线性代数论文——矩阵中不可用的规律与结论

关键词：矩阵;运算规律；结论；不成立
英文题目
Abstract: Matrix algebra as an important tool in its history can be traced back to BC appears, however, to truly become an independent matrix concept was to study history began in the 1850s. Today, more and more rapid development of matrix theory, to the 19th century, matrix theory system has been basically formed. To the 20th century, matrix theory has been further developed. Currently, it has developed into physics, cybernetics, robotics, biology, economics and other disciplines have a lot of branches of mathematics applications.There are a lot of computing matrix operation rules and conclusions cannot be established. It may be misused in applying the usual rules of arithmetic calculations. This article lists the operation of such laws and conclusions which cannot be established in order to refer.
AB 是有意义的，而 BA 是无意义的 ii.倘使AB, BA都有意义，二者也未必相等. 1 1 1 −1 ，B = 2 2 −1 1 −1 −1 AB = O,BA = 1 1 1 1 a b 例 2：取 A = ，B = ， 0 1 0 a a a+b 则 AB=BA= （a，b 为任意常数） 0 a 例 1：A = iii.根据矩阵乘积的基本要求，如果 A 的列数不等于 B 的行数，此时讲 AB 没有任何意 义。一般来说正是由于这个原因，,在实数中的某些运算不再适应，如(������ + ������)2 ≠ ������2 + 2������������ + ������2 , ������������
2.2 矩阵的乘法 运算规则 设 A=（aij ）
m×s
，B=（bij ）
s×n
，则 A 与 B 的乘积 C=AB 是这样一个矩阵：
m×n
(1) 行数与（左矩阵）A 相同，列数与（右矩阵）B 相同，即 C=（cij ） 取乘积之和． 运算性质 (1) 结合律（AB）C=A（BC） ． (2) 分配律A（B ± C） = AB ± AC（左分配律） ； B ± C A = BA ± CA（右分配律） ． (3) ⑴矩阵乘法不满足交换律 ．
矩阵的计算有很多的应用，比如可以用来求矩阵的秩，是线性代数的基础。熟练掌 握矩阵的计算，在面对较复杂的矩阵时才能从容处理。矩阵的加法，矩阵的乘法，矩阵 的幂，矩阵的转置，矩阵的逆，矩阵的行列式，相关的计算都是矩阵的基本运算。 认真关注矩阵的运算规律的结论能让计算过程更加熟练，结果更加准确，但是同时 也要注意不适用的规律方法和结论，避免解题时进入误区。本文总结了部分会误用的规 律结论。 这门课程给我们的是一个工具的作用， 在学习的过程中要结合实际问题尤其是自己的 专业方向来想问题，把矩阵的思想和算法用到对专业问题的解决中，才是学习的目的。 参考文献 [1]王天泽.。线性代数[M].北京，科学出版社，2013-8. [2]李乃华，赵芬霞，赵俊英，李景焕[M]北京，高等教育出版社，2012-8 [3]张凯院，徐仲，陆全[M]西北工业大学出版社，2001-3
与通常的规律相反 2.7 方阵的行列式 运算性质 (1)|AT | = |A| （行列式的性质） (2) AB = A B (3) 设 A 为 n 阶方阵， （ 是常数，A 的阶数为 n） 的行列式 与 A 的行列式 之间的关系不是 ，而是
A = 3 结束语
a c
a b 2a 2b ，2A = c d 2c 2d b 2a 2b 2 a b ，而|2A|= =2 d 2c 2d c d A=
矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。掌握矩阵的运算及它们的运算规律是学 习矩阵知识的一个重要环节。 矩阵的计算中有许多规律和结论可利用， 但不是所有的运算规律都可以在矩阵的计 算汇总运用。以下诸条关于不可用规律与结论的总结提供一个参照，在矩阵的计算中便 于减少运算错误。 . 2.1 矩阵的加法与减法： 运算性质 ：满足交换律和结合律 交换律 结合律
2.6 矩阵的转置 运算性质 (1)（AT ）
T=A T
(2) （A + B） = AT + B T (3) （AB） = B T AT (4)
T T
，
是常数．
������
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
������ ������ T （AB） = B T AT ，（A������ ������������ … . ������������ ） = ������������ ������ ������������−������ … . ������������ A������等号左右矩阵的顺序是相反的，
1 −2 … . （1 − 1 2）=5n −1 A 1
设 g（x）是 x 的 m 次多项式，f（A）g（A）=g（A）f（A） 。但是，当 A，B 不可交换 时，f(A)g(B)≠g(B)f(A) 2.5 有零因子的情况 如: A≠0, B≠0 但可能有 AB=0. AB=A, 不能得出 B=E(单位矩阵)
A=B=B+A；
（A+B）+C=A+（B+C） ．
只有同型矩阵才能相加（减） ，且其和（差）仍保持同型 例：
a b
与 c d e 不能相加或相减 2 3 −1 − 2 − 3 1 + −1 2 + + = 4 5 6 −4 − 5 − 6 4 + −4 5 + 10 5 3 −5 1 − = −1 5 9 4 2 −2 3 + −3 −5 6 + −6 2 −7 =O
Key words: Matrix; operation rules; conclusions; not established
正文： 1 引言 矩阵理论是高等代数的主要内容之一。 矩阵理论和方法对于图论的研究起了很重要 的推动作用，同时也是数学及许多科学领域中的重要工具，它有着广泛的应用。矩阵是 高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于 电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到
������
= ������������ ������������ 需 A,B 可交换
因此，矩阵乘法不满足交换律。 ⑵矩阵的乘法不满足消去律 如果AB = AC，并且A ≠ O，不能推出B = C 例：A = 1 2 1 −1 ，B = ，C = O， 1 2 −1 1 AB = O，AC = O，但是 B ≠ C 2.3 矩阵的幂 ⑴对于m × n矩阵 A，当m ≠ n时，Ak 是没有任何意义的 ⑵(������������)������ = ������������ B k ，A、B 可交换时成立 ⑶矩阵 A 为 n 阶方阵，A 的 k 次幂Ak ，k 为正整数 1 −1 2 例：A= −2 2 −4 ，求An 1 1 −1 2 1 注意到A = −2 （1 -1 2）因此An = −2 1 − 1 2 1 1 2.4 矩阵的多项式
华北水利水电大学
矩阵中不能成立的运算规律及结论
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2015 年 1 月 8 日
摘要：矩阵作为一种重要的代数工具，其出现的历史可以追溯至公元前，然而矩阵真正 成为一个独立的概念并被加以研究的历史开始于 19 世纪 50 年代。如今，矩阵理论的发 展越来越迅速，到 19 世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到 20 世纪，矩阵理论得到了 进一步的发展。目前，它己经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等 学科有大量应用的数学分支。矩阵的计算中有很多不能成立的运算规律和结论，在运用 通常的运算规律计算时可能会误用。本文列举出此类不能成立的运算规律和结论，方便 运算时参照，以减少误用规律结论的情况出现。
．
(2) C 的第 i 行，第 j 列的元素Cij 由 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列元素对应相乘，再
i.只有当第一个矩阵A的列数等于第二个矩阵B的行数时，矩阵A与B的乘积AB才有意义。 否则A与 B 是不能相乘的。一般来讲即便AB有意义，BA也未必有意义。 4 1 0 1 0 3 −1 −1 1 3 例：对于A = ，B = 2 1 0 2 2 0 1 1 3 4