线性代数行列式-习题课
线性代数行列式计算习题课
3 2
a bc d
a
3
b a c d
1 x2
b b
3
c a b d
1
2
a bc
d d
3 2
1
2
c c
3 2
r4 r3
a
x1
2
xn
x1 a b c d x1
n 1
a
b 2 2 x2 xn a b c d a n 1 b x 2 a
2 3 3 2
c d ( xi x j ) ni j 1c d a b a b c d
* c in *
6、 某 行 （ 列 ） 的 k倍 加 到 另 一 行 （ 列 ） 上 ， 行 列 式 值 不 变
ri k r j ( c i k c j )
第 5页
行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行 ( 列 ) 各元素与其对应的代数余子 式乘积之和：
D n a i1 Ai1 a i 2 Ai 2 a 1 i A1 i a 2 i A 2 i a in A in a ni Ani
5 3 1 4 3
0 4 9
20
第16页
a. 行（列）元素之和相等的行列式
1 7. D 1 1 x 1 1 1 x 1 1
b
1 x 1 1 1 1
x 1 1 1 1
bx 1
c1 c 2 c1 c 3
x x x x 1 0
1 1 x 1 1 0 x
1 x 1 1 1
x 1 1 1 1
c1 c 4
1 a b 1
c1 x
x
1 b a 1 1 x 1
线性代数习题1.5行列式按行(列)展开
线性代数
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§1.5 行列式按行（列）展开
现在假设结论对于 n 1 阶范德蒙德行列式成 立，要证结论对 n 阶范德蒙德行列式也成立，为 此，要将 Dn 降阶， 将前一行乘以 x1 加到后一行上 （从后往前）
1 x1
1 x2 x x
2 2
1 x3 x x
1
例1. 设D
2 3 0 5
4
1 0 6
按第二列展开得
D 2
4
5
1 6
0
1
3
1 6 5
0
1 3 4 5 0
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2 29 58
按第一行展开得
D 1
线性代数
0 5 0 6
2
4
1 6
3
4
1 0
2 29 58
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§1.5 行列式按行（列）展开
n
D ,当 i j , aik A jk k 1 0 ,当 i j;
n
3. 牢记范德蒙行列式的形式和计算结果.
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§1.5 行列式按行（列）展开
4. 行列式的计算方法：
1).依定义计算行列式; 2).用对角线法则计算行列式; 仅适用于二、三阶行列式 3).利用一些简单的、已知的行列式来计算行列式． 三角形行列式 一行（列）全为零的行列式 两行（列）成比例的行列式 范德蒙行列式
a11 a1 j a1n i 1 D 1 ai 1,1 ai 1, j ai 1,n ai 1,1 ai 1, j ai 1,n an1
线性代数习题册行列式-习题详解.doc
行列式的概念一、选择题1． 下列选项中错误的是 ( )a b c d (B)a b d b (A)da b ； c dc ；caa 3cb 3d a b a ba b (C)cdc ； (D)c dc.dd答案： D2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行列式的值（）．(A) 保持不变； (B) 可以变成任何值；(C) 保持不为零； (D)保持相同的正负号．答案： C二、填空题1.log a b 1 =.1log b a解析： log ab1 log a b log b a1 1 1 0 .1 log b acos sin2.36=.sincos 3 6cos sin解析：3 6 cos cos sin sin cos0sin cos 3 63 6 23 62x 1 33. 函数 f (x)x x 1 中， x 3 的系数为；21 x2x 1 1g( x)x x x 中， x 3的系数为.12x答案： -2 ； -2.阶行列式 D n中的n最小值是.答案： 1.1 2 35.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式3 1 1等于.答案： 5.6.若 2x 8 0 ，则x= .1 2答案： 2.7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i<j 时，aij 0(i, j 1,2, L ,n) ，则D= .答案： a11 a22 a nn.a b 0b a 0 0.1 0 1a b 0( 1ab )解析： b a 0 ( a2 b2 ) 01 0 1b a故 a 0, b 0 .三、解答题1.用行列式的定义计算 .0 1 0 11 0 1 0(1)1 0；0 00 0 1 11 1 0 1 0 1 解：原式 =1 ( 1)1 20 0 0 1 ( 1)1 4 0 1 00 1 0 0 0 18. 设a, b 为实数，则当a=, b=时，0 0 1 0 1解：由对角线法则，得 D 111 2 , D 21 0 0 111 2a b 0 0 若 D 1 D 2 , 则 于是1或 1.0 c d 0(2)四、证明题0 0 e.f1. （略）g h 0行列式的性质c d 0 0 d 0原式 = a 0 efb 0 ef一、选择题h 0 0g 0 0x 0 1 2 3 2e f0 f 0 f1．设行列式 D 10 x 1 0 , D 2 1 5 3 , 若 D 1 D 2 ,10 x3 1 1=a cdbdh g= adfhbdfg则 x 的取值为 ( ).(A)2 ，-1 ； (B)1 ， -1 ；(C)0 ，2；(D)0，1．0 1 3 1 1答案： B2. 设行列式 D 10 1 0 ,D 2 2 3 2 , 若 D 1 D 2 ,a 11 a 12 a 1311 5 32．若 Da 21a 22a233 ，求 的值 .a31a32a332a11 5a13 a12 a13则 D1 2a21 5a23 a22 a23=（）．2a31 5a33 a32 a33(A)30；(B) -30 ；(C)6 ；(D)-6．答案： C二、填空题1．若三阶行列式 D 的第一行元素分别是1,2,0, 第三行元素的余子式分别是8，x，19，则 x =.解析： 1 8 2x 0 19 0, x 4 .2016 2018=.2．201620142016 2018 2 2 2 2 解析：2016 2014 2016 0 4 .2014 2a b c3. 行列式D b a c ，则 A11 A21 A31= .d b c1 b c解析： A11 A21 A31 1 a c 0 .1 b c5x 1 2 34. 行列式D42 1 x 3x x 2的展开式中， x 4的系数31 2 1 3x为； x3 的系数为.5x 1 2 3 5x 1 2 32 1 x3 x x 2 3解析： D 4x 2 3 2 1 x 3x1 2 1 3x 1 2 1 3x5x 1 2 30 x1 8 125 5 52 1 x 31 2 1 3x含 x4， x3的项仅有主对角线上元素之积项，故x 4， x3的系数分别为 15， -3.三、解答题1. 计算下列行列式 .1 2 3 42 3 4 1 (1)；3 4 1 2 4 1 2 3解：各行加到第一行，得10 10 10 10 1 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 原式 =4 1 2 104 1 2 3 3 41 2 3 4 1 2 31 1 1 1 1 1 1 10 1 2 1 0 1 2 1 = 101 2 1 100 4 160 .0 0 0 03210 041 1 1 1 11 234 52 2 22(2) 12 3 4 5 ；3 3 3 3 1 2 345 4444 1 234 5解：原式 =(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288.1 4 9 16 4 9 16 25 ；(3)16 25 3691625 36491 4 9 16 1 4 9 16 3 5 7 9 3 5 7 9 原式 =7 9 11 2 2 2 0 .5 2 7 9 11 132 2 2 20 y 0 xx 0 y 0；(4)x 0 yy 0 x 0x y 0 x 0 y 原式 = y 0 0 y x 0 x 0y x 0 y 0 x= y 2 xy x 2 x y ( x 2 y 2 ) 2 . y x y x1 x yz(5) 1 y zx ；1 z xy1 x yz原式 = 0 y x z( y x)0 z x y( z x)=1 z( y x)( z x) ( x y )( y z )( z) .y x11 0 1 0 00 2 1 0 0(6) 3 1 0 0 0 ；0 0 0 2 10 0 0 0 21 0 1 01 0 1 1 0 10 2 1 04 0 2 1 4 0 2 1原式 = 21 0 033 1 0 0 1 30 0 0 2=2 14 20 .1 31 x1 1 1 11 1 x2 1 1；(7)1 1 1 x3 11 1 1 1 x41 x1 x1 x1 x1解：原式 = 1 x2 0 0 1 0 x3 0 1 0 0 x41x1 x1 x1x1 x1 x1 x1x3x2 x4= 0 x2 0 00 0 x3 00 0 0 x4= x1 x2 x3 x4 x2 x3 x4 x1 x3 x4 x1 x2 x4 x1 x2 x3.1 5 1 31 1 3 4，计算 A41 A42 A43 A44的值.2. 设D1 2 312 23 4其中 A4 j ( j 1,2,3,4) 是 D 的代数余子式.1 5 1 3解： A41 A42A431 1 3 4A441 26 .1 31 1 1 13 5 2 13. 已知D1 1 0 1 M11M21M31M41.1 3 1, 求12 4 1 1解： M 11M21M31M41=1 M11( 1)M 21 1 M 31 ( 1)M 411 52 11 1 0 1=3 1=0.1 11 4 1 14. 计算下列n 阶行列式.2 1 1 1 1 1 1 (1) 1 2 1 ；y x y y解：原式 = x (n 1) y y y x y1 1 2n 1 1 1 1 1 1解：原式n 1 2 1 1 2 1 = = (n 1)n 1 1 2 1 1 21 1 1= (n 1) 0 1 0.n 1 0 0 1x y y yy x y y (2) y y x y ；y y y xy y y x1 1 1 10 x y 0 0= x (n 1) y 0 0 x y 00 0 0 x y= x (n 1) y ( x y) n 1.0 1 1 11 x1 0 0(3) 1 0 x2 0 ( x i 0,i 1,2, ,n) .1 0 0 x nn1111i 1 x i解：原式 =0 x 1 0 0 00 x 2 0x n=x 1 x 2x n (n1) .i 1x i四、证明题11 1= (b a)(c a)112ab a 2c 2ac a 2b= (b a)(c a)(c 2 b 2ac ab)= (b a)(ca)(c b)( a b c) =0,由于 a , b , c 是互异的实数，故要上式成立，当且仅当 a+b+c=0.abcd2. 证明a a+ba b c c a b c da 4a 2ab 3a 2b 4a 3b 2cd a3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d1. 设 a , b , c 是互异的实数，证明a b c 0 的充分必要条 a bc da 3b 3c 3r 4r 30 a a ba b c件是 a+b+c=0.证明：左边r 3 r 2a2a b3a2bc11 1 1r 2r 10 a 3a b 6a 3b c证明： ab c a b a c a a bc d a bc da3b 3c 3a 3b 3 a 3c 3 a 3r 3 0 a a b a b c0 a a b a b cr 44r 3 r 21 0 0ar 4r 3a ab ac a2a b 0 2a b =a 3 c 3 a 30 0a3a b0 0ab 3=右边克莱姆法则一、选择题x1 x2 x3 1,1．方程组x1 x2 x3 1, ,有唯一解,则( ).x1 x2 x3 1(A) 1且 2 ；(B) 1 且 2 ；(C) 1且 2 ；(D) 1 且 2 ．1 1解析：由克莱姆法则，当 1 1 (2 )( 1) 2 0 ，即1 11且 2 ，选B.ax z 0,2. 当a （）时，方程组2x ax z 0, 只有零解.ax 2 y z 0(A) -1 ；(B) 0 ；(C) -2 ； (D) 2.解析：由克莱姆法则，a 0 1 0 0 1当 2 a 1 2 a a 1 2(a 2) 0a 2 1 0 2 1即a 2 ，选D.三、解答题1.用克莱姆法则下列解方程组 .x 2 y z 2,(1) x 2 y 2z 3,2x y z 3;1 2 1解： D 1 2 2 3 0 ，2 1 1由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，22 1D13 2 2 3 ，31 11 2 1 1 2 2D 2 1 3 2 6 ， D 3 1 3 3 9 ，2 3 1 2 3 3因此方程组的解为D1 D 22 ， z D 33 .x 1, yDD Dx1 2 x2 x3 x4 1,2x1 3x2 x3 2x4 3, (2)3x2 2x3 x4 ..x1 2, 2x1 4x2 3x3 3x4 21 2 1 1解： D 2 3 1 24 01 32 12 43 3由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，1 2 1 1 1 1 1 13 3 1 28 ， D 22 3 1 2D13 2 1 1 2 22 ,2 12 43 3 2 2 3 31 2 1 1 1 2 1 12 3 3 2D 42 3 1 32 .D33 22 ,1 32 21 12 4 23 24 3 2因此方程组的解为D12 , x2D 2 1 D 3 1 D 4 1x1D， x3D, x4D.D 2 2 22x1 2x2 x3 0,2. 判断线性方程组x1 2x2 4 x3 0, 是否有非零解5x1 8x2 2x3 02 2 1 1 2 4解：因为系数行列式 D 1 2 4 2 2 15 8 2 5 8 21 2 4 1 2 4= 0 6 9 0 6 9 30 0 ,0 18 22 0 0 5所以，方程组只有零解.x1 kx2 x3 0,3. 已知齐次线性方程组kx1 x2 x3 0, 有非零解，求k 的值.2x1 x2 x3 0解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式必为零，即1 k 1 1 k 1k 1 1 0 1 k 2 1 k2 1 1 0 1 2k 3= 3(1 k 2 ) (1 k)(1 2k)= (1 k)( 4 k ) 0解得， k=-1 或 k=4.2x1 4x2 ( 1) x3 0 4. 当取何值时，齐次线性方程组 ( 3) x1 x2 2x3 0 有非x1 (1 ) x2 x3 0 零解解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知，2 4 13 1 2 0 ,解得0,2,3 .1 1 1第一章综合练习一、判断题1. n 阶行列式D n中的 n 最小为2.( ╳ )2. 在 n 阶行列式D a ij 中元素 a ij (i, j 1,2, L) 均为整数，则D必为整数 .( √ )a 11 0a 14a22a23a 14 a 23a 32 a 41 .(╳3.a32a33a 11a22 a 33 a44a410 0a44)二、选择题1. 若 D 13x 1 x 2x 11 1x 1， D 2x，则 D 1 与 D 2 的大12小关系是 ( ).(A) D 1D 2 ； (B) D 1 D 2 ； (C) D 1 D 2 ； (D) 随 x 值变化而变化 . 答案： Ca bcos20 sin 40 =.1.cos40sin 20解析：cos20 sin 40 cos20 cos40sin 20cos401cos60.2 2. 若 x 2y 2 x x , 则 x+y =. 1 1yy解析：由 x2y 2 xx ，得 x 2 y 21 1 y y即 ( xy) 2 0 ，从而 x+y =0.sin 20 sin 402xy2. 行列式 (a,b,c, d 1,1,2 ) 的所有可能值中， 最大 c d的是 ( ).(A) 0 ； (B)2 ； (C)4 ； (D)6.答案： D3. 已知x2 0,x y 1，则 y = .1 1 11x 2 x y 解析：由1 10,1 , 得 x =2, x-y =1, 从而 y =11 1三、填空题13 54.若a2b2c2a2 A2b2 B2c2 C 2,则 C 2化简后的结果24 6等于.解析： C21 32 .2 42x x 1 25. 设f ( x) 1 x 1 14 的系数为； x3的3 2 x，则 x11 1 1 x系数为.解析：当 f ( x)的主对角线的 4 个元素相乘才能得出x 4，系数3为 2；含x的项只能是a12 , a21, a33 , a44的乘积，系数为-1.1 2 3 4 51 1 12 26. 设D 3 2 1 4 6 ,2 2 2 1 14 3 2 10则 (1) A31A32 A33= ； (2)A34A35 ；（ 3）A51 A52 A53 A54 A55 .解析： A31A32A33 2( A34 A35 ) 02(A31A32 A33 ) ( A34 A35 ) 0于是A31 A32 A33 0 ， A34 A35 0 .1 2 3 4 51 1 12 2A51A52A53A54A55 3 2 1 4 62 2 2 1 11 1 1 1 11 2 3 4 51 1 12 23 2 14 60 .3 3 3 3 31 1 1 1 1即 A51A52A53A54A550 .四、解答题1.计算下列行列式 .x1 y1 x1 y2 x1 y3 x1 y4(1) x2 y1 x2 y2 x2 y3 x2 y4 ；x3 y1 x3 y2 x3 y3 x3 y4x4 y1 x4 y2 x4 y3 x4 y4x1 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1x2 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1 解：原式 =x3 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1x4 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1x1 y1 y2 y1 y3 y1 y4 y1x2 x1 0 0 0 =x1 0 00 .x3 0x4 x1 0 0 01 x1 1 1 11 1 x2 1 1(2) ；1 1 1 x3 11 1 1 1 x41 x1 x1 x1 x11 x2 0 0解：原式 =0 x3 011 0 0 x41x1 x1 x1x1 x1 x1x1x3 x4x2= 0 x2 0 00 0 x3 00 0 0 x4= x1 x2 x3 x4 x2 x3 x4 x1 x3 x4 x1 x2 x4 x1 x2 x3.0 0 0 1 0 0 0 2 0 0(3)2005 0 0 .0 02006 0 0 0 00 0 0 0 20072006 2005解：原式 = 2007 ( 1) 2 2006! = 2007!1 2 3 4 52 2 2 1 12. 已知D 3 1 2 4 527 ,1 1 12 24 3 15 0求 (1) A41A42 A43；(2)A44A45.解： 1 A41 1 A42 1 A43 2( A44 A45 ) 272( A41 A42 A43 ) ( A44 A45 ) 0得 A41A42A439 , A44A4518 .3.计算下列 n 阶行列式.1 1 12 2 2 2n(1) D n 3 32 3n；n n 2 n n解：（利用范德蒙行列式计算）1 1 1D n D n T1 2 nn! 3 32 3n1 2n 1 n n 1n!(2 1)(3 1) ( n 1)(3 2)(4 2) (n 2) n ( n 1)n!(n 1)!( n 2)! 2! .2 1 1(2) 1 2 1 ；1 1 2n 1 1 1 1 1 1解：原式n 1 2 1 1 2 1 = = (n 1)n 1 1 2 1 1 21 1 1= (n 1) 0 1 0.n 1 0 0 1x1 m x2 x nx1 x2 m x n(3) D nx1 x2 x n m解：将第 2 列，L，第n列分别加到第一列，并提取第一列的公因子，得x1 x2 x n m x2 x nD nx1 x2 x n m x2 m x nx1 x2 x n m x2 x n m1 x2 x n( x1 x2 x n1 x2 m x nm)1 x2 x n m1 0 0( x1 x 2 x n1 m 0m)1 0 m( x1 x2 x n m)( m) n1b1 b2 b3 b n 1 b na1 a2 0 0 0 (4) D n 0 a2 a3 0 00 0 0 a n 1 a n（其中 a i 0,i 1,2, , n ）a1 a2 0 0 解： D n ( 1)1 n b n0 a2 0 00 0 0 an 1b1 b2 b n 2 b n 1a1 a2 0 0 a n 0 a2 0 00 0 a n 2 an 1a1 a2 a n b nanDn 1a na1 a2 nb i.a na ii 1三、证明题1. 试证：如果n次多项式f ( x) a0 a1 x a n x n对 n+1 个不同的 x 值都是零，则此多项式恒等于零.( 提示：用范德蒙行列式证明)。
线性代数课后习题与答案
《线性代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式： （1）2345 （2）2163- （3）xxx x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x（5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 100110011001---.4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）6555655562.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）335111243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。
线性代数讲解习题课
place定理 place定理 是一个n阶行列式 中取某K行 或列 或列), 是一个 阶行列式， 中取某 定义 设D是一个 阶行列式，在D中取某 行(或列 则含于此k阶行 或列)中的所以 阶行(或列 中的所以k阶子式与其代数余子 则含于此 阶行 或列 中的所以 阶子式与其代数余子 式的乘积之和恰好等于D.即 式的乘积之和恰好等于 即
设排列 该排列中在 ai右边比 (i=1,2,---,n). 于是
ai小的数有 ai −1− ki个
τ (anan−1 ⋯a2a1 ) = (a1 −1− k1 ) + (a2 −1− k2 ) +⋯+ (an −1− kn )
= (a1 + a2 +⋯+ an ) − n − (k1 + k2 +⋯+ kn )
1 对 、 角行 式 列 λ1 D= λ2 ⋱ λn
λ1 D= λn λ2 ⋰ = (−1)
n(n−1) 2
= λ1λ2 ⋯λn ;
λ1λ2 ⋯λn.
2、上、下 三角行列 式。 a11 a12 ⋯ a1n 0 a22 ⋯ a2n ⋮ 0 ⋮ 0 ⋱ ⋮ ⋯ ann a11 0 ⋯ a21 a22 ⋯ 0 0
D = N 1 A1 + N 2 A2 + ⋯ + N t At
其中 N1 , N 2 ,⋯ N t是D的被选定的k行(或列)所含的K阶 的被选定的k 或列)所含的K 子式, 子式, A1 , A2 ,⋯ At 分别是它们的代数余子式. t = C k 分别是它们的代数余子式.
n
二.几个重要的公式
3.设 3.设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则 阶方阵， 阶方阵，
a11 ⋯ a1m ⋮ ⋮ am1 ⋯ amm D= c11 ⋯ c1m ⋮ ⋮ cn1 ⋯ cnm 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮
线性代数(江西高校出版社)第一章习题课
D1 ai1 Ai1
ai1 Ai1
ai , j 1 Ai , j 1 aij 1 Aij ai , j 1 Ai , j 1
ai , j 1 Ai , j 1 aij Aij ai , j 1 Ai , j 1
ain Ain
7
24 A 24 24 4 12 7 180 .
2
【方法归纳】 本题属于抽象型行列式的计算问题，
求
解的关键是灵活运用行列式的基本性质.
13
1
x
x2
x n1
1
例7 设 P x 1
a1
a2
a12
a22
a1n1
a2n1 ，其中 a1 , a2 ,
30
2
1
2
2
2
3
n 1
1
n 1
2
n 1
3
1 an1 an21
, an1 是
ann11
互不相同的数.
(1)由行列式定义，说明 P x 是一个 n 1次多项式；
(2)由行列式性质,求 P x 0 的根.
14
解 (1)因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x，
所以若
按行列式的第一行展开，
含有 x n1 的对应项的系数恰为
a1 j 1
a2 j 1
a1n
a2 n
an1
anj 1
ann
，
将D1按第j列拆分成两个行列式，再把第二个行列式按第j列
展开，得
19
D1
a11
a21
a1 j
a2 j
a1n
a2 n
行列式习题课
2 1 3 3 3
3 3 1 4 4
n 1 n 1 n 1 1 n
n n n n 1
6（2）
2 2 2
原行列式
解：
c1 c2 cn
1 2 3 n 1 n 1 1 3 n 1 n
1
r2 r1 r3 r1 rn r1
概念
a11 a21
a12 a1n a22 a2 n
p1 p2 pn
(1)t a1 p1 a2 p2 anpn
an1 an 2 ann
1．行列式与它的转置行列式相等； 2．互换行列式的两行（列），行列式变号；
性质
3．某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行 列式可写成两个行列式的和； 5．行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变。
《线性代数》
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r3+（-1）r2
D 1 1
r2+（-1）r3
1 1 1 2 1 0 1
c1+（-1）c3
1
1 1 0
1 0
《线性代数》
1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0
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1 1 1 0 0 (1 ) 0
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1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 n
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
例4 计算行列式
1 D1 1
线性代数习题-[第一章]行列式
![线性代数习题-[第一章]行列式](https://img.taocdn.com/s3/m/79f60d30f01dc281e53af094.png)
习题1—1 全排列及行列式的定义1． 计算三阶行列式123456789。
2． 写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。
3． 利用行列式的定义计算下列行列式：⑴00040030020010004D⑵0000000005251424132312524232221151********a a a a a a a a a a a a a a a a D =⑶000100002000010nn D n -=4． 利用行列式的定义计算210111()021111xx x f x x x-=中34,x x 的系数。
习题1—2 行列式的性质1． 计算下列各行列式的值：⑴214101211202562-⑵efcfbfde cd bdae ac ab---⑶2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a2． 在n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij =-=，证明：当n 是奇数时，D=0. 3． 计算下列n 阶行列式的值：⑴xaaa x a a a xD n=⑵nn a a a D +++=11111111121()120n a a a ≠习题1—3 行列式按行（列）展开1． 已知ij A 是行列式122305403--的元素ij a （3,2,1,=j i ）的代数余子式，求323127A A +的值。
2． 按第三列展开下列行列式，并计算其值：11111110101dcb a ------3． 计算下列n 阶行列式的值⑴aa a aD n 01000000100=⑵xy yx y x y x D n 000000000000=4． 试用数学归纳法证明：n n n n n n nn a x a x a x a x a a a a x x xD ++++=+---=----1111221100000100001习题1—4 克拉默法则1． 用克拉默法则解下列方程组：⑴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--=-+44522272532z y x z y x z y x⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+-+=---=-++8232422383226232t z y x t z y x t z y x t z y x2． 判断齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+028*******z y x z y x z y x 是否仅有零解？3． 问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(z y x z y x z y x λλλ有非零解？4． λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=-+0200z y x z y x z y x λλ仅有零解？。
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(5) aij bij cij ; (6)ri krj
5. 行列式按行（列）展开
1 ) 余子式与代数余子式 ２）关于代数余子式的重要性质
a A
k 1 ki
n
kj
D
D , i j; ij 0, i j .
或 D , i j; a ik A jk D ij 0, i j . k 1 1, i j; 其中 ij 0, i j .
2 3
4
上两式是恒等式，故同次幂系数相等。 而D=-A45，故 D=(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)
方法四：降级法。（行列式中某一行（列）只有一、
二个非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式）
例3 证明
x 0 Dn 0 an 1 x 0 a n 1 0 1 0 an 2 0 0 0 0 1 x a1
有技巧）
• 方法一：三角形法
例1
Dn
1 a1 1 1 1 a2 1 1
1 1
1 an
(ai 0)
1 a1 a1 解：原式= a1
c1 n
1
1
a2 0 0
1
an
1
i2
n
a1 c ai i
a1 1 a1 i 2 ai 0 0
a3 an a3 an
解 将第2,3,, n 1列都加到第一列，得
x ai x ai
i 1 n i 1 n i 1 n
n
a1 a 2 a n x a2 an x an x
Dn1 x ai a2
i 1
x ai a2 a3
D n n! ( xi x j)
n i j 1
n! ( 2 1)( 3 1)( n 1) ( 3 2)( 4 2)( n 2)[n ( n 1)] n! ( n 1)! ( n 2)! 2!1!.
2、
计算
x
a1
a2
a1 x a 2 D n 1 a1 a 2 x a 3 a n . a1 a 2 a 3 a 4 x
a11
a12
a13 a33
4a11 4a31
2a11 3a12 2a21 3a22 2a31 3a32
a13 a23 a33
6.若 a21 a22 a31 a32
= ；
a23 1, 则 4a21
7、n为奇数时
0 a12 a13 a1 n a12 0 a23 a2 n a13 a23 0 a3 n a1 n a2 n a3 n = 0
证法三：Dn 0 0 0 x a1 x
n n 1
c1 xc2 x n 1cn
1 x 0
0 0 1 0 0 x
0 0 1
an an1 an 2 a2 x a1
按第一列展开即可得结果。
证法四：从第一列开始，前一列乘1/x加 到后一列上去，化成下三角行列式 方法五 递推法
an
a1a2 an1 an Dn1
a1a2 an1 an (a1a2 an2 an1 Dn2 )
方法三：升级法。看例1
1 1 解：原式= 0 1 a 1 0 1
c1
1 1 1 1 1 a1 1 an 1 0
Dn 2 cos Dn1 Dn 2 .
由归纳假设,
D n 1 cos(n 1) , D cos(n 2) ,
n 2
Dn 2 cos cos(n 1) cos(n 2) [cos n cos(n 2) ] cos(n 2) cos n ;
p1 p2 pn
列取和.
n阶行列式D亦可定义为 D
p1 p2 pn
( 1) a p11 a p2 2 a pn n ,
t
其中t为行标排列 p1 p 2 p n 的逆序数.
4. n阶行列式的性质
(1) D D;
T
(2) ri rj ; (4) ri : rj k;
(3) ri k ;
因为 D1 cos , cos D2 1 1 2 cos 2 1 cos 2 , cos 2
所以,当n 1, n 2时, 结论成立. 假设对阶数小于 的行列式结论成立 下证对 n ,
于阶数等于n的行列式也成立 现将 D n 按最后一行 . 展开, 得
cos 1 0 0 0 cos 1 0 2cos 0 0 1
1 1
1 0 an
a i 1 ci i2
1
n
a1 1 i 1 ai 0 0
n
a1 0 0 an
例2 计算
1 a D 2 a 4 a
1 b b2 4 b
1 b 2 b b b
3 4
1 c c2 4 c
1 c 2 c c c
3 4
1 d d2 4 d
n
a2 0 0 an
1 a1 an (1 ) i 1 ai
1 1 a1
另解：原式= a1 an
1 a1 1 1 a2 1 an
1 a1 1 a2
1 a2 1 an
1 1 an
方法二：拆项法。看例1
解：原式=
1 a1 1 1 1 1 1 a2 1 1 1 1 1 a1 1 1 1 a2 1 0 0
1
0
0 0 0
0 0 0
Dn ( 1)n n1
2cos 1 1 2cos 0 0 0 0 0
2cos 0 0 1 0 1
2cos 1 1 2cos 0 0 0 0
0 0 0 0 2cos 1 1 2cos
如例1的第二种解法；例3的第二种解法
方法六
例4
用数学归纳法
0 0 0 0 0 0 2cos 1 1 2cos
证明
cos 1 0 1 2cos 1 0 1 2cos Dn 0 0 0 0 0 0 cos n .
证 对阶数n用数学归纳法
1 0 0 1 x a1 0 n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 a1 x a 2 i 1 1 a 2 a1 a 3 a 2
0 0
0 x an
( x a i ) ( x a i ).
i 1 i 1
n
n
a
2
b2 3. D c
2
d
2
1 a2 1 2 b 1 2 c 1 2 d
a b c d
1 a 1 b 1 c 1 d
1 1 1 1
已知 abcd 1
解
a D b
2
a b c d
2
c2 d2
1 a 1 b 1 c 1 d
1 1
1 1
1 a2 1 b2 1 c2 1 d2
1 d 2 d d d
3 4
1 解：构造 a 2 f ( x) a 3 a a
4
1 x 2 x x x
3 4
（这是一个范德蒙行列式）
=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) 另外f(x)按最后一列展开，可得
f ( x) A15 A25 x A35 x A45 x A55 x
提取第一列的公因子，得
a1 a 2 a n x a2 an n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 x a n . i 1 1 1 1 a2 a3 x
将第1列的( a 1)倍加到第2列，将第1列的 ( a２)倍加到第3列， , 将第1列的( a n )倍加到最 后一列，得
；
8、已知四阶行列式
1 2 2 4 2 2 2 2 D 1 4 3 5 1 4 2 7
Mij是元素aij的余子式，则 M41-M42+M43+M44= .
x
9. 已知
1
1
2
1 f x 3 1
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
。
则x3 的系数为
二、计算行列式（除掌握概念与性质外还
所以对一切自然数 结论成立. n
练习
1
1、 计算
1
2
1
2n 2 2 3 32 3n . Dn n n
2
nn
解
1 1 Dn n! 1 1
1 2 3 n
1 2 2 3 n
2 2
1 2 n 1 3 . n
n 1 n 1
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
x a2
x n a1 x n1 an1 x an
证法一：按最后一行展开
1 0 0 Dn ( 1) an
n1
0 0 ( 1) an1
n 2
x 0 0 0 1 0
0 0
x 1 0 0
0 x 1 x 1 0 0 0 0 x 0
0 0 x 1 x 1 0 0 0 x 0 0 0 0 0 x