线性代数结课论文

华北水利水电大学

线性代数发展简史

课程名称：线性代数

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摘要：一次方程也叫线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就是线性代数，它是高等代数的一大分支，同时也是大学数学教育中一门主要基础课程。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧式空间和二次型等。

关键词：线性代数行列式矩阵向量线性方程组二次型群论

正文：

1.引言：线性代数是大学数学教育中一门主要基础课程，对于培养面向21世纪人才起着重要作用。通过了解线性代数的发展简史可以让我们更好地理解数学，从而更好地学习并应用它。

2.1 行列式

我们知道，在线性代数中最重要的内容之一就是行列式，它不仅是一种语言和速记，而且他的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙，同时人们已经证明了这个概念是数学、物理中非常有用的工具。

行列式出现于线性方程组的求解，它的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中提出的。他于1683年写

了这本书，书里对行列式的概念和它的算法进行了清除的叙述。同时代的德国数学家莱布尼茨是欧洲提出行列式的第一人，也是微积分学的奠基人之一，他于1693年4月在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，而且给出方程组的系数行列式为零的条件。

1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性带分析导引》中，比较完整、明确地阐述了行列式的定义与展开法，并且发表了求解线性系统方程的重要公式，即我们现在所称的解线性方程组的克莱姆法则。

1764年，数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式等于零这一条件判断对给定了含n个未知量的n 个齐次线性方程是否有非零解。

尽管上述几位数学家对行列式的提出与应用做出了很大的贡献，但仍在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。

可喜的是，法国数学家范德蒙给出了一条法则，用二阶余子式和它们的余子式来展开行列式，从而把行列式理论与线性方程组求解相分离，他也因此成为了第一个对行列式理论做出连贯的系统的阐述的人。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但他对数学却有浓厚的兴趣，后来终于成为了法兰西科学院院士，就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。

1772年，拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中证明了范德蒙的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法。

1815年法国最伟大数学家柯西在一篇论文中给出了行列式的一个系统的，几乎是近代的处理。在行列式的记号中，他第一个把元素排成方阵并采用了双足标记法，引进了行列式特征方程的术语，给出了相似行列式的概念。特别的他发现了行列式的乘法定理，改进并证明了拉普拉斯的展开定理。

继柯西之后，德国数学家雅可比也是在行列式理论方面最多产的人，他于1841年在发表的著名论文《论行列式的形成与性质》中总结并提出了行列式的系统理论，引进了函数行列式，即“雅克布行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。由于行列式在数学分析、几何学线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。

2.2 矩阵

可与行列式在线性代数中相提并论的当属矩阵了，它是数学中一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具，它的现代概念在19世纪逐渐形成。

1801年，德国数学家高斯把一个线性变换的全部系数作为一个整体。

1844年，德国数学家爱森斯坦讨论了“变换”极其乘积。

1848年，英格兰的西尔维斯特首先提出了“矩阵”这个词，它来源于拉丁语，代表一排数，西尔维斯特是为了将数字的矩形阵列区别

于行列式而发明了这个术语。

1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。

1855年，矩阵代数得到了英国数学家凯莱的工作培育，他一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首次发表了关于这个题目的一系列文章。他同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。

1855年，法国数学家埃米特证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征性质等，但它的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝尼乌斯发表。

1858年，凯莱又发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了矩阵的特征方程和特征根以及有关矩阵的一些基本结果。

1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。

1892年，梅茨勒引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅里叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为一门独立的数学分支——矩阵论。矩阵及其理论现已广泛的应用与现代科技的各个领域。

2.3 线性方程组

线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术方程》章中已作了比较完整的论述。在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期有莱布尼茨开创的，他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。

麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究。

19世纪，英国数学家史密斯和道奇森继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了个未知数个方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同，这正是现代方程组理论中的重要结果之一。

大量的科学技术问题，最中往往归结为解线性方程组。现今，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。

2.4 向量

“向量”一词来自力学，解析几何中的有向线段，从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通行的数学体系。

18世纪末期，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数，以代表空间的向量。

三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积，并把向量代数推广到变相量的向量微积分。从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。

2.5 二次型

二次型也称为“二次形式”，它的系统研究是从18世纪开始的，其起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题额的讨论。柯西在其著作中给出结论：当方程式标准形时，二次曲面用二次像的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在花城标准形式，为何总是得到同样数目的正项与负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后背雅克比重新发现和证明。

1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

1851年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。

1851年，维尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。他比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。

2.6 线性代数的扩展——从解方程到群论

求根问题是方程理论的一个中心课题，从16复杂世纪开始，人们就开始围绕这一课题研究并解决了一些简单问题，但对于更复杂的问题就显得有些吃力，耗费了大量时间和精力。之后随着拉格朗日、阿贝尔、伽罗瓦等不懈努力，最终总结出了置换群的概念和结论。

置换群和有限群及无线变换群和其他类型的无限群的结合，最终在数学家们的钻研下，建立了抽闲群的定义，到了19世纪80年代，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公里体系。

20世纪80年代，群的概念已经普遍的被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。

3.结束语：线性方程组问题大都是来源于生活实践，这些实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展，也符合科学源头上由需求与认识论驱动的历史潮流，同时近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展，使得线性代数在生活的许多领域中也得到了相应的应用，尽管它在现今依然有许多难题待解决。

参考文献：【1】马忠林1911 《数学教育史简编》[M]

广西教育出版社

【2】张红《数学简史》[J]