线性代数第三章行列式例题
线性代数练习册第三章部分答案（本）
线性代数练习册第三章部分答案（本）第三章⾏列式及其应⽤§3-1 ⾏列式的定义⼀、填空题。
1、⾏列式a bc d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、⾏列式111112121200000a a a ab bc cd d =______0_____. 3、已知⾏列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶⾏列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.⼆、选择题。
1、⽅程0110001x x x=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶⾏列式00102000D n = 的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、⾏列式312111321111x x x x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列⾏列式1、12110001- 解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)120123012312341014120243、1132101123011002-- 解：414113211310111013223012303100210001300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-，所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中⼀个中构成逆序，所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)§3-2 ⾏列式的性质与计算⼀、填空题。
高等代数《行列式》部分习题及解答
高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。
线性代数第三章习题及答案
习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。
3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。
（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。
线性代数第三章习题及解答
解：取 α1 = (1, 0, 0)T , α2 = (0, 1, 0)T , β1 = (−1, 0, 0)T , β2 =
(0, −1, 0) α1 + α2 + β1 + β2 = 0, 但 α1 , α2 线性无关， 且 β1 , β2 也线性无关 (3) 若只有当 λ1 , . . . , λm 全为 0 时，等式 λ1 α1 + · · · + λm αm + λ1 β1 +· · ·+λm βm = 0 才能成立， 则 α1 , α2 , . . . , αm 线性无关， β1 , β2 , . . . , βm
证明：因为 n = R(e1 , . . . , en ) ≤ R(α1 , . . . , αn ) ≤ n 于是 R(α1 , . . . , αn ) = n， 则 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关
7. 设向量组 α1 , α2 , . . . , αm 线性相关，且 α1 ̸= 0, 证明：存在某
2
(0, 0, 0)T , β3 = (−1, −1, 1)T 5. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大线性无关
组， 并把其余列向量用最大线性无关组线性表示 . 25 31 17 43 75 94 53 132 (1) 75 94 54 134 25 32 20 48 25 31 17 43 25 31 17 75 94 53 132 0 1 2 解： 75 94 54 134 −→ 1 3 0 25 32 20 48 0 1 3 α1 α2 α3 α4 25 31 17 43 1 0 0 8 5 0 1 2 3 0 1 0 −1 −→ 0 0 1 2 −→ 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3
行列式典型例题
目录
• 计算行列式 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的应用 • 特殊行列式
01
计算行列式
二阶行列式
总结词：二阶行列式是2x2矩阵的行列 式值，计算方法为对角线元素乘积减去 副对角线元素乘积。
|3 4|
示例：对于行列式|1 2|，其值为1*32*4=-5。
详细描述：对于二阶行列式，其一般形式 为|a b|，计算公式为a*c-b*d，其中a、b、 c、d分别代表矩阵中的元素。
行列式与矩阵的逆和转置有关， 它们都可以通过行列式进行计算 或判断。
行列式有一些重要的性质，如交 换律、结合律、分配律等，这些 性质在矩阵运算中非常重要。
05
特殊行列式
对角线型行列式
总结词
对角线型行列式是指除了主对角线上 的元素外，其他元素都为零的行列式。
详细描述
对角线型行列式的值就是主对角线上 的元素乘积，计算过程相对简单，因 为除了主对角线元素外，其他元素都 为零，所以可以直接将主对角线上的 元素相乘得到结果。
04
行列式的应用
行列式在几何中的应用
线性变换
行列式可以表示线性变换前后的面积比，用于研 究几何图形的变换性质。
Hale Waihona Puke 定向行列式可以用来确定定向，即方向和旋转顺序， 对于三维空间中的向量场和曲线非常重要。
体积
行列式可以用来计算多面体的体积，特别是平行 六面体的体积。
行列式在代数方程组中的应用
线性方程组
行列式的加法性质
总结词
行列式的加法满足分配律
详细描述
对于任何两个n阶方阵A和B，以及任意的常数c和d，有|cA + dB| = c|A| + d|B|。
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
线性代数重要知识点和典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A TT =)( TTTB A B A +=+)( TTkA kA =)( TTTA B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
9.4.1 三阶行列式(含答案)
【课堂例题】例1.用对角线法则计算下列行列式，并化简：(1)302213231-- (2)123456789例2.求证：ad g d a g be h eb h cfif c i=-例3.利用行列式解方程组：632752215x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩(选用)课堂练习1.用对角线法则展开下列行列式，并化简：(1)101111111aa-+-；(2)000a b c d e f2.求关于,,x y z 的方程组13x y mz x my z m x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有唯一解的条件，在此条件下写出方程组的解.【知识再现】1.行列式111222333a b c a b c a b c = . (按对角线法则展开)2.关于,,x y z 的三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的系数行列式D =,若记x D =，y D =，z D =，当D 时，方程有唯一解：x = ，y = ，z = . 【基础训练】1.把下列行列式按对角线法则展开并求值:(1)123142301-= = ； (2)123012331-= = . 2.计算：201010=- . 3.按对角线法则展开下列行列式，并化简：(1)000a bba ab = = ； (2)000xyzp q r= = .4.已知齐次线性方程组111222333000a x b y c z a x b y c z a x b y c z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，若系数行列式1112223330a b c a b c a b c ≠， 则方程组的解是 .5.用行列式解线性方程组：273514223x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩6.利用三阶行列式，证明下列行列式的性质I ：(只需证明“列”的情况，并且(1)(2)(3)只需证明一种情形，其余情况不必证明) (1)行列式A 的某一列(行)的元素全为0，则0A =； (2)行列式A 的两列(行)相同,则0A =；(3)互换行列式A 的两列(行)，则行列式的值变为原来的相反数.7.用行列式解关于,,x y z 的方程组x y z a x y z b x y z c -+=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩【巩固提高】8.已知1112223330a b c a b c a b c =但它的所有元素均不为零且没有两行或两列的元素相同， 试写出这样的一个行列式．(课堂例题中出现过的行列式不得使用)9.当a 为何值时，关于,,x y z 的三元一次方程组2112x y z x y az x ay a z ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解？在此条件下写出该方程组的解.(选做)10.阅读题：余子式与代数余子式以三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 为例，划去第i 行第j 列的的全部元素后，剩余元素所构成的二阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，例：21a 的余子式1213213233a a M a a =，把(1)i jij M +-称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，例：21a 的代数余子式212121(1)A M +=-.(1)写出23a 的余子式与代数余子式； (2)求证： 111213111121213131212223313233a a a a A a A a A a a a a a a ⋅+⋅+⋅=； 1112212231320a A a A a A ⋅+⋅+⋅=； (3)模仿(2)再写出两个相仿的等式.【温故知新】11.线性方程组273514223x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩用矩阵乘法可以表示为 .【课堂例题答案】 例1.(1)-40 (2)0例2.证：左=aei dhc bfg ceg afh bdi ++---，右=()dbi ahf ecg fbg dch aei -++---aei dhc bfg ceg afh bdi =++---=左 证毕 例3.1,2,3x y z === 【课堂练习答案】 1.(1)2a a + (2)adf2.1m ≠±时有唯一解：344,,11m x y z m m -===-++ 【知识再现答案】1.123231312321132213a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---2.111111111111222222222222333333333333,,,x y z a b c d b c a d c a b d D a b c D d b c D a d c D a b d a b c d b c a d c a b d ====0,,,y x zD D D D D D≠ 【习题答案】1.(1)141322(1)03343102(1)21⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯，-18 (2)1113(2)20333131230(2)1⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯，-262.03.(1)000000a b b a a b a a a b b b ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，33a b -- (2)00000x z r p y q p z x q a y r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，xzr4.000x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 5.213x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩6.证：(1)1122233112213213330000000000b c b c b c b c b c b c b c b c b c =⨯+⨯+⨯-⨯-⨯-⨯= (2) 1112221232313123211322133330a a c a a c a a c a a c a a c a a c a a c a a c a a c =++---= (3) 111111222123231312321132213222333333a cb a bc a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b c a c b a b c =++---=- 证毕 7.,,222a b b c a cx y z +++===8.答案不唯一 1234567899.当1a ≠时有唯一解，21,,011a x y z a a -===-- 10.(1)1112111223232331323132,(1)a a a a M A a a a a +==- (2)证：222312131213112131323332333223a a a a a a a a a a a a a a a -+=111213112233211332311223113223211233312213212223313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---=212311131113112131313331332123a a a a a a a a a a a a a a a -+-=1121331131232111332131133111233121130a a a a a a a a a a a a a a a a a a -++--+=(3)111213121222223232212223131223233333313233,0a a a a A a A a A a a a a A a A a A a a a ++=++=，答案不唯一 11.1217351142213x y z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
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法二：
加边法
x1 m x1 ... x1
1 0 0 ... 0 x1 x2
x2 ... x2
...
... xn ... xn ... xn
xn
n+1阶，保证 行列式值不变
Dn
x2 m ... xn
n阶
同 上
ri r1,i 2,3 , n 1
1
x1
x2
...
xn 0 0
1 m 0 ... 1 0 m ... ... 1 ... 0 ... 0
... ... ... m
爪型行列式：用对角线 上的非零元消掉第一列 （行）的非零元(（1，1） 位置元除外)
cn 1 c2 c3 c1 m m m
a11 0 0 ... 0
例1 （行（列）和相同，提取公因子）
c c c c 1 2 3 4 a c d b a c b d 提取第一列公因子 c a b d
1 1 (a b c d ) 1 1 a c c a d b d b b d b d
c a d
b
r3 r2 r4 r1
1 1 (a b c d ) 0 0
(b 1) 2 (b 1) 1
1 b 1 2 (b 1) 3 (b 1)
(b 2) 2 (b 2) 1
1 b2 2 (b 2) 3 (b 2)
范德蒙行列式？
(2 1)(2 ( 1))(2 0)(1 ( 1))(1 0)( 1 0) 3 2 2 (1) 12
1i j 4
x2 x 1 x 2 x 3 2x 2 2x 1 2x 2 2x 3 求f ( x) 0根的 个数 3x 3 3x 2 4 x 5 3x 5 r2 2r1 4x 4 x 3 5x 7 4 x 3
例8
x 2 x 1 x 2 x 3 2 1 2 3 解: f ( x) 3 1 x 1 4 8 1 x 1 9
0 y 0 x
r1 r4 x c2 c3 0 2 2 2 y ( y x ) 0
例4
a 0 0 c
0 0 b c2 c4 a b 0 2 (ad bc) c d 0 0 0 d
r2 r4
例4’
a a b c d c
b
2n阶， a b c d 各n 个
1i j 4
[ B0 B1 x B2 x 2 ( x1 x2 x3 x4 ) x3 B4 x 4 ] ( x j xi )
1i j 4
上面是按x的多项式展开，对照系数，有
D4 ( x1 x2 x3 x4 ) ( x j xi )
(ad bc) n
d
递推法
例5
1 1 Dn 1
2 2 0
3 ... n 0 ... 0 3 ... 0
或
爪型行列式
r1 r2 r3 rn
cn c2 c3 c1 2 3 n Dn (n 2)n !
... ... ... ... ... 1 0 0 n
x1
x2
...
xn 0 0 a11 (m) n
m 0 ... 0 m ... 0 0 0 0
... 0 ... m
所作变换为：
cn c2 c3 c1 m m m
n
xn xi x1 x2 a11 1 1 m m m i 1 m
a d c d 0 bd 0 bd
b b 0 d b d b
例2
x1 m Dn x1 ... x1
法一：
x2 ... x2
... ...
1 1 ... 1
xn xn xn
x2 ... x2
x2 m ...
c1 c2 cn
... xn m
... ... xn xn xn x2 m ...
Hale Waihona Puke 从而：xi n Dn (1 )(m) i 1 m
n
练习：用四种方法下面行列式： 1.定理1（定义）；2.（初等行变换）化成上三角形； 3.P78 例9，行（列）和同，提取公因子；4.加边法；
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 48 1 3
例3
0 x 0 y
y 0 x 0
例7
1 D4 x1 x x
2 1 4 1
1 x2 x x
1 x2 x2 2 x23 x2 4
2 2 4 2
1 x3 x x
1 x3 x32 x33 x34
2 3 4 3
1 x4 x x
1 x4 x4 2 x43 x4 4
2 4 4 4
解：构造下面的范德蒙行列式
1 x D5 x 2 x3 x4 1 x1 x12 x13 x14
r3 3r1 r4 4r1
x 2 x 1 x 2 x 3 2 1 2 3 3 1 x 1 4 5 0 0 5
即f ( x)是x的二次多式，故有二根。
说明：判断多项式方程根的个数，应尽量 消掉多项式中的未知数，再根据定义判断 多项式的次数。（化行阶梯型的方法）
求 Dn ,
A11 A12 A1n
说明：一般求行列式某行（列）代数余子式的线 性和，只用把相应系数换到原行列式的对应行 （列）中，计算行列式即可。如有余子式，则先 把余子式转化成代数余子式，再按上法计算。
1 1 n A1 j 1
j 1
1 2 0
1 ... 1 0 ... 0 3 ... 0
注意：M 41 D4
A11 xA21 x 2 A31 x 3 A41 x 4 A51
由范德蒙行列式的计算公式：
D5 ( x j xi ), 其中x0 x
0 i j 4
( x4 x)( x3 x)( x2 x)( x1 x) ( x j xi )
行和相同，提取公因子
( x1 x2 xn m)
ri r1,i 2,3 , n
... xn m
1 (m xi )
i 1 n n
x2 ... 0
... ...
xn 0 ...
0 ... 0
m ...
... m
xi n (1 )(m) i 1 m
把第1行的元换 成系数，此时系 数全为1
... ... ... ... ... 1 0 0 n
1 (1 )n! i 2 i
n
例6 b3 (b 1)3 (b 1)3 (b 2)3
b2 b 1
1 b 2 b 3 b
(b 1) 2 (b 1) 1
1 b 1 2 (b 1) 3 (b 1)