线性代数的应用论文

论文:线性代数的应用与心得体会班级：姓名：学号:指导老师:完成时间：2014年10月20日目录【摘要】 (2)【关键词】 (2)一、线性代数被广泛运用的原因 (2)二、线性代数在实际中的应用 (2)1. 用二阶行列式求平行四边形面积，用三阶行列式求平行六面面体 (2)2. 希尔密码 (2)3.在人们平常日常生活的应用——减肥配方的实现 (3)4、在城市人们出行的应用——交通流的分析 (4)5、马尔可夫链 (5)6、在人口迁移的应用人口迁徙模型 (5)三、心得与体会 (7)【摘要】我们对线性代数的了解大概是，线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容，还有其主要知识：矩阵、方程组和向量；我们也应该了解其在众多的科学技术领域和实际生活中的应用都十分广泛。

下面就是看一些具体实例应用，和一些心得体会。

【关键词】线性代数；实际生活；应用实例；心得体会；。

一、线性代数被广泛运用的原因为什么线性代数得到广泛运用，也就是说，为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事，而并非解非线性方程组是经常的事呢？原因之一，大自然的许多现象恰好是线性变化的，研究的是单个变量之间的关系。

例如我们高中学过的物理学科中，物理可以分为机械运动、电运动、还有量子力学的运动。

而比较重要的机械运动的基本方程是牛顿第二定律，即物体的加速度同它所受到的力成正比，其实这又恰恰符合基本的线性微分方程。

再如电运动的基本方程是麦克思韦方程组，这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比，而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比，因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组。

原因之二，之后随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而且由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，所以，线性代数因这方面的成为了解决这些问题的有力工具而被广泛应用。

原因之三，在数学中线性代数与几何和代数有着不可分割的联系。

线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念变为抽象出来的公理化方法，对于强化人们的数学训练，增强科学性是非常有用的。

二、线性代数在实际中的应用1.用二阶行列式求平行四边形面积，用三阶行列式求平行六面面体2.希尔密码希尔密码（Hill Password）是运用基本矩阵论原理的替换密码，由Lester S. Hill在1929年发明。

每个字母当作26进制数字：A=0, B=1, C=2... 一串字母当成n维向量，跟一个n×n 的矩阵相乘，再将得出的结果模26。

注意用作加密的矩阵（即密匙）在\mathbb_^n必须是可逆的，否则就不可能译码。

只有矩阵的行列式和26互质，才是可逆的。

例题、设明文为HPFRPAHTNECL,密钥矩阵为：3.在人们平常日常生活的应用——减肥配方的实现大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。

大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。

设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。

现在的问题是：如果用这三种食物作为每 营养 每100g 食物所含营养(g)减肥所要求的每日营养量脱脂牛奶 大豆面粉 乳清 蛋白质 36 51 13 33 碳水化合物 52 34 74 45 脂肪71.1312的用量为x 3个单位（100g ），表中的三个营养成分列向量为：12136511352,34,74,07 1.1a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则它们的组合所具有的营养为11223312336511352347407 1.1x a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：123365113335234744507 1.13x x Ax b x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦用MA TLAB 解这个问题非常方便，列出程序ag763如下： A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1] b=[33;45;3] x=A\b程序执行的结果为：0.2772 0.3919 0.2332x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即脱脂牛奶的用量为27.7g ，大豆面粉的用量为39.2g ，乳清的用量为23.3g ，就能保证所需的综合营养量。

4、在城市人们出行的应用——交通流的分析某城市有两组单行道，构成了一个包含四个节点A,B,C,D 的十字路口如图6.5.2所示。

在交通繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量（每小时的车流数）标于图上。

现要求计算每两个节点之间路段上的交通流量x 1,x 2,x 3,x 4。

解：在每个节点上，进入和离开的车数应该相等，这就决定了四个流通的方程： 节点A: x 1+450＝x 2+610 节点B: x 2+520＝x 3+480 节点C: x 3+390＝x 4+600 节点D: x 4+640＝x 2+310将这组方程进行整理，写成矩阵形式：12233414= 160 = - 40 - = 210= -330x x x x x x x x ---其系数增广矩阵为：11 160 11 - 40 [,]1121011 -330A b -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ 用消元法求其行阶梯形式，或者直接调用U0=rref([A,b]),可以得出其精简行阶梯形式为 1 0 0 -1330 0 1 0 -1170 U0= 0 0 1 -1 210 0 0 0 00⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦注意这个系数矩阵所代表的意义，它的左边四列从左至右依次为变量x 1,x 2,x 3,x 4的系数，第五列则是在等式右边的常数项。

把第四列移到等式右边，可以按行列写恢复为方程，其结果为：x 1=x 4+330, x 2=x 4+170,图3 单行线交通流图x3=x4+2100＝0由于最后一行变为全零，这个精简行阶梯形式只有三行有效，也就是说四个方程中有一个是相依的，实际上只有三个有效方程。

方程数比未知数的数目少，即没有给出足够的信息来唯一地确定x1,x2,x3,和x4。

其原因也不难从物理上想象，题目给出的只是进入和离开这个十字路区的流量，如果有些车沿着这四方的单行道绕圈，那是不会影响总的输入输出流量的，但可以全面增加四条路上的流量。

所以x4被称为自由变量，实际上它的取值也不能完全自由，因为规定了这些路段都是单行道，x1,x2,x3,和x4。

都不能取负值。

所以要准确了解这里的交通流情况，还应该在x1,x2,x3,和x4中，再检测一个变量。

5、马尔可夫链马尔可夫链（Markov Chain），描述了一种状态序列，其每个状态值取决于前面有限个状态。

马尔可夫链是具有马尔可夫性质的随机变量的一个数列。

这些变量的范围，即它们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而的值则是在时间n的状态。

如果对于过去状态的条件概率分布仅是的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。

上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。

例题、6、在人口迁移的应用人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的。

人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。

每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。

假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？这个问题可以用矩阵乘法来描述。

把人口变量用市区和郊区两个分量表示，即,ck k sk x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中x c 为市区人口所占比例，x s 为郊区人口所占比例，k 表示年份的次序。

在k=0的初始状态：0000.30.7c s x x x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

一年以后，市区人口为x c1= (1-0.02) x c0+0.06x s0，郊区人口x s1= 0.02x c0 + (1-0.06)x s0，用矩阵乘法来描述，可写成：11010.940.020.3 0.29600.060.980.7 0.7040c s x x Ax x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 此关系可以从初始时间到k 年,扩展为2120k k k k x Ax A x A x --====,用下列MATLAB 程序进行计算：A=[0.94,0.02;0.06,0.98] x0=[0.3;0.7] x1=A*x0, x10=A^10*x0 x30=A^30*x0 x50=A^50*x0程序运行的结果为：1103050 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508,,,, 0.7040 0.7283 0.7459 0.7492x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦无限增加时间k ，市区和郊区人口之比将趋向一组常数 0.25/0.75。

为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。

在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A 的效果。

选u 1为稳态向量[0.25,0.75]T 的任意一个倍数，令u 1=[1,3]T 和u 2=[-1,1]T 。

可以看到，用A 乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度，不影响其相角（方向）：110.940.02110.060.9833Au u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦220.940.0210.920.920.060.9810.92Au u --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦初始向量x0可以写成这两个基向量u1和u2的线性组合；0120.30110.250.050.250.050.7031x u u -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅-⋅=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因此0120.250.05(0.82)k k k x A x u u ==-式中的第二项会随着k 的增大趋向于零。

如果只取小数点后两位，则只要k>27，这第二项就可以忽略不计而得到01270.250.250.75k kk x A x u >⎡⎤===⎢⎥⎣⎦适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子，避免相角项出现，使得问题简单化。

这也是方阵求特征值的基本思想。

这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型。

所得到的向量序列x 1,x 2,...,x k 称为马尔可夫链。

马尔可夫过程的特点是k 时刻的系统状态x k 完全可由其前一个时刻的状态x k-1所决定，与k-1时刻之前的系统状态无关。