线性代数小论文

摘要：分析了若矩阵A 经过行初等变换化为矩阵B ，则A 与B 的列向量组具有完全相同的线性关系，以及此性质在线性代数的主要应用。

关键词：初等变换；线性相关；线性无关；线性表示
线性代数主要研究的是线性问题。

一般而言，凡是线性问题常可以用向量空间的观点和方法加以讨论，因此向量空间成了线性代数的基本概念和中心内容。

向量空间理论的核心问题是向量间的线性关系。

其基本概念有向量的线性表示、向量组线性相关与线性无关、向量组等价、向量组的极大无关组，以及向量空间的基与维数等。

这些问题通常转化为解线性方程组或解齐次线性方程组。

1 线性相关性证明
设A =(α1,α2,··· ,αn )，αi ∈P m
，若矩阵A 经过行初等变换化为矩阵B ，则A 与B 的列向量组具有完全相同的线性关系。

证明：设A m ×n ，A 经过行初等变换化为B ，将A ，B 分别按列分块为A =(α1,α2,…,αn )，B=(β1, β2,···,βn )。

由于对A 只进行有限次行初等变换，故可知有满秩矩阵P ，使PA =B ，即P(α1,α2, ···,αn )=(β1, β2, ···,βn )，于是有i 1
βj = P αj (j=1,2,3, ···,n) （1） 设A 和B 对应的列向量组为αi 1,αi 2, ···,αi r 和βi 1, βi 2,···,βi r (1≤i 1＜i 2＜···＜i r ≤n)，由(1)式得
βik = P αik (k=1,2,3, ···,r)
因此，如果αi 1,αi 2, ···,αi r 有线性关系式k 1αi 1+k 2αi 2+ ···+k r αi r =0(k r 为实数)，则k 1,k 2…k r 也必使得
k 1βi 1+k 2 βi 2+···+k r βi r =k 1(P αi 1)+ k 2(P αi 2)+ ···+ k r (P αi r )
=P (k 1αi 1+k 2αi 2+ ···+k r αi r )=P 0=0 反之，如果βi 1, βi 2,···,βi r 有线性关系式，得
λ1βi 1+λ2βi 2+ ···+λr βi r =0
则由P 的满秩性可知αj =P -1βj (j=1,2,3, ···,n)，于是有
λ1αi 1+λ2αi 2+ ···+λr αi r =λ1P -1βi 1 +λ2P -1βi 2 + ···+λr P -1βi r
= P -1(λ1βi 1+λ2βi 2+ ···+λr βi r )= P -10=0
这表明向量组αi 1,αi 2, ···,αi r 与向量组βi 1, βi 2,···,βi r 有相同的线性相关性，证毕。

2 线性相关性在线性代数中的应用
2.1向量组的线性相关性与行列式的关系
若向量组α1,α2, ···,αn 的个数等于于向量的维数，即m=n 时，则
A =11211122221323314
24
4m m m m αααααααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
=(α1,α2, ···,αn )是一个方阵，方阵有行列式。

（1）α1,α2, ···,αn 线性相关⇔A =0 （2）α1,α2, ···,αn 线性无关⇔A ≠0 例1 判断下列向量组的相关性， α1=()1001， α2=()010
1-，α3=()0011-，α4=()2130-.
解 A =1002
0101
00131110
---=0，所以α1,α2, α3,α4线性相关。

2.2 向量组的极大无关组和秩
设有向量组A ：α1,α2, ···,αs ，如果在A 中存在r 个向量A 0: αj 1,αj 2, ···,αj r , 满足 1）向量组A 0线性无关；2）向量组A 中任一向量可用A 0线性表示，
则称向量组 A 0是向量组 A 的一个极大线性无关组（简称极大无关组）.极大无关组所含向量的个数 r 称为向量组A 的秩。

例2设矩阵
求矩阵A 的列向量组α1,α2, α3,α4,α5的一个极大无关组，并把不是极大无关组的列向量用
极大无关组线性表示。

解 对A 施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵
21112112144622
43697
9,A --⎡⎤
⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦
21112112144622436979A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦03316112140444003343~---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦
11214000260111000039~-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥
-⎣⎦
11214011100001300000~,-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥
⎣⎦
显然R (A ) = 3,故列向量组的极大无关组含 3个列向量。

而三个非零行的非零首元在1、2、4三列上，故α1,α2, α4为列向量组的一个极大无关组.这是因为：
知 R (α1,α2, α4) = 3,故α1,α2, α4线性无关。

为把α3, α5用α1,α2, α4线性表示，把A 再变成最简形矩阵
即得α3=－α1－α2, α5=4α1+3α2－3α4
2.3生成子空间的基和维数
1.设有向量空间V 1及V 2，若向量空间V 1⊂V 2，就说V 1是V 2的子空间。

2.设V 是向量空间，如果r 个向量α1,α2, ···,αr ∈V ,且满足
（1）α1,α2, ···,αr 线性无关；（2）V 中任一向量都可由α1,α2, ···,αr 线性表示
那么，向量组α1,α2, ···,αr 就称为向量V 的一个基，r 称为向量空间V 的维数，并称V 为r 维向量空间。

说明:（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．
（2）若把向量空间V 看作向量组，那么V 的基就是向量组的最大无关组,V 的维数就
是向量组的秩.
（3）若向量组α1,α2, ···,αr 是向量空间V 的一个基，则V 可表示为
例3设矩阵
验证α1,α2, α3是R 3的一个基，并把b 1,b 2用这个基线性表示。

解 要证α1,α2, α3是R 3
的一个基，只要证α1,α2, α3线性无关，即只要证A E
()12411
10
1100100
0,,,行变换ααα⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
1
0104011030001300000,A -⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥
⎣⎦
{}
112212,,
,r r r V x a a a R λλλλλλ==++
+∈123221(,,)212,
122A a a a -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭
1214(,)03,
42B b b ⎛⎫
⎪
== ⎪ ⎪-⎝⎭
11112123132
121222323 , b x a x a x a b x a x a x a =++=++设，11
121212321
223132(,)(,,),x x b b a a a x x x x ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
即
记作B =AX
对矩阵()A B 施行初等行变换，若A 能变成E ，则α1,α2, α3是R 3的一个基，且A 当变为E
时，B 变为X =A -1B 。

因有A E ，故α1,α2, α3是R 3
的一个基，且
参考文献 1.同济大学数学系.工程数学线性代数.高等教育出版社.2007
22114()2120312242A B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭24100332
010********~
⎛
⎫ ⎪
⎪ ⎪-
⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝
⎭
初等行变换()1212324332
,(,,)1.3213b b a a a ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝
⎭。