矩阵在密码学中的应用 ❖ 三、线性方程组的应用
矩阵的英文怎么说？
matrix
[meitriks] n. (pl. matrixes, -trices [5meitrisi:z] ①(生物形成生长的)母体, 母体组织;【解】子宫 ②发源地, 策源地 ③【生】细胞间质, 基质 ④【矿】母岩, 杂矿石, 基岩;【地质】脉石, 填质; (岩石中化石等的)痕印 ⑤【冶】(合金的)基体 ⑥【刷】纸型, 字模 ⑦唱片模子 ⑧【数】阵, 矩阵, 真值表, 母式;【无】矩阵变换电路; 【语】主句、独立句
0
0
1
1
nn
n
各个页面的链入数目： c j gij i1
n
各个页面的链出数目： rj g ij j1
再定义矩阵A: Aaijnn
aijpg cijj
其p 中 0.8,51p
n
则A是Markov链的转移概率矩阵，可以证明：A的
最大特征值为1，相应的特征向量x满足
xAx
1 1 1 1
A
3 3 1
0 2 1
3 2 2
4
21
其逆矩阵为：
9 1 1 7
A1
1 2
5 1219
1 1 1
1 3 3
5 1153
余则成和翠平共同约定：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10，……25, 26
A B C D E F G H I J ,…… Y Z 另外，0表示空格，27表示句号，等等 于是例如密文： { 1,3,3,15,13,16,12,9,19,8,0,20, 8,5,0,20,1,19,11,27 } 表示：ACCOMPLISH THE TASK
则x是Markov链的平稳分布，也就是Google的PageRank.
这两个人是Larry Page 和 Sergey Brin
这两个人是谁？
二、矩阵在密码学中的应用
加密
原来的消息—明文
密文
当矩阵A可逆时，对 R n 中所有的X，等式
A1AX X
左乘以 A
X
AX
左乘以 A1
用可逆矩阵来加密
余则成和翠平都知道的密码矩阵是
网页级别（PageRank）
对多达30多亿的网页进行重要性分析， 如果网页A链接到网页B，google 就认为“网页 A投了网页B一票”
G(gij)nn,其中 gig j ij1 ,若 0,否 i链则 到 j
G是一个巨大而稀疏的矩阵 n30108
1 0 1 1
0 1 0 1
G
1
1
1
0
10 6 31 23 2
CAX512422
39 22 9
137 104 78
21 51
6 43
1440
简单！我用 A1 左乘收到的密文AX就行了
9 1 1 7 10 6 31 23 2
A1C
A1AX
1 5
2
19 21
1 1 1
1 3 3
5 54 1153 1222
39 22 9
137 104 78
（按：即今日代数中多元多次方程式，我国古代算经中早记 其法，天、地、人、物四字 即西方代数中Ｘ、Ｙ、Ｚ、Ｗ四 未知数）。
黄蓉从腰间抽出竹棒，倚在郭靖身上，随想随在沙上书写， 片刻之间，将沙上所列的七 八道算题尽数解开。这些算题那女子 苦思数月，未得其解，至此不由得惊讶异常，呆了半 晌，忽问： “你是人吗？”黄蓉微微一笑，道：“天元四元之术，何足道哉？ 算经中共有一 十九元，‘人’之上是仙，明、霄、汉、垒、层、高、 上、天，‘人’之下是地、下、低、 减、落、逝、泉、暗、鬼。 算到第十九元，方才有点不易罢啦！”那女子沮丧失色，身子摇 了几摇，突然一交跌在细沙之中，双手捧头，苦苦思索，过了一会， 忽然抬起头来，脸有喜 色，道：“你的算法自然精我百倍，可是 我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横 斜角，每三字 相加都是十五，如何排法？”
三、线性方程组的应用
❖ 3.1 《九章算术》中方程术 ❖ 3.2 文学作品中的方程组 ❖ 3.3 交通流量 ❖ 3.4 电路网络 ❖ 3.5 化学平衡方程式 ❖ 3.6 构造有营养的减肥食谱
3.1《九章算术》
❖ 从先秦到西汉中叶经众多学者编撰、修 改的一部数学著作
全书246个问题，分为9章： 方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、 盈不足、方程、勾股
然后加密：
把这个消息：ACCOMPLISH THE TASK 按列写成4×5矩阵X
1 13 19 8 1
X
3 135
16 12 9
8 0 20
5 0 20
19 2171
1 1 1 11 13198 1
CAX 3 31
0 2 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 2 2
43 16 8 5 19 2 11351922002002 17 1
21 51
6 43
1440
1 13 19 8 1
3 3 15
16 12 9
8 0 20
5 0 20
19
11 27
为了使加密的保密性更强，用 于加密的矩阵A的阶数越大越好， 而且还得保证密码矩阵的元素都
是整数
原来是： { 1,3,3,15,13,16,12,9,19,8,0,20, 8,5,0,20,1,19,11,27 } 也就是 ACCOMPLISH THE TASK